2025年上海市數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)：等式與不等式（講義）含詳解

專題02等式與不等式（講義）

01知識梳理

一、等式與不等式

1.不等式的依據(jù)：實數(shù)的有序性，即a>b?a-b>0;a<b<=>a-b<0;a=b?a-b=0;

2.等式與不等式的性質(zhì)：

性質(zhì)等式不等式

意義a二bG-b=0a>b=a-b>0;a<b=a-b<0

傳遞性a=b,b=cO二ca>b,b>c=一a>c

加法性質(zhì)a=bG+c=b+ca>b^a+c>b+c

推論a=b,c=d一a+c=b+da>b,c>d>a+c>b+d

推廣上-1

乘法性質(zhì)a=b一ac=bca>b,c>0-^ac>bc;a>b,c<0^ac<bc

推論a=b,c=d=ac=bda>b>0,c>d>0-^ac>bd

a1=b,(i￡N,i>2)a1>bi>0(ieN,i>2)

推廣

-a?...an~bib2一a1a2...an>bib2…bn。

...bn

乘方性質(zhì)a=b,n￡N,n>l^an=bna>b>0,n￡N,n>l>an>bn>0

開方性質(zhì)

a=b>0,n￡N,n>l^Va=Vb>0a>b>0,n￡N,n>2^>Va>Vb>0

|

一】I

?》—?一

a8/0a>b,ab>0社K

倒數(shù)性質(zhì)■h

L證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.

2.有關(guān)分式的性質(zhì)

bb+mbb-m

(1)若a>b>0,m>0,貝?。菀?lt;----；->--------(Z?-m>0).

aa+maa-m

,,廠11

⑵右ab>0,且。泌氣〈彳

二、基本不等式

..-a+b

1.基本不等式：y]ab<T^~

⑴基本不等式成立的條件:->0,Z?>0.

(2)等號成立的條件：當且僅當歸立時，等號成立.

a+b_

(3)其中M叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平t均數(shù)，板叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2.基本不等式的證明

(1).代數(shù)證法

要證J而<"b,只要證2，而<a+b①

2

要證①，只要誦a-bWO②

要證②，只要證-(VI-而24(x1)

要證③，只要證^-Vb)2>0@

顯然④成立，當且僅當i=b時，④中的等號成立

(2).幾何證法

如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD,BD.可證

△ACD-ADCB,因而CDZab.由于CD小于或等于圓的半徑，用不等式表示為石顯然，當且僅當點

C與圓心重合，即當a=b時，上述不等式的等號成立.

例已知a,b,c都是正數(shù)，證明：,卜，)(a+b+b+Ja+J2

證明：

,3—島+擊+土)

??拈皓曲+隹+匍+冷密歸C+2+2+y，

即Q+b+c）（士

\aTOb-rca-rd2

三、幾個重要不等式

1.幾個重要的不等式

（1>2+b2>2ab（a,b^R）.（2），號2（。,b同號）.

（a+Z?\H+Zrfa+

（3）^<L—J2（tz（&GR）.,beR）.

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

四、最值定理

⑴已知x,y都是正數(shù)，如果積孫等于定值P,那么當x=y時，和x+y有最小值2乖.

（2）已知尤,y都是正數(shù)，如果和尤+y等于定值S,那么當尤=y時，積孫有最大值為乙

注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

五、三角不等式

@|a+b|<|a|+|b|（當且僅當ab>0時，等號成立）

@|a-b|<|a|+|b|（當且僅當ab<0時，等號成立）

⑧||a|-|b歸a+b|（當且僅當ab<0時，等號成立）

@||a|-|b||<|a-b|（當且僅當ab>0時，等號成立）

即a、b￡R=>||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|

六、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表

判別式

/>0J=O/<0

4=b2-4ac

y

?

二次函數(shù)y-ax2+bx+\1

卜4

c（a>0）的圖象O2

0詒電金or-^

有兩相等實

有兩相異

—元二次方程ax1+bx+c沒有

根Xl=X2

實根為,

=O(〃>O)的根b實數(shù)根

X2（X1<X2）二-五

“x2+for+c>0(〃>O)的解集{小<X1或X>X2}{如￥%1}{x|x^R}

ax1+Z?x+c<0(〃>0)的解集{X\X\<X<X2}00

七、分式不等式

(1)手〉O=/(x)?g(x)〉O

g(x)

(2)器<0=/(x),g(x)<0

(3)^^200f(x)?g(x)>0

g(x)g(x)豐0

f(x)?g(x)<0

(4)

g(x)g(X)H。

八、絕對值不等式

(1)|/(x)|>|g(x)|o"(切2>[g(初2

(2)|/(x)|>g(x)(g(x)>0)Of(x)>g(x)或f(x)<-g(x)；

|/(刈<g(x)(g(x)>0)o-g(x)</(x)<g(x);

(3)含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分段法和圖象法求解

九、一元高次不等式及其解法

1、概念

只含有一個未知數(shù)，最高次項的次數(shù)高于二次的不等式稱為高次不等式.

2、一元高次不等式的解法

一元高次不等式的常用解法是數(shù)軸標根法，又稱穿針引線法，其具體步驟為

1.化形：將不等式的一側(cè)化為一次因式或二次不可約因式的積，且每個因式最高次項的系數(shù)為正，另一側(cè)化為

0;

2.求根，標根；求出各因式所對應(yīng)的方程的根，在數(shù)軸上依次標出

溫馨提示:要仔細區(qū)分點的虛實.

3.畫曲線；數(shù)軸的最右端上方起，從右到左依次經(jīng)過各個根畫曲線；

溫馨提示:奇次重根穿過數(shù)軸，偶次重根穿而不過.

4.寫解集：在數(shù)軸上畫出曲線后，根據(jù)不等號的方向，寫出不等式的解集.

溫馨提示：

1.考慮端點是否能取到；2.各因式中最高次項系數(shù)必須為正.

例：不等式(X2-9)(x-2)X)的解集是.

答案：{x|-3<xV2或x>3}

十、解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟

⑴根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類.

⑵根據(jù)判別式/與0的關(guān)系判斷根的個數(shù).

(3)有兩個根時,有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論.

十一、恒成立問題求參數(shù)的范圍

L一元二次不等式的恒成立問題對一元二次不等式的恒成立問題的考查常有以下幾種形式：

(1)在R上恒成立；

(2)在給定區(qū)間上恒成立；

(3)給定參數(shù)范圍的恒成立.

處理此類問題的常用方法有：①分參法；②函數(shù)法；③變換主元法.

2.一元二次不等式在R上恒成立的條件

a>0,

(1)不等式ax2+bx+c>0(。川)對任意實數(shù)x恒成立白

J<0.

[〃<(),

(2)不等式ax2+bx+c<0(存0)對任意實數(shù)x恒成立國

[j<0.

注意：只要二次項系數(shù)含參數(shù)，必須討論二次項系數(shù)為零的情況.

3.給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法

⑴函數(shù)法：若為0>0在給定集合上恒成立，可利用一元二次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化為等價不等式(組)求范圍.

(2)分參法：轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)危)的值域為[加，n\,貝！]加)加恒成立不工加侖。；即m>a；j{x)<a恒

成立=^(x)max0Q,BPn<a.

4.給定參數(shù)范圍的恒成立問題解法

解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù).一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰

就是參數(shù).即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.

02跟蹤訓(xùn)練

一、單選題

1.已知則下列不等式正確的是()

%

A.l-x<l-yB.x2>y2C.|-I>lD.xz>yz

y

2.若a<人<0,則下列不等式一定成立的是（）

11

A.>—B.a1<ab

a-bb

bb+1

C.<D.an>bn

aa+1

3.下列不等式恒成立的是（）

A.%與2口,Ja+b^

B.ab>\------

abI2)

C.a+b>2J\ab\D.a2+b2>-2ab

4.已知a,b為實數(shù),且〃力力。，則下列命題錯誤的是（）

―什a+b、

A.右a>0,b>0,則>4abB.若---->\[ab,則。>0,b>0

22

.什a+b

C.右aib,則>y[abD.右2>y[ab,則疝b

2

5.不等式（x+3）（x-l『（x—2）&0解集為（)

A.{%|%工一3或X22}B.{%|X4—3或尤21}

C.{x\-3<x<l^x>2]D.{%|工二一3或尤=1或無22}

函數(shù)y=3x+g（x>o）的最小值是（）

6.

A.4B.5C.3亞D.2A/3

7.已知a>0,則的最小值為（）

a

A.2B.3C.4D.5

8.函數(shù),=/+/_5（尤2>5）的最小值為（)

A.2B.5C.6D.7

9.已知正數(shù)。，匕滿足a+2Z?=l,則（）

111

A.ab>-B.ab>-C.0<ab<-D.0<ab<—

8888

10.,若a>0,b>0,^a+b=ab,則2a+Z?的最小值為()

A.3+20B.2+20C.6D.3-2V2

71

11..已知實數(shù)a>l,b>0,滿足a+b=3,則=+:的最小值為()

a-1b

A3+2>/2B3+20「3+4近D3+4近

42'"2,4

12..對任意給定的實數(shù)a,b,有時-網(wǎng)且等號當且僅當（）成立.

A.ab^OB.a(a—&)>0C.ab>0D.b(a—b)>0

13.己知。都是實數(shù)，實數(shù)c滿足c=|a+目一司,實數(shù)d滿足d=|2a,|判斷以下哪個選項正確（）

A.對任意的實數(shù)。、b,恒有/成立B.若c=d,則a6W0

C.若c=d,則a20,b>0D.不存在實數(shù)a、b,使得cWd

14.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過

這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點/在半

圓。上，點C在直徑A3上，且口，設(shè)AC=a,BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為（）

a+

A.^>4ab^a>0,Z?>0)B.a1+b2>2y[ab(?>0,Z?>0)

2

。

Ita+b

C.—^―<yfab{ct>0,Z?>0)D.<(tz>0,Z?>0)

a+b2

15.己知關(guān)于x的不等式Y(jié)一依+bwo的解集為何2<彳<3},則關(guān)于x的不等式d-6元+a<（）的解集為（）

A.|x|2<x<3}B.1x|l<x<3}

C.{x|2<x<5|D.{x|l<x<5|

16.已知62+6x+c>o的解集為{x|-l<x<2},則不等式。卜?+1）+仇x-l）+c<2辦的解集為（）

A.{x|0<x<3}B.{九|%>0}

C.{x[%<0或x〉3}D.[x\x>3]

17.已知甲一小乙：關(guān)于“的不等式昔<°（。的，若甲是乙的必要不充分條件,則。的取值范圍是（）

A.a>lB.a>\C.a<0D.a<0

18.關(guān)于x的方程a?+（a+2）x+9a=0有兩個不相等的實數(shù)根為,巧,且玉<1<々，那么。的取值范圍是（）

22

C.。<—D.-----<。<0

711

19.設(shè)X,y,z>O,4z=4x+—,Z?=4y+-,c=4z+—,貝!Ja,。,c三個數(shù)()

yzx

A.都小于4B.至少有一個不大于4

C.都大于4D.至少有一個不小于4

+

20.已知左eN*,x,y,zeR,若左（肛+yz+zx）>5（工2十%?）,則對此不等式描述正

確的是

A.若％=5,則至少存在一個以x,y,z為邊長的等邊三角形

B.若左=6,則對任意滿足不等式的x，y，z鄢奇庫以x,y,z為邊長的三角形

C.若k=7,則對任意滿足不等式的x,%z都有性以x,y,z為邊長的三角形

D.若k=8,則對滿足不等式的x，y，z不奇庫以羽y,z為邊長的直角三角形

二、填空題

21.已知實數(shù)X，y滿足-1<尤<、<1,則x+y的取值范圍是.

22.已知：a>b>c>0,A=ab+be,B=ac+b2,C=a2+b2,貝！JA、B、C大小關(guān)系是.

23.若實數(shù)羽y,z2O,且％+y+z=4,2%-y+z=5,則M=4%+3y+5z的取值范圍是.

24.不等式x：9x+ll」7的解集為___.

廠一2尤+1

25.關(guān)于彳的不等式5x+l+J2尤-1>4x-2+4-1的解集是.

26.函數(shù)丫=%+上7(x>2)取得最小值時的x值為_____.

x+1

27.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今

有邑，東西七里，南北九里，各中開門，出東門一十五里有木，問出南門幾何步而見木？”其算法為：東門南到城

角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)以樹距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即出南門

x里見到樹，則.若一小城，如圖所示，出東門1500步有樹，出南門1200步能見到此樹，則該

小城的周長的最小值為________里(注：1里=300步).

函數(shù)〃》4)=)+，,+￡］的最小值為￡,則實數(shù)機取值的集合

28.已知正實數(shù)x,y滿足x+y=m,

為.

X

29.己知實數(shù)x，y滿足段-24+卜-才=|2*7|且尸0,則］的最小值是

30.己知關(guān)于x的不等式k+U+|x-a歸5有解，則實數(shù)。的取值范圍為.

31.對任意實數(shù)無，若不等式歸-1|+歸-恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是

32.若關(guān)于x的不等式|尤-1|-|尤-2性片+a+l有解，則實數(shù)。的取值范圍是.

33.已知函數(shù)〃力=/+2依+8(a>0),集合A=｛中(尤)4。｝,<8|,若A=3w0,則"的取

值范圍為.

34.解不等式:

35.解下列一元二次不等式：

⑴2/-2缶+1>0;

(2)爐+x—1<0;

(3)-3X2+5X-4>0;

(4)(2X-1)2<4；

(5)(x+1)(尤+2)<(x+l)(2—x)+l；

(6)(3x+2)(無+2)>4.

36.⑴求不等式|3-2x閆x+l|的解集；

(2)已知a<4,若卜―4|+歸-4的最小值為3,求實數(shù)“的值；

(3)若不等式|2a+l|+|2a-1以2a+閡+|2a-時對于任意非零實數(shù)°恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

37.建設(shè)生態(tài)文明是關(guān)系人民福祉、關(guān)乎民族未來的大計，是實現(xiàn)中國夢的重要內(nèi)容.習(xí)近平指出：“綠水青山就

是金山銀山”.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)決定開墾荒地打造生態(tài)水果園區(qū)，其調(diào)研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水果樹的產(chǎn)量w(單位：千克)

5X2+10(0<X<2)

與肥料費用10x(單位：元)滿足如下關(guān)系：w(x)=<,33530.此外，還需要投入其它成本(如施肥的

-----------(2<x<5)

I8x

人工費等)20%元.已知這種水果的市場售價為16元/千克，且市場需求始終供不應(yīng)求.記該棵水果樹獲得的利潤

為"X)(單位：元).

(1)求/(X)的函數(shù)關(guān)系式

(2)當投入的肥料費用為多少時，該水果樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

38.已知函數(shù)〃xbSi+l)%2-(m-l)x+m-l.

(1)若不等式/"(%)<1的解集為R,求m的取值范圍；

⑵解關(guān)于尤的不等式/(x)>(m+l)^；

⑶若不等式/'(x"。對一切xe恒成立，求機的取值范圍.

39.如果函數(shù)y=/(x)滿足以下兩個條件，我們就稱y=/(x)為L型函數(shù).

①對任意的xe(o,l),總有/(x)>0；

②當士>0,%>。，占+工2<1時，總有了(占+/)</(占)+/(工2)成立.

⑴記g(無)=f+g,求證：y=g(x)為L型函數(shù)；

(2)設(shè)b^R,記0(%)=1no+b),若y=p(x)是L型函數(shù)，求b的取值范圍；

⑶是否存在L型函數(shù)y="%)滿足：對于任意的相?。,4),都存在毛￡(0,1),使得等式―(%)=加成立？請說明理由.

專題02等式與不等式（講義）

01知識梳理

二、等式與不等式

1.不等式的依據(jù)：實數(shù)的有序性，即a>b=a-b>0;a<b=a-b<0;a=b=a-b=。；

2.等式與不等式的性質(zhì)：

性質(zhì)等式不等式

意義a=b=a-b=0a>b=a-b>0;a<b=a-b<0

傳遞性a=b,b=c=a=ca>b,b>c=一a>c

加法性質(zhì)a=b=a+c=b+ca>b=a+c>b+c

推論a=b,c=d一a+c=b+da>b,c>d>a+c>b+d

推廣上-1

乘法性質(zhì)a=b一ac=bca>b,c>0-^ac>bc;a>b,c<0^ac<bc

推論a=b,c=d=ac=bda>b>0,c>d>0-^ac>bd

a1=b,(ieN,i>2)ai>bi>0(iEN?i>2)

推廣

-a?...an~bib2一a1a2...an>bib2…bn。

...bn

乘方性質(zhì)a=b,n￡N,n>l^an=bna>b>0,n￡N,n>1>an>bn>0

開方性質(zhì)

a=b>0,n￡N,n>l->Va=Vb>0a>b>0,n￡N,n>2^>Va>Vb>0

一】I|

?》—?一

a8/0a>b,ab>0社K

倒數(shù)性質(zhì)■h

L證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.

2.有關(guān)分式的性質(zhì)

bb+mbb-m

(1)若a>b>0,m>0,貝?。菀?lt;----；->--------(Z?-m>0).

aa+maa-m

,,廠11

(2)右ab>0,且。>人0,<分

二、基本不等式

..-a+b

1.基本不等式：y]ab<T^~

⑴基本不等式成立的條件:->0,Z?>0.

(2)等號成立的條件：當且僅當歸立時，等號成立.

a+b_

(3)其中M叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平t均數(shù)，板叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2.基本不等式的證明

(1).代數(shù)證法

要證J而<"b,只要證2，而<a+b①

2

要證①，只要誦a-bWO②

要證②，只要證-(VI-而24(x1)

要證③，只要證^-Vb)2>0@

顯然④成立，當且僅當i=b時，④中的等號成立

(2).幾何證法

如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD,BD.可證

AACD-ADCB,因而CD=Wb.由于CD小于或等于圓的半徑，用不等式表示為2'顯然，當且僅當點

C與圓心重合，即當a=b時，上述不等式的等號成立.

例已知a,b,c都是正數(shù)，證明：,卜，)(a+b+b+Ja+J2

證明：

,3—島+擊+土)

??拈皓曲+隹+匍+冷密歸C+2+2+y，

即Q+b+c）（士

\aTOb-rca-rd2

三、幾個重要不等式

1.幾個重要的不等式

（1>2+b2>2ab（a,b^R）.（2,+號2（。,b同號）.

（a+Z?\H+Zrfa+

（3）^<L—J2（tz（&GR）.,beR）.

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

四、最值定理

⑴已知x,y都是正數(shù)，如果積孫等于定值P,那么當x=y時，和x+y有最小值2乖.

（2）已知尤,y都是正數(shù)，如果和尤+y等于定值S,那么當尤=y時，積孫有最大值為乙

注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

五、三角不等式

@|a+b|<|a|+|b|（當且僅當ab>0時，等號成立）

@|a-b|<|a|+|b|（當且僅當ab<0時，等號成立）

⑧||a|-|b歸a+b|（當且僅當ab<0時，等號成立）

@||a|-|b||<|a-b|（當且僅當ab>0時，等號成立）

即a、beR=>||a|-|b|^|a±b|<|a|+|b|

六、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表

判別式

/>0J=O/<0

4=b2-4ac

y

?

二次函數(shù)y-ax2+bx+\1

卜4

c（a>0）的圖象O2

0詒電金or-^

有兩相等實

有兩相異

—元二次方程ax1+bx+c沒有

根Xl=X2

實根為,

=0(〃>0)的根b實數(shù)根

X2（X1<X2）二-五

ax2+for+c>0(〃>0)的解集{小<X1或X>X2}{如￥%1}{x|x^R}

ax1+Z?x+c<0(〃>0)的解集{X\X\<X<X2}00

七、分式不等式

⑴券〉。"辦g（x）〉。

(2)得。…g(x)<0

(3)^^200f(x)?g(x)>0

g(x)g(x)豐0

f(x)?g(x)<0

(4)

g(x)g(X)H。

八、絕對值不等式

(1)|/(x)|>|g(x)|o"(切2>[g(初2

(2)|/(x)|>g(x)(g(x)>0)Of(x)>g(x)或f(x)<-g(x)；

|/(刈<g(x)(g(x)>0)o-g(x)</(x)<g(x);

(3)含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分段法和圖象法求解

九、一元高次不等式及其解法

1、概念

只含有一個未知數(shù)，最高次項的次數(shù)高于二次的不等式稱為高次不等式.

2、一元高次不等式的解法

一元高次不等式的常用解法是數(shù)軸標根法，又稱穿針引線法，其具體步驟為

1.化形：將不等式的一側(cè)化為一次因式或二次不可約因式的積，且每個因式最高次項的系數(shù)為正，另一側(cè)化為

0;

2.求根，標根；求出各因式所對應(yīng)的方程的根，在數(shù)軸上依次標出

溫馨提示:要仔細區(qū)分點的虛實.

3.畫曲線；數(shù)軸的最右端上方起，從右到左依次經(jīng)過各個根畫曲線；

溫馨提示:奇次重根穿過數(shù)軸，偶次重根穿而不過.

4.寫解集：在數(shù)軸上畫出曲線后，根據(jù)不等號的方向，寫出不等式的解集.

溫馨提示：

1.考慮端點是否能取到；2.各因式中最高次項系數(shù)必須為正.

例：不等式(X2-9)(x-2)X)的解集是.

答案：{x|-3<xV2或x>3}

十、解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟

⑴根據(jù)二次項系數(shù)為正、負及零進行分類.

⑵根據(jù)判別式/與0的關(guān)系判斷根的個數(shù).

(3)有兩個根時,有時還需根據(jù)兩根的大小進行討論.

十一、恒成立問題求參數(shù)的范圍

L一元二次不等式的恒成立問題對一元二次不等式的恒成立問題的考查常有以下幾種形式：

(1)在R上恒成立；

(2)在給定區(qū)間上恒成立；

(3)給定參數(shù)范圍的恒成立.

處理此類問題的常用方法有：①分參法；②函數(shù)法；③變換主元法.

2.一元二次不等式在R上恒成立的條件

a>0f

(1)不等式ax2+bx+c>0(。邦)對任意實數(shù)x恒成立

J<0.

a<0,

(2)不等式ax2+bx+c<0(存0)對任意實數(shù)x恒成立

J<0.

注意：只要二次項系數(shù)含參數(shù)，必須討論二次項系數(shù)為零的情況.

3.給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法

⑴函數(shù)法：若加)>0在給定集合上恒成立，可利用一元二次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化為等價不等式(組)求范圍.

(2)分參法：轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)危)的值域為，n\,貝［］加)加恒成立,即m>a；j{x)<a恒

成立=^/(x)max0Q,BPn<a.

4.給定參數(shù)范圍的恒成立問題解法

解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù).一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當主元，求誰的范圍，誰

就是參數(shù).即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.

02跟蹤訓(xùn)練

一、單選題

1.已知則下列不等式正確的是()

%

A.l-x<l-yB.x2>y2C.|-I>lD.xz>yz

y

【答案】A

【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷A項正確，D項錯誤，通過舉反例可說明B,C兩項錯誤.

【解析】%一xv一x+1v—y+1,即1—%vl—y,故選項A正確；

X—11

當尤=-L,y=-2時，滿足x>y,但爐=1,9=4,此時Y<y2,1-1=1—|=-<1,故選項B,C錯誤;

y-22

當z<0時，由x>y可得xzcyz,故選項D錯誤.

故選:A.

2.若。<6<0,則下列不等式一定成立的是()

A.------>—B.a2<ab

a-bb

bb+1

C.—<-------D.an>hn

【答案】c

【分析】對A、D,可借助特殊值法舉出反例即可得；對B、C,借助不等式的基本性質(zhì)即可得.

【解析】對A,令a=-2,b=-l,有」===-!=:，故A錯誤；

a-b-1b

對B,由，<b<0,故”2>。人>0,故B錯誤；

對C,—<------|Z?|(|<7|+1)<|a|(|Z>|+1)|a|\b\+\b\<\a\\b\+\a\,

dIA

即只需，回<同，由。<6<0,故例<時,故c正確;

對D,令〃=0,有優(yōu)=k=1,故D錯誤.

故選：C.

3.下列不等式恒成立的是()

2

A.臉屋2a+b

B.ab>

ab2

C.a+b>2J\ab\D.a2+b2>-2ab

【答案】D

【分析】利用特殊值判斷A、C,利用重要不等式判斷B,作差可判斷D；

【解析】解：對于A：若。=1、6=-1時2+/=一2,故A錯誤；

ab

對于B：因為(a-6)220,所以所以」+b：+2ab06,即［等當且僅當。=6時取等號,

故B錯誤;

對于C：若〃=—1、b=-l時，a+干=一2<2^崗=2,故C錯誤;

對于D：因為(a+b)&0,所以儲+〃+2“620,HPa2+b2>-2ab>當且僅當。=6時取等號，故D正確；

故選：D

4.已知a,6為實數(shù)，且。力片0,則下列命題傕誤的是()

A.若a>0,b>0,則“；"B.>4ab,貝?。輆>0,b>0

C.若a'b,則土！2>yjabD.若———>yfab,則ob

22

【答案】C

【分析】對于A,利用基本不等式判斷，對于B,由己知結(jié)合完全平方式判斷，對于C,舉例判斷，對于D,利用

基本不等式判斷

【解析】對于A,由基本不等式可知當a>0,b>0時，皆2府,當且僅當a=6時取等號，所以A正確，

a+b>0/r—L\2…

對于B,因為疝，a-b^O,所以O(shè)b〉。，且>0,所以a>0,b>0,當且僅當a=b時取等

號，所以B正確，

對于C,若。=-l,6=T,則乎=W<疝=4=2,所以C錯誤，

22

對于D,因為手><石，a-b^O,所以a+b>0.—/LL\2

Ob〉。，5.a+b-2y[ab>0,所以a>0,〃>。，>0,所以

a>0,b>0且a】b,所以D正確，

故選：C

5.不等式(彳+3)(%-1)2(%-2)320解集為()

A.{x|xV-3或xN2}B.{x|xV-3或xNl}

C.{x|-34x41或xN2}D.{x|-3或x=l或2}

【答案】D

【分析】解高次不等式使用穿根法求解.

【解析】根據(jù)高次不等式的解法，使用穿根法如圖得不等式的解集為{尤1》<-3或犬=1或尤22}

故選：D.

6.函數(shù)y=3無+1(x>0)的最小值是()

A.4B.5C.3&D.2月

【答案】D

【分析】利用基本不等式即可得解.

【解析】因為%>0,

所以y=3x4—N2.3x,-=2^/^,

xVx

當且僅當3x=,，即X=走時，等號成立.

X3

則y=3九+：（%>。）的最小值是26.

故選：D.

7.已知。>0,則QH的最小值為（）

a

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】用基本不等式求解即可.

【解析】因為〃>0,

所以—+1=3,當且僅當〃=—即a=1時取等號；

a\aa

故選：B

8.函數(shù)>=》2+總導(dǎo)（尤2>5）的最小值為（）

A.2B.5C.6D.7

【答案】D

【分析】由基本不等式即可求解.

【解析】由—>5可得爐-5>0,所以丫=工2+^^=x2一5+——+522、卜2一5）（」一］+5=7,

x-5x-5丫\/-5J

當且僅當爐-5=，，即x=C時等號成立，

故選:D

9.已知正數(shù)。，力滿足a+2fo=l,則（）

A.ab>—B.ab>-C.0<ab<—D.0<ab<—

8888

【答案】c

【分析】根據(jù)基本不等式直接計算即可.

【解析】由題意得，a>0,b>0,則。6>0,a+2b=l>2^/2ab,即

8

當且僅當4=功，即。=1,6=9時等號成立.

24

故選：C

10.若a>0,b>0,且=則2a+Z?的最小值為（）

A.3+2應(yīng)B.2+2也C.6D.3-20

【答案】A

【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【解析】a>0,b>0,由a+=得'=

ab

2fl+Z>=(2?+Z?)f-+->|=2+1+—+->3+2.=3+272,

\ab)ba\ba

當且僅當學(xué)=2,即a=l+變力=l+&時，等號成立，

ba2

故2a+8的最小值為3+2后.

故選：A

71

11.已知實數(shù)a>l,10,滿足a+6=3,則=7+7的最小值為()

a—1b

A3+272n3+2&c3+4應(yīng)n3+40

A.----------B.-----------C.-----------L).------

4224

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.

【解析】實數(shù)a>l,b>0,由a+Z?=3,得(〃—l)+b=2,

因止匕^^+:=;[(〃-勿(一^+)^^)之:(2ba-lx3+2夜

1)+:=((3+-^+3+2,丁)=^,

a—1b2a—1b2a-