湖南省鳳凰縣皇倉(cāng)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

湖南省鳳凰縣皇倉(cāng)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用1，2，3，4這4個(gè)數(shù)字可寫(xiě)出（）個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)A.24 B.12C.81 D.642．函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.3．從編號(hào)分別為,,,,的五個(gè)大小完全相同的小球中,隨機(jī)取出三個(gè)小球,則恰有兩個(gè)小球編號(hào)相鄰的概率為()A. B.C. D.4．已知球O的半徑為2，球心到平面的距離為1，則球O被平面截得的截面面積為（）A. B.C. D.5．直線（t為參數(shù)）被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A. B.C. D.6．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直.若直線與圓交于兩點(diǎn)，則的面積為A.1 B.C.2 D.7．已知點(diǎn)分別為圓與圓的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.8．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）A. B.C. D.10．設(shè).若，則＝（）A. B.C. D.e11．積分（）A. B.C. D.12．已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量,,并且、共線且方向相同,則______.14．已知，，若x，a，b，y成等比數(shù)列，x，c，d，y成等差數(shù)列，則的最小值為_(kāi)____________.15．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)A、B在橢圓上，且滿足，若令且，則該橢圓離心率的取值范圍為_(kāi)__________16．i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，且該雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，1)（1）求雙曲線的方程；（2）若F是雙曲線的右焦點(diǎn)，Q是雙曲線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F，Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，且，求直線l的斜率18．（12分）已知點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離比為（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線被點(diǎn)的軌跡截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程19．（12分）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線C上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為1（1）求拋物線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線l1，l2，l1與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，l2與拋物線C交于C，D兩點(diǎn)，M，N分別為弦AB，CD的中點(diǎn)，求|MF|·|NF|的最小值20．（12分）求滿足下列條件的圓錐曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)的橢圓；（2）與雙曲線－＝1有相同的漸近線且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線.21．（12分）長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)分別在上，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.22．（10分）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來(lái)全排列即可.【詳解】由題意，從4個(gè)數(shù)中選出3個(gè)數(shù)出來(lái)全排列，共可寫(xiě)出個(gè)三位數(shù).故選：A2、D【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，即有，而，則過(guò)點(diǎn)，斜率為1的直線方程為：，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為.故選：D3、C【解析】利用古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可【詳解】從編號(hào)分別為,,,,的五個(gè)大小完全相同的小球中,隨機(jī)取出三個(gè)小球共有種不同的取法,恰好有兩個(gè)小球編號(hào)相鄰的有:,共有6種所以概率為故選:C4、B【解析】根據(jù)球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑即可求解.【詳解】由球的性質(zhì)可知，截面圓的半徑為，所以截面的面積.故選：B5、C【解析】求得直線普通方程以及圓的直角坐標(biāo)方程，利用弦長(zhǎng)公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），故其普通方程為，又，根據(jù)，故可得，其表示圓心為，半徑的圓，則圓心到直線的距離，則該直線截圓所得弦長(zhǎng)為.故選：C.6、A【解析】∵圓的方程為，即，∴圓的圓心為，半徑為2.∵直線過(guò)點(diǎn)且與直線垂直∴直線.∴圓心到直線的距離.∴直線被圓截得的弦長(zhǎng)，又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為，∴的面積為.考點(diǎn)：1、直線與圓的位置關(guān)系；2、三角形的面積公式.7、B【解析】先判定兩圓的位置關(guān)系為相離的關(guān)系，然后利用幾何方法得到的取值范圍.【詳解】的圓心為,半徑，的圓心為,半徑，圓心距，∴兩圓相離，∴，故選：B.8、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而得到函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，所以A選項(xiàng)和C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，先增，再減，然后再增，則先正，再負(fù)，然后再正，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.一般地，函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，，則在這個(gè)區(qū)間是增函數(shù)；函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，，則在這個(gè)區(qū)間是減函數(shù).9、C【解析】按照程序框圖的流程進(jìn)行計(jì)算.【詳解】，故輸出S的值為.故選：C10、D【解析】由題可得，將代入解方程即可.【詳解】∵，∴,∴，解得.故選：D.11、B【解析】根據(jù)定積分的幾何意義求值即可.【詳解】由題設(shè)，定積分表示圓在x軸的上半部分，所以.故選：B12、B【解析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.詳解】對(duì)于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以不成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，故D不正確.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】根據(jù)空間向量共線基本定理,可設(shè).由坐標(biāo)運(yùn)算求得的值,進(jìn)而求得.即可求得的值.【詳解】根據(jù)空間向量共線基本定理,可設(shè)由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得解方程可得所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量共線基本定理的應(yīng)用,根據(jù)向量的共線定理求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.14、4【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)把用表示，然后由基本不等式得最小值【詳解】由題意，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故答案為：415、【解析】由得為矩形，則，故，結(jié)合正弦函數(shù)即可求得范圍【詳解】由已知可得，且四邊形為矩形所以，又因?yàn)椋缘秒x心率因?yàn)?，所以，可得，從而故答案為?6、【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意列方程組求解（2）待定系數(shù)法設(shè)直線后，由條件求出坐標(biāo)后代入雙曲線方程求解【小問(wèn)1詳解】，解得，故雙曲線方程為【小問(wèn)2詳解】，故設(shè)直線方程為則，由得：故，點(diǎn)在雙曲線上，則，解得直線l的斜率為18、（1）（2）或【解析】（1）設(shè)出，表達(dá)出，直接法求出軌跡方程；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，先考慮直線斜率不存在時(shí)是否符合要求，再考慮斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，表達(dá)出圓心到直線的距離，利用垂徑定理列出方程，求出直線方程.【小問(wèn)1詳解】設(shè),則，，故，兩邊平方得：【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線為，此時(shí)弦長(zhǎng)為，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，則圓心到直線距離為，由垂徑定理得：，解得：，此時(shí)直線的方程為，綜上：直線的方程為或.19、（1）（2）8【解析】（1）由拋物線C上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為1，所以，即可求得拋物線的方程；（2）設(shè)直線AB的斜率為k，則直線CD的斜率為，得到直線AB的方程為，聯(lián)立方程，求得，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，得到的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)閽佄锞€C上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為1，所以，解得，所以拋物線C的方程為【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知焦點(diǎn)為F(1，0)，由已知可得ABCD，所以直線AB，CD的斜率都存在且均不為0，設(shè)直線AB斜率為k，則直線CD的斜率為，所以直線AB的方程為，聯(lián)立方程，消去x得，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，因?yàn)镸(xM，yM)為弦AB的中點(diǎn)，所以，由，得，所以點(diǎn)，同理可得，所以，＝，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為20、（1）；（2）【解析】（1）由題意可得，，從而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）由題意設(shè)雙曲線的共漸近線方程為,再將的坐標(biāo)代入方程可求出的值，從而可求出雙曲線方程【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以P、Q分別是橢圓長(zhǎng)軸和短軸上的端點(diǎn)，且橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)與雙曲線共漸近線的方程為,代入點(diǎn)，解得m=2,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為21、（1）證明見(jiàn)解析.（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由面面角的空間向量求解方法可得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：長(zhǎng)方體中，平面，又平面，又平面，又平面同理可證，而平面，平面【小問(wèn)2詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.從而，，，由（1）知，