2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值（十六大題型）（講義）（原卷版）

第02講函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航...........................................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航...........................................................................3

03考點突破?題型探究...........................................................................4

知識點1：函數(shù)的單調(diào)性.........................................................................4

知識點2：函數(shù)的最值...........................................................................5

知識點3：函數(shù)的奇偶性.........................................................................5

知識點4：函數(shù)的周期性.........................................................................5

知識點5：函數(shù)的對稱性.........................................................................6

解題方法總結(jié)...................................................................................6

題型一：單調(diào)性的定義及判斷....................................................................9

題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷.................................................................10

題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性.....................................................................11

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值.............................................................12

題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍...........................................................12

題型六：利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小.......................................................13

題型七：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明.............................................................14

題型八：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)...............................................................15

題型九：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值.......................................................16

題型十：奇函數(shù)的中值模型.....................................................................16

題型十一：利用單調(diào)性與奇偶性求解函數(shù)不等式...................................................17

題型十二：函數(shù)對稱性的應(yīng)用...................................................................18

題型十三：函數(shù)周期性的應(yīng)用...................................................................19

題型十四：對稱性與周期性的綜合應(yīng)用...........................................................20

題型十五：類周期與倍增函數(shù)...................................................................21

題型十六：抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性..........................................22

04真題練習(xí)?命題洞見..........................................................................23

05課本典例?高考素材..........................................................................24

06易錯分析?答題模板..........................................................................25

易錯點：判斷函數(shù)的奇偶性忽視定義域...........................................................25

答題模板：判斷函數(shù)的奇偶性...................................................................25

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

2023年I卷第4、11題，10分從近幾年高考命題來看，本節(jié)是高

(1)函數(shù)的單調(diào)性2023年甲卷第13題，5分考的一個重點，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶

(2)函數(shù)的奇偶性2022年H卷第8題，5分性、對稱性、周期性是高考的必考內(nèi)

(3)函數(shù)的對稱性2022年I卷第12題，5分容，重點關(guān)注周期性、對稱性、奇偶性

(4)函數(shù)的周期性2021年D卷第8題，5分結(jié)合在一起，與函數(shù)圖像、函數(shù)零點和

2021年甲卷第12題，5分不等式相結(jié)合進(jìn)行考查.

復(fù)習(xí)目標(biāo):

(1)借助函數(shù)圖像，會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義.

(2)結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義.

(3)結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義.

(4)會依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡單的應(yīng)用.

一般地，設(shè)函數(shù)/(.、)的定義域為％區(qū)間DG.4：

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的植

當(dāng)吃K時,都仃/g</(.vj,則/(.v)Th區(qū)間Z)上是增函數(shù).

Y］調(diào)函數(shù)的定義

般地,設(shè)函數(shù)/(.V)的定義域為H區(qū)間。G：

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的值

當(dāng)時，都有/(.vjv/CvJ,則/(x)在區(qū)間。上是減函數(shù).

單調(diào)性

如果函數(shù)尸/(*僑區(qū)間/上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，

單調(diào)區(qū)間的定義

則函數(shù)r=/(x)在這?區(qū)間具有單調(diào)性，區(qū)間/叫做r=/(x)的單調(diào)區(qū)間

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增(減)函

數(shù),內(nèi)層函數(shù)是熠(減)函數(shù),豆合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是熠(減)函數(shù),內(nèi)層函

數(shù)是減(增)函數(shù),復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).

(l)V.vez),都有/(2二監(jiān)

最大值

(2)3.v0ep,使得尸M

最值

(l)V.vep,都有了(、)NM；

最小值

(2)3x0ep,使得/(.城二心

圖像關(guān)于T軸對稱

對于函數(shù)/(K)的定義域內(nèi)任意一個K,都有/(?K)=/(X))

奇偶性

圖像關(guān)于原點對稱

對于函數(shù)/(2的定義域內(nèi)任意一個K,都有/(7)=■/(.x))

/方苒數(shù)丁=/C),如果存在一個非零常數(shù)r,

函數(shù)的性質(zhì)使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時,都有/&+乃=/(2,

那么就稱函數(shù)箕=/(.”為周期函數(shù)

/(?v)=/(.v+?)=>r=|a|)

/(-v)=-/(A+fl)=>T=2|a|

周期性

F------^T=2\a\

f(x+a)

、5=2|0|

f(x+a)

常用周期結(jié)論

人'+加抽”=嗎

2=搐"=4同

/(?"。)=1-焉=7=3|。|

JV'/

/(M=/(x+4)+/(wa)nT=6|a|)

<若函數(shù)7=/(工+。)為偶函數(shù),則函數(shù)j=/(x)關(guān)于x=a對稱)

《若函數(shù)尸/。+。)為奇函數(shù),則函數(shù)J=/(K)關(guān)于點00)對稱\)

<若/(M=，Qa-x),則函數(shù)/代)關(guān)于對稱)

(若/(2/(2。?2=2瓦則函數(shù)/(M關(guān)于點(。力)對稱、)

老占突硒?力理慳宙

1r知識國*'

知識點1:函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)/（尤）的定義域為A,區(qū)間

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的值占，*2當(dāng)占＜々時，都有/（%）＜/（無2），那么就說了⑺在區(qū)間

D上是增函數(shù).

如果對于。內(nèi)的任意兩個自變量的值不，x2,當(dāng)不＜/時，都有人占卜〃々），那么就說了（%）在區(qū)

間D上是減函數(shù).

①屬于定義域A內(nèi)某個區(qū)間上；

②任意兩個自變量％,%且為＜工2；

③都有/（%］）＜f（x2）或/（Xj）＞〃尤2）；

④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的.

（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)〃尤）在區(qū)間。上具

有單調(diào)性，。稱為函數(shù)/（尤）的單調(diào)區(qū)間.

②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì).

（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是

增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減

函數(shù).

【診斷自測】（2024?高三?上海楊浦?期中）已知函數(shù)y=/（x）,xeR.若/⑴＜〃2）成立，則下列論

斷中正確的是（）

A.函數(shù)/（x）在（YO,+CO）上一定是增函數(shù)；

B.函數(shù)/（x）在（-＜?,+＜?）上一定不是增函數(shù)；

C.函數(shù)/(x)在(-w,y)上可能是減函數(shù)；

D.函數(shù)/(x)在(YO,+CO)上不可能是減函數(shù).

知識點2：函數(shù)的最值

一般地，設(shè)函數(shù)y=〃x)的定義域為。，如果存在實數(shù)M滿足

①VxeD,都有②罵e。，使得"%)=M,則M是函數(shù)y=/(x)的最大值;

①VxeD,都有②王0e。，使得"Xo)=M,則M是函數(shù)y=〃x)的最小值.

【診斷自測】(2024?高三?北京?開學(xué)考試)函數(shù)y=—1-1+無(xZ3)的最小值為____.

X-1

知識點3：函數(shù)的奇偶性

函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點

奇偶性定義圖象特點

如果對于函數(shù)/(%)的定義域內(nèi)任意一個X,都有

偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱

/(-%)=/(X),那么函數(shù)/(X)就叫做偶函數(shù)

如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個X,都有

奇函數(shù)關(guān)于原點對稱

/(-%)=-/(%),那么函數(shù)/(尤)就叫做奇函數(shù)

【診斷自測】(2024?高三?河北唐山?期末)函數(shù)”X)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，在公共定義域內(nèi)，下

列結(jié)論一定正確的是()

A.〃x)+g(x)為奇函數(shù)B.〃x)+g(x)為偶函數(shù)

C./(x)g(x)為奇函數(shù)D.7(x)g(x)為偶函數(shù)

知識點4：函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：

對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有

〃x+T)=/(x),那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函數(shù)/(無)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么稱這個最小整數(shù)叫做了(X)的最小正周

期.

【診斷自測】若偶函數(shù)〃無)對任意xeR都有〃x+3)=-1，且當(dāng)xe[-3,-2]時，〃尤)=4x,則

/(x)

知識點5：函數(shù)的對稱性

(1)若函數(shù)y=/(x+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)關(guān)于x=。對稱.

(2)若函數(shù)y=/(x+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(a,0)對稱.

(3)若f(x)=f(2a-x),則函數(shù)f(x)關(guān)于x=a對稱.

(4)若/(x)+/(2a-尤)=26，則函數(shù)/(無)關(guān)于點(a，6)對稱?

【診斷自測】若函數(shù)y=g(無)的圖象與y=lnx的圖象關(guān)于直線x=2對稱，則g(x)=.

解題方法總結(jié)

1、單調(diào)性技巧

(1)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

①取值：設(shè)%，%是/(尤)定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且為＜龍2；

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

③定號：判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；

④得出結(jié)論.

(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號一下結(jié)論”進(jìn)行判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)

區(qū)間.

(3)記住幾條常用的結(jié)論：

①若/(》)是增函數(shù)，則-/(X)為減函數(shù)；若/(X)是減函數(shù)，則-為增函數(shù)；

②若/(x)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在/(%)和g(元)的公共定義域上/(x)+g(x)為增(或減)函數(shù)；

1

③若y（x）＞o且，（x）為增函數(shù)，則函數(shù)J府為增函數(shù),為減函數(shù);

f（.x）

④若了（尤）＞0且，（x）為減函數(shù)，則函數(shù)歷5為減函數(shù)，」一為增函數(shù).

/（X）

2、奇偶性技巧

（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱.

（2）奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)/（X）是偶函數(shù)o函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于y軸對稱；

函數(shù)/（X）是奇函數(shù)O函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于原點中心對稱.

⑶若奇函數(shù)y=/（x）在x=0處有意義，則有/（0）=0；

偶函數(shù)y=/（x）必滿足/（X）=/（|x|）.

（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的

兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.

（5）若函數(shù)/（尤）的定義域關(guān)于原點對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記

g（x）=+/（-x）］，，7（x）=:"（x）-/（-%）］，則/（X）=g（x）+h（x）.

（6）運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的

函數(shù)，如/（X）+g（x）,/（無）一g（尤）,，（尤）Xg（尤）,/（尤）+g（尤）.

對于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇土奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇*（十）奇=偶；奇乂（十）偶=奇；偶x（十）偶=偶.

（7）復(fù)合函數(shù)y=f［g（x）］的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

（8）常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)f（x）=m（a+1）（x豐0）或函數(shù)/（%）=m（a.

a-1a+1

②函數(shù)”r）=±3-「）.

③函數(shù)f（x）=loga2土生=loga（1+衛(wèi)-）或函數(shù)f（x）=log。2二”=loga（1一--）

x—mx—mx+mx+m

22

④函數(shù)/（x）=logfl（V^+1+X）或函數(shù)/（x）=loga（Vx+1-x）.

注意:關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)f（尤）=7"+3-（xwO）或函數(shù)了（元）=初-3-（aeR）.

a'-1ax+1

偶函數(shù)：①函數(shù)/（尤）=±（罐+「）.

,7K

②函數(shù)/（%）=loga（a+l）-^.

③函數(shù)/（|尤|）類型的一切函數(shù).

④常數(shù)函數(shù)

3、周期性技巧

函數(shù)式滿足關(guān)系(尤eR)周期

f(x+T)=f(x)T

/(x+T)=-/(x)2T

/(x+T)=工"(尤+T)=-1

2T

f(x+T)=f(x-T)2T

/(x+T)=-/(x-D4T

ff(a+x)=f(a-x)

2(6-〃)

\f(b+x)=f(b-x)

f/(a+x)=/(a-x)

2a

[/(尤)為偶函數(shù)

f(a+x)=~f(a-尤)

2s-〃)

{于(b+x)=-f(b-尤)

于(a+x)=-f(a-尤)

2a

/(x)為奇函數(shù)

f(.a+尤)=f(a-x)

4s-a)

f(b+尤)=-于(b-x)

ff(a+x)=f(a-x)

4。

[/(尤)為奇函數(shù)

于(a+x)=-于(a-x)

4a

1/(尤)為偶函數(shù)

4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=/(x)有兩條對稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)/(無)是周期函數(shù)，且T=2(6-a)；

(2)若函數(shù)y=f(無)的圖象有兩個對稱中心(a,c),(6,c)(a<Z?),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且

7=2(6—a)；

(3)若函數(shù)y=/(x)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心(仇0)(。<。)，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，

且T=43-a).

5、對稱性技巧

(1)若函數(shù)y=/(尤)關(guān)于直線x=a對稱，則/(a+x)=f(a-x).

(2)若函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(a,b)對稱，JU!)f(a+x)+f(a-x)=2b.

(3)函數(shù)y=/(a+x)與y=/(a-x)關(guān)于y軸對稱，函數(shù)y=/(a+x)與y=-/(a-x)關(guān)于原點對稱.

題型洞察

題型一：單調(diào)性的定義及判斷

【典例1-1】(2024?陜西榆林?一模)已知函數(shù)/(X)在[0,+力)上單調(diào)遞增，貝U對實數(shù)“。>6”

是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【典例1-2](2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測)下列函數(shù)中，滿足“對任意的%e(0,+a)),使得

〃%)：/(%)<0,,成立的是()

A.f(x)=-x2-2x+l

B.f(x)=x--

X

C.f(x)=x+l

D./(x)=log2(2x)+1

【方法技巧】

函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號一下結(jié)論”進(jìn)行判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)

區(qū)間.

【變式1-1】三叉戟是希臘神話中海神波塞冬的武器，而函數(shù)〃尤)="f+，的圖象恰如其形，因而得名三

叉戟函數(shù)，因為牛頓最早研究了這個函數(shù)的圖象，所以也稱它為牛頓三叉戟.已知函數(shù)〃尤)=ax?+2的圖

X

象經(jīng)過點(2,8),且"-2)=0.

⑴求函數(shù)“X)的解析式；

(2)用定義法證明：”X)在(-雙。)上單調(diào)遞減.

【變式1-2](2024?高三?上海?期中)由方程xk|+MN=l確定函數(shù)y=/(x),則y=/(x)在(TO)

上是()

A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.奇函數(shù)D.偶函數(shù)

題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

【典例2-1】函數(shù)=的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-oo,l)B.(-oo,-2)C.(4,+oo)D.(l,+<x))

【典例2-2](2024?高三?浙江紹興?期末)函數(shù)y=ln(尤2一2*的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.B.C.(-oo,0)D.(2,+co)

【方法技巧】

討論復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的單調(diào)性時要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性.一般

需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性,

再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：

1、若"=g(x),y=/(")在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則？=/國。)]為增函數(shù)；

2、若〃=g(x),y=/(")在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則y=/[g(x)]為減函

數(shù).列表如下：

〃=g(x)y=/(")y=/[g(M

增增增

增減減

減增減

減減增

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減.

【變式2-1](2024?高三?甘肅?開學(xué)考試)函數(shù)/(x)=2jcos，-3x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()

7i2E7i2kn兀2kn5兀2kn

A.-------1--------,------1--------(左wZ)B.一+,一+(keZ)

43123123123

7i2kn7i2kn7i2kn7i2kli/,

C.--------1--------,------1---(--j--t-eZ)D.—+——,-+——(ksZ)

123123L12343Jv7

1

【變式2-2】函數(shù)〃x)=的單調(diào)遞減區(qū)間是()

\lx~—8x+15

A.(v,3)B.(3,4]C.(5,+oo)D.(4,+oo)

題型三：分段函數(shù)的單調(diào)性

【典例3-1】（2。24.陜西商洛.一模）已知函數(shù)小）$一）-]是定義在R上的增函數(shù)，則。的

取值范圍是（）

A.[1,3)B.[1,2]C.[2,3)D.(0,3)

/、[（a-2）x+4a-6,x<1f（x,）-f（x）八

【典例3-2】已知函數(shù)〃x）=工二,滿足對于任意的毛，電（3/馬）都有9成

+2,%>1%i—兀2

立，則實數(shù)a的取值范圍是（）

【方法技巧】

函數(shù)/（x）=[C"z,在R上為增函數(shù)，貝人

[t（x'）,x>m

①s（x）在（-OO,河上單調(diào)遞增；②f（無）在O,+00）上單調(diào)遞增；③S（〃2）Wf（M）.

函數(shù)=在R上為減函數(shù)，貝h

0x）,x〉m

①s（x）在（-00,河上單調(diào)遞減；②X尤）在（見+8）上單調(diào)遞減；③

,、fax+1—a,0<x<lf（x,}

【變式3-1】已知函數(shù)〃x）=/…，若％，9e（O,2），百工馬,都有八八">0成立,

2,1<xW2x?一再

則。的取值范圍為（）

A.（0,2]B.（fl]C.（0,1]D.（0,+巧

（2a-3）x+2,xV1

【變式3-2】已知函數(shù)〃x）=°,是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）

—,X>1

33

A.0<a<一B.1Wa<一

22

_3?3

C.0<aW—D.1<a<—

22

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值

【典例4?1】(2024?全國?模擬預(yù)測)設(shè)％￡。卷,則函數(shù)y=Jsin%+Jcosx的最大值為__.

【典例4-2］若函數(shù)=f—2x+|x-磯〃＞0)在［0,2］上的最小值為1,則正實數(shù)〃的值為.

【方法技巧】

利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值.常用到下面的結(jié)論：

1、如果函數(shù)y=/(無)在區(qū)間(°,回上是增函數(shù)，在區(qū)間屹，c)上是減函數(shù)，貝!I函數(shù)y=/(x)(xea,c)

在X=3處有最大值一伯).

2、如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間①，6］上是減函數(shù)，在區(qū)間屹，c)上是增函數(shù)，貝1|函數(shù)y=/(x)(xea,c)

在處有最小值/(?.

3、若函數(shù)y=/(x)在［a,句上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)y=/(元)在［用句上一定有最大、最小值.

4、若函數(shù)、=/0)在區(qū)間口，團(tuán)上是單調(diào)遞增，則y=/(x)的最大值是/(b),最小值是y(a).

5、若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,6］上是單調(diào)遞減，則y=/(x)的最大值是y(a),最小值是/(b).

【變式4-1］(2024?上海嘉定?一模)函數(shù)—3x+5在無上的最大值和最小值的乘積為

x-1|_2_

【變式4-2］若函數(shù)y=/-〃zx+2］在［0,1］的最大值為2,則〃?的取值范圍是.

題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍

【典例5-1］(2024?全國?模擬預(yù)測)若函數(shù)/(x)=41x-a|+3在區(qū)間［1,+8)上不單調(diào)，則a的取值范圍

是()

A.[l,+oo)B.(l,+oo)

C.(fl)D.(YO,1]

【典例5-2】(2024?廣東佛山?二模)已知0＜。＜1且awg,若函數(shù)=Zlog/Tog?產(chǎn)在(0,+8)上單

調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(；,g)B.(0,；)C.(：,g)」(g,l)D.(O,；)U(g,D

【方法技巧】

若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)a的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)a的不等式，

利用下面的結(jié)論求解.

1>若a>/（x）在［加，n］上怛成立<=>a>f（x）在［加，川上的最大值.

2、若av/（x）在［加，川上恒成立oav/（x）在［機(jī)，上的最小值.

【變式5-1］若〃X）=-$3+；X2+2X+I是區(qū)間（〃Li,m+4）上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)冽的取值范圍是（）

A.m<-5B.m>3

C,或機(jī)23D.-5<m<3

【變式5-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）函數(shù)〃尤）=log〃（尤值-4-1）在［L2］上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范

圍是（）

A.（2,+8）B.（0,l）kJ（2,+a?）C.［4,+oo）D.（0,l）u［4,+a?）

【變式5-3］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=log”（尤3—加+“一2勾（"0且"1）在區(qū)間（1,口）

上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

A.（0,|B.C.（1,2］D.⑵+⑹

lo

【變式5-4］若函數(shù)A*）=Si（f2+-5）在區(qū)間（3m-2即+2）內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍為

2

（）

題型六：利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小

【典例6-1](2024?寧夏銀川?一模)若"x)=ln(x2+l)-=,設(shè)°=/(—3)力二〃1112),0=/(2°3),則?,

IW

b,c的大小關(guān)系為（）

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【典例6-2］（2024?寧夏石嘴山-三模）若定義在R上的偶函數(shù)/'（尤）在［0,+8）上單調(diào)遞增，則

/?。4［，/］:，/卜-）的大小關(guān)系為（）

【方法技巧】

1、比較函數(shù)值大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決.

【變式6-1]（2024?高三?河北滄州?期中）已知函數(shù)〃x）=4

,記

e+e

-憶），?用,c=m則（）

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>c>bD.b>a>c

【變式6-2】函數(shù)/（x）=d+2x-cosx,a=/（lg3）*==/23,則〃也c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.b>a>cD.c>a>b

【變式6-3]（2024?四川?模擬預(yù)測）若定義在R上的偶函數(shù)〃x）在[0,+s）上單調(diào)遞增，則

[1!1|],/[：/卜-2）的大小關(guān)系為，）

A.小|）>嗎）>"）B,小|）>/（巧〉嗎）

C.（>枷|）>?）D.小卜加）>枷|）

題型七：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明

【典例7-1】設(shè)函數(shù)〃x）,g（x）的定義域為R,且“X）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的

是（）

A.7（x）g（x）是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)

C.是奇函數(shù)D.，（x）g（x）|是奇函數(shù)

【典例7-2]（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（無）=41og4（岸荷-x）-3的圖象經(jīng)過點則函

數(shù)y=/（x）的奇偶性為（）

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

【方法技巧】

函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合時，注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的對稱性.

【變式7-1]（多選題）（2024?重慶?模擬預(yù)測）函數(shù)=：g（x）=ln（jl+9x，一3q,那么

A./(x)+g(x)是偶函數(shù)B.，(x>g(x)是奇函數(shù)

g(x)

日在是奇函數(shù)

C.7E可函數(shù)D.g(/(x))

■f(x)

【變式7-2】利用圖象判斷下列函數(shù)的奇偶性:

-Y+2%+1,%>0

⑴f(x)=

x2+2x-l,x<0

x2+x,x<0,

(2)/(x)=

x2—x,x>0

⑶y=(1)H；

(4)y=|log2(x+l)|；

(5)^=X2-2|X|-1.

題型八：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

____IQX_]X>0

【典例8-1】已知函數(shù)〃x)=log2(4rHx)是奇函數(shù)，則.=,若g(x)={,'「則g(g(T))=—.

【典例8-2】已知函數(shù)=的圖象關(guān)于原點對稱，g(x)=lg(l(r+l)+加是偶函數(shù)，則0+8=—.

【方法技巧】

利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為了(-x)=±，(x),建立方程，使問題得到解決，但是在解決選擇題、

填空題時還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.

【變式8-1](2024?高三?湖北武漢?期末)函數(shù)為奇函數(shù),則實數(shù)上的取值

為.

【變式8-2】已知函數(shù)〃x)=log3(9"+，w)-x的圖象關(guān)于丁軸對稱，貝！]加=—.

2

【變式8-3】已知函數(shù)/。)=寸匚定義域為R,g(x)=x(/Q)+a),若g(x)為偶函數(shù)，則實數(shù)。的值

2+1

為

題型九：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值

【典例9-1】已知函數(shù)〃x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且“尤)+g(x)=x?-尤+1,則

g(3)的值是

【典例9-2】(2024?廣東湛江?二模)已知奇函數(shù)〃x)=|(、門貝心(工=____.

g(x)+l,x>0,

【方法技巧】

抓住奇偶性討論函數(shù)在各個分區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得出關(guān)于/(%)的方程，從而可得

/(X)的解析式.

【變式9-1]若定義在R上的偶函數(shù)“X)和奇函數(shù)g("滿足/(x)+g(x)=e，，則g(x)的解析式為

g(x)=.

【變式9-2】已知函數(shù)/⑺對一切實數(shù)x都滿足/(力+〃-力=0,且當(dāng)x<0時，/(X)=2X2-X+1,則

/('=一?

題型十：奇函數(shù)的中值模型

【典例10-1】函數(shù)/(尤)=1*+lg(GTi+x)在區(qū)間[-八詞內(nèi)的最大值為最小值為N,其中帆>0,

則M+N=.

【典例10-2】對于函數(shù)/(%)=0^+及N+。(其中),選取a,b,c的一組值計算/(2),/(-2),

所得出的正確結(jié)果一定不可能是()

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

【方法技巧】

已知/(x)=奇函數(shù)+M,xe[—a,a],則

⑴/(-%)+/(x)=2M

⑵小)1mx+/(x)1nto=2M

【變式10?1】(2024?廣西?一模)/(力是定義在R上的函數(shù)，++；為奇函數(shù)，則

/(2023)+/(-2022)=()

A.-1D.1

【變式10-2】設(shè)函數(shù)/(xhor'+bsi