黔東南市重點中學2025屆高三數(shù)學第一學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

黔東南市重點中學2025屆高三數(shù)學第一學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設則以線段為直徑的圓的方程是（）A． B．C． D．2．在中，，，，點滿足，則等于（）A．10 B．9 C．8 D．73．已知集合，將集合的所有元素從小到大一次排列構成一個新數(shù)列，則（）A．1194 B．1695 C．311 D．10954．如圖，正方體中，，，，分別為棱、、、的中點，則下列各直線中，不與平面平行的是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線5．如圖是二次函數(shù)的部分圖象，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．6．已知命題：是“直線和直線互相垂直”的充要條件；命題：函數(shù)的最小值為4.給出下列命題：①；②；③；④，其中真命題的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．47．已知雙曲線的左焦點為，直線經過點且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線與雙曲線的左支交于不同的兩點，，若，則該雙曲線的離心率為（）．A． B． C． D．8．若滿足約束條件則的最大值為（）A．10 B．8 C．5 D．39．《周易》歷來被人們視作儒家群經之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認識，是中華人文文化的基礎，它反映出中國古代的二進制計數(shù)的思想方法．我們用近代術語解釋為：把陽爻“-”當作數(shù)字“1”，把陰爻“--”當作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：卦名符號表示的二進制數(shù)表示的十進制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113依此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“”表示的十進制數(shù)是（）A．18 B．17 C．16 D．1510．以下關于的命題，正確的是A．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增B．直線需是函數(shù)圖象的一條對稱軸C．點是函數(shù)圖象的一個對稱中心D．將函數(shù)圖象向左平移需個單位，可得到的圖象11．二項式的展開式中，常數(shù)項為（）A． B．80 C． D．16012．已知函數(shù)，則下列判斷錯誤的是（）A．的最小正周期為 B．的值域為C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于點對稱二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)為偶函數(shù)，則．14．在某批次的某種燈泡中，隨機抽取200個樣品.并對其壽命進行追蹤調查，將結果列成頻率分布表如下：壽命（天）頻數(shù)頻率40600.30.4200.1合計2001某人從燈泡樣品中隨機地購買了個，如果這個燈泡的壽命情況恰好與按四個組分層抽樣所得的結果相同，則的最小值為______.15．已知為雙曲線：的左焦點，直線經過點，若點，關于直線對稱，則雙曲線的離心率為__________．16．實數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系.（1）求曲線C的極坐標方程；（2）直線（t為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點，求最大時，直線l的直角坐標方程.18．（12分）如圖，在三棱柱中，是邊長為2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，點在線段上移動（不與重合），是的中點.（1）當四面體的外接球的表面積為時，證明：.平面（2）當四面體的體積最大時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.19．（12分）已知，函數(shù)，（是自然對數(shù)的底數(shù)）.（Ⅰ）討論函數(shù)極值點的個數(shù)；（Ⅱ）若，且命題“，”是假命題，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）在本題中，我們把具體如下性質的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù)：①的定義域和值域都是；②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).（1）若在區(qū)間上是閉函數(shù)，求常數(shù)的值；（2）找出所有形如的函數(shù)（都是常數(shù)），使其在區(qū)間上是閉函數(shù).21．（12分）已知函數(shù)，它的導函數(shù)為．（1）當時，求的零點；（2）當時，證明：．22．（10分）已知函數(shù)．（1）當時，求的單調區(qū)間．（2）設直線是曲線的切線，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率時切線的方程．（3）已知分別在，處取得極值，求證：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

計算的中點坐標為，圓半徑為，得到圓方程.【詳解】的中點坐標為：，圓半徑為，圓方程為.故選：.【點睛】本題考查了圓的標準方程，意在考查學生的計算能力.2、D【解析】

利用已知條件，表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積．【詳解】在中，，，，點滿足，可得則==【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積運算，關鍵是利用基向量表示所求向量．3、D【解析】

確定中前35項里兩個數(shù)列中的項數(shù)，數(shù)列中第35項為70，這時可通過比較確定中有多少項可以插入這35項里面即可得，然后可求和．【詳解】時，，所以數(shù)列的前35項和中，有三項3，9，27，有32項，所以．故選：D．【點睛】本題考查數(shù)列分組求和，掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前項和公式是解題基礎．解題關鍵是確定數(shù)列的前35項中有多少項是中的，又有多少項是中的．4、C【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據判斷A的正誤.根據，判斷B的正誤.根據與相交，判斷C的正誤.根據，判斷D的正誤.【詳解】在正方體中，因為，所以平面，故A正確.因為，所以，所以平面故B正確.因為，所以平面，故D正確.因為與相交，所以與平面相交，故C錯誤.故選：C【點睛】本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.5、B【解析】

根據二次函數(shù)圖象的對稱軸得出范圍，軸截距，求出的范圍，判斷在區(qū)間端點函數(shù)值正負，即可求出結論.【詳解】∵，結合函數(shù)的圖象可知，二次函數(shù)的對稱軸為，，，∵，所以在上單調遞增.又因為，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選:B.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點，屬于基礎題.6、A【解析】

先由兩直線垂直的條件判斷出命題p的真假，由基本不等式判斷命題q的真假，從而得出p,q的非命題的真假，繼而判斷復合命題的真假，可得出選項.【詳解】已知對于命題，由得，所以命題為假命題；關于命題，函數(shù)，當時，，當即時，取等號，當時，函數(shù)沒有最小值，所以命題為假命題.所以和是真命題，所以為假命題，為假命題，為假命題，為真命題，所以真命題的個數(shù)為1個.故選：A.【點睛】本題考查直線的垂直的判定和基本不等式的應用，以及復合命題的真假的判斷，注意運用基本不等式時，滿足所需的條件，屬于基礎題.7、A【解析】

直線的方程為，令和雙曲線方程聯(lián)立，再由得到兩交點坐標縱坐標關系進行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設.則，且將代入雙曲線方程中，得到設則由，可得，故則，解得則所以雙曲線離心率故選：A【點睛】此題考查雙曲線和直線相交問題，聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點坐標關系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.8、D【解析】

畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標函數(shù),即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當直線過時,直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標函數(shù)轉化為的形式,在可行域內通過平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時,邊界線的虛實問題.9、B【解析】

由題意可知“屯”卦符號“”表示二進制數(shù)字010001，將其轉化為十進制數(shù)即可.【詳解】由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號“”表示二進制數(shù)字010001，轉化為十進制數(shù)的計算為1×20+1×24=1．故選：B．【點睛】本題主要考查數(shù)制是轉化，新定義知識的應用等，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.10、D【解析】

利用輔助角公式化簡函數(shù)得到，再逐項判斷正誤得到答案.【詳解】A選項，函數(shù)先增后減，錯誤B選項，不是函數(shù)對稱軸，錯誤C選項，，不是對稱中心，錯誤D選項，圖象向左平移需個單位得到，正確故答案選D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的單調性，對稱軸，對稱中心，平移，意在考查學生對于三角函數(shù)性質的綜合應用，其中化簡三角函數(shù)是解題的關鍵.11、A【解析】

求出二項式的展開式的通式，再令的次數(shù)為零，可得結果.【詳解】解：二項式展開式的通式為，令，解得，則常數(shù)項為.故選：A.【點睛】本題考查二項式定理指定項的求解，關鍵是熟練應用二項展開式的通式，是基礎題.12、D【解析】

先將函數(shù)化為，再由三角函數(shù)的性質，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】可得對于A，的最小正周期為,故A正確；對于B，由，可得，故B正確；對于C，正弦函數(shù)對稱軸可得：解得：，當，，故C正確；對于D，正弦函數(shù)對稱中心的橫坐標為：解得：若圖象關于點對稱，則解得：，故D錯誤；故選：D.【點睛】本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的性質，熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】試題分析：由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù)，．考點：函數(shù)的奇偶性．【方法點晴】本題考查導函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結合思想與轉化思想，具有一定的綜合性和靈活性，屬于較難題型．首先利用轉化思想，將函數(shù)為偶函數(shù)轉化為函數(shù)為奇函數(shù)，然后再利用特殊與一般思想，?。?4、10【解析】

先求出a，b，根據分層抽樣的比例引入正整數(shù)k表示n，從而得出的最小值.【詳解】由題意得，a=0.2，b=80，由表可知，燈泡樣品第一組有40個，第二組有60個，第三組有80個，第四組有20個，所以四個組的比例為2:3:4:1，所以按分層抽樣法，購買的燈泡數(shù)為n=2k+3k+4k+k=10k()，所以的最小值為10.【點睛】本題考查分層抽樣基本原理的應用，涉及抽樣比、總體數(shù)量、每層樣本數(shù)量的計算，屬于基礎題.15、【解析】

由點，關于直線對稱，得到直線的斜率，再根據直線過點，可求出直線方程，又，中點在直線上，代入直線的方程，化簡整理，即可求出結果.【詳解】因為為雙曲線：的左焦點，所以，又點，關于直線對稱，，所以可得直線的方程為，又，中點在直線上，所以，整理得，又，所以，故，解得，因為，所以.故答案為【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質，先由兩點對稱，求出直線斜率，再由焦點坐標求出直線方程，根據中點在直線上，即可求出結果，屬于常考題型.16、10【解析】

畫出可行域，根據目標函數(shù)截距可求.【詳解】解：作出可行域如下：由得，平移直線，當經過點時，截距最小，最大解得的最大值為10故答案為：10【點睛】考查可行域的畫法及目標函數(shù)最大值的求法，基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，再將，代入普通方程，即可求出結論；（2）由（1）得曲線表示圓，直線曲線C交于A，B兩點，最大值為圓的直徑，直線過圓心，即可求出直線的方程.【詳解】（1）由曲線C的參數(shù)方程（為參數(shù)），可得曲線C的普通方程為，因為，所以曲線C的極坐標方程為，即.（2）因為直線（t為參數(shù)）表示的是過點的直線，曲線C的普通方程為，所以當最大時，直線l經過圓心.直線l的斜率為，方程為，所以直線l的直角坐標方程為.【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、直角坐標方程與極坐標方程互化、直線與曲線的位置關系，考查化歸和轉化思想，屬于中檔題.18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由題意，先求得為的中點，再證明平面平面，進而可得結論；（2）由題意，當點位于點時，四面體的體積最大，再建立空間直角坐標系，利用空間向量運算即可.【詳解】（1）證明：當四面體的外接球的表面積為時.則其外接球的半徑為.因為時邊長為2的菱形，是矩形.，且平面平面.則，.則為四面體外接球的直徑.所以，即.由題意，，，所以.因為，所以為的中點.記的中點為，連接，.則，，，所以平面平面.因為平面，所以平面.（2）由題意，平面，則三棱錐的高不變.當四面體的體積最大時，的面積最大.所以當點位于點時，四面體的體積最大.以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，.所以，，，.設平面的法向量為.則令，得.設平面的一個法向量為.則令，得.設平面與平面所成銳二面角是，則.所以當四面體的體積最大時，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查平面與平面的平行、線面平行，考查平面與平面所成銳二面角的余弦值，正確運用平面與平面的平行、線面平行的判定，利用好空間向量是關鍵，屬于基礎題．19、（1）當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.（2）【解析】試題分析：（1），分，討論，當時，對，，當時，解得，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。所以，當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.（2）原命題為假命題，則逆否命題為真命題。即不等式在區(qū)間內有解。設，所以，設，則，且是增函數(shù)，所以。所以分和k>1討論。試題解析：（Ⅰ）因為，所以，當時，對，，所以在是減函數(shù)，此時函數(shù)不存在極值，所以函數(shù)沒有極值點；當時，，令，解得，若，則，所以在上是減函數(shù)，若，則，所以在上是增函數(shù)，當時，取得極小值為，函數(shù)有且僅有一個極小值點，所以當時，沒有極值點，當時，有一個極小值點.（Ⅱ）命題“，”是假命題，則“，”是真命題，即不等式在區(qū)間內有解.若，則設，所以，設，則，且是增函數(shù)，所以當時，，所以在上是增函數(shù)，，即，所以在上是增函數(shù)，所以，即在上恒成立.當時，因為在是增函數(shù)，因為，，所以在上存在唯一零點，當時，，在上單調遞減，從而，即，所以在上單調遞減，所以當時，，即.所以不等式在區(qū)間內有解綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.20、（1）；（2）.【解析】

（1）依據新定義，的定義域和值域都是，且在上單調，建立方程求解；（2）依據新定義，討論的單調性，列出方程求解即可?！驹斀狻浚?）當時，由復合函數(shù)單調性知，在區(qū)間上是增函數(shù)，即有，解得；同理，當時，有，解得，綜上，。（2）若在上是閉函數(shù)，則在上是單調函數(shù)，①當在上是單調增函數(shù)，則，解得，檢驗符合；②當在上是單調減函數(shù)，則，解得，在上不是單調函數(shù)，不符合題意。故滿足在區(qū)間上是閉函數(shù)只有?！军c睛】本題主要考查學生的應用意識