吉林省吉林市普通中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

吉林省吉林市普通中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在等比數(shù)列中，，且，則t＝（）A.-2 B.－1C.1 D.22．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）①，；②；③A.0 B.1C.2 D.33．若等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，，則（）A.10 B.12C.14 D.164．已知點(diǎn)在平面α上，其法向量，則下列點(diǎn)不在平面α上的是（）A. B.C. D.5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為()A.8 B.9C.27 D.366．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知雙曲線，且三個(gè)數(shù)1，，9成等比數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A.的焦距為 B.的漸近線方程為C.的離心率為 D.的虛軸長(zhǎng)為8．已知曲線與直線總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.9．傾斜角為45°，在y軸上的截距為2022的直線方程是（）A. B.C. D.10．設(shè)a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，，依次成公差不為0的等差數(shù)列，則（）A.a，b，c依次成等差數(shù)列 B.，，依次成等差數(shù)列C.，，依次成等比數(shù)列 D.，，依次成等比數(shù)列11．如圖，兩個(gè)半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切.已知時(shí)，在兩相交大圓的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自?xún)纱髨A公共部分的概率為（）A. B.C. D.12．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．不等式的解集為，則________14．已知過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B,直線經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F,則___________15．隨機(jī)投擲一枚均勻的硬幣兩次，則兩次都正面朝上的概率為_(kāi)_____16．已知向量，，不共線，點(diǎn)在平面內(nèi)，若存在實(shí)數(shù)，，，使得，那么的值為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和18．（12分）在①，②，③，，成等比數(shù)列這三個(gè)條件中選擇符合題意的兩個(gè)條件，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并求解.已知數(shù)列中，公差不等于的等差數(shù)列滿(mǎn)足_________，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知數(shù)列和中，，且，.（1）寫(xiě)出，，，，猜想數(shù)列和的通項(xiàng)公式并證明；（2）若對(duì)于任意都有，求的取值范圍.20．（12分）已知中，分別為角的對(duì)邊，且（1）求；（2）若為邊的中點(diǎn)，，求的面積21．（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，直線與交于，兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的取值范圍22．（10分）已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）若為的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間和最大值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】先求出，利用等比中項(xiàng)求出t.【詳解】在等比數(shù)列中，，且，所以所以，即，解得：.當(dāng)時(shí)，，不符合等比數(shù)列的定義，應(yīng)舍去，故.故選：A.2、C【解析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷大小，從而得解；【詳解】解：令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，，故①正確；令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立，所以，故②正確；令，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故③錯(cuò)誤；故選：C3、B【解析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可得成等差數(shù)列，，即，得.故選：B.4、D【解析】根據(jù)法向量的定義，利用向量垂直對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】對(duì)于A：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面α上對(duì)于B：記,則.因?yàn)椋渣c(diǎn)在平面α上對(duì)于C：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面α上對(duì)于D：記,則.因?yàn)?，所以點(diǎn)不在平面α上.故選：D5、B【解析】執(zhí)行程序框圖，第一次循環(huán)，，滿(mǎn)足；第二次循環(huán)，，滿(mǎn)足；第三次循環(huán)，，不滿(mǎn)足，輸出，故選B.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問(wèn)題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個(gè)框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.6、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性判斷【詳解】根據(jù)題意，已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則有（），所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，而當(dāng)數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列時(shí)，不一定成立，所以“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分而不必要條件，故選：A7、D【解析】先求得的值，然后根據(jù)雙曲線的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】方程表示雙曲線，則，成等比數(shù)列，則，所以雙曲線方程為，所以，故雙曲線的焦距為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.漸近線方程為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.離心率，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.虛軸長(zhǎng)，D選項(xiàng)正確.故選：D8、D【解析】對(duì)曲線化簡(jiǎn)可知曲線表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，對(duì)直線方程化簡(jiǎn)可得直線過(guò)定點(diǎn)，畫(huà)出圖形，由圖可知，，然后求出直線的斜率即可【詳解】由，得，因?yàn)?，所以曲線表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，由，得，所以，得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，如圖所示設(shè)曲線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，直線過(guò)定點(diǎn)，為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖可知，若曲線與直線總有公共點(diǎn)，則，得，設(shè)直線為，則，解得，或，所以，所以，所以，故選：D9、A【解析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合直線斜截式方程進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為45°，所以該直線的斜率為，又因?yàn)樵撝本€在y軸上的截距為2022，所以該直線的方程為：，故選：A10、B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，利用正弦定理、余弦定理推導(dǎo)出，從而，，依次成等差數(shù)列.【詳解】解：∵a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，，，依次成公差不為0的等差數(shù)列，∴，根據(jù)正弦定理可得，∴，∴，∴，∴，，依次成等差數(shù)列.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列的判斷，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.11、C【解析】設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，求得,在中，可得.進(jìn)而求得兩大圓公共部分的面積為：,利用幾何概型計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，,在中，.兩大圓公共部分的面積為：,則該點(diǎn)取自?xún)纱髨A公共部分的概率為.故選：C.12、C【解析】點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是坐標(biāo)不變，坐標(biāo)為0的點(diǎn).【詳解】點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為，故點(diǎn)M的坐標(biāo)是故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由一元二次方程與一元二次不等式之間的關(guān)系可知，方程的兩根是，所以因此.考點(diǎn)：一元二次方程與一元二次不等式之間的關(guān)系.14、64【解析】用字母進(jìn)行一般化研究,先求出切點(diǎn)弦方程,再聯(lián)立化簡(jiǎn),最后代入數(shù)據(jù)計(jì)算【詳解】設(shè),點(diǎn)處的切線方程為聯(lián)立,得由,得即,解得所以點(diǎn)處的切線方程為,整理得同理,點(diǎn)處的切線方程為設(shè)為兩切線的交點(diǎn),則所以在直線上即直線AB的方程為又直線AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)所以,即聯(lián)立得所以所以本題中所以故答案為:64【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)弦的方程為15、##【解析】列舉出所有情況，利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】隨機(jī)投擲一枚均勻的硬幣兩次，共有：正正，正反，反正，反反共4種情況，兩次都是正面朝上的有：正正1種情況，所以?xún)纱味颊娉系母怕蕿?，故答案為?6、1【解析】通過(guò)平面向量基本定理推導(dǎo)出空間向量基本定理得推論.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，則由平面向量基本定理得：存在，使得：即，整理得：，又，所以，，，從而.故答案為：1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，且，，，利用“”法求解；（2）由，利用裂項(xiàng)相消法求解.【小問(wèn)1詳解】解：，，設(shè)數(shù)列的公差為，則，，，由題知，整理得，解得，（舍去），，則.【小問(wèn)2詳解】，則=.18、詳見(jiàn)解析【解析】根據(jù)已知求出的通項(xiàng)公式.當(dāng)①②時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，利用賦值法得到與的關(guān)系式，列方程求出與，求出，寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和即可；選②③時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，根據(jù)題意得到與的關(guān)系式，解出與，寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和即可；選①③時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，根據(jù)題意得到與的關(guān)系式，發(fā)現(xiàn)無(wú)解，則等差數(shù)列不存在，故不合題意.【詳解】解：因?yàn)?，，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，選①②時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋詴r(shí)，，解得，，所以，所以.所以.（i）所以（ii）（i）（ii），得：所以.選②③時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，從而，所以，所以，（i）所以（ii）（i）（ii），得：，所以.選①③時(shí)，設(shè)數(shù)列公差為，因?yàn)?，所以時(shí)，，所以.又因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，從而無(wú)解，所以等差數(shù)列不存在，故不合題意.【點(diǎn)睛】本題考查了等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化能力與方程思想，屬于中檔題.19、（1），，，證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）已知兩式相加化簡(jiǎn)可得是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，兩式相減化簡(jiǎn)可得是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，則，（2）由題意可得只需要，令，由和解不等式可求出的最小值，從而可求得的取值范圍【小問(wèn)1詳解】由已知得，猜想，，由題得，所以易知，即所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故，由題得，所以，即，所以是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槿我舛加校?，只需要，記，易知，故，?dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，，解得，因?yàn)?，所以，所以，所以的取值范圍?20、（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理化邊為角可得，化簡(jiǎn)可得，結(jié)合，即得解；（2）在中，由余弦定理得，可得，利用面積公式即得解【詳解】（1）中由正弦定理及條件，可得，∵，，∴，∵，∴，或，又∵，∴，∴，，∴（2）為邊的中點(diǎn)，，，得，中，由余弦定理得，∴，∴，∵，∴，21、（1），（2）【解析】（1）由題意，列出關(guān)于a，b，c的方程組求解即可得答案；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)（x0，y0），則，作差可得①，又線段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A（0，1），則②，聯(lián)立直線MN與橢圓的方程，可得﹣t2+1+4k2＞0（*），③，由①②③及（*）式聯(lián)立即可求解【小問(wèn)1詳解】解：由題意可得，解得，所以橢圓C的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)（x0，y0），因?yàn)?，所以，即，所以①，因?yàn)榫€段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A（0，1），所以，即②，聯(lián)立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，所以＝（8kt）2﹣4（1+4k2）（4t2﹣4）＝﹣16t2+16+64k2＞0，即﹣t2+1+4k2＞0（*），③，把③代入②，得④，把③④代入①得，所以，即，代入（*）得，解得，又k≠0，所以k的取值范圍為22、（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；最大值為；（2）存在，.【解析】（1）利用為的極值點(diǎn)求得，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值；（2）對(duì)導(dǎo)函數(shù)，分與進(jìn)行討論，得