廣東省揭陽市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題 含解析

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)段考2試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，求出和，再根據(jù)集合的運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，所以，又，所以，故，故選：D.2.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出，化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.【詳解】由題得，∴z=1，，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D．3.雙曲線的兩條漸近線的夾角的大小等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得雙曲線的兩條漸近線方程，得到斜率和傾斜角，再求出漸近線夾角的大小.【詳解】雙曲線的兩條漸近線的方程為，由直線的斜率為，可得傾斜角為，的斜率為，可得傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角的大小為，故選：B.4.在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，滿足，M是AD的中點(diǎn)，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量線性運(yùn)算相關(guān)計(jì)算方式計(jì)算即可.【詳解】由題可知，，,所以有，所以，得.故選：C5.若兩個(gè)等比數(shù)列的公比相等，且，則的前6項(xiàng)和為（）A. B. C.124 D.252【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用等比數(shù)列定義和求和公式計(jì)算即可.【詳解】由，得的公比，所以的公比為，則的前6項(xiàng)和為．故選：B.6.若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，且，，，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)單調(diào)性與函數(shù)值，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，確定與的值，兩式相減，即可求出的值.詳解】由題知，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)樵趨^(qū)間上是減函數(shù)，所以，兩式相減，得，因，所以.故選：A.7.已知點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最小值為（）A.6 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)求出點(diǎn)到直線距離的最小值即可求得最小值.【詳解】兩點(diǎn)，B0,3，則，直線方程為，圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離，因此點(diǎn)到直線距離的最小值為，所以面積的最小值是.故選：D8.已知函數(shù)y=fx的定義域?yàn)镽，且f?x=fx，若函數(shù)y=fx的圖象與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，且交點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】易證明為偶函數(shù)，根據(jù)題意，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)必定是原點(diǎn)，據(jù)此求解.【詳解】令，其定義域?yàn)?，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，由題易知也為偶函數(shù)，因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，所以兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，必有一個(gè)是原點(diǎn)，故.故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.設(shè)，為隨機(jī)事件，且，是，發(fā)生的概率.，，則下列說法正確的是（）A.若，互斥，則 B.若，則，相互獨(dú)立C.若，互斥，則，相互獨(dú)立 D.若，獨(dú)立，則【答案】ABD【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判斷A選項(xiàng)；由相互獨(dú)立事件的概念可判斷B選項(xiàng)；由互斥事件和相互獨(dú)立事件的概念可判斷C選項(xiàng)；由相互獨(dú)立事件的概念，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若互斥，根據(jù)互斥事件的概率公式，則，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，由相互獨(dú)立事件的概念知，若，則事件是相互獨(dú)立事件，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，若互斥，則不一定相互獨(dú)立，例：拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件與事件互斥，但，，不滿足相互獨(dú)立事件的定義，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，由相互獨(dú)立事件的定義知，若，獨(dú)立，則，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD.10.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若，內(nèi)角A的平分線交BC于點(diǎn)D，，，以下結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.的面積為【答案】ACD【解析】【分析】首先根據(jù)題意結(jié)合余弦定理可得，并根據(jù)二倍角公式得到，依次計(jì)算的值，根據(jù)面積公式，分析判斷選項(xiàng)C和D.【詳解】在中，∵，則，整理得，所以，由二倍角公式得，解得，在中，則，故選項(xiàng)A正確；在中，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由題意可知：，即，由，解得，故選項(xiàng)C正確；在中，∵，則，∴，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.設(shè)函數(shù)，則（）A.是的極小值點(diǎn)B.C.不等式的解集為D.當(dāng)時(shí)，【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性和極值；對(duì)于B：根據(jù)解析式代入運(yùn)算即可；對(duì)于C：取特值檢驗(yàn)即可；對(duì)于D：分析可得，結(jié)合的單調(diào)性分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)，f′x<0；當(dāng)或時(shí)，f′可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋蔅正確；對(duì)于選項(xiàng)C：對(duì)于不等式，因?yàn)?，即為不等式的解，但，所以不等式的解集不為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因，則，且，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在0,1上單調(diào)遞增，所以，故D正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在△ABC中，若a＝2,b＋c＝7,，則b=_________________【答案】4【解析】【詳解】在△ABC中，利用余弦定理，，化簡得：8c－7b＋4＝0，與題目條件聯(lián)立，可解得，【考點(diǎn)定位】本題考查的是解三角形，考查余弦定理的應(yīng)用．利用題目所給的條件列出方程組求解13.如果一個(gè)直角三角形的斜邊長等于，則當(dāng)這個(gè)直角三角形周長取最大值時(shí)，其面積為________.【答案】2【解析】【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合勾股定理并通過分析得知當(dāng)最大值，這個(gè)直角三角形周長取最大值，根據(jù)基本不等式的取等條件即可求解.【詳解】如圖所示：在中，，而直角三角形周長，由勾股定理可知，若要使最大，只需最大即可，即最大即可，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，此時(shí)，其面積為.故答案為：.14.已知函數(shù)，點(diǎn)為曲線在點(diǎn)處的切線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為____________．【答案】【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)后，代入可求得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線，則可將問題轉(zhuǎn)化為與平行且與曲線相切的切點(diǎn)到直線的距離的求解，設(shè)切點(diǎn)，由切線斜率為可構(gòu)造方程求得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：，，則，切線的方程為：，即；若最小，則為與平行且與曲線相切的切點(diǎn)，所求最小距離為到直線的距離，設(shè)所求切點(diǎn)，由，可得，所以，即，又單調(diào)遞增，而時(shí)，所以，即，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角所對(duì)的邊分別為．（1）若，求的值；（2）求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，從而可求的值；（2）利用基本不等式可得，再根據(jù)余弦定理可得的范圍，從而可得的范圍，結(jié)合三角形面積公式，即可得面積的最大值．【小問1詳解】由正弦定理，可得，【小問2詳解】，，由余弦定理可得，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)面積取得最大值16.某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡5月1日當(dāng)天消費(fèi)不低于1000元，均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)箱里有6個(gè)形狀、大小、質(zhì)地完全相同的小球，其中紅球有4個(gè)，白球有2個(gè)，抽獎(jiǎng)方案設(shè)置兩種，顧客自行選擇其中的一種方案．方案一：從抽獎(jiǎng)箱中，一次性摸出3個(gè)球，每有1個(gè)紅球，可立減80元；方案二：從抽獎(jiǎng)箱中，有放回地每次摸出1個(gè)球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減80元．（1）設(shè)方案一摸出的紅球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差；（2）設(shè)方案二摸出的紅球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量Y，求Y的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差；（3）如果你是顧客，如何在上述兩種抽獎(jiǎng)方式中進(jìn)行選擇？請(qǐng)寫出你的選擇及簡要理由．【答案】（1）分布列見解析，，（2）分布列見解析，，．（3）應(yīng)選擇方案一的抽獎(jiǎng)方式，理由見解析【解析】【分析】（1）由條件確定的可能取值，求取各值得概率，可得分布列，結(jié)合公式求期望和方差；（2）由條件確定的可能取值，判斷，結(jié)合二項(xiàng)分布的分布列求法確定其分布列，再由公式求期望和方差，（3）通過比較隨機(jī)變量期望和方差的大小，確定選擇方案.【小問1詳解】設(shè)方案一摸出的紅球個(gè)數(shù)為X，則X的所有可能取值為，，，．X的分布列為：X123P所以，．【小問2詳解】設(shè)方案二摸出的紅球個(gè)數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為．則，所以，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123所以，．【小問3詳解】因?yàn)?，，即兩種方案抽取的紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望一樣，但方案一更穩(wěn)定，所以應(yīng)選擇方案一的抽獎(jiǎng)方式．17.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求面與面夾角正切值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由側(cè)面底面得底面，進(jìn)而可證；（2）向量法求面與面的夾角.【小問1詳解】因?yàn)槿庵校仕倪呅螢榱庑?，又因，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，故，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，側(cè)面，所以底面，又底面，故.【小問2詳解】因，，故為直角三角形，故，如圖分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，，由（1）可知，，，故，，則，由題意平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z則即，令，則，，則，設(shè)面與面夾角為，則，故，面與面夾角的正切值為.18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，直線經(jīng)過點(diǎn)，且與相交于，兩點(diǎn)，記的傾斜角為.（1）求的方程；（2）求弦的長（用表示）；（3）若直線也經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角比的傾斜角大，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，直接求出，即可求解；（2）分和，當(dāng)時(shí)，直接求出，當(dāng)時(shí)，設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用弦長公式，即可求解；（3）根據(jù)題設(shè)，先求出和時(shí)，四邊形的面積，再求出時(shí)，，從而得出，再通過化簡，得到，令，通過求出的最大值，即可解決問題.【小問1詳解】由題知，又，得到，所以，故橢圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為，當(dāng)時(shí)，直線，由，解得，，此時(shí)，當(dāng)，設(shè)直線的方程為，其中，由，消得到，又，所以，即，綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【小問3詳解】直線也經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角比的傾斜角大，所以，當(dāng)時(shí)，易知，，此時(shí)四邊形面積為，當(dāng)時(shí)，可設(shè)，其中，同理可得，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)四邊形面積為，當(dāng)且時(shí)，四邊形面積為①，又，代入①化簡得到，即，令，令，則，所以，對(duì)稱軸，又，則當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，所以四邊形面積的最小值為，又，所以四邊形面積最小值.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵在于第（3）問，分和，分別求出MN，先求出和兩種情況下的面積，再根據(jù)題有，當(dāng)和時(shí)，，再求出的最小值，跟特殊情況比較，即可求解.19.如果n項(xiàng)有窮數(shù)列滿足，，…，，即，則稱有窮數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”.（1）設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的“對(duì)稱數(shù)列”，其中成等差數(shù)列，且，依次寫出數(shù)列的每一項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為(且)的“對(duì)稱數(shù)列”，且滿足，記為數(shù)列的前項(xiàng)和.①若，，…，構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，且.當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值?②若，且，求的最小值.【答案】（1）1，3，5，7，5，3，1（2）①1012；②2025【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義“對(duì)稱數(shù)列”的定義和已知條件可求得公比，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）①根據(jù)對(duì)稱數(shù)列的定義可得數(shù)列為等差數(shù)列，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來求解；②由條件得到數(shù)列相鄰兩項(xiàng)間的大小關(guān)系，并結(jié)合定義求得的取值范圍，然后結(jié)合已知條件確定出最后的結(jié)果【小問1詳解】因?yàn)閿?shù)列bn是項(xiàng)數(shù)為7的“對(duì)稱數(shù)列