甘肅省隴南市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

甘肅省隴南市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合4={%|3%+1＜2},5={乂y=—3},則（）

A.'叫'C.1-3，；］D.（-3,+oo）

2.已知復(fù)數(shù)z=（l-i）（3+4i）（i是虛數(shù)單位）,則7=（）

A.-1+iB.7+iC.-1-iD.7-i

3.下列命題正確的是（）

A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.四條首尾相連的線(xiàn)段確定一個(gè)平面

C.兩條平行直線(xiàn)與同一條直線(xiàn)相交，三條直線(xiàn)在同一平面內(nèi)

D.空間兩兩相交的三條直線(xiàn)在同一平面內(nèi)

4.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+"）上為增函數(shù)的是（）

C.V=lgxD.=(x-l)2+l

5.若°￡(0,兀)，且2sina-cosa=1,則------------z—=()

4sinacosa-cosa

,2555

A.—B.-C.—

3944

6.小胡同學(xué)用二分法求函數(shù)y=/(x)在xe(l,2)內(nèi)近似解的過(guò)程中，由計(jì)算可得了。)<0,

/（2）＞0,/（1.5）＜0,則小胡同學(xué)在下次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值為（）

A./（0.5）B./（1.125）C./（1.25）D./（1.75）

92

7.已知正實(shí)數(shù)X/滿(mǎn)足2x+y=2,則一+一的最小值為（）

yx

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

8.已知平面向量用冗］滿(mǎn)足同=網(wǎng)=4,同=2,晨B=-8,若"加i+而，（彳eR,〃eR）,則

2%+〃的取值范圍是（）

而屈D.卜2跖2網(wǎng)

C.F'F

二、多選題

9.若復(fù)數(shù)z=￡嘉（i為虛數(shù)單位），則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.z的虛部為5iB.z的實(shí)部為1

C.Z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限D(zhuǎn).目=6

10.已知P（/）=0.3,P（5）=0.7,P（^）=0.1,則關(guān)于事件A與事件B,下列說(shuō)法正確的有（

A.事件A與3可能相互獨(dú)立B.事件A與3一定不互斥

C.尸（138）=0.9D.尸（彳）=尸（8）

11.已知圓錐SO的母線(xiàn)長(zhǎng)為2店為底面圓。的一條直徑，=4.用一平行于底面的平

面截圓錐so,得到截面圓的圓心為a.設(shè)圓a的半徑為，,，點(diǎn)尸為圓a上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝！i（

A.圓錐S。的體積為等

B.尸。的最小值為逑

5

C.若，=1,則圓錐SO】與圓臺(tái)。。的體積之比為1：8

D.若。為圓臺(tái)。。的外接球球心，則圓a的面積為嬰

三、填空題

12.有一個(gè)正六棱柱的機(jī)械零件，底面邊長(zhǎng)為4cm,高為1cm,則這個(gè)正六棱柱的機(jī)械零件

的表面積為cm2.

13.已知樣本數(shù)據(jù)為l,a,5,"7,且。,6是方程/-7*+12=0的兩根，則這組樣本數(shù)據(jù)的方

差是.

1

14.若實(shí)數(shù)士,工2滿(mǎn)足e*+西-2=0,x2lnx2+2x2-1=0,則無(wú)2（2-%）=.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

四、解答題

n3

15.VN2C的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,A=-,a=—b.

42

⑴求sinB的值；

(2)若a=6,求VNBC的面積.

16.已知角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)。重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)(-1,2).

(1)求收sin(2a-工)值；

4

(2)若cos(c-m=g,且。一夕為第一象限角，求sin6的值.

17.已知函數(shù)/'(x)=log〃x(。>0且awl).

(1)求關(guān)于x的不等式“1-x)>〃x+3)的解集；

(2)若函數(shù)g(x)=4+/(x)在區(qū)間［1,2］上的最大值和最小值之和為1+”1,求實(shí)數(shù)。的

值.

18.舉辦網(wǎng)絡(luò)安全宣傳周、提升全民網(wǎng)絡(luò)安全意識(shí)和技能，是國(guó)家網(wǎng)絡(luò)安全工作的重要內(nèi)容.

為提高廣大學(xué)生的網(wǎng)絡(luò)安全意識(shí)，某校舉辦了網(wǎng)絡(luò)安全知識(shí)競(jìng)賽，比賽采用積分制，規(guī)定每

隊(duì)2人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，回答正確積1分，回答錯(cuò)誤積0分.甲、乙兩個(gè)班級(jí)的代表隊(duì)在

決賽相遇，假設(shè)甲隊(duì)每人回答問(wèn)題正確的概率均為二,乙隊(duì)兩人回答問(wèn)題正確的概率分別為

2

21

且兩隊(duì)每個(gè)人回答問(wèn)題正確的概率相互獨(dú)立.

(1)求甲隊(duì)總得分為1分的概率；

(2)求兩隊(duì)積分相同的概率.

19.如圖，在直四棱柱/BCD-中，底面/BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，

/4DC=120。.CC,=4,M,N分別是線(xiàn)段。2，3。上的動(dòng)點(diǎn)，且DN=408(0<X<1).

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

(I)若二面角/-BC-C1的大小為45。，求。M的長(zhǎng)；

⑵當(dāng)三棱錐.-/OC的體積為，時(shí)’求CN與平面23所成角的正弦值的取值范圍.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案BDCCADCBBCBCD

題號(hào)11

答案ABD

1.B

【分析】先求得集合48,再根據(jù)交集的定義即可求解.

【詳解】/={X|3X+1<2}=1-8,；18={4>=--3}=[-3,+也），

所以Nc8=

故選：B.

2.D

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則及共軌復(fù)數(shù)的概念計(jì)算即可.

【詳解】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可得：z=（l-i）（3+4i）=7+i,貝第7=7-i.

故選：D.

3.C

【分析】根據(jù)確定平面的條件可對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：如果三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，則不能確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：例如三棱錐，可以得到四條首尾相連的線(xiàn)段，但不是平面圖形，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閮蓷l平行直線(xiàn)確定一個(gè)平面，

若一條直線(xiàn)與這兩條平行直線(xiàn)都相交，則這條直線(xiàn)就在這兩條平行直線(xiàn)確定的一個(gè)平面內(nèi),

所以這三條直線(xiàn)在同一平面內(nèi)，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：例如三棱錐三條側(cè)棱，可以得到兩兩相交的三條直線(xiàn)，但這三條直線(xiàn)不共面,

故D錯(cuò)誤.

故選：C

4.C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可對(duì)A項(xiàng)判斷；利用幕函數(shù)性質(zhì)可對(duì)B項(xiàng)判斷；利用對(duì)數(shù)函數(shù)

性質(zhì)可對(duì)C項(xiàng)判斷；利用二次函數(shù)性質(zhì)可對(duì)D項(xiàng)判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知該函數(shù)在R上為單調(diào)減函數(shù)，故A項(xiàng)錯(cuò)

誤；

答案第1頁(yè)，共10頁(yè)

對(duì)于選項(xiàng)B：根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)可知該函數(shù)在（0,+e）上為單調(diào)遞減函數(shù)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知該函數(shù)在（0,+e）上為單調(diào)遞增函數(shù)，故C項(xiàng)正確;

對(duì)于選項(xiàng)D：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知該函數(shù)在（0,+。）上不單調(diào)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

5.A

【分析】先根據(jù)已知結(jié)合平方關(guān)系求出sine,cose,再求出tana,最后將目標(biāo)式子化為正

切形式代入即可得解.

【詳解】因?yàn)?sina—cosa=1,且siYa+cos2a=1,

.4

sma=—

5sina=0

解得或

3COS6Z=-1'

COS6Z=-

5

4

sina=—

54

又。￡（0,兀），所以＜，所以tana=一，

33

cosa=-

5

1sin2a+cos2。tan2<7+125

所以

4sinacosa-cos2a4sinacosa-cos2a4tan6z-13S

故選：A.

6.D

【分析】根據(jù)二分法的計(jì)算方法即可判斷.

【詳解】因?yàn)?（2）＞0,/（1.5）＜0,則根應(yīng)該落在區(qū)間（1.5,2）內(nèi),

根據(jù)二分法的計(jì)算方法，下次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值為區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值，即/（L75）.

故選：D.

7.C

【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.

【詳解】正實(shí)數(shù)'J滿(mǎn)足2x+y=2,

92I。、/92、1.18c2八J”2y、25

貝卜+_=K（2x+））（一+—）（13d-----＞-（13+2-------------------）

yx2yx2yx2\yx2

當(dāng)且僅當(dāng)豆=殳，即y=3x=：時(shí)取等號(hào)，

yx5

答案第2頁(yè)，共10頁(yè)

7692?S

所以當(dāng)x==3時(shí)，一+一取得最小值胃.

55yx2

故選：C

8.B

【分析】將己=+兩邊平方，整理得（24-“）~+3〃2=1,令22-〃=cos。,/"=sin。，所

以2彳+〃=cos。sin。=~^~sin（6+。，即可求解.

【詳解】因?yàn)橥?忖=4,同=2石石=-8,且己=行+〃左（2eR,〃eR）,

所以于=+〃^丫=%同2+〃2+2彳〃鼠石=16萬(wàn)+16〃2-164〃=4,

所以（2彳一〃）2+3〃2=1,

令22-"=COS0,A/3M=sin。,

所以22+〃=cos0+^^-sin。=~^~siK@，其中cos0=2y,sin<p=

叵叵

所以2X+〃e

即22+〃的取值范圍是一三,七.

故選：B.

9.BC

【分析】根據(jù)乘方的周期性以及復(fù)數(shù)除法法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)2=$/="史=①理匕0=l+5i,

對(duì)于A,B,z的虛部為5,實(shí)部為1,故A錯(cuò)誤，B正確；

對(duì)于C,z=l+5f,所以z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,5）,位于第一象限，故C正確；

對(duì)于D,|z|=Vl+25=^6,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.BCD

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率乘積公式判斷A選項(xiàng)，根據(jù)互斥事件定義判斷B選項(xiàng)，根據(jù)和

的概率公式求解即可判斷C選項(xiàng)，應(yīng)用對(duì)立事件概率和為1判斷D選項(xiàng).

【詳解】由P（/）?尸（8）=0.21工尸（/3）,可知事件A與3不是相互獨(dú)立事件，故A不正確;

答案第3頁(yè)，共10頁(yè)

由尸(/B)=0.1,可知事件A與B一定不互斥，故B正確；

P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9,故C正確；

P(A)=1-P(A)=0.7=P(B),故D正確.

故選：BCD.

11.ABD

【分析】根據(jù)圓錐的幾何性質(zhì)，求得其高，結(jié)合圓錐的體積公式、勾股定理、球的性質(zhì)，可

得答案.

【詳解】由題意可作圖如下：

由圓錐SO的母線(xiàn)長(zhǎng)為2石，底面圓的半徑為2,貝!l/S=5S=2V?,OA=OB=2,

可得圓錐的高5。=J/SZ-Qf=4

對(duì)于A：匕。=；兀、2葭4=—,A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B：已知設(shè)點(diǎn)P在底面的投影為4,如下圖所示：

S

2222選項(xiàng)正確;

則月尸=4一2廠(chǎng)，所以P02=^P+^(?=(4-2r)+r=5^r-|^|+y>y,B

對(duì)于C：由題意可作圖如下

答案第4頁(yè)，共10頁(yè)

s

i27r

當(dāng)尸=1時(shí)，SO[=2,所以工0[=§兀xl?x2=W,

r1-7.16兀，所以獸=T/唉/=1：7,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

又T兀*2-義4=不-

QoVSO~VSO\

對(duì)于D：由題意可作圖如下:

若點(diǎn)O是圓臺(tái)。。的外接球球心，則由PO2=(4-2r)2+r2=O/2=4,

解得廠(chǎng)=9,所以S=“2=嬰，D選項(xiàng)正確.

525

故選：ABD.

12.4873+24/24+4873

【分析】正六棱柱S表=2S底+S惻，分別計(jì)算S底，S惻即可；

【詳解】S底=6x芋X16=246cm2,%=4X1X6=24cm2,=2s底+S惻=(486+24)cm2

故答案為：48百+24

13.4

【分析】求出出方，再利用方差的定義計(jì)算即得.

【詳解】方程/-7》+12=0的二根為3,4,不妨令。=3,6=4,

因此樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)嚏=1+3+；+4+7=4,

所以這組數(shù)據(jù)的樣本方差s1=1[(-3)2+(-1)2+12+02+32]=4.

答案第5頁(yè)，共10頁(yè)

故答案為：4

14.1

【分析】令〃x)=e'+x-2,易知/'(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)變形同構(gòu)可得％=e』，進(jìn)

而求解即可.

【詳解】令〃x)=e，+x-2,易知/(x)為單調(diào)遞增函數(shù),〃占)=0,

即「(X)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

又由題可知lwc2—2=0,即e""+(―lux?)—2=。,

X2

所以/(-lnx2)=0,

所以X]=-Inx2,即/=e』，

又e'1+尤]-2=0,得2-&=eA1,

所以x2(2-%)=e』?爐=1.

故答案為：1.

15.⑴克

3

⑵4+29

3

【分析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理可得sinN=]sin8,代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，由條件可得sinC=sin(/+8),再由三角形的面積公式代入計(jì)算，即可求

解.

【詳解】(1)因?yàn)槎?=々，a=-b,所以sinN=：sin5,

sinAsmB22

因?yàn)?=所以sin5=2x^=也.

4323

(2)因?yàn)椤?6,所以6=4,

因?yàn)?＜。，所以3為銳角，

因?yàn)閟in8=]旦，所以cosB=，

33

所以sinC=sin(^+5)=sincosB+cosAsinB

答案第6頁(yè)，共10頁(yè)

e幣662+舊

=-------X----------1----------X--------=-----------------，

23236

故VABC的面積為,qbsinC=—x6x4x2+^j_4+

226

/、1/、4

16.(1)——；(2)-

55

【解析】(1)先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出sina,cosa,再根據(jù)二倍角公式求出sin2a,

cos2a,利用兩角差的余弦公式即可求出V^sin(2a-f)值；

(2)由同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，可求出sin(a-/)，再根據(jù)sin￡=sin[a—(a—尸)],即可

求出sin/的值.

【詳解】解：(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義知：r=/-l)2+22=V5.

.22751V5

sina=~產(chǎn)=------,coscc=—產(chǎn)=------

V55V55

sin2a=2sinacosa=2x^x（-4

55

3

cos2a=1-2sin2（2=1-2x（

5

公(一5鼠5

V2sin（2（z--）=1

425一

(2)由題意得:

4

sinP=sin[a一（a-卜sinacos（a一'）一cosasin（療尸）=

5

17.(1)①當(dāng)”〉1時(shí)，不等式的解集為(-3,-1),②當(dāng)0<。<1時(shí)，不等式的解集為(-1,1)；

/、1

（2）a=—.

2

【解析】(1)由不等式/(1一幻>/(%+3)轉(zhuǎn)化為108工1一%)>1084(%+3),分?！?,0<。<1兩

種情況求解.

(2)根據(jù)g(x)=a、+lo&x在區(qū)間[1,2]上單調(diào)，由g⑴+g(2)="+〃—1求解.

【詳解】(1)不等式/(1一%)>等(％+3)可化為log。。—%)>k)gQ(X+3),

①當(dāng)a〉1時(shí)，不等式可化為1>x+3>0,

解得-3<x<-1,此時(shí)不等式/(l-x)>/(x+3)的解集為(-3,-1)；

答案第7頁(yè)，共10頁(yè)

②當(dāng)0<0<1時(shí)，不等式可化為x+3>1-x>0,

解得-1<x<1,此時(shí)不等式/(l-x)>/(x+3)的解集為(-1,1).

x

⑵g(x)=a+logax,

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)單調(diào)，且g⑴=。，g(2)=/+log.2,

1

所以。+a?+loga2=a+a-\,

解得“=；.

瓜⑴:

【分析】（1）根據(jù)題意可知甲隊(duì)得1分，則一人回答正確，另一人回答錯(cuò)誤，結(jié)合獨(dú)立事件

概率乘法公式運(yùn)算求解；

（2）根據(jù)題意可得甲、乙得分的概率，分別求兩隊(duì)積分同為0分，1分，2分的概率，結(jié)合

獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解.

【詳解】（1）記“甲隊(duì)總得分為1分”為事件/,甲隊(duì)得1分，則一人回答正確，另一人回答

錯(cuò)誤，

所以尸（0=；（1一口+11一］>4=9

（2）由題意可知：甲隊(duì)積0分，1分，2分的概率分別為

424

乙隊(duì)積o分，1分，2分的概率分別為■2!，■5!，§2,

記兩隊(duì)積分同為0分，1分，2分的分別為事件優(yōu)C,。，

因?yàn)閮申?duì)得分相互獨(dú)立，互不影響，

則尸⑻=?|=>（C）=,

7

所以?xún)申?duì)積分相同的概率為尸（8uCuD）=尸（0+尸（C）+尸（功=/.

19.(1)DM=6；

、

⑵［。州

7

答案第8頁(yè)，共10頁(yè)

【分析】（1）利用直棱柱和底面是有120。角的菱形，可作出二面角的平面角，從而解直角三

角形即可.

（2）利用等體積法來(lái)求線(xiàn)面角，即只需要求出點(diǎn)N到平面3cM的距離，再用距離與CN長(zhǎng)

度的比值就是線(xiàn)面角的正弦值，從而可求解.

【詳解】（1）

取8C中點(diǎn)尸，過(guò)尸點(diǎn)作尸。，8C,交耳G于點(diǎn)。，連接

由直四棱柱48cz可得CC1,平面NBC。,

而3Cu平面/BCD,所以CCJ2C,gpCQ//PQ,

又因?yàn)閛q〃功i，所以尸。〃。口，

因?yàn)榈酌?8。是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZADC=120°,

所以△BCD為等邊三角形，則DPLBC,

又因?yàn)镈Pn尸。=尸，。尸，尸。U平面PQD\D,所以8C，平面PQDfi,

又因?yàn)镻Mu平面尸。。。，所以

即尸。為二面角M-BC-G的平面角，所以"?。=45。.

在平面尸02。中，由可得乙D〃P=NMPQ=45°.

A

在尸中，8c=2,DP=—BC=43,

2

則tan/ZU