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第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)(測(cè)試)
(考試時(shí)間:120分鐘試卷滿(mǎn)分:150分)
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮
擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分(選擇題共58分)
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要
求的。
1.函數(shù)〃元)=3,一2國(guó)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為()
A.(-/,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(l,+oo)
【答案】C
【解析】令/=/一2|乂,貝仃=3"
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知:
f(尤)的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)r=f-2岡的單調(diào)遞減區(qū)間,
又函數(shù)f(—x)=(—%)--2/X=r(x),
即函數(shù)"X)為偶函數(shù),
結(jié)合圖象,如圖所示,
可知函數(shù)/=犬-2忖的單調(diào)遞減區(qū)間為和(0,1),
即的單調(diào)遞減區(qū)間為(-叫-1)和(0,1).
故選:C.
2.二維碼與我們的生活息息相關(guān),我們使用的二維碼主要是21x21大小的特殊的幾何圖形,即441個(gè)點(diǎn).
根據(jù)。和1的二進(jìn)制編碼規(guī)則,一共有24*種不同的碼,假設(shè)我們I萬(wàn)年用掉3x1015個(gè)二維碼,那么所有二
維碼大約可以用()(參考數(shù)據(jù):lg2?0.301,lg3?0.477)
A.10切萬(wàn)年B.10.萬(wàn)年C.10四萬(wàn)年D.10.萬(wàn)年
【答案】A
【解析】?"萬(wàn)年用掉3xlOM個(gè)二維碼,
大約能用品萬(wàn)年,
,441,441
15
設(shè)x=-15,貝!J=lg_K=坨2卻一(lg3+lgio)=4411g2-lg3-15?441x0.301-0.477-15?117,
JX1U3X1U
BPx?io117W.
故選:A.
無(wú)2_i_1%<[
3.已知函數(shù)〃尤)=存在最小值,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()
A.(-8,1]B.(-00,1)C.[1,+co)D.(1,+℃)
【答案】A
【解析】當(dāng)xWl時(shí),/(%)=%2+1,
所以〃x)在(-/⑼上單調(diào)遞減,在(?!簧蠁握{(diào)遞增,則/(力.=/(0)=1,
當(dāng)尤>1時(shí),〃x)=2=a,所以〃x)在(L”)上單調(diào)遞增,無(wú)最小值,
根據(jù)題意,〃x)存在最小值,
所以2—。21,即aVL
故選:A.
4.對(duì)函數(shù)〃x)=x+廬,作》=/加)的代換,則不改變函數(shù)值域的代換是()
A./z(r)=sinf,te0,gB./z(/)=sinZ,G[0,7i]
7171D.h(t)=^sint,te[0,2K]
C./?(r)=sinr,te
~292
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃尤)=尤+7^的定義域?yàn)閧X|-1WXW1},且不是周期函數(shù),
當(dāng)犬=〃(。時(shí),其:-l</7(r)<l,
對(duì)于A項(xiàng),當(dāng)/?[。弓]時(shí),0<sinr<l,BP0<h(t)<1,這與-14力⑺41不符合,故A項(xiàng)不成立;
對(duì)于B項(xiàng),當(dāng)fe[O,旭時(shí),0<sin?<l,BpO</z(r)<l,這與-1W〃⑺<1不符合,故B項(xiàng)不成立;
兀TC
對(duì)于C項(xiàng),當(dāng)re時(shí),—IVsintVl,即一1三為⑺W1,故C成立;
對(duì)于D項(xiàng),當(dāng)fe[0,2兀]時(shí),—"sinfVl,即⑺4:,這與—14%。)41不符合,故D項(xiàng)不成立;
故選:C.
5.已知函數(shù)f(x)=(e*+eT卜inx-2在[-2,2]上的最大值和最小值分別為M,N,則V+N=()
A.-4B.0C.2D.4
【答案】A
【解析】令g(x)=〃x)+2=(ex+e-,卜inx,定義域?yàn)镽,
因?yàn)樵冢?2,2]上的最大值和最小值分別為“,N,
所以g(%)在[-2,2]上的最大值和最小值分別為M+2,N+2,
因?yàn)間(—尤)=(尸+e*卜in(-x)=—(b+e*卜血=—g⑺,
所以g(x)為奇函數(shù),g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
所以g(x)的最大值和最小值互為相反數(shù),即Af+2+N+2=0,
所以M+N=T,
故選:A.
6.直線x=4與函數(shù)/(*)=1嗝尤(”1),8(")=1叫”分別交于4,3兩點(diǎn),且|仙=3,則函數(shù)
2
Mx)=〃x)+g(x)的解析式為()
A.h^x)=-log2xB.h{^x)=-log4x
C./z(A:)=log2XD./?(x)=log4x
【答案】B
【解析】由題意可知,定義域?yàn)?0,+8),
函數(shù)”X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,
貝,陰=log“4-logj4=log“4+2,
2
所以10gli4+2=3,
解得a=4,
所以=log4x+logy=log4x-log2%=log4x-210g4=-log4x
2
故選:B.
3
叫已2尤-3+4x,%2—,
3
7.已知函數(shù)/(x)=,3的圖象關(guān)于直線1對(duì)稱(chēng),貝U叫+利+g=(
2e3-2x+mx+叫,x<—
22
A.8B.10C.12D.14
【答案】B
2x
m1e+4x+6,>0,
【解析】依題意,g(無(wú))=/2x°為偶函數(shù),
2e-+m2x+^m2+m3,x<
3
2x
當(dāng)x<0時(shí),g[—x)=mleT—4x+6,g(尤)=2}"+相/十萬(wàn)相?+%
3
由g(-x)=g(x)可知叫=2,祖2=-4,-^=6,
解得町=2,m2=-4,^=12,所以叫+/+?=10.
故選:B
:"V?g(x)=x-3,方程f(g(x))=-3-g(x)有兩個(gè)不同的根,分別是%,%,則
8.已知函數(shù)/(%)=
lnx,x>0,
玉+/=()
A.0B.3C.6D.9
【答案】B
【解析】由題意得:g(x)=x-3為R上的增函數(shù),且g⑶=0,
當(dāng)xV3時(shí),g(x)V0,/(g(元))=ex、-3
當(dāng)x>3時(shí),g(x)>0,/(g(x))=ln(x-3),
方程/(g(尤))=-3-g(元)=-尤有兩個(gè)不同的根等價(jià)于函數(shù)y=〃g(x))與y=T的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),
作出函數(shù)/(g(x))與尸-X的圖象如下圖所示:
由圖可知〉=-3與y=ln(%—3)圖象關(guān)于y=彳-3對(duì)稱(chēng),
則A,8兩點(diǎn)關(guān)于y=x-3對(duì)稱(chēng),中點(diǎn)C在y=x-3圖象上,
y=-x,3_3
由尸A3'解得:°2,-2
3
所以石+犬2=2X/=3.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部
選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
xa
9.函數(shù)/(x)=(aeR)的大致圖象可能是()
【解析】由題意知1-5意o,則xw±l,當(dāng)xe(0,l)時(shí),l-|x|>0,尤">0,f(x)>0,
a
當(dāng)xe(l,+co)時(shí),l-|x|<0,x>0,/(x)<0,
所以的大致圖象不可能為C,
而當(dāng)a為其他值時(shí),A,B,D均有可能出現(xiàn),
不妨設(shè)a=;,定義域?yàn)閇0,1)。,"),此時(shí)A選項(xiàng)符合要求;
當(dāng)a=l時(shí),定義域?yàn)閧x|xw±l},且/(-x)=[J
I,1-1-XI1-IXI
X
故函數(shù)^為奇函數(shù),所以B選項(xiàng)符合要求,
1一|九I
當(dāng)a=2時(shí),定義域?yàn)閧x|xw±l},同==
r2
故函數(shù)/(x)=7^為偶函數(shù),所以D選項(xiàng)符合要求.
l-|x|
故選:ABD
10.己知定義在R上的函數(shù)/⑺滿(mǎn)足f(l+x)+/(l-x)=O,且/(%)不是常函數(shù),則下列說(shuō)法中正確的有(
A.若2為"X)的周期,則/⑺為奇函數(shù)
B.若/⑴為奇函數(shù),則2為八元)的周期
C.若4為/(%)的周期,則/(盼為偶函數(shù)
D.若〃無(wú))為偶函數(shù),則4為“幻的周期
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A:若2是了⑺的周期,則/(尤+2)=/(x),
由/(l+x)+/(l-尤)=0,p]-^/(2+x)=/(1+x+l)=-/(1-x-l)=-/(-%),
所以/(-尤)=-/(尤),所以/CO為奇函數(shù);故A正確;
對(duì)于B:若Ax)為奇函數(shù),貝l]/(-x)=-/(x),
由/(l+x)+/(l-無(wú))=0,/(2+x)=/(I+x+1)=-/(I-%-1)=-/(-%)=/(%),所以2是/(出)的周期,故
B正確;
若4是/(無(wú))的周期,設(shè)/(x)=sin;Tx,貝I]/(1一力+/(1+尤)=sin(7i+7tx)+sin(7r-7tx)=。,
該函數(shù)的最小周期為2兀,故4兀為該函數(shù)的周期,當(dāng)該函數(shù)為奇函數(shù),故C不正確;
對(duì)于D:若Ax)為偶函數(shù),則f(-x)=/(尤),
由"1一x)=f(x-l),可得Id)=-/(x+1),所以〃x)=-f(x+2),
所以/(x+4)=-/(x+2)=/(x),所以4是/⑺的周期,故D正確.
故選:ABD.
4x—x2尤>0
?二'其中⑹=〃c)=2,且a<b<c,則()
{3-1,x<0,
A./[/(-2)]=-32B.函數(shù)g(x)=〃x)-〃2)有2個(gè)零點(diǎn)
4+log31,4
C.a+b+ceD.abc^(^-41og35,0)
【答案】ACD
【解析】/[f(-2)]=/(8)=-32,故A正確;
作出函數(shù)〃x)的圖象如圖所示,
觀察可知,0<4<4,而/(九)?0,4),
故y=〃x),>=/(%)有3個(gè)交點(diǎn),
即函數(shù)g(x)有3個(gè)零點(diǎn),故B錯(cuò)誤;
由對(duì)稱(chēng)性,b+c=4,而aw(log3;,0)
故a+b+ce(4+log3g,4],故C正確;
b,c是方程x?-4x+/i=0的根,故6c=九,
令3-"-1=彳,則a=-k?g3(l+4),
故"0=-21083。+4),而y=X,y=log3(l+%)均為正數(shù)且在(0,4)上單調(diào)遞增,
故必ce(~41og35,0),故D正確,
故選:ACD.
第二部分(非選擇題共92分)
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.若函數(shù)/(x)=ln(e2,-a)r(xwR)為偶函數(shù),則。=.
【答案】-1
【解析】因?yàn)锳x)為偶函數(shù),所以/(r)=/(x),即ln(ei*-a)+x=ln
即ln(l—ae?")—x=ln(e2'—a)—x,即1—ae"=6?,—a,所以a=—1,
故答案為:-1
13.已知函數(shù)〃x)=|lgx|,若/S)=/(b)(awb),則當(dāng)2J3)取得最小值時(shí),/=_____.
b
【答案】log?3
【解析】由/(。)=/修)得-lga=lg:=lgb,即而=1,令z=2J3〃,
貝!Unz=a.In2+b」n3N2jaJn2->ln3=2>/ln21n3
當(dāng)且僅當(dāng)a」n2=6-ln3,即:二曾句用??時(shí),Inz取得最小值,此時(shí)z也取得最小值.
bm2
故答案為:log?3.
14.已知奇函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,f(x+3)=-/(-%),且"2)=0,則“X)在[0,6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最
小值為.
【答案】9
【解析】由小+3)=-/(-力,可得“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)[|,0)對(duì)稱(chēng),
又〃x)是奇函數(shù),所以〃X+3)=-"T)=/(X),
則〃x)的周期為3,所以〃0)=〃3)=〃6)=0,
〃5)=〃2)=0"(4)="1)=〃—2)=—〃2)=。,
而/(1.5)=/(-1.5)=-/(1.5),則/(1.5)="4.5)=0.
故〃x)在[0,6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的最小值為9.
故答案為:9.
四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。
15.(13分)
已知函數(shù)〃尤)=|尤2-無(wú)一?+|尤一2|.
⑴畫(huà)出函數(shù)“X)的圖象;
⑵求關(guān)于x的不等式外“(卜+4的解集.
【解析】(1)由%2_%_2=0,解得尤=2或%=—1,
當(dāng)%22時(shí),f(x)=X2-x-2+x-2=x2-4,
當(dāng)一1v尤v2時(shí),f(x)=-x2+x+2-x+2=4-x2,
22
當(dāng)xW—1時(shí),f(x)=x-x-2-x+2=x-2xf
x2-4,x>2
所以/(%)=<4-X2,-1<X<2,(5分)
-2%,x?-1
畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖所示.
(2)法一:當(dāng)x22時(shí),原不等式轉(zhuǎn)化為尤2—44x+1,得24xW葉丹;
2
當(dāng)—1〈無(wú)<2時(shí),原不等式轉(zhuǎn)化為4-X2VX+1,得士巫WX<2;(9分)
2
當(dāng)xW-l時(shí),原不等式轉(zhuǎn)化為爐一2%4-尤-1,無(wú)解.
法二:當(dāng)4-d=x+l時(shí),解得±河,
1+
數(shù)形結(jié)合可知,當(dāng)/(x)W|x+l|時(shí),~^<X<11^L(12分)
-1+JnI+\/2?
即原不等式的解集為一.(13分)
16.(15分)
已知二次函數(shù)/(X)的最小值為-4,且關(guān)于X的不等式f(x)<0的解集為{X|-3<X<1,^GR}
(1)求函數(shù)/(x)的解析式;
(2)若函數(shù)g(無(wú))與/⑺的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),且當(dāng)尤>0時(shí),g(X?的圖象恒在直線丫=履-4的上方,求
實(shí)數(shù)%的取值范圍.
【解析】(1)因?yàn)?⑺是二次函數(shù),且關(guān)于x的不等式/(x)<0的解集為{x|-3Wx<l,xeR},
所以fM=a(x+3)(x-1),<7>0,
所以當(dāng)%=—1時(shí),/(x)向n=/(—1)=—4。=—4,所以〃=1,
故函數(shù)f(x)的解析式為/(x)=(x+3)(x-1)=X2+2X-3.(6分)
(2)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)與/⑺的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),
所以g(x)=/(-x)=x2-2x-3,
當(dāng)尤>0時(shí),g(x)的圖象恒在直線,=丘-4的上方,
所以g(x)>依-4,在(0,+e)上恒成立,
即無(wú)?-2x—3>fcc-4,所以左〈尤+1一2,(9分)
X
令力(%)=%+,-2(%>0),貝IJ左<"(%)min,
因?yàn)?i(x)=x+』—222」%,一2=0(當(dāng)且僅當(dāng)x=L即%=1時(shí),等號(hào)成立),
X\XX
所以實(shí)數(shù)上的取值范圍是(-8,。).(15分)
17.(15分)
正安縣是中國(guó)白茶之鄉(xiāng).在飲用中發(fā)現(xiàn),茶水的口感與水的溫度有關(guān).經(jīng)實(shí)驗(yàn)表明,用100℃的水泡制,
待茶水溫度降至60℃時(shí),飲用口感最佳.某實(shí)驗(yàn)小組為探究室溫下剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置
時(shí)間,每隔Imin測(cè)量一次茶水溫度,得到茶水溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)如下表:
時(shí)間/min012345
水溫/℃1009182.978.3772.5367.27
設(shè)茶水溫度從ioo℃經(jīng)過(guò)皿M后溫度變?yōu)楝F(xiàn)給出以1F三種函數(shù)模型:
①y=cx+b(c<0,x20);
②y=ca*+Z?(c>0,0<a<l,xNO);
③y=loga(尤+c)(a>l,c>0,x20).
(1)從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實(shí)驗(yàn)的函數(shù)模型,并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式;
⑵根據(jù)(1)中所求函數(shù)模型,求剛泡好的白茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間(精確到0。1);
(3)考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實(shí),求進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫約為多少.(參考數(shù)據(jù):
lg3=0.477,lg5=0.699)
【解析】(1)由表格數(shù)據(jù)知:函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢,故模型①③不符合,
ca0+b=100c+b=100a=0.9
選模型②,則S+b=91即<ca+b=91,可得<b=l。,
ca2+b=82.9ca2+/?=82.9c=90
所以y=90x0.9'+10且xNO.(5分)
則x=量…4
(2)令y=90x0.9"+10=60,mhi
所以泡好的白茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間為5.54min.(12分)
(3)由0.9Z(0,l],即ye(10,100],所以進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫約為10℃.(15分)
18.(17分)
已知函數(shù)y=O(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)尸(。力)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是丫=雙。+元)-6是奇函數(shù),給定函
數(shù)/(元)=x一_
x+1
⑴求函數(shù)“X)圖象的對(duì)稱(chēng)中心;
(2)判斷了(X)在區(qū)間(0,+◎上的單調(diào)性(只寫(xiě)出結(jié)論即可);
(3)已知函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱(chēng),且當(dāng)xe[0,1]時(shí),g(x)=f-7溫+根.若對(duì)任意再e[0,2],總
存在々e[l,5],使得g(%)=f(X2),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】(1)設(shè)函數(shù)4%)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為33,貝!)/(〃+%)+/(〃—x)—2〃=o,
即(%+Q)---------F(—X+a)-----------2/7=0,
x+a+1—x+a+1
整理得(Q-b)x2=(a-b)(a+1)2-6(Q+1),
,[a—b=O
可得八/i、2j1、_八,解得a=b=-L
底+1)—6(a+l)=0
所以“X)的對(duì)稱(chēng)中心為(-LT).(4分)
(2)函數(shù)/(尤)=尤-一、在(0,+8)上單調(diào)遞增;
X+1
證明如下:
任取再,入2£(。,+8)且芯<無(wú)2,
則/(芯)一/(占)=尤1-一色7—^^=(占一尤2)口+;_J-----],
玉+1x2+1(3+l)(x2+1)
因?yàn)閄],%€(0,+8)且不<%2,可得%-尤2<。且1+;T—二T—17>°,
(X]+1)(%2+1)
所以/(%)-/(%)<0,即/(&)</(馬),
所以函數(shù)y(x)=x-一]在(0,+⑹上單調(diào)遞增.(8分)
X+1
(3)由對(duì)任意芯e意,2],總存在々w[1,5],使得g(%)=/(%),
可得函數(shù)g(x)的值域?yàn)橹涤虻淖蛹?/p>
由(2)知“X)在[1,5]上單調(diào)遞增,故“X)的值域?yàn)椋?2,4],
所以原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(%)在[0,2]上的值域Ac[-2,4],(9分)
m
當(dāng)一40時(shí),即根V0時(shí),g(x)在。1]單調(diào)遞增,
2
又由g⑴=1,即函數(shù)g(%)=/一樞x+也的圖象恒過(guò)對(duì)稱(chēng)中心(1,1),
可知g(X)在(1,2]上亦單調(diào)遞增,故g(可在[0,2]上單調(diào)遞增,
又因?yàn)間(0)=m,g(2)=2-g(0)=2-zn,故A=[/,2-前,
因?yàn)榧?2-司三[一2,4],所以加2—2,2-m<4,解得一2W0,
當(dāng)0<晟<1時(shí),即0(機(jī)<2時(shí),g(x)在(0與單調(diào)遞減,在gl)單調(diào)遞增,
(11分)
因?yàn)間(x)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心(1,1),故g(x)在(1,2-§遞增,在(2-5,2]單調(diào)遞減,
故此時(shí)A=min|g(2),gWj,maxL(0),gf2-^l,
欲使A=[-2,4],
g⑵=2-g(0)=2-〃,2-2g(0)=m<4
只需<mm2且<尤-加+2W4'(13分)
<?(?)=--—+m>-2g(2-r)=2-
解不等式,可得2-2道4mW4,又因?yàn)?<加<2,此時(shí)0<相<2;
當(dāng)時(shí),即機(jī)22時(shí),g(%)在[0』]遞減,在(L2]上亦遞減,
由對(duì)稱(chēng)性知g(%)在[。,2]上遞減,所以A=[2-加,列],
f2—m2—2
因?yàn)閇2-w]a[-2,4],所以〈,解得2W機(jī)W4,
[m<4
綜上可得:實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是-2,4].(17分)
19.(17分)
設(shè)〃次多項(xiàng)式月+%?+即+/(%NO),若其滿(mǎn)足甘,(cosx)=cos依,則稱(chēng)這些多
項(xiàng)式Pn⑺為切比雪夫多項(xiàng)式.例如:由cos6=cos??傻们斜妊┓蚨囗?xiàng)式4。)=x,由cos26=2cos?6-1可
得切比雪夫多項(xiàng)式2
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