2024-2025學年浙江省寧波市部分學校九年級（上）開學數(shù)學試卷+答案解析

2024-2025學年浙江省寧波市部分學校九年級（上）開學數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.下列各式中，為最簡二次根式的是（）

A.\/8B.C.y/cfiD.1/5

2.用反證法證明命題：“己知43=4。，求證：NB<90°.”第一步應先假設（）

A.ZB?90°B.ZB>90°C.Z5<90°D.AB/AC

3.如圖，將矩形紙片4SCD沿8。折疊，得到△BC'。，C'D與4B交于點E.若

Z1=35°，則/2的度數(shù)為（）

A.20°

B.30°

C.35°

D.55°

4.“古越龍山”釀酒公司由于注重對市場調研和新產品的研發(fā)，新研制的某款瓶裝酒獲得市場的認可，今

年四月份銷售了50萬瓶，按市場供需趨勢預計今年二季度可銷售182萬瓶.設該款酒的銷售量今年五、六

月份平均每月的增長率為x,那么x滿足的方程是（）

A.50(1+為2=182B.50+50(1+乃+50(1+x)2=182

C.50（1+2x）=182D.50+50（1+①）+50（1+2x）2=182

5.已知關于x的一元二次方程a/+fcc+c=0（a#0）,下列命題是真命題的有（）

①若a+2b+4c=0,則方程a/+bx+c—0必有實數(shù)根；

②若b=3a+2,c=2a+2,則方程a/+6/+c=0必有兩個不相等的實根；

③若c是方程a/+知+c=0的一個根，則一定有ac+6+1=0成立；

④若t是一元二次方程ax2+bx+c^0的根,則M-4ac=（2成+6）2.

A.①②B.②③C.①④D.③④

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

6.若式子f在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是.

7.已知一個正〃邊形的內角和為1080°，則n=.

8.正比例函數(shù)以=卜巡隔刈）與反比例函數(shù)y2=電隔刈）的圖象的一個交點是〃（—3,2）,若改（陰,則x

X

的取值范圍是.

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9.如圖，邊長為10的菱形N8CD,點￡是/￡＞的中點，點。是對角線

的交點，矩形OEFG的一邊在A8上，且EF=4,則BG的長為.

10.如圖1的圖案稱“趙爽弦圖”，是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的.它由四個全等的

直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形.我們在此圖形中連接四條線段得到如圖2的圖案，記

陰影部分的面積為Si，空白部分的面積為S2,大正方形的邊長為相，小正方形的邊長為〃，若S1=S2,則

圖2

三、解答題：本題共6小題，共45分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

11.(本小題6分)

計算：

(1)\/27—\/3+,(-3)2；

(2)73(^2一四-V24-|V6-3|.

12.(本小題6分)

解方程：

(l)2(a;-3)=3a;(a?—3)；

⑵a(a-3)-a+3=0.

13.(本小題6分)

為了解余姚市對“垃圾分類知識”的知曉程度，某數(shù)學學習興趣小組對市民進行隨機抽樣的問卷調查，調

查結果分為“4非常了解”、了解”、“C.基本了解”、“O.不太了解”四個等級進行統(tǒng)計，并將

統(tǒng)計結果繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖(圖1、圖2),請根據(jù)圖中的信息解答下列問題.

(1)這次調查的市民人數(shù)為人，圖2中，m=；

(2)補全圖1中的條形統(tǒng)計圖；

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(3)據(jù)統(tǒng)計，2017年余姚約有市民140萬人，那么根據(jù)抽樣調查的結果，可估計對“垃圾分類知識”的知曉

程度為了解”的市民約有多少萬人?

如圖，在口4BCD中，點￡、尸為對角線AD的三等分點，連接NE,CF,AF,CE.

(1)求證：四邊形NECF為平行四邊形；

⑵若四邊形/ECF為菱形，且AE=BE，求/氏4。的度數(shù).

15.(本小題9分)

如圖，一次函數(shù)沙=，+1的圖象與反比例函數(shù)沙=色的圖象相交，其中一個交點的橫坐標是2.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

k

(2)將一次函數(shù)沙=，+1的圖象向下平移2個單位，求平移后的圖象與反比例函數(shù)沙=勺圖象的交點坐標;

x

k

(3)直接寫出一個一次函數(shù)，使其過點(0,5),且與反比例函數(shù)沙=q的圖象沒有公共點.

x

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16.（本小題10分）

如圖①，點E為正方形ABCD內一點，AAEB=90°，將Rt^ABE繞點8按順時針方向旋轉90°,得到

△CBE'（點N的對應點為點C）,延長NE交?；赜邳cR連接OE.

圖②

⑴試判斷四邊形BE'FE的形狀，并證明你的判斷;

⑵如圖②，若D4=0E，證明：CF=FE'；

（3）如圖①，若48=15,CF=3,請直接寫出DE的長.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：A,通=，g=2魚，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題

思；

B、=避，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；

C、，滔=a《，被開方數(shù)中含能開得盡方的因式，不是最簡二次根式，不符合題意；

D、逐是最簡二次根式，符合題意；

故選：D.

根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可.

本題考查的是最簡二次根式的概念，掌握被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的

二次根式，叫做最簡二次根式是解題的關鍵.

2.【答案】A

【解析】【分析】

此題主要考查了反證法，反證法的一般步驟是：①假設命題的結論不成立；②從這個假設出發(fā)，經過推理

論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設不正確，從而肯定原命題的結論正確.

直接利用反證法的第一步分析得出答案.

【解答】

解：用反證法證明命題：“已知AABC,AB=AC，求證：ZB<90°.”第一步應先假設》90°.

故選：A.

3.【答案】A

【解析】解：由題意可知：

ZC=90°，AB//CD,

：,AABD=Z1=35°

由折疊的性質可知：

ABDC=Z1=35°-ADC'B=ZC=90°.

Z2=180°-ADC'B一/LABD-ABDC'=20°.

故選：A.

已知四邊形/BCD是矩形，則可得NC=90。；聯(lián)系折疊的性質易得乙8。。,、/。。缶的度數(shù)，

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由平行線的性質可求出的度數(shù)；接下來在△3。'。中利用三角形內角和即可求出Z2.

本題考查平行的性質，正確記憶平行的性質是解題關鍵.

4.【答案】B

【解析】解：依題意得五、六月份的銷量產量為50(1+2)、50(1+為2,

50+50(1+乃+50(1+乃2=182.

故選：B.

主要考查增長率問題，一般增長后的量=增長前的量x(l+增長率)，如果該廠五、六月份平均每月的增長

率為x,那么可以用x分別表示五、六月份的銷量，然后根據(jù)題意可得出方程.

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，增長率問題，一般形式為a(l+c)2=b,。為起始時間的有關

數(shù)量，6為終止時間的有關數(shù)量.

5.【答案】C

【解析】解：①；a+2b+4c=0,

/.Q——2b—4c,

方程為(-25-4c)/2+紅+。=o,

/.△=y一4(—26—4c)?c=廬+8bc+16c2=(b+4c)220,

二.方程a/+6力+0=o必有實數(shù)根，故①正確.

②b=3Q+2,c=2Q+2,

.?.方程為ax2+(3a+2)力+2Q+2=0,

△=(3a+2產—4a(2a+2)=a?+4a+4=(a+2)2,

當Q=-2時，△=(),方程有相等的實數(shù)根，故②錯誤，

③當c=0時，。是方程Q/+近=0的根，但是6+1不一定等于0,故③錯誤.

④丁力是一元二次方程Q/+瓶+c=o的根，

—b±7?_4ac

-----五-----'

：,2at+b=±\/b2-4ac，

：,62—4(zc=(2at+6)2,故④正確，

故選：c.

①正確，利用判別式判斷即可.

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②錯誤，a=-2時，方程有相等的實數(shù)根.

③錯誤，c=0時，結論不成立.

④正確，利用求根公式，判斷即可.

本題考查命題與定理，一元二次方程的根的判別式等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)解決問題，屬于中

考?？碱}型.

6.【答案】x^-1

【解析】根據(jù)算術平方根的定義可知被開方數(shù)必須為非負數(shù)，列不等式求解.

解：根據(jù)題意得：/+1)0,

解得立》一1,

故答案為：x^-1.

主要考查了算術平方根的意義和性質.

7.【答案】8

【解析】解：(n-2)-180°=1080°,

解得n=8，

故答案為：8.

直接根據(jù)內角和公式(n-2)?180°計算即可求解.

主要考查了多邊形的內角和公式.多邊形內角和公式：(冗-2)?180°.

8.【答案】x<—3或0<力<3

【解析】解：如圖，一次函數(shù)陰=卜述(3/))與反比例函數(shù)改=也(切聲))1

x、I

的圖象相交于點M、N,

：.M,N點關于原點對稱,

??.N(3,-2),N7\

.?.若則X的取值范圍是2<-3或0<2<3.

故答案為：2<—3或0<c<3.

如圖，一次函數(shù)以=k僅隔刈)與反比例函數(shù)數(shù)=電的刈)的圖象相交于點M、N,則N(3,—2),然后結

X

合函數(shù)圖象，寫出？/2<沙1對應的X的取值范圍.

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式

聯(lián)立成方程組求解；兩交點坐標滿足兩函數(shù)解析式.

9.【答案】2

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【解析】解：1?四邊形/BCD是菱形，

：,BDLAC，AB=AD=W，

.?2400=90°，

?「E是4D的中點，

,-,OE=AE=^AD=5；

1?四邊形。跖G是矩形，

，F(xiàn)G=OE=5,

-：AE=b,EF=4,

：,AF=y/AE2-EF2=V25-16=3，

：8G=AB-FG=10—3-5=2,

故答案為：2.

由菱形的性質得到48=40=10,由直角三角形的性質可求OE=AE=；4D=5,由矩形

的性質可求得FG=OE=5,根據(jù)勾股定理得到4F=3，即可求解.

本題考查了矩形的判定和性質，菱形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，正確的識別圖形是解題的關

鍵.

10.【答案】二T

2

【解析】【分析】

本題考查了全等三角形的性質，以及勾股定理的應用，設出參數(shù)，用參數(shù)表示出線段或者面積，利用勾股

定理列方程，是解決本題的關鍵.

2

如圖2,由題意可設43=。。=如則可以用x表示出S2,又由于&=S2，Si+S2=m,所以可以得

到加與x的關系式，在直角△AB。中，利用勾股定理列出方程，得到"與x的關系，等量代換進行運算，

即可解決.

【解答】

解：如圖，

圖1圖2

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設圖2中AB=2,則CD=48=2,

S^ACD=#D.AB=#,

S?—4s△Ac。=2x2,

2

■:S1=S2,Si+S2=m,

4爐=m2，

/.m=27,

在RtZ\ABC中，AC2=AB2+BC2^

：.力2+(/+n)2=m2，

x2+(x+n)2=4?,

：.x+n=①優(yōu)，

n=(A/3-1)力,

n\/3—1

，，m=—2—，

故答案為：Y1二1.

2

11.【答案】解：⑴歷—通+1(—3)2

=3^3-73+3

=2\/3+3；

(2)V3(\/2-V3)-V24-|76-3|

=通-3-2加-3+通

=-6.

【解析】(1)根據(jù)二次根式的加減法法則計算；

(2)根據(jù)二次根式的乘法法則、絕對值的性質計算.

本題考查的是二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則是解題的關鍵.

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12.【答案】解：⑴移項得：2(1—3)—3解—-3)=0,

(x—3)(2—3啰)=0,

x-3=0或2—3優(yōu)=0,

2

的一s，12=a；

O

(2)a(a—3)—a+3=0,

a(a-3)一(a-3)=0,

(a-3)(a-1)=0,

a—1=0,a—3=0,

a1—1,&2—3.

【解析】(1)移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；

(2)先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.

本題考查了解一元二次方程，能把一元二次方程轉化成一元一次方程是解此題的關鍵.

13.【答案】解：(1)1000；28.

(2)3等級人數(shù)為1000-(280+200+170)=350(人),

補全圖形如下：

余姚市民對‘垃圾分類知識”的知曉程度的條形統(tǒng)計圖及扇形統(tǒng)計圖

答：估計對“垃圾分類知識”的知曉程度為“艮了解”的市民約有49萬人.

【解析】解：(1)本次調查的市民人數(shù)為200?20%=1000人，加*x100=28,

故答案為：1000,28；

(2)見答案;

(3)見答案.

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(1)根據(jù)C類的人數(shù)和所占的百分比求出調查的總人數(shù)，再根據(jù)/類的人數(shù)求出/類所占的百分比，從而求

出m的值；

(2)根據(jù)求出的總人數(shù)即可求出3類的人數(shù)，從而補全統(tǒng)計圖；

(3)用2017年余姚市約有的市民乘以了解”所占的百分比即可得出答案.

本題主要考查了條形統(tǒng)計圖以及扇形統(tǒng)計圖的運用，解題時注意：從條形圖可以很容易看出數(shù)據(jù)的大小，

便于比較.從扇形圖上可以清楚地看出各部分數(shù)量和總數(shù)量之間的關系.

14.【答案】證明：(1”.?四邊形/ECF是平行四邊形，

：,AB=CD,AB//CD,

：.AABD=Z.CDB,

?.,點￡、/為對角線8。的三等分點，

：,BE=EF=DF,

在ZiABE和ACDF中，

[AB=CD

<AABD=/LCDF,

(BE=DF

;.dABE出dCDF(SAS),

：,AE=CF,AAEB=ACFD,

:"AEF=NCFE,

:.AE//CF,

二.四邊形/ECF是平行四邊形；

(2)二?四邊形/￡3是菱形，

AE=AF=CF=CE,

又：AE=BE,

：,AE=BE=EF=AF=DF,

:"EAB=NEBA,NEAF=NEFA,AFAD=AFDA,是等邊三角形，

AEAF=NAFE=NAEF=60°，

ZBAE=30%"AD=30°，

SAD=120°.

【解析】(1)由平行四邊形的性質可得4B=CD，AB//CD,由“S/S”可證△ABE也△。。R，可得

AE=CF,AAEB=ZCFD,由平行四邊形的判定可得結論；

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(2)由菱形的性質可得4E=BE=EF=4F=OF，可證△4EF是等邊三角形，由等邊三角形的性質可

求解.

本題考查了平行四邊形的性質，菱形的性質，全等三角形的判定和性質，證明△AEP是等邊三角形是解題

的關鍵.

15.【答案】解：(1)將工=2代入沙=，+1,得沙=3,

故其中一個交點的坐標為⑵3),

將⑵3)代入反比例函數(shù)解析式并解得：卜=2x3=6,

反比例函數(shù)的解析式為：g=2；

X

(2)一次函數(shù)沙=，+1的圖象向下平移2個單位得到沙=x-l,

聯(lián)立[沙=?

[g=立-1,

解C{￡

二平移后的圖象與反比例函數(shù)的圖象的交點坐標為(-2,-3)或(3,2)；

(3加=—22+5(答案不唯一)

【解析】⑴將工=2代入？/=立+1=3,故其中一個交點的坐標為(2,3),將(2,3)代入反比例函數(shù)解析式,

即可求解；

f_6

(2)一次函數(shù)。=工+1的圖象向下平移2個單位得到沙=久一1,聯(lián)立(y~x'即可求解；

[y=x-l,

(=6

y

(3)設一次函數(shù)的解析式為：4=TTO+5(A#0),聯(lián)立聯(lián)立<~x'并整理得：7ra2+5工—6—0,

(g=mx+5,

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則△=5?—4m義(―6)<0,解得：m<即可求解.

24

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關鍵是掌握函數(shù)與方程的關系.

16