云南省中央民大附中芒市國(guó)際學(xué)校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

云南省中央民大附中芒市國(guó)際學(xué)校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知命題:，命題:則是的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要2．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作圓的切線分別交雙曲線的左、右兩支于，，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.3．設(shè)變量，滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.6C.10 D.134．將上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線C，若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，），那么直線l的方程為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，，若對(duì)于任意的，存在唯一的，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A（e，4） B.（e，4]C.（e，4） D.（，4]6．已知是等比數(shù)列，則（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.數(shù)列是等比數(shù)列7．化學(xué)中，將構(gòu)成粒子（原子、離子或分子）在空間按一定規(guī)律呈周期性重復(fù)排列構(gòu)成的固體物質(zhì)稱為晶體.在結(jié)構(gòu)化學(xué)中，可將晶體結(jié)構(gòu)截分為一個(gè)個(gè)包含等同內(nèi)容的基本單位，這個(gè)基本單位叫做晶胞.已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點(diǎn)位置，O原子位于棱的中點(diǎn)）.則圖中原子連線BF與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8．已知，，直線：，：，且，則的最小值為（）A.2 B.4C.8 D.99．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，下列命題中為真命題的是（）A如果，，n∥β，那么B.如果，，，那么α∥βC.如果m∥n，，，那么α∥βD.如果m∥n，，，那么10．魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，他在《九章算術(shù)》方田章圓田術(shù)中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這是注述中所用的割圓術(shù)是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在正數(shù)中的“”代表無限次重復(fù)，設(shè)，則可以利用方程求得，類似地可得到正數(shù)（）A.2 B.3C. D.11．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若向量，，，則的最小值為（）A. B.C. D.12．已知直線，，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為（）A.2 B.C.3 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的準(zhǔn)線方程是________14．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，P是該雙曲線右支上一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則雙曲線C的離心率為__________15．平面內(nèi)n條直線兩兩相交，且任意三條直線不過同一點(diǎn)，將其交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為，若規(guī)定，則，，_________，_________，（用含n的式子表示）16．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，，則的解集為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上任意兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求證：原點(diǎn)到直線的距離為定值，并求出該定值18．（12分）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為，且橢圓過點(diǎn)過且不與兩坐標(biāo)軸平行的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱.（1）求橢圓的方程（2）當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求的面積；（3）若點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.19．（12分）已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的斜率之積為（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）設(shè)（1）中所求曲線為C，若斜率為的直線l過點(diǎn)，且與C交于P，Q兩點(diǎn)．問：在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得對(duì)任意且，都有（其中，分別表示，的面積）．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由20．（12分）為了了解某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品情況，從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為200的樣本，測(cè)量它們的尺寸（單位：），數(shù)據(jù)分為，，，，，，七組，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求200件樣本中尺寸在內(nèi)的樣本數(shù)；（2）記產(chǎn)品尺寸在內(nèi)為等品，每件可獲利6元；產(chǎn)品尺寸在內(nèi)為不合格品，每件虧損3元；其余的為合格品，每件可獲利4元.若該機(jī)器一個(gè)月共生產(chǎn)2000件產(chǎn)品.以樣本的頻率代替總體在各組的頻率，若單月利潤(rùn)未能達(dá)到9000元，則需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.試判斷是否需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.21．（12分）在中，，，為邊上一點(diǎn)，且（1）求；（2）若，求22．（10分）已知圓，直線過定點(diǎn).（1）若與圓相切，求的方程；（2）若與圓相交于兩點(diǎn)，且，求此時(shí)直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：若，則或，即或，所以是的必要不充分條件故選：B2、D【解析】直線的斜率為，計(jì)算，，利用余弦定理得到，化簡(jiǎn)知，得到答案【詳解】由題意知直線的斜率為，，又，由雙曲線定義知，，.由余弦定理：，，即，即，解得.故雙曲線漸近線的方程為.故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線，與圓的關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.3、C【解析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域，將變形為，可得需要截距最小，觀察圖象，可得過點(diǎn)時(shí)截距最小，求出點(diǎn)A坐標(biāo)，代入目標(biāo)式即可.【詳解】解：畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分：又，即，要取最大值，則在軸上截距要最小，觀察圖象可得過點(diǎn)時(shí)截距最小，由，得，則.故選：C.4、A【解析】先根據(jù)題意求出曲線C的方程，然后利用點(diǎn)差法求出直線l的斜率，從而可求出直線方程【詳解】設(shè)點(diǎn)為曲線C上任一點(diǎn)，其在上對(duì)應(yīng)在的點(diǎn)為，則，得，所以，所以曲線C的方程為，設(shè)，則，兩方程相減整理得，因?yàn)锳B中點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，），所以，即，所以，所以，所以直線l的方程為，即，故選：A5、B【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可求出和的值域，結(jié)合已知條件可得，，從而可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】解：g（x）=x2ex的導(dǎo)函數(shù)為g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，當(dāng)時(shí)，，由時(shí)，，時(shí)，，可得g（x）在[–1，0]上單調(diào)遞減，在（0，1]上單調(diào)遞增，故g（x）在[–1，1]上的最小值為g（0）=0，最大值為g（1）=e，所以對(duì)于任意的，．因?yàn)殚_口向下，對(duì)稱軸為軸，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在[，2]上的值域?yàn)閇a–4，a]，且函數(shù)f（x）在，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，在（，2]上，函數(shù)單調(diào)遞減．由題意，得，，可得a–4≤0<e<，解得ea≤4故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.本題的難點(diǎn)是這一條件的轉(zhuǎn)化.6、B【解析】取，可判斷AC選項(xiàng)；利用等比數(shù)列的定義可判斷B選項(xiàng)；取可判斷D選項(xiàng).【詳解】若，則、無意義，A錯(cuò)C錯(cuò)；設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，（常數(shù)），故數(shù)列是等比數(shù)列，B對(duì)；取，則，數(shù)列為等比數(shù)列，因?yàn)?，，，且，所以，?shù)列不是等比數(shù)列，D錯(cuò).故選：B.7、C【解析】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)立方體的棱長(zhǎng)為，求出的值，即可得到答案；【詳解】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)立方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，連線與所成角的余弦值為故選：C.8、C【解析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查垂直直線的性質(zhì)，考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.9、C【解析】AB.利用兩平面的位置關(guān)系判斷；CD.利用面面平行的判定定理判斷；【詳解】A.如果，，n∥β，那么α，β相交或平行；故錯(cuò)誤；B.如果，，，那么α，β垂直，故錯(cuò)誤；C.如果m∥n，，則，又，那么α∥β，故C正確；D錯(cuò)誤，故選:C10、A【解析】設(shè)，則，解方程可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)是解題關(guān)鍵.11、C【解析】由，得到，根據(jù)正弦、余弦定理定理化簡(jiǎn)得到，化簡(jiǎn)得到，再結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，因?yàn)?，所以，可得，由正弦定理得，整理得，又由余弦定理，可得，因?yàn)椋?，由，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，且，可得，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：C12、C【解析】由拋物線的定義可知點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)到直線的距離.【詳解】解：由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以根據(jù)拋物線的定義可得點(diǎn)到直線的距離等于，所以點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)到直線的距離，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從而得到準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線方程可化為：拋物線準(zhǔn)線方程為：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線準(zhǔn)線的求解，易錯(cuò)點(diǎn)是未將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.14、【解析】由已知及向量數(shù)量積的幾何意義易知，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得，再由雙曲線的定義及勾股定理構(gòu)造關(guān)于雙曲線參數(shù)的齊次方程求離心率.【詳解】∵，∴△為等腰三角形且，又，∴，∴．又，，∴，則，可得，∴雙曲線C的離心率為故答案為：.15、①.6；②..【解析】利用第條直線與前條直線相交有個(gè)交點(diǎn)得出與的關(guān)系后可得結(jié)論【詳解】第4條直線與前三條直線有3個(gè)交點(diǎn)，因此，同理，由此得到第條直線與前條直線相交有個(gè)交點(diǎn)，所以，即所以故答案為：6；16、【解析】根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性求解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則，，所以是減函數(shù)，又，即，，所以，所以，則的解集為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）根據(jù)題意得到，，得到橢圓方程.（2）考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，將題目轉(zhuǎn)化為，化簡(jiǎn)得到，代入計(jì)算得到答案.【小問1詳解】橢圓的離心率為，短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，故，，故橢圓方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，，則，即，，以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，故，即，即，化簡(jiǎn)整理得到：，原點(diǎn)到直線的距離為.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，為等腰直角三角形，設(shè)，則，解得，即直線方程為，到原點(diǎn)的距離為.綜上所述：原點(diǎn)到直線的距離為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的定值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將圓過原點(diǎn)轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.18、（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)已知求出即得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程求出弦長(zhǎng)和三角形的高即得解；（3）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到韋達(dá)定理，再利用平面向量證明.【小問1詳解】解：由題得，所以橢圓方程為，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)所以，所以所以橢圓的方程為.【小問2詳解】解：由題得,所以直線的方程為即，聯(lián)立直線和橢圓方程得，所以,點(diǎn)到直線的距離為.所以的面積為.【小問3詳解】解：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得，設(shè)，所以，由題得，，所以，所以，所以,又有公共點(diǎn),所以三點(diǎn)共線.19、（1）（2）存在；【解析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)，即可直接求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；（2）根據(jù)題意寫出直線的方程，把直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，消元，寫韋達(dá)；根據(jù)條件，同時(shí)結(jié)合三角形的面積公式可得出；從而結(jié)合韋達(dá)定理可求出點(diǎn)T的坐標(biāo).【小問1詳解】設(shè)，由，得，即，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為.【小問2詳解】設(shè)PT與RT夾角為，QT與RT夾角為，因?yàn)?，所以，即，所以，設(shè)，，，直線l的方程為，因?yàn)椋?，即，所以，即①，由，得，所以，代入①式，得，解得，所以存在點(diǎn)，使得對(duì)任意且，都有.20、（1）件；（2）需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.【解析】（1）根據(jù)評(píng)論分布直方圖面積之和為1列等式計(jì)算得，用200乘以內(nèi)頻率即可得出答案；（2）根據(jù)題意計(jì)算等品件，不合格品有件，進(jìn)而得合格品有件，根據(jù)題意計(jì)算其利潤(rùn)與9000比較判定需要對(duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.【詳解】解：（1）因?yàn)椋獾茫?00件樣本中尺寸在內(nèi)的樣本數(shù)為（件）.（2）由題意可得，這批產(chǎn)品中優(yōu)等品有件，這批產(chǎn)品中不合格品有件，這批產(chǎn)品中合格品有件，元.所以該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品一個(gè)月所獲得的利潤(rùn)為8960元，因?yàn)?，所以需要?duì)該工廠設(shè)備實(shí)施升級(jí)改造.【點(diǎn)睛】頻率分布直方圖中的常見結(jié)論（1）眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)；（2）平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和；（3）中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.21、（1）；（2）【解析】（1）在△中，由余弦定理，即可求.（2）在中，由正弦定理，即可求.【詳解】（1）在△中，，，，由余弦定理得：，∴（2）在中，，，，由正弦定理得：，即，∴22、（