2025屆浙江省諸暨市高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2025屆浙江省諸暨市高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．當點在圓上變動時，它與定點的連線的中點的軌跡方程是（）A. B.C. D.2．函數(shù)的最小正周期為（）A. B.C. D.3．若，則錯誤的是A. B.C. D.4．A. B.C.2 D.45．函數(shù)的最小值為（）A. B.C. D.6．下列函數(shù)中，滿足對定義域內(nèi)任意實數(shù)，恒有的函數(shù)的個數(shù)為（）①②③④A.1個 B.2個C.3個 D.4個7．函數(shù)的部分圖象如圖，則（）A. B.C. D.8．（）A. B.C. D.9．三個數(shù)，，的大小順序是A. B.C. D.10．若函數(shù)（）在有最大值無最小值，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)（且）的圖象過定點___________.12．如圖，在正方體中，、分別是、上靠近點的三等分點，則異面直線與所成角的大小是______.13．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在上有個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是___________.14．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則_______________.15．已知冪函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，則實數(shù)___________16．在直角中，三條邊恰好為三個連續(xù)的自然數(shù)，以三個頂點為圓心的扇形的半徑為1，若在中隨機地選取個點，其中有個點正好在扇形里面，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為__________．（答案用，表示）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知全集，集合（1）若，求（2）．若p是q的充分不必要條件，求a的取值范圍18．（1）從區(qū)間內(nèi)任意選取一個實數(shù)，求事件“”發(fā)生的概率；（2）從區(qū)間內(nèi)任意選取一個整數(shù)，求事件“”發(fā)生的概率.19．如圖所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，AD＝4cm.求以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積20．化簡求值（1）；（2）.21．若函數(shù)的定義域為，集合，若存在非零實數(shù)使得任意都有，且，則稱為上的-增長函數(shù).(1)已知函數(shù)，函數(shù)，判斷和是否為區(qū)間上的增長函數(shù)，并說明理由；(2)已知函數(shù)，且是區(qū)間上的-增長函數(shù)，求正整數(shù)的最小值；(3)如果是定義域為的奇函數(shù)，當時，，且為上的增長函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】設(shè)中點的坐標為，則，利用在已知的圓上可得的中點的軌跡方程.【詳解】設(shè)中點的坐標為，則，因為點在圓上，故，整理得到.故選：D.【點睛】求動點的軌跡方程，一般有直接法和間接法，（1）直接法，就是設(shè)出動點的坐標，已知條件可用動點的坐標表示，化簡后可得動點的軌跡方程，化簡過程中注意變量的范圍要求.（2）間接法，有如下幾種方法：①幾何法：看動點是否滿足一些幾何性質(zhì)，如圓錐曲線的定義等；②動點轉(zhuǎn)移：設(shè)出動點的坐標，其余的點可以前者來表示，代入后者所在的曲線方程即可得到欲求的動點軌跡方程；③參數(shù)法：動點的橫縱坐標都可以用某一個參數(shù)來表示，消去該參數(shù)即可動點的軌跡方程.2、C【解析】根據(jù)正弦型函數(shù)周期的求法即可得到答案.【詳解】故選：C.3、D【解析】對于，由，則，故正確；對于，，故正確；對于，，故正確；對于，，故錯誤故選D4、D【解析】因，選D5、B【解析】用二倍角公式及誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡，再結(jié)合二次函數(shù)最值即可求得最值.【詳解】由因為所以當時故選：B6、A【解析】根據(jù)因為函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任意實數(shù)，恒有，可得函數(shù)的圖象是“下凸”，然后由函數(shù)圖象判斷.【詳解】因為函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任意實數(shù)，恒有，所以函數(shù)的圖象是“下凸”，分別作出函數(shù)①②③④的圖象，由圖象知，滿足條件的函數(shù)有③一個，故選：A7、C【解析】先利用圖象中的1和3，求得函數(shù)的周期，求得，最后根據(jù)時取最大值1，求得，即可得解【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的圖象可得：函數(shù)的周期為，∴，當時取最大值1，即，又，所以，故選：C【點睛】本題主要考查了由的部分圖象確定其解析式，考查了五點作圖的應(yīng)用和圖象觀察能力，屬于基本知識的考查．屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值，即可容易求得結(jié)果.【詳解】因為.故選：D.9、A【解析】由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得出范圍，從而得出結(jié)果【詳解】，，；故選A【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，熟記函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.10、B【解析】求出，根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得答案.【詳解】∵，∴，根據(jù)題意結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得，解得.故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由可得圖像所過的定點.【詳解】當時，，故的圖像過定點.填.【點睛】所謂含參數(shù)的函數(shù)的圖像過定點，是指若是與參數(shù)無關(guān)的常數(shù)，則函數(shù)的圖像必過.我們也可以根據(jù)圖像的平移把復(fù)雜函數(shù)的圖像所過的定點歸結(jié)為常見函數(shù)的圖像所過的定點（兩個定點之間有平移關(guān)系）.12、【解析】連接，可得出，證明出四邊形為平行四邊形，可得，可得出異面直線與所成角為或其補角，分析的形狀，即可得出的大小，即可得出答案.【詳解】連接、、，，，在正方體中，，，，所以，四邊形為平行四邊形，，所以，異面直線與所成的角為.易知為等邊三角形，.故答案為：.【點睛】本題考查異面直線所成角的計算，一般利用平移直線法，選擇合適的三角形求解，考查計算能力，屬于中等題.13、【解析】數(shù)形結(jié)合，由條件得在上有個不相等的實數(shù)根，結(jié)合圖象分析根的個數(shù)列不等式求解即可.【詳解】作出函數(shù)圖象如圖所示：由，得，所以，且，若，即在上有個不相等的實數(shù)根，則或，解得.故答案為：【點睛】方法點睛：判定函數(shù)的零點個數(shù)的常用方法：（1）直接法：直接求解函數(shù)對應(yīng)方程的根，得到方程的根，即可得出結(jié)果；（2）數(shù)形結(jié)合法：先令，將函數(shù)的零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程的根，進而轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，結(jié)合圖象，即可得出結(jié)果.14、【解析】首先確定函數(shù)的解析式，然后求解的值即可.【詳解】由題意可得：，當時，，令可得：，據(jù)此有：.故答案為：.【點睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸螅瑒t可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.15、【解析】根據(jù)冪函數(shù)定義，可求得a值，根據(jù)其單調(diào)性，即可得答案.【詳解】因為為冪函數(shù)，所以，解得或，又在其定義域上是增函數(shù)，所以，所以.故答案為：16、【解析】由題意得的三邊分別為則由可得，所以，三角數(shù)三邊分別為，因為，所以三個半徑為的扇形面積之和為，由幾何體概型概率計算公式可知，故答案為.【方法點睛】本題題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯誤；（2）基本事件對應(yīng)的區(qū)域測度把握不準導(dǎo)致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導(dǎo)致錯誤.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）【解析】（1）根據(jù)集合的補集和并集的定義進行求解即可；（2）由充分不必要條件確定集合之間的關(guān)系，根據(jù)真子集的性質(zhì)進行求解即可.【小問1詳解】因為，所以，因此或，而，所以或；【小問2詳解】因為p是q的充分不必要條件，所以，因此有：，故a的取值范圍為.18、（1）；（2）.【解析】（1）由，得，即，故由幾何概型概率公式，可得從區(qū)間內(nèi)任意選取一個實數(shù)，求事件“”發(fā)生的概率；（2）由，得，整數(shù)有個，在區(qū)間的整數(shù)有個，由古典概型概率公式可知得，從區(qū)間內(nèi)任意選取一個整數(shù)事件“”發(fā)生的概率.試題解析：（1）因為，所以，即，故由幾何概型可知，所求概率為.（2）因為，所以，則在區(qū)間內(nèi)滿足的整數(shù)為1，2，3，共3個，故由古典概型可知，所求概率為.19、【解析】根據(jù)題意知由直角梯形繞其直腰所得的幾何體是圓臺，根據(jù)題意求出圓臺的兩底面的半徑和母線長，再代入表面積公式求解【詳解】以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體圓臺，其上底半徑是，下底半徑是16cm母線DC＝13(cm)該幾何體的表面積為【點睛】本題的考點是旋轉(zhuǎn)體的表面積的求法，關(guān)鍵是由平面圖形想象出所得旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，再求出所得旋轉(zhuǎn)體的高以及其它幾何元素的長度，考查了空間想象能力20、（1）109；（2）.【解析】（1）利用指數(shù)冪運算和分數(shù)指數(shù)冪與根式的轉(zhuǎn)化，化簡求值即可；（2）利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡求值即可.【詳解】解：（1）原式；（2）原式.21、(1)是，不是，理由見解析；(2)；(3).【解析】(1)利用給定定義推理判斷或者反例判斷而得；(2)把恒成立的不等式等價轉(zhuǎn)化，再求函數(shù)最小值而得解；(3)根據(jù)題設(shè)條件，寫出函數(shù)f(x)的解析式，再分段討論求得，最后證明即為所求.【詳解】(1)g(x)定義域R，，g(x)是，取x=-1，，h(x)不是，函數(shù)是區(qū)間上的增長函數(shù)，函數(shù)不是；(2)依題意，，而n>0，關(guān)于x的一次函數(shù)是增函數(shù)，x=-4時，所以n2-8n>0得n>8，從而正整數(shù)n的最小值為9；(3)依題意，，而，f(x)在區(qū)間[-a2,a2]上是遞減的，則x，x+4不能同在區(qū)間[-a2,a2]上，4>a2-(-a2)=2a2，又x∈[-2a2，0]時，f(x)≥0，x∈[0，2a2]時，f(x)≤0，若2a2<4≤4a2，當x=-2a2時，x+4∈[0，2a2]，f(x+4)≤f(x)不符合要求，所以4a2<4，即-1<a<1.因為：當4a2<4時，①x+4≤-a2，f(x+4)>f(x)顯然成立；②-a2