云南省曲靖市沾益區(qū)某中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

云南省曲靖市沾益區(qū)第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末

考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合人={尤，-3x<0},3={1,2,3,4},則僅A)B=()

A.{4}B.{3,4}C.{2,3,4}D.{1,2,3}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足2z-W=l+3i，則三=()

1

A.-1+iB.1-iC.1+iD.-1-i

22

3.若方程」r-工=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

4-m\+m

A.(-oo,-2)B.(-2,-1)

C.(-2,2)D.(—1,1)

4.兩平行直線4：x+y—1=0和，2：x+y-3=o之間的距離為()

A.y[iB.2C.2V2D.3

13

4=()

5.等比數(shù)列{”“}的前〃項(xiàng)和為s“，若％yn%,53=y,則公比

A.3B.-C.3或工D.2

33

6'函數(shù)"尤)=寄才的部分圖象大致是

7.已知向量m=,且m_L平面_1_平面B,若平面a與平面0的夾角

的余弦值為逆，則實(shí)數(shù)/的值為()

3

11、1

A.—或—1B.—或1C.—1或2D.—

252

8.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓+(y-a『=/(q>0),&(_3,0),若圓C上

存在點(diǎn)P,使得|網(wǎng)=2儼。|,則正數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,1]B.[1,2]

C.[石,2]D.[1,3+26]

二、多選題

9.若直線平面。，且直線。不平行于平面a.給出下列結(jié)論正確的是()

A.a內(nèi)的所有直線與。異面B.a內(nèi)存在直線與。相交

C.a內(nèi)存在唯一的直線與。平行D.a內(nèi)不存在與。平行的直線

10.在等差數(shù)列｛%｝中，其前”的和是S“，若q=-9,1=3,貝U()

A.｛4｝是遞增數(shù)列B.其通項(xiàng)公式是g=3〃-12

C.當(dāng)S“取最小值時(shí)，〃的值只能是3D.S"的最小值是-18

22

11.設(shè)點(diǎn)招，工分別為橢圓C：/+[=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是橢圓C上任意一點(diǎn)，若使

得罰『尸工=機(jī)成立的點(diǎn)恰好是4個(gè)，則實(shí)數(shù)加的取值可以是()

A.1B.3C.5D.4

12.已知拋物線C：/=12x,點(diǎn)產(chǎn)是拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C上的一點(diǎn)，點(diǎn)M(4,3),

則下列說法正確的是()

A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-3

B.若|尸尸|=7,則APM尸的面積為

試卷第2頁，共4頁

C.|P同一|RW|的最大值為加

D.APMF的周長的最小值為7+M

三、填空題

13.設(shè)a,6為單位向量，且|a+b|=l,貝！)|a-b|=.

14.過點(diǎn)A(3,-l)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是-

15.已知四位數(shù)4521,任意交換兩個(gè)位置的數(shù)字之后，兩個(gè)奇數(shù)相鄰的概率為.

16.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的遞增等差數(shù)列｛q｝,其前“項(xiàng)和為S"，公差為d,若數(shù)列｛后｝也

Q

是等差數(shù)列，則％+S的最小值為.

四、解答題

17.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”*=15,兀=222.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若b?=——，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和T?.

anan+\

18.已知圓C:尤2+_/+7噂+④+1=0,直線4：彳一y一1=0,l2：x-2y=0,且直線乙和乙均

平分圓C.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)直線瓜+y+a-2百=0與圓C相交于Af,N兩點(diǎn)，且NMCN=120。，求實(shí)數(shù)。的值.

19.在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)VA3C的面積為S,且滿足

22

S=^-^+b-c).

⑴求角C的大??；

(2)求sinAsinB的最大值.

22

20.已知雙曲線C：—-4=1(b>0),直線/與雙曲線C交于尸，。兩點(diǎn).

2b2

(1)若點(diǎn)(4,0)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，求雙曲線C的漸近線方程；

⑵若點(diǎn)P的坐標(biāo)為卜6,0),直線/的斜率等于1,且忸。|=|,求雙曲線C的離心率.

21.如圖，在長方體ABCD-ABGA中，AB=AAl=4,A0=2,AE=^AB.

⑴證明：AC平面?？谑?；

(2)求直線D,E與平面DEC,所成角的正弦值.

22

22.已知橢圓C:7+方=：1,〉人〉。)的短軸長和焦距相等，長軸長是2拒.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/與橢圓C相交于P,。兩點(diǎn)，原點(diǎn)0到直線/的距離為華.點(diǎn)M在橢圓C上,

UUL1ULUIuum

且滿足OM=OP+OQ,求直線/的方程.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案BBAACABDBDABD

題號(hào)1112

答案BDACD

1.B

【分析】解出集合A、B,利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合（9A）CB.

【詳解】因?yàn)锳={無產(chǎn)_3無<0}=30<元<3},貝|%4={尤|婦0或轉(zhuǎn)3},

因此，（aA>3={3,4}.

故選：B.

2.B

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)z,由題設(shè)條件求得z=l+i,最后代入所求式即得.

【詳解】設(shè)2=。+歷（aeR,6eR）,則』="歷，

由2z-W=o+3歷=l+3i，可得a=6=L

miz1+i1.

貝!）二=二-=1-i.

11

故選：B

3.A

F尤2I—1—Z72>0

【分析】原方程可變形為‘-----J=l，根據(jù)已知有“，八，解出即可.

-m-1m--4[-4+m->0

22

【詳解】因?yàn)榉匠獭箁-工=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，

4-m1+m

上y-上=1可變形為上-----J=L

4-m1+m-m-1m-4

-l-m>0m+1<0

所以有即解得m<-2.

-4+m2>0m2-4>0

故選：A.

4.A

【分析】利用平行線間距離公式計(jì)算即得.

【詳解】平行直線4：x+y-1=。和4：x+y-3=。之間的距離d=

答案第1頁，共12頁

故選：A

5.C

【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，化簡求出電，判斷qwi,利用前〃項(xiàng)和公式表示S3,

聯(lián)立方程即可解出4.

【詳解】數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為q,公比為4,根據(jù)題意有q

13

即=l①，所以電=1，若0=1,則有$3=3,與$3=可不符，所以4*1,

/3]收4=1

所以邑="?")=與②,聯(lián)立①②兩式有：，40-/)_13，即

j311F=5

q(j)(l+q+q)：”,-10^+3=0,解得4=3或4=1

1-q~33

故選：C

6.A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及。<尤時(shí)，/。)>。進(jìn)行排除即可得解.

【詳解】因?yàn)?(無)=等二，所以"-尤)=-/(尤)，所以f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱，所以B,D錯(cuò)誤，

當(dāng)0<x<?時(shí)，/(%)>0,所以C錯(cuò)誤.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了識(shí)別函數(shù)圖像，一般從以下幾個(gè)方面進(jìn)行選擇即可：奇偶性，定義

域，特殊值，極限值，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【分析】利用向量的夾角公式列方程求解即可

【詳解】因?yàn)椤?=(12-1),〃=1,-7)

所以“2?77=2+2t,|//z|==A/1+2/2,

因?yàn)檗k平面“平面夕，若平面a與平面夕的夾角的余弦值為咨

\2+2t\2A/2解得^^或1.

所以化簡得5產(chǎn)一6/+1=0

后，1+2/

答案第2頁，共12頁

故選：B

8.D

【分析】設(shè)P(x,y)，根據(jù)條件得到(X-1)2+y2=4,從而將問題轉(zhuǎn)化成(X-1)2+V=4與圓c

有交點(diǎn)，再利用兩圓的位置關(guān)系即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)P(x?),則由|以|=2|叫，得到J(x+3)2+y2=2jf+y2,

整理得到(x-l)2+y2=4,又點(diǎn)在圓C上，所以0-1)2+產(chǎn)=4與圓C有交點(diǎn)，

又(尤-以+:/=4的圓心為(1,0),半徑為廠=2,圓C的圓心為(〃,〃)，半徑為R="，

所以|2-a|wJg-lA+a?w2+a,解得lVaV3+2百，

故選：D.

9.BD

【分析】由題意可判斷直線。與平面。相交，即可判斷。內(nèi)的直線與。的位置關(guān)系，即得答

案.

【詳解】由直線。0平面a,且直線。不平行于平面a,

可知直線。與平面a相交，設(shè)交點(diǎn)為。，

則平面a內(nèi)必存在過點(diǎn)。的直線，這些直線與a相交，故A錯(cuò)誤，B正確；

假設(shè)a內(nèi)存在直線與a平行，由于直線平面則直線。平行于平面a,

與題意矛盾，則a內(nèi)不存在與“平行的直線，C錯(cuò)誤，D正確，

故選：BD

10.ABD

【分析】由公差的正負(fù)性判斷等差數(shù)列的單調(diào)性，由首項(xiàng)、公差寫出等差數(shù)列通項(xiàng)公式，進(jìn)

而可得前”項(xiàng)和公式，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】由d=3>0,可知等差數(shù)列伍」為遞增數(shù)列，A正確；

由題設(shè)，an=—V)d=—9+3(n—1)=3n—12,B正確;

2)4，故當(dāng)〃=3或4時(shí)，S“取最小值且為一18,故C

Jw———

“222

錯(cuò)誤，D正確.

故選：ABD

答案第3頁，共12頁

11.BD

【分析】首先設(shè)點(diǎn)P（%%）,得到助=（—2-%,—%）,尸耳=（2-%,—%）,結(jié)合點(diǎn)尸在橢圓

上得到其=罔」，若成立的點(diǎn)有四個(gè)，則/在（-3,3）有兩實(shí)數(shù)解，

則有0〈怨9m—一9＜9,解出其范圍結(jié)合選項(xiàng)即得.

4

【詳解】設(shè)P（9%）,：耳（一2,0）,6（2,0）,.?.助=（一2-%,一%）,尸鳥=（2-%,一%）,

22

由防.尸另=利可得君+尤=?7+4,又：點(diǎn)P在橢圓C上，即無+與=1,

...片=3，2,要使得尸勺嗨=加成立的點(diǎn)恰好是4個(gè)，則0＜二寧＜9,解得1＜相＜5.

故選：BD

12.ACD

【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得準(zhǔn)線方程為了=-3,即可判斷A,根據(jù)拋物線定義得到

%＞=4,故尸點(diǎn)可能在第一象限也可能在第三象限，分情況計(jì)算三角形面積即可判斷B,利

用三角形任意兩邊之差小于第三邊結(jié)合三點(diǎn)一線的特殊情況即可得到

二.（|尸刊-］「河|）2=性團(tuán)，計(jì)算即可判斷C,三角形PMF的周長

=\PM\+\MF\+\PF\=\PM\+\PF\+4IO,再結(jié)合拋物線定義即可求出1PMi+1尸產(chǎn)I的最小值,

即得到周長最小值.

【詳解】.y=i2x,"=6,.一（3,0）,準(zhǔn)線方程為x=-3,故A正確；

根據(jù)拋物線定義得附|=無「%＞+3=7,巧.=4,"（4,3）,

PM//y軸，當(dāng)x=4時(shí)，y=±4石，

若尸點(diǎn)在第一象限時(shí)，此時(shí)尸（4,4力），

-1Q

故尸—3,△PMF的IWJ為1,故S「MF=—3卜1=2^/5—萬，

若點(diǎn)P在第四象限，此時(shí)尸（4,-4石），故尸加=46+3,

△PMF的高為1,故5M=；x（4』+3）xl=2石+：,故B錯(cuò)誤；

\PF\-\PM\＜\MF\,（|PF|-1PM|）max=\MF\=J（4-3）?+（3-Op=質(zhì)，故C正確；

（連接月0,并延長交于拋物線于點(diǎn)P,此時(shí)即為12巴-1尸加1最大值的情況，

答案第4頁，共12頁

圖對(duì)應(yīng)如下)

過點(diǎn)尸作準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)。,

APMF的周長=歸河|+\MF\+\PF\=\PM\+\PF\+^10\PM\+\PD\+y/lO,

若周長最小，則1PM+忸。長度和最小，顯然當(dāng)點(diǎn)尸,位于同一條直線上時(shí)，忸時(shí)+|畫|

的和最小,

此時(shí)1PM+0陽=|尸4=7,

故周長最小值為7+故D正確.

故選：ACD.

13.G

【分析】整理已知可得：+而+,再利用。力為單位向量即可求得2Q2=-1，對(duì)

1-0變形可得：|"_"|=，,|_2。2+忖，問題得解.

【詳解】因?yàn)椤?為單位向量，所以同=網(wǎng)=1

所以卜+0="〃+〃)='忖+2々2+忖=12+2a.b=1

解得：2a-b=-l

所以卜-0=《(a—b)=^|a|-2a-Z?+|z7|=石

故答案為：出

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的計(jì)算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

14.x+3y=0或x+y-2=0.

【解析】分截距為0以及截距不為0兩種情況分別求解即可.

答案第5頁，共12頁

【詳解】當(dāng)截距為。時(shí)，滿足在兩坐標(biāo)軸上的截距相等.此時(shí)設(shè)直線方程為丁="，則

-1=3%n左=一：,故y=，化簡得x+3y=0.

當(dāng)截距不為0時(shí),設(shè)直線方程為土+1=1,則°+匚=1n。=2.故;+W=1,化簡可得

aaaa22

x+y-2=0.

故答案為：x+3y=0或x+y-2=°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)直線的截距關(guān)系式求解直線方程的問題，需要注意分截距為0

與不為0兩種情況進(jìn)行求解.屬于基礎(chǔ)題.

15.-/0.5

2

【分析】利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再由古典概型的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】4521任意交換兩個(gè)數(shù)的位置之后有：5421,2541,1524,4251,4125,4512,

共6種,

兩個(gè)奇數(shù)相鄰有1524,4251,4512共3種，

所以兩個(gè)奇數(shù)相鄰的概率為5.

故答案為：—

2

16.3

【分析】根據(jù)｛?！埃秊榈炔顢?shù)列，求出s“=￡/+-?卜，又"+[4一g]為等差數(shù)列，

結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式的特征，得到生=：,從而利用基本不等式求出答案.

【詳解】因?yàn)椋撸秊榈炔顢?shù)列，且”>0,

d2(d、

故c=—n-5r,

則橫+]q-弓｝為等差數(shù)列，即要能化成一個(gè)關(guān)于n的一次函數(shù),

則有％一■|=。，,

|71.|8d8等+3心產(chǎn)3》2口1,

貝！Ja,+------=—+-------

d+22d+2

當(dāng)且僅當(dāng)T="=2時(shí)’等號(hào)成立,

答案第6頁，共12頁

Q

故4+3的最小值為3?

d+2

故答案為：3

17.(l)a?=3?-1

⑵4=31

O9〃+6

【分析】（1）根據(jù)公式法求解即可；

（2）由于優(yōu)丁1-J｝］，根據(jù)裂項(xiàng)相消求和即可解決.

313〃一13〃+2）

【詳解】⑴由題知，等差數(shù)列｛%｝的前凡項(xiàng)和為sa,S3=154=222,

降，+出+%=15（a.+d=5

所以&=12（“；％）=222,叫2%+nd=37'

所以為=2+(“-1)-3=3九-1,

所以｛%｝的通項(xiàng)公式為%=3〃-1；

(2)由(1)得，an=3n-l,

11=1(1______

所以么=〃〃(〃〃)

44+1(3-1).(3+2)33-13+2

所以方=上1]]__!_L1__!_

3n+2)_3_23n+2_69n+6

所以數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和北.

69〃+6

18.(1)(A:-2)2+(J；-1)2-4

(2)a=]或a=—3

【分析】（1）根據(jù)直線4和4均平分圓c,可知兩條直線都過圓心，通過聯(lián)立求出兩條直線

的交點(diǎn)坐標(biāo)，由此得到圓心坐標(biāo)即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）根據(jù)NMCW=120。，及△MOV為等腰三角形可得到NCMV=30,可得圓心到直線的距

離，=小也/。^,再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出實(shí)數(shù)a的值.

答案第7頁，共12頁

【詳解】（1）因?yàn)橹本€4和4均平分圓c,所以直線4和4均過圓心c,

x—y—1=0%=2

因?yàn)椋獾脃],所以直線4和4的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）,

所以圓心C的坐標(biāo)為（2,1）,

-y,--

--=2

m=-4

所以，解得

n=-2

--=1

I2

所以圓C的方程為尤2+V-4x-2y+l=0,即（x-2）?+（y-11=4,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）2+（y-以=4.

（2）由（1）得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2y+（y-l）2=4,圓心C（2,l）,半徑廠=2,

因?yàn)镹MOV=120。，且△MOV為等腰三角形，所以NCMN=30，

因?yàn)閨CM|=|CN|=r,

所以圓心C到直線底+y+a-2有=0的距離d=rsin/C跖V=2sin30=1,

+l+a-2制卜+“

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式d==1

J（國+F2

HP|a+l|=2,解得a=l或a=-3,

所以實(shí)數(shù)。的值為。=1或。=一3

71

19.⑴C=§

⑵:

【分析】（1）由5=與（片+〃-02）,利用余弦定理和面積公式化簡得tanC=6,可求角C

的大??；

（2）由5出村!12=$也公出目一4）,利用三角恒等變換化簡得;sin（2Aq]+；,結(jié)合角

_7TTT

A的范圍可知，當(dāng)2A-：=二，sinAsinB取最大值.

62

答案第8頁，共12頁

【詳解】(1)由S+〃一。2)可知，—absinC=^-x2abcosC.

4v724

所以tanC=JL

TT

因?yàn)镺VCVTT,所以C=1.

(2)由已知sinAsinB=sinAsin(TT-C-A)

[3

=sinAsiny-Aj=sinA5+公

22

7

小.CA\…11/4兀11

=—sin2A—cos2AH—=—sin2A—H—.

4442I4

因?yàn)?<A<",所以一

3o66

TTTTTT3

所以當(dāng)2A—￡=￡,即A=￡時(shí)，sinAsin5取最大值:,

6234

3

所以sinAsin5的最大值是—.

4

20.(1)y=±V7x

⑵半

【分析】（1）利用雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合雙曲線中a,"c三者的關(guān)系及雙曲線

的漸近線方程即可求解.

（2）根據(jù)已知條件及直線的點(diǎn)斜式方程，將聯(lián)立雙曲線方程與直線方程，利用韋達(dá)定理及

點(diǎn)在直線上，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式及雙曲線的離心率公式即可求解.

【詳解】（1）;點(diǎn)（4,0）是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，；.c=4,

22

又,/C=片+/且〃2-2,解得Z?=14,

22

???雙曲線C的方程為土-二=1,

214

；?雙曲線C的漸近線方程為y=土用x；

（2）設(shè)直線/的方程為y=x+0且

y=尤+夜,

聯(lián)立尤2，可得伊_2產(chǎn)_4缶_4_2/=0,

A，

12

答案第9頁，共12頁

則一庭+%=言'..?王=與等’即％=%+點(diǎn)=2-Jlb1

b2-2

+玉）一+才=4陷=1

c414

解得廿=,,即由°2="+廿可得02=二，

y/14

故雙曲線C的離心率為_c_忑_層.

否=亍

21.⑴證明見解析；

⑵西

63

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間位置關(guān)系的向量證明推

理即得.

（2）利用（1）中坐標(biāo)系，求出平面。EG的法向量，再利用線面角的向量求法求解即可.

【詳解】（1）在長方體ABCD-中，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量DA,DC,DR分別為x,y,z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，

有。(0,0,0),A(2,0,0),8(2,4,0),C(0,4,0),E(2,l,0),2(0,0,4),。(0,4,4),

則AC=(-2,4,0),DE=(2,1,0),DD}=(0,0,4),AC-DE=(-2)x2+4x1=0,ACDDX=0,

因此AC_LDE,AC±DDt,又DEIDD、=D,DE,平面￡>AE,

所以AC_L平面DDXE.

(2)設(shè)平面的法向量為相=(x,y,z),由。E=(2,l,0),DC,=(0,4,4),

答案第10頁，共12頁

DEm=2x+y=0

有〈，取x=l,得加=(1,—2,2),

DCX-m=4y+4z=0

設(shè)直線RE與平面DEC,所成的角為d,而=（-2,-1,4）

則sin6=|cos(ED,,m)|=回「川8_8721

721x3-63

\EDx\\m\

所以直線RE與平面OEC1所成角的正弦值為等

22.(1)^+/=1

3333

(2)y=2x+—^y=2x-—^y=-2x+—^y=-2x-—

【分析】（1）根據(jù)題意求出。力，即可得解；

（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為>=區(qū)+機(jī)，

/、/、/、UUULUL1UULUU

尸（石,％）,。（%,%）,?（%,%），聯(lián)立方程,利用韋達(dá)定理求出馬+々，再根據(jù)QW=QP+OQ，

求出Af點(diǎn)的坐標(biāo)，由M在橢圓上，可得左J