2024-2025學年山東省德州市高三（上）開學數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年山東省德州市高三(上)開學數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4={%|%2-3%<0},集合B={x|2x>1},則4CB=()

A.(0,3)B.[0,3)C.(0,+oo)D.[0,+oo)

2.已知一組數(shù)據(jù)(久”%)(1<i<10且ieZ)的回歸直線方程為y=7x+a,若￡隨陽=70,￡巴％=500,

則a的值為()

A.-1B.0C.1D.2

3.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{廝}中，a2a5=16,則log2a3+log2a4=()

A.2B.3C.4D.5

4.為積極落實“雙減”政策，豐富學生的課外活動，某校開設(shè)了舞蹈、攝影等5門課程，分別安排在周一

到周五，每天一節(jié)，舞蹈和攝影課安排在相鄰兩天的方案種數(shù)為()

A.48B.36C.24D.12

5.已知橢圓C；胃+V=i(a>0),則“a=3”是“橢圓C的離心率為竽”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知正三棱臺48。一4/16的體積為予=4,4/1=2,貝見4與平面力BC所成角的正切值為()

A.1B.1C.2D.3

7.已知cos(a+0)=：,cos(a—￡)=弓，ae(0,芻,￡€(0,勺則tana+ta印的值為()

'44ZZ

A.4B.孚C.qD.715

324

8.已知點4為直線3x+4y—7=0上一動點，點8(4,0),且P(x,y)滿足/+/十萬一？=0,則3MP|+

|BPI的最小值為()

A.|B,jC.yD.y

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,爪)(機€R),且z-i(i為虛數(shù)單位)的實部為2,貝!]()

A.復(fù)數(shù)z的虛部為-2i

B.復(fù)數(shù)5對應(yīng)的點在第一象限

C.復(fù)數(shù)z的模長為5

D.若復(fù)數(shù)z0滿足|zo|=1,則|z—Zo|的最大值為，虧+1

10.已知函數(shù)/'(久)=Asi?i(3x+w)(其中力＞0,3＞0,|租|＜兀)的部分圖象

如圖所示.將函數(shù)/(久)的圖象向右平移弓個單位長度得到函數(shù)9。)的圖象.則

()

A.3=2

B.函數(shù)g(x)在區(qū)間［-也芻上單調(diào)遞增

C.若g(%i)-g(久2)=4,則%-切1的最小值為兀

D.直線y=1與y=/(%)(-^＜%＜箸)的圖象所有交點的橫坐標之和為竽

11.設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為R,且滿足/(久一1)為奇函數(shù)，f(x+l)為偶函數(shù)，當工€［-1,1］時，/(%)=

1-|x|,則()

A./(2025)=081(%)在［2,4］上單調(diào)遞增

C.y=f(x-5)為奇函數(shù)D.方程/(?=Igx僅有5個不同實數(shù)解

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量2=(-2,6)5=(1,久)，若五〃后,則％的值為.

13.已知三棱錐P—4BC,若PA,PB,PC兩兩垂直，且24=2PB=4,PC=/耳，則三棱錐P—ABC外接

球的表面積為.

14.編號為1,2,3,4的四個小球，有放回地取三次，每次取一個，記加表示前兩個球號碼的平均數(shù)，記幾

表示三個球號碼的平均數(shù)，則m與n之差的絕對值不超過0.2的概率是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在一次體育賽事的志愿者選拔面試工作中，隨機抽取了200名候選者的面試成績并分成五組：第一組

［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組［85,95］,繪制成如圖所示的頻率分布直

方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7,第一組和第五組的頻率相同.

(1)利用該頻率分布直方圖，估計這200名候選者面試成績的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值

作代表)；

(2)從成績在第四、五組的志愿者中，按分層抽樣方法抽取10人，再從這10人中任選3人，在選出的3人來

自不同組的情況下，求恰有2人來自第四組的概率.

16.(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=Inx+ax2—(a+2)x.

(1)當0<a42時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)若對V久6(0,+8),都有/(%)—x((x)40成立，求實數(shù)a的取值范圍.

17.(本小題15分)

如圖，在以4B,C,D,E,F為頂點的五面體中，四邊形48CD與四邊形CDEF均為等腰梯形,

AB//CD,EF//CD,CD=2AB=2EF=4,AD=DE=居,AE=272.

(1)證明：平面ABC。_1_平面CDEF；

(2)若M為線段CD上一點，且CM=1,求二面角力一EM—B的余弦值.

18.(本小題17分)

已知雙曲線E焦點在x軸上，離心率為YI7,且過點直線4與雙曲線E交于M,N兩點，k的斜率存

在且不為0,直線1與雙曲線E交于P,Q兩點.

(1)若MN的中點為H,直線OH,MN的斜率分別為七，k2,。為坐標原點，求自?七；

(2)若直線人與直線%的交點T在直線x上，且直線k與直線6的斜率和為0,證明：黑=黑.

19.(本小題17分)

若有窮數(shù)列｛a九｝滿足：04alVg〈…Vctk(kEZ,k>3),若對任意的3/(I<i<;<fc),%+四與

aj-七至少有一個是數(shù)列｛%｝中的項，則稱數(shù)列｛%｝為r數(shù)列.

(1)判斷數(shù)列0,2,4,8是否為r數(shù)列，并說明理由；

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝為r數(shù)列.

①求證：ak-七一定為｛即｝中的項；

②求證：2(%_+a2+—bcifc-i+czk)=kak；

(3)若數(shù)列｛即｝為「數(shù)列，且｛&J不是等差數(shù)列，求項數(shù)k的所有可能取值.

參考答案

1.71

2.C

3.C

4.4

5.4

6.C

1.B

8.D

9.BD

1Q.ABD

U.ACD

12.-3

13.25兀

14-

8

15J?：(1)因為第三、四、五組的頻率之和為0.7,

所以(0.045+0.020+cz)x10=0.7,

解得a=0.005,

所以前兩組的頻率之和為1-0.7=0.3,即(a+b)x10=0.3,

解得％=0.025

估計平均數(shù)為50x0.05+60x0.25+70x0.45+80x0.2+90x0.05=69.5；

(2)成績在第四、五兩組的頻率之比為0.02：0.005=4：1,

按分層抽樣抽得第四組志愿者人數(shù)為10x言=8,第五組志愿者人數(shù)為10x士=2,

4+14十1

記事件4為“選出三人來自不同組”，記事件B為“恰有2人來自第四組”，

故AnB=B,

其中P(4)=魚率避，PQ4B)=P(B)=犁，P(B|4)2/2=(’

CioCioP(4)CgCl+CgCi8

所以已知選出的3人來自不同組的情況下，恰有2人來自第四組的概率為《

O

16.解：(1)(。)的定義域為(0,+8),

er、1.x.>,2ax2-(a+2)x+l(2x-l)(ax-l)

/(%)=-+Q2ax—(a+2Q)=-------------=----------

11

->-

①當0<a<2時,a2

當久6(04)時，/'(%)>0,/(%)在(0$)上單調(diào)遞增，

當％時，f(%)<o,/(%)在G3)上單調(diào)遞減，

當％E(,,+8)時，//(X)>0,/(%)在(；,+8)上單調(diào)遞增；

②當a=2時，：=/'(%)之0恒成立，故/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

綜上所述，當OVa<2時，/(%)在(0』)和(；,+8)上單調(diào)遞增，在03)上單調(diào)遞減

當Q=2時，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

(2)對V%E(0,+8),都有/(%)-xf(x)<0成立，

即對V%E(0,+8),a>仇;尹恒成立,

等價于對VX￡(0,+<?),a>(今工)max?

令g(x)=與為>。)/0)=^

33

當0<x<當時,，(%)>0,g(%)在(0,e2)上單調(diào)遞增,

33

當久>當時,g'(x)<0,g(x)在(函+8)上單調(diào)遞減.

33

則g(x)<g(e2)=皿=*，可得a>

(e2)一'

綜上，實數(shù)a的取值范圍是［*,+00).

17.解：(1)證明：在平面CDEF內(nèi)，過E作E。垂直于CD交CD于點。，

由CD=2EF=4,得D。=1,且。E=岳,所以。E=2,

連接20,由△力。。三△ED。，可知4。1CD且4。=2,

所以在三角形04E中，AE2=OE2+OA2,從而。E1。4

又。ElCD,OAPiCD=0,OA,CDu平面ZBCD,所以。E_L平面ABCD,

OEu平面CDEF,所以平面ABCD1平面CDEF；

(2)由(1)知，平面4BCD1平面CDEF,以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系,

則2(0,0,2),￡(2,0,0),M(0,2,0),B(0,2,2),

AE=(2,0,-2),前=(-2,2,0),MB=(0,0,2),

設(shè)平面AEM的法向量為元=(x,y,z),

貝睢需亶即tHo,取z=L販=(1，1，1)，

設(shè)平面BEM的法向量為訪=

貝嘿嚼”即聞;2y=0,取…，則沅=(1，1，°)，

所以|cos<m,元>I=意=苧，

由圖可以看出二面角4-EM-B為銳角，故二面角4-EM-B的余弦值為乎.

18.解：(1)設(shè)雙曲線方程為最一，=l(cz>0,b>0),

???雙曲線E焦點在x軸上，離心率為，17,且過點

\a，一

嗜―r1，解得仁：，

[c2=a2+b2

.小一尤—1,

-X16-1

設(shè)MQi，%),N(x2,y2),W(x0,y0)

^兩點都在雙曲線/4=1上,

兩式作差得好_好=喑,

整理得配01-X2）=叫升2,

丫0（力一丫2）

則々1?k=二16；

2%0（%1—%2）

11

（2）證明：設(shè)設(shè)直線MN的方程為y-荏=/c（%—,,M（%i，yi）,N（%2，y2），

y-n=fc(x-1)

聯(lián)立《

y2

x2=1

16

-1

化簡得(16—fc2)x2+(/c2—2kn)x--fc2-n2+fcn-16=0,

4

A=16(4九2—4kn—3/c2+64),

k2—2kn

則％1+冷=一

16-k2fXr-X216-k2

22

\TM\=Vl+fc|x1-||j?|=Vl+/c|%2-

2o112oii

|TM|?\TN\=(1+fc)|%1-111%2-11=(1+fc)|%1%2-1(%1+%2)+||

?—1/c2—n2+kn—161fc2-2kn1(l+k2)Q2+n2)

~|fc2-16|-，

由kp(2+k：MN=0,kpQ=一k,

(1+(似2)(12+層)(1+/C2)(12+TI2)

從而

|TP|?|TQ|=l(-fc)2-16||fc2-16|

.-.\TM\-\TN\=\TP\-\TQ\,即黑=瑞.

19.1?：(1)(1)數(shù)列0,2,4,8不為r數(shù)列,

因為8+2=10,8-2=6,10和6均不是數(shù)列0,2,4,8中的項,

所以數(shù)列0,2,4,8不為「數(shù)列.

（2）證明：①記數(shù)列｛即｝的各項組成的集合為力，又0<<a2<--?<以-i<ak<ak+ak,

由數(shù)列｛an｝為「數(shù)列，ak+akiA,所以以一以64,即OeA,所以的,=0,

設(shè)2<i<fc,因為以+ci；A,所以以—ct：S.A）得證.

(2)因為0=以_CIR<以_CLk-1<…<縱一。2<%一^19

則以一以=%,ak-ak^=a29…，ak-a2=ak^,ak-ar=ak,

aaa9

將上面的式子相加得：kak—