2024年上海市中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系綜合過關(guān)檢測（解析版）

專題15圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系綜合過關(guān)檢測

（考試時(shí)間：90分鐘，試卷滿分：100分）

一、單選題（本題共10小題，每題3分，共30分）

1.如圖，扇形AOB的圓心角為142。，點(diǎn)C是弧AB上一點(diǎn)，則/ACB的度數(shù)是（）

B.120°C.109°D.119°

【答案】C

【詳解】如圖所示，在。。上取點(diǎn)。，連接A。，BD,VZA（9B=142O,AZADB=|x]42°=71°.

ZACB=180°-71°=109°.故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓周角是解答此題的關(guān)鍵.

2.如圖點(diǎn)I是AABC的內(nèi)心，ZBIC=130°,則/BAC=()

B.50°

D.100°

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的外接圓得到/ABC=2/IBC,ZACB=2ZICB,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NIBC+

ZICB,求出NACB+/ABC的度數(shù)即可.

【詳解】解：：點(diǎn)I是AABC的內(nèi)心,

ZABC=2ZIBC,ZACB=2ZICB,

ZBIC=130°,

ZIBC+ZICB=180°-ZCIB=50°,

ZABC+ZACB=2X50°=100°,

.\ZBAC=180°-(ZACB+ZABC)=80°.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出/

ACB+ZABC的度數(shù)數(shù)解此題的關(guān)鍵.

3.如圖，已知在。。中，AB=46，AF=6,AC是直徑，ACLBD于F,圖中陰影部分的面積是()

A.§%一26B.-7T-2V3C.-^-473D.-^-4^3

3333

【答案】D

【分析】利用勾股定理求得BD=2BF=4百，連接OB、OD、BC,先求得NABC=90。，進(jìn)而根據(jù)射影定理求

得FC=2,從而求得直徑的長，根據(jù)余弦函數(shù)求得NBAF=30。，進(jìn)而得出/BOD=120。，最后根據(jù)S陰影=5扇形

-SABOD即可求得陰影的面積.

【詳解】解：???AC是直徑，ACLBD于F,

ABF=DF,BC=DC，

.*.ZBAC=ZDAC,

在RTAABF中，BF=《AB?-AF=2A/3

；.BD=2BF=45

連接OB、OD、BC,

A

VAC是直徑，

???ZABC=90°,

ABF2=AF*FC,即(273)2=6FC,

???FC=2,

J直徑AC=AF+FC=6+2=8,

??.。。的半徑為4,

VAB=473,AF=6,

AF6

/.cosZBAF

AB^3~~2

：.ZBAF=30°,

NBAD=60。，

.,.ZBOD=120°,

VOC=4,FC=2,

AOF=2,

=-x4&x2』_4百

36023

故選擇：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，扇形的面積、及直角三角函數(shù)和勾股定理等知識(shí)，難度適中.

4.如圖，AABC內(nèi)接于。O,D為線段AB的中點(diǎn)，延長0D交。。于點(diǎn)E,連接AE,BE,則下列五個(gè)結(jié)

論①ABLDE,②AE=BE,③OD=DE,@ZAEO=ZC,⑤弧AE=；弧AEB,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

/7Vx

//Q\\

1/\

D)5

E

A.2B.3

C.4D.5

【答案】B

【分析】已知OE是。O的半徑，D是弦AB的中點(diǎn)，可根據(jù)垂徑定理的推論來判斷所給出的結(jié)論是否正確.

【詳解】解：：0E是。。的半徑，且D是AB的中點(diǎn)，

.,.0E1AB,弧AE=MBE=；MAEB；（故①⑤正確）

.".AE=BE；（故②正確）

由于沒有足夠條件能夠證明③④一定成立，所以一定正確的結(jié)論是①②⑤；

故選B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系及垂徑定理的推論；垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）

的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩段弧.

5.如圖，在RtABC中，BC=3cm,AC=4cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CfB-?AfC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸在運(yùn)

動(dòng)過程中速度始終為1cm/s,以點(diǎn)C為圓心，線段CP長為半徑作圓，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）,當(dāng)（C與

ABC有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)t的值不可能是（

C.6.6D.9.6

【答案】B

【分析】根據(jù)。C與△ABC有3個(gè)交點(diǎn)，可知。C與RSA2C只有三個(gè)交點(diǎn)的半徑r只有2個(gè)，一個(gè)是片3,

另一個(gè)是『2.4（此時(shí)圓與斜邊A8相切），依此作答即可.

【詳解】以C為圓心，作半徑為r的圓，則與RtAABC只有三個(gè)交點(diǎn)的半徑r只有2個(gè)，一個(gè)是k3,另一

個(gè)是片2.4（此時(shí)圓與斜邊A8相切），其余情況都不能滿足與RtAABC只有三個(gè)交點(diǎn)，所以以2.4和3為半

徑做圓,與RtAABC相交的點(diǎn)有6個(gè)，/分別為2.4,3,4.8,6.6,9,9.6.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由。C與AABC有3個(gè)交點(diǎn)得出可能的情況數(shù)，有

一定的難度.

6.如果等邊三角形的邊長為6,那么它的外接圓的半徑為（）

A.2A/3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】三角形的外接圓的圓心是三條角平分線的交點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，外接圓的半徑

為高的：，等邊三角形的邊長為6,則高為36，所以它的外接圓的半徑為2K.

【詳解】???等邊三角形的邊長為6,.?.高為3君.

:外接圓的半徑為高的；，...它的外接圓的半徑為2班.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓的性質(zhì).掌握等邊三角形三線合一的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，PA.PB、是。的切線，A、B、E是切點(diǎn)，CD分別交R4、尸3于C、。兩點(diǎn)，若NAPB=40,

P4=5,則下列結(jié)論：①PA=PB=5；②APCD的周長為5；③NCOD=70.正確的個(gè)數(shù)為（）

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)切線長定理，可判斷①正確；將PCD的周長轉(zhuǎn)化為B4+PB,可判斷②錯(cuò)誤；連接。4、0B、

OE,求出ZA03,再由/<?0。=/<%^+/￡0￡>=；（/40后+/80后）=：403,可判斷③正確.

【詳解】PA.PB是。的切線，

PA=PB=5,故①正確；

PA.PB、CD是。的切線，

CA^CE,DE=DB,

PCD的周長=PC+CE+r>E+PD=PC+C4+PD+r>3=PA+P3=2B4=10,

故②錯(cuò)誤.

連接。4、OB、OE,

ZAOB=180°-ZAPB=140°,

NCO。=NCOE+ZEO。=；(NAOE+4OE)=；NAO8=70。，故③正確.

綜上可得①③正確，共2個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)以及切線長定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切

線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角.

8.如圖,AB是。O的直徑,弦DC交AB于E,過C作。O的切線交DB的延長線于M,若AB=4,ZADC=45°,

A.73B.2C.3A/3D.2拒

【答案】D

【分析】連接OC,過。作OFLC。，構(gòu)造垂徑定理，利用己知的45。角，可以得到NOCF度數(shù)，再利用垂

徑定理所構(gòu)造的直角三角形，可得到C。長.

【詳解】解：連接OC,過。作。尸，CD,利用垂徑定理得到尸為CD的中點(diǎn)，

：CM為圓。的切線，

ZOCM=90°,

,/ZADC與ZAOC都對(duì)弧AC,

ZAOC=2ZADC=90°,

???ZCDM=-N8OC=45。,

2

ZM=75°,

...ZDCM=60°,

???NOC尸=30。，

在Rt/kOC尸中，OC=2,

CF-OC,cosZOCF=yfi,

貝l|CD=2CF=26.

故選D.

【點(diǎn)睛】垂徑定理:垂直與弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩段弧.

推論一:平分弦（不是直徑）的直徑垂直與這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩段弧.

推論二:弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦所對(duì)的弧.

推論三:平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分這條弦,并且平分這條弦所對(duì)的另一條弧.

推論四:在同圓或者等圓中，兩條平行弦所夾的弧相等.

構(gòu)造垂徑定理后，往往有直角三角形，再利用直角三角形的相關(guān)知識(shí)解決問題.

9.如圖，在AABC中，ZACB=90°,過B,C兩點(diǎn)的。。交AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,連接EO并延長交

。。于點(diǎn)F.連接BF,CF.若NEDC=135o,CF=20,則AE2+BE2的值為（）

A

C.16D.20

【答案】C

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角的定義可得NADE=NABC=45。，再證得NADE=NA=45。即可

得AE=AD；根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得NFCE=90。，在Rt^EFC中求得EF=4；連接BD,可證得BD

為為。O的直徑，在RtZkBDE中根據(jù)勾股定理可得5爐+。石2=602=42=16,由此即可得結(jié)論.

【詳解】VZEDC=135°,

???ZADE=45°,ZABC=180°-ZEDC=180o-135°=45°；

???ZACB=90°,

??.NA=45。，

ZADE=ZA=45°,

AAE=AD,ZAED=90°；

VEF為。O的直徑，

ZFCE=90°,

VZABC=ZEFC=45°,CF=2A/2，

???EF=4；

連接BD,

ZAED=90°,

???ZBED=90°,

ABD為。O的直徑,

，BD=4；

在RtABDE中，BE2+DE2=BD2=42=16,

,,.AE2+BE2=16.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及其推論、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，會(huì)綜合運(yùn)用所學(xué)的

知識(shí)點(diǎn)解決問題是解題的關(guān)鍵.

10.如圖所示，MN是。。的直徑，作ABLMN,垂足為點(diǎn)D,連接AM,AN,點(diǎn)C為弧AN上一點(diǎn)，且弧

AC=<AM,連接CM,交AB于點(diǎn)E,交AN于點(diǎn)F,現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①AD=BD；②/MAN=90。；③弧AM=MBM；@ZACM+ZANM=ZMOB；⑤AE=：MF,

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】根據(jù)ABLMN,垂徑定理得出①③正確，利用MN是直徑得出②正確，注c==，得出④正確,

結(jié)合②④得出⑤正確即可.

【詳解】rMN是OO的直徑,ABLMN,

AD=BD,AB=BM,ZMAN=90。.（①②③正確）

AC=AM,

:注C=癡=腦，

.?.NACM+NANM=NMOB（④正確）

???ZMAE=ZAME,

.-.AE=ME,/EAF=NAFM,

.-.AE=EF,

;.AE=；MF.（⑤正確）.

正確的結(jié)論共5個(gè).

所以D選項(xiàng)是正確的.

故選D

【點(diǎn)睛】此題考查圓周角定理，垂徑定理,以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識(shí).

A.2B.3C.4D.5

二、填空題（本題共10小題，每題3分，共30分）

11.已知AB是。O的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)E,如果AB=8,CD=6,那么OE=

【答案】用

【分析】連接OC,根據(jù)垂徑定理求出CE,在AOEC中，根據(jù)勾股定理求出OE即可.

【詳解】解：連接OC.如圖所示：

：AB是圓O的直徑，ABXCD,

.*.CE=DE=-CD=3,OC=OB=-AB=4,

22

在AOCE中，由勾股定理得：

OE=yl0C2-CE2=V42-32=4

故答案為五.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、垂徑定理；關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，求出CE的長，用的數(shù)學(xué)思想是方程思

想，把OE當(dāng)作一個(gè)未知數(shù)，題目較好.

12.如圖,AB切OO于點(diǎn)B,BC〃OA,交。O于點(diǎn)C,若/OAB=30。,BC=6,則劣弧BC的長為.

【答案】2兀

【分析】連接OB,OC,由AB為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到三角形AOB為直角三角形，再由BC與

OA平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到NOBC為60度，又OB=OC,得到三角形BOC為等邊三角形,

確定出/BOC為60度，利用弧長公式即可求出劣弧BC的長.

【詳解】解：連接OB,OC,

VAB為圓O的切線，

.\ZABO=90°,

在RtAABO中，ZOAB=30°,

.\ZAOB=60°,

VBC/7OA,

.\ZOBC=ZAOB=60°,

又：OB=OC,

.,.△BOC為等邊三角形，

.\ZBOC=60°,BO=CO=BC=6,

故答案為2兀

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，以及弧長公式，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本

題的關(guān)鍵.

13.如圖，已知OC是：。的半徑，過OC的中點(diǎn)。作。C的垂線交C。于點(diǎn)A,B,以下結(jié)論：

@AD=BD；?AC=BC-,③AC=BC；?ZAOC=ZBOC；?ZOAB=30,

正確的是____________.（填序號(hào)）.

【答案】①②③④⑤

【分析】由OC是。O的半徑，過OC的中點(diǎn)D作DC的垂線交。O于點(diǎn)A,B,根據(jù)垂徑定理可得AD=BD,

AC=BC；又由圓心角與弧的關(guān)系，可得/AOC=NBOC,由垂直平分線的性質(zhì)，可得AC=BC,然后由含

30。角的直角三角形的性質(zhì)，求得NOAB=30。.

【詳解】VOC±AB,

/.AD=BD,AC=BC，

故①③正確；

.\ZAOC=ZBOC,故④正確；

:過OC的中點(diǎn)D作DC的垂線交。。于點(diǎn)A,B,

即OC是AB的垂直平平分線，

；.AC=BC,故②正確；

,?,OD=1OC=1OA,

.\ZOAB=30°,故⑤正確.

故答案是：①②③④⑤.

【點(diǎn)睛】考查了圓心角與弧的關(guān)系、垂徑定理、線段垂直平分線的性質(zhì)以及含30。直角三角形的性質(zhì).注意

理解題意是關(guān)鍵.

14.在中，ZC=90°,AC=5,BC=8,如果以點(diǎn)C為圓心作圓，使點(diǎn)A在圓C內(nèi)，點(diǎn)8在圓C

外，那么圓C半徑廠的取值范圍為

【答案】5<r<8

【分析】根據(jù)點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則》4。，點(diǎn)2在圓C外，則即可得出答案.

【詳解】???以點(diǎn)C為圓心作圓，使點(diǎn)A在圓C內(nèi)，

r>AC,

即r>5,

:以點(diǎn)C為圓心作圓，使點(diǎn)8在圓C外，

r<BC,

即r<8,

5<r<8.

故答案為5<r<8.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.熟記“設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為私則當(dāng)衣7■時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)；當(dāng)上廠時(shí)，

點(diǎn)在圓上；當(dāng)上r時(shí)，點(diǎn)在圓外”是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，。。是AABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為E,E,若A。、BE的長為方程一一17尤+60=0的兩個(gè)根，貝必ABC

的周長為____________

【詳解】分析：求AABC的周長，關(guān)鍵是求出兩條直角邊的長；由已知的方程可求出AF、BE的長，結(jié)合

切線長定理和勾股定理，可求得CE、CF的長，進(jìn)而可求出AC、BC的長；再由勾股定理求得AB,即可求

AABC的周長.

詳解：如圖；

x=12,x=5,

；.AD=AF=5,BF=BE=12；AB=17,

設(shè)CE=CD=x,則AC=5+x,BC=12+x；

由勾股定理，得：

AB2=AC2+BC2,IP172=(5+x)2+(12+x)2,

解得：x=3(負(fù)值舍去)，

；.AC=8,BC=15；

因止匕AABC的周長=AC+BC+AB=8+15+17=40,.

故答案為40.

點(diǎn)睛：此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解一元二次方程-因式分解法等知識(shí)點(diǎn)，掌握三角形的內(nèi)切圓的

性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.注意勾股定理的應(yīng)用.

16.如圖，0c過原點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于A、D兩點(diǎn).已知NOBA=30。，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,473),

則0c半徑是____________

【答案】4

【詳解】分析：連接AD,根據(jù)圓周角定理得出AD為直徑，根據(jù)圓周角定理得出/ADO=30。，然后根據(jù)直

角三角形的性質(zhì)求出AD的長度，從而得出半徑.

詳解：連接AD,ZAOD=90°,AD為直徑，VZOBA=30°,.\ZADO=30°,

：0D=4—,；.AD=8,...0C半徑是4.

點(diǎn)睛：本題主要考查的是圓周角定理，屬于基礎(chǔ)題型.根據(jù)直角所對(duì)的弦為直徑得出AD為直徑是解決這

個(gè)問題的關(guān)鍵.

17.如圖，正方形ABCD的邊長為4cm,以正方形的一邊BC為直徑在正方形ABCD內(nèi)作半圓，過A作半

圓的切線，與半圓相切于F點(diǎn)，與DC相交于E點(diǎn)，則AADE的面積為.

【答案】6cm2

【詳解】【分析】由于AE與圓O切于點(diǎn)F,根據(jù)切線長定理有AF=AB=4cm,EF=EC；設(shè)EF=EC=xcm.則

DE=(4-x)cm,AE=(4+x)cm,然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出關(guān)于x的方程，解方程即可

求出，然后就可以求出AADE的面積.

【詳解】：AE與圓O切于點(diǎn)F,

顯然根據(jù)切線長定理有AF=AB=4cm,EF=EC,

設(shè)EF=EC=xcm,

則DE=(4-x)cm,AE=(4+x)cm,

在三角形ADE中由勾股定理得：

(4-x)2+42=(4+x)2,

x=lcm,

CE=lcm,

DE=4-l=3cm,

SAADE=AD*DE-^-2=3x4^-2=6(cm2).

故答案為6cm2

【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn):切線長定理，正方形，勾股定理.解題關(guān)鍵點(diǎn)：運(yùn)用切線長定理求出AF=AB,EF=EC.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OM經(jīng)過點(diǎn)A(0,4),點(diǎn)B(3,0),點(diǎn)P為。M上一點(diǎn)，且在第一象

限，貝UsinNP的值為.

【答案】|4

【詳解】【分析】連接AB,利用同弧所對(duì)圓周角相等，可得NP=NABO,利用勾股定理可得AB,

.........4

利用三角函數(shù)定義，可得sinZP=sinZABO=y.

【詳解】連接AB,

因?yàn)镹P和NABO是弧AO所對(duì)的圓周角，

所以，ZP=ZABO,

因?yàn)辄c(diǎn)A(0,4),點(diǎn)B(3,0),

所以，OA=4,OB=3,

所以，AB=5,

一,4

所以，sinZP=sinZABO=y.

【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：圓周角，解直角三角形.解題關(guān)鍵：作輔助線，利用同弧所對(duì)圓周角相等，得/

P=/ABO.再解直角三角形.

19.如圖，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,以C。為直徑作「。.將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使所得矩

形A'B'CD的邊AE與：O相切，切點(diǎn)為E,邊CD與。相交于點(diǎn)尸，則C尸的長為

【答案】4

【詳解】分析：連結(jié)E0并延長交CF于點(diǎn)H,由旋轉(zhuǎn)和相切知四邊形EBCH是矩形，再根據(jù)勾股定理即可

求出CH的長，從而求出CF的值.

詳解：連結(jié)E0并延長交CF于點(diǎn)H.

矩形A5co繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到矩形A'B'CD',

...NB'=/B'CD'=90°,A'B'〃CD',BC=B'C=4,

：AB切0O與點(diǎn)E,

OEIA'B',

四邊形EB-CH是矩形，

.\EH=B,C=4,0H±CF,

VAB=5,

;.OE=OC=3AB=3,

22

在RtAOCH中,根據(jù)勾股定理得CH=^/OC2-OH2=J(|)2-(|)2=2,

；.CF=2CH=4.

故答案為4.

點(diǎn)睛：此題主要考查切線的性質(zhì)，垂徑定理及矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用.

20.把直尺、三角尺和圓形螺母按如圖所示放置于桌面上，ZCAB=60,若量出AO=8C〃2,則圓形螺母的

【答案】\6\[3cm

【詳解】解：設(shè)圓形螺母的圓心為。，與切于￡,連接OE,OA,如圖所示：

VAD,A8分別為圓。的切線，為ND4B的平分線，ODLAC,OD1AC.又?.?/CAB=60。，

ZOAD=-ZDAB=6Q°.在R3A。。中，ZOAD=60°,AD=Scm,：.tanZOAD=tan60°=—,即變=指，

2AD8

：.OD=86cm,則圓形螺母的直徑為166cm.故答案為16后cwi.

點(diǎn)睛：本題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，銳角三角函數(shù)定義，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握性

質(zhì)及定理是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題（共3題，共40分）

21（12分）.如圖，已知AABC內(nèi)接于0O,AB為。O的直徑，AC的延長線上有點(diǎn)D,AC=3CD,連接

BD,E為BD的中點(diǎn)，CE是。。的切線.

（1）求證：BD與。O相切；

（2）求NACE的度數(shù).

【答案】（1）詳見解析；（2）120。

【分析】（1）連接OC,如圖，利用圓周角定理得NACB=90。，再根據(jù)斜邊上的中線性質(zhì)得CE=BE=DE,

所以/1=/2,接著根據(jù)切線的性質(zhì)得/1+/3=90。，于是N2+N4=90。，然后根據(jù)切線的判定定理得到

結(jié)論；

（2）設(shè)CD=x,則AC=3x,先證明AABCs^ADB,利用相似比得到AB=2gx,然后在RsACB中利

用余弦定義求出NA=30。，則/OCA=/A=30。，從而得到/ACE的度數(shù).

【詳解】（1）連接OC,如圖，

VAB為。O的直徑,

ZACB=90°,

為BD的中點(diǎn)，

；.CE=BE=DE,

.\Z1=Z2,

VOB=OC,

?.Z3=Z4,

：CE是。O的切線.

AOCXCE,

.,.Zl+Z3=90°,

Z2+Z4=90°,BPZOBE=90°,

???BD_LAB,

???BD與。O相切；

（2）解：設(shè)CD=x,則AC=3x,

VZCAB=ZBAD,ZACB=ZABD=90°,

AAABC^AADB,

.ACABnn3xAB

ABADAB4X

AB=2Qx,

在R3ACB中，3：=^~,

AB2氐2

.\ZA=30o,

VOA=OC,

.\ZOCA=ZA=30°,

ZACE=30°+90°=120°.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線

垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”;有切線時(shí),

常常“遇到切點(diǎn)連圓心得半徑也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì).

22（14分）.如圖1,BC是。的直徑，點(diǎn)A在。上，點(diǎn)。在C4的延長線上，DE1BC,垂足為點(diǎn)

。后與［0相交于點(diǎn)“，與A5相交于點(diǎn)/.過點(diǎn)A作/=與。片相交于點(diǎn)H

⑴求證：AF為。的切線；

1

⑵當(dāng)=且tan乙DAT、彳時(shí)，求：丁的值；

2IE

（3）如圖2,在⑵的條件下，延長曲，BC相交于點(diǎn)G,若CG=10,求線段EH的長.

【答案】（1）見解析；（2）g；（3）6\[6.

【分析】（1）欲證明Ab是切線，只要證明Q4LAF即可；

⑵首先證明〃推出tan/Butan/Du；,推出AO=24,由=推出3/=7A,

BE=2ZE,設(shè)IE=a,貝i]BE=2a,BI=AI=y[5a,推出AC=gAB=V^z,在RtABC中，

BC=yjAC2+AB2=5a，可得EC=BC-BE=5a-2a=3a，由止匕即可角畢決問題；

⑶只要證明GAC^^GBA,PT^#—=-=—=由CG=10,推出G4=20,BG=40,3c=30,

GAGBAB2

由BC=5a=30,推出a=6,可得BE=12,EC=18,再證明CEHs_HEB,可得HE?=BEEC,即可

解決問題；

【詳解】（1）證明：如圖1中，連接。4

D

圖1

是直徑，

ABAC=ABAD=90,

ZDAF+ZFAI=90,

OA=OB,

ZOBA=ZOABf

ZDAF=ZABO,

??.ZOAB=ZDAFf

/.ZOAB+ZFA1=90，

/.ZFAO=90,即Q4_LAF,

.?.AF是。的切線.

（2）解:如圖2中，

圖2

ZIEB=ZIAD=90，ZBIE=ZAID,

:"D=ZB,

ZDAF=ZB,

:.ZD=ZB=ZDAFf

tanZB=tanZZ）=—,

2

:.AD=2AI,AD=AB,

:.BI=IA,

:.BE=2IE,設(shè)7E=a,貝!J郎=2。，BIAI=y[5a

AC——AB—y[5a,