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廣東省汕頭市潮南區(qū)2025屆高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)試題
一、選擇題:本題共11小題,每小題5分,共55分。
1.設(shè)集合a={1,3},B=(x\x2-3x+m=0],若2nB={1},則集合8=()
A.{1,-2}B.{1,2}C.{1,0}D.{1,5}
2.設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則作的模為()
A.1B.2dD.0
3.|a|=6,"為單位向量,當(dāng)江,"的夾角為135。時(shí),向量1在向量之上的投影向量為()
A,V2eB.一#eC.3V2eD.-3巡?
4.雙曲線C:冷a=l(a>0,b>0)的一條漸近線為y=3,則C的離心率為()
A.A/2B.A/3C.2D.4
5.已知數(shù)列an=:二標(biāo)需。€N*),則數(shù)列{冊(cè)}的前100項(xiàng)中的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)分別是()
A.。100B.。45,。44C.。45,D.。44,。100
6.已知三棱錐P—ABC中,AP=AC=BP=BC=2^,AB=PC=2@,則其外接球表面積為()
A.mB.8mnC.8兀D.247r
7.已知函數(shù)g。)的圖象與人嗎=/_?|久的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱,且。(久)的圖象與直線y=4%-6相切,則
實(shí)數(shù)機(jī)=()
A.2B.-1C.-4D.4
8.如圖為一款3*3電子觸控?zé)裘姘?,每個(gè)方格中的燈只有“亮”與“不亮”兩種狀態(tài),觸摸燈一次,將導(dǎo)
致自身和所有相鄰的燈狀態(tài)發(fā)生改變.例如,在面板燈全不亮狀態(tài)下,觸摸E號(hào)燈時(shí),E號(hào)燈亮起,周圍的
B、D、F、”號(hào)燈也發(fā)亮,其他號(hào)燈仍保持“不亮”狀態(tài).如果在面板燈都“不亮”狀態(tài)下,只要4號(hào)燈
亮,則需要觸摸面板燈最少次數(shù)為()
ABC
DEF
GHI
A.5B.7C.1D.9
9.某校高三年級(jí)選考地理科的學(xué)生有100名,現(xiàn)將他們?cè)摽频囊淮慰荚嚪謹(jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級(jí)分,已知等級(jí)分X的
分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為[30,100],若等級(jí)分X?N(80,25),貝|()參考數(shù)據(jù):P^-a<X<fi+(r)=0.6827;P
(〃一2。<X<〃+2a)=0.9545;P(〃-3。<%<//+3。)=0.9973
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A.這次考試等級(jí)分的標(biāo)準(zhǔn)差為5
B.這次考試等級(jí)分超過(guò)80分的約有45人
C.這次考試等級(jí)分在[70,80]內(nèi)的人數(shù)約為48人
D.P(65<X<75)=0.1573
10.函數(shù)/(x)=2sin?久+")(3>0,\(p\<兀)圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)相差方,/(%)的一條對(duì)
稱軸%=苫,且/9)>/(1),下列敘述正確的是()
A,函數(shù)/(%)的解析式為/'(%)=2sin(2x+§
B.f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心修,0),且在,,圖上單調(diào)遞減
C./(久)向左平移看個(gè)單位得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且/(0)<0
D.對(duì)任意xe后引,a>聶(幻—cos2久恒成立時(shí),滿足條件的a值可為1
11.已知曲線C上點(diǎn)滿足:到定點(diǎn)(1,0)與定直線y軸的距離的差為定值小,其中41,42分別為曲線c上的兩
點(diǎn),且點(diǎn)4恒在點(diǎn)①的右側(cè),選項(xiàng)正確的為()
A.若則曲線C的圖像為一條拋物線
B.若爪=1,則曲線C的方程為y2=4x(x>0)
C.當(dāng)m>1時(shí),對(duì)于任意的4(久i,yo)和42。2,丫0),都有Wil<%1
D.當(dāng)m<-1時(shí),對(duì)于任意的4i(xi,yo)和42(%2,、0),都有必|<|久2]
二、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.若3sina—sin0=1,a+0=5,則sina=.
13.已知函數(shù)/(*)的定義域?yàn)镽,數(shù)列{an}滿足斯=/0),已知兩個(gè)條件:①函數(shù)/(%)在[1,+8)是減函
數(shù);②是遞減數(shù)列.寫出一個(gè)滿足①和②的函數(shù)八久)解析式:;寫出一個(gè)滿足②但不滿足①的
函數(shù)/'(%)解析式:.
14.某填空題有兩小問(wèn),按目前掌握信息:十個(gè)人中有四人能夠答對(duì)第一問(wèn);在第一問(wèn)答錯(cuò)情況下,第二
問(wèn)答對(duì)的概率僅為0.05;第一問(wèn)答對(duì)的情況下,第二問(wèn)答錯(cuò)的概率為0.7.用頻率估計(jì)概率,選擇有效信息
估計(jì)該題兩小問(wèn)均答錯(cuò)的概率:.
三、解答題:本題共5小題,每小題12分,共60分。
15.在五邊形2BCDE中,乙BCD=^BAE=冬,乙CBD=今cos4DBE=|,CD=2m,DE=8.
343
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(1)求BE的長(zhǎng)度;
(2)求三角形力BE周長(zhǎng)的最大值為多少?
16.已知橢圓噂+\=l(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4B,點(diǎn)(1,|)在該橢圓上,且該橢圓的右焦點(diǎn)F
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線I與橢圓交于M,N兩點(diǎn),記直線2M的斜率為的,直線BN的斜率為矽,求
證:的=京2.
17.多面體E-4BCD的底面為梯形,AB//CD,AB=2CD=2也,EA=ED=BC,乙BCD=2乙CBD=9
0°,且四邊形BDEN為矩形,點(diǎn)P為線段EN上一點(diǎn)(異于點(diǎn)E、N).
(1)若點(diǎn)P為線段EN中點(diǎn),求證:CP〃平面ZME;
(2)是否存在點(diǎn)P,使直線BE與平面24。所成的角的正弦值為坐?若存在,求出P|;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理
由.
18.為提高我國(guó)公民整體健康水平,2022年1月,由國(guó)家衛(wèi)生健康委疾控局指導(dǎo)、中國(guó)疾病預(yù)防控制中心和
國(guó)家體育總局體育科學(xué)研究所牽頭組織編制的《中國(guó)人群身體活動(dòng)指南(2021)》(以下簡(jiǎn)稱《指南》)正式
發(fā)布.《指南》建議18-64歲的成年人每周進(jìn)行150-300分鐘中等強(qiáng)度或75-150分鐘高強(qiáng)度的有氧運(yùn)動(dòng)(以
下簡(jiǎn)稱為“達(dá)標(biāo)成年人”).經(jīng)過(guò)兩年的宣傳,某體育健康機(jī)構(gòu)為制作一期《達(dá)標(biāo)成年人》的紀(jì)錄片,采取
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街頭采訪的方式進(jìn)行拍攝,當(dāng)采訪到第二位“達(dá)標(biāo)成年人”時(shí),停止當(dāng)天采訪■記采訪的18-64歲的市民數(shù)
為隨機(jī)變量X(X22),且該市隨機(jī)抽取的18-64歲的市民是達(dá)標(biāo)成年人的概率為看抽查結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)求某天采訪剛好到第五位可停止當(dāng)天采訪的概率;
(2)若抽取的18-64歲的市民數(shù)X不超過(guò)n的概率大于|,求整數(shù)九的最小值.
19.懸鏈線的原理運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程.通過(guò)建立坐標(biāo)系,懸鏈線可表示為雙
曲余弦函數(shù)麗(x)=絲芽二的圖象,現(xiàn)定義雙曲正弦函數(shù)sh(x)=心舁,回答以下問(wèn)題:
(1)類比三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系:(sin%),=cos%,(cosx)z=-sin%,寫出sh(%)與ch(%)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系式,并證
明;
(2)對(duì)任意第>0,恒有s/i(%)>a%成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求/(%)=ch(%)-cos%-/的最小值.
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參考答案
1.5
2.2
3.0
4.C
5.B
6.D
7.C
8.A
9.ACD
10.XBD
11.AD
12.|或0
13.〃>)=?"(答案不唯一);;?/(久)=—/+2/(答案不唯一)
14.0.57
15.1?:(1)
在中,由正弦定理知肅而=而海,所以器=筌,解得B0=6,
在人皿£中,由余弦定理知cosWBE=比第捍,所以江啜騎能
化簡(jiǎn)得5BE2—36BE—140=0,解得BE=10或—3舍負(fù)),
故BE的長(zhǎng)度為BE=10;
(2)
在84BE中,由余弦定理知,BE2=BA2+AE2-2BA-AE-cos^BAE,
^T^lOO=BA2+AE2+BA-AE,所以(BZ+AE')2-BA-AE=100,
即(BA+AE)2-100=BA-AE<+當(dāng)且僅當(dāng)84AE=型晅時(shí),等號(hào)成立,
43
此時(shí)aB2+AE)2=100,BA+HE的最大值為苧,
所以三角形ABE周長(zhǎng)的最大值為亨+10.
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16.解:(1)
a2a=2
依題意,可得,b=F
+4b2
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:[+9=1;
4,D
如圖,當(dāng)直線/的斜率k=0時(shí),可得的=七=0,顯然滿足的=92
'%=my+1
當(dāng)kHO時(shí),不妨設(shè)直線/:%=my+1,由名+及.=1,消去工,整理得,(3/n2+4)y2+6my-9=0,
,43
y1+y2~—1-------a
顯然4>0,設(shè)M(xi,yi),N(%2,y2),則由韋達(dá)定理,,3啄+4,故=a(+),
yi?丫2=—2
32m2+4
因4(—2,0),B(2,0),貝收1=^^,七=登,
貝|]3自_的=膏7丫23丫1(久2—2)一丫2(為1+2)3yiOy2-l)-y2Oyi+3)
%2-2—(%1+2)(%2-2)(汽1+2)(%2—2)
此式的分子為:3y1(my2-l)-y2(my1+3)=2my1y2-3y1-3y2=3(yt+丫2)-3(%+y2)=。,
故得3kl=k2,即七="k2,得證.
17.解:⑴
由條件可知NCBD=4ABD=45°,BC=CD=",BD=2,
則4D=yjAB2+BD2-2AB-BDcoszXBD=2=yjAB2-BD2
即-2D8為等腰直角三角形,所以乙4DC=135。,
取的中點(diǎn)F,連接CF,;.乙DCF=45°今。/〃力。,
因?yàn)閆Du平面DAE,CFC平面ZME,
所以CF〃平面D4E,
又因?yàn)樗倪呅蜝DEN為矩形,點(diǎn)P為線段EN中點(diǎn),所以PF〃DE,
同理有PF〃平面D4E,
第6頁(yè),共10頁(yè)
而PFnCF=F,PF、CFU平面CFP,
所以平面CFP〃平面D4E,
因?yàn)镃Pu平面CFP,所以CP〃平面D4E;
取AD的中點(diǎn)0,連接E0,OB,
根據(jù)題意知=瓦42+E02,即AADE為等腰直角三角形,
EO1AD,BO=居E。=1,BE=^BD2+DE2=m=^JBO2+EO2,
貝怩。1BO,
因?yàn)锽。CiAD=OQB、ADu底面ABCD,所以E。1底面ABCD,
過(guò)。作Oy1AD,易知。y〃BD〃EN,
如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,易知4(1,0,0),。(―1,0,0),B(—1,2,0),E(0,0,1),
設(shè)P((U,1)(4G(0,2)),則而=(1,A,1),^4=(2,0,0),麗=(-1,2-1),
設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為三=(久,y,z),
(n-DA=2x—0
,令z=-A,則x=0,y=1,即71=(0,1,—2),
[n-AP=x+Ay+z=0
n-EB12+^176
設(shè)直線BE與平面PAD所成的角為a,sina=|cosn,EB|=
|n|.\EB\—J6Q+斗)一丁
解之得即|EP|/
18.解:(1)
依題意,采訪的前四位中有一位是達(dá)標(biāo)成年人,第五位必是達(dá)標(biāo)成年人,
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因抽取的市民只有“是達(dá)標(biāo)成年人”或“不是達(dá)標(biāo)成年人”兩個(gè)結(jié)果,且抽查結(jié)果相互獨(dú)立,故這是個(gè)打
重伯努利概型.
故“這一天采訪剛好到第五位可停止當(dāng)天采訪”的概率為盤X^X《)3X,急;
(2)
依題意,可列出隨機(jī)變量X(XN2)的分布列:
X2345n
心X(/x|WX《)2X(|)2或X0)2x(,)3*X《)2x(|)n-2
P學(xué)
2
于是&2+禺X?)2X|+C|X(j)X(|)2+..?+*X(j)2X哥一2>
化簡(jiǎn)得,![l+2x|+3x(|)2+-+(n-1)x(|)"-2]>|,
即1+2)|+3)(|)2+-??+(n-1)X(|)n-2>6(*)
不妨記S=1+2X|+3X(|)2+.??+(n-1)X(§n-2①
貝u|s=lx|+2x(|)2+3x(|)3+-+(n-1)x(|)時(shí)1②
由①一②,可得,=1+|+(|)2+(|)3+…+(|)n-2-(n-l)x俞1,
sn1
即1=[0-1)x(|)T=3-3x(|)n-i-(n-l)x(|)nT=3-(n+2)x(j)"-,
故得,S=9-(2n+4)x(令n-2,代入(*)整理得,(2n+4)x仔產(chǎn)菖<3.
2
設(shè)冊(cè)=(2n+4)x(j)n-2,(n>2,neN*),
?.Q/i+i(2TI+6)xi4n+12-一-r心一r、口、耳、一山八七」
由河=3+4)X(7-2=藐。<1可知,{冊(cè)}是遞減數(shù)列,
又。6=16*《)4=譽(yù)>3,而。7=18*(|)5=塞<3,故整數(shù)n的最小值為7.
Jo1oZ4-a
19.解:⑴
平方關(guān)系:ch2(x)-sh2(x)=1;
和角公式:ch(x+y)=ch(x)ch(y)+sh(%)式(y);
h(x)=ch(x)
導(dǎo)數(shù):
'-ch(x)=sh(x)
理由如下:平方關(guān)系,Ch2(x)-s/l2(x)=("號(hào)二)2一(笆蓑二)?
第8頁(yè),共10頁(yè)
=-+i+2?+i2=
44'
入,?、e%+y+e*y
ch(x+y)=---------------,
一J,1,、PX+p~xpy+p~yx_-xy_-y
和角公式:c/i(x)c/i(y)+s/i(%)sh(y)=---------------------+--P---p-------p---p---
Qx+y_i_Qx~y+x+y_i_^―%—y^x+y_Qx~y—x+y_i_y
=---------------------4---------------------+--------------------4--------------------
ex+y+e~x~y
二2
故ch(久+y)=ch(x)ch(y)+sh(x)sh(y');
導(dǎo)數(shù):sh'(X)=e_:e_)=e或e_=麗刀,ch!(x)=-=shx;
(2)
構(gòu)造函數(shù)F(x)=sh(x)-ax,xG[0,+oo),由(1)可知F'(x)=c/i(x)-a,
i.當(dāng)aW1
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