2025屆四川某中學(xué)高三年級上冊“零診”考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

數(shù)學(xué)試題

(滿分150分120分鐘完卷)

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置.

2.答選擇題時請使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題答題時必須用

0.5毫米黑色墨跡簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置，在規(guī)定的答題區(qū)域以外答題無

效、在試題卷上答題無效.

3.考試結(jié)束后，考生將答題卡交回.

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項

符合題目要求的.

2

1已知復(fù)數(shù)1+1,則同=()

歷

A.—B.1C.亞D.2

2

2.設(shè)/，機〃均為直線，其中相，〃在平面a內(nèi)，是"/_1_111且/上礦的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4],、

3.已知集合尸={%丁=——-,^eNk2={x|-l<x<4},則PPlQ=()

A,{1,2,4}B.{0,1,3}C.{x|O<x<3}D.{x|-l<x<4}

4.已知S〃是等差數(shù)列{氏}的前幾項和，若S4=12,S8=40,則S]2=()

A.44B.56C.68D.84

%(%+4)]>0

5.設(shè)函數(shù)/(x)=,:一z若/(1―3)〉/(a—l),則實數(shù)a的取值范圍是()

-x(x-4),x<0'7

A.(-oo,-l)0(2,+oo)B.(-co,-2)U(1,+℃)

C.(-oo,-l)0(3,+oo)D.(-?>,-3)0(1,+℃)

6.有4名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，服務(wù)星期六、星期日兩天.若每天從4人中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1

人連續(xù)參加兩天服務(wù)的概率為()

第1頁/共4頁

7.已知函數(shù)/（x）=x+U+3的圖象與直線y=k（x—1）+4有兩個交點（七,%）,（%，%），則

x—1

X]+%+%+%=（）

A.6B.8C,10D.12

8.已知耳，鳥是橢圓C:當+與=1（?！?〉0）的左，右焦點，A,B是橢圓C上的兩點.若

ab

----?-----?71

FiA=2F2B,且乙4耳工=1,則橢圓C的離心率為（）

12

A.-也D.

3V33

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.

9.設(shè)離散型隨機變量X的分布列如下表

X01234

P0.10.2m0.20.1

若離散型隨機變量y滿足y=2x+i,則（）

A.m=0AB.E（X）=2,D（X）=1.2C.E（y）=3,D（y）=3.4

D.E（y）=5,D（y）=4.8

TT

10.已知函數(shù)/'（x）=asinx+cosx的圖象關(guān)于x=§對稱，下列結(jié)論中正確的是（）

是奇函數(shù)

B.佃二”

JT

C.若/（%）在[-九汨上單調(diào)遞增，則?！醇覸—

3

TT

D./（x）的圖象與直線y=2x+1有三個交點

2

11.已知A,B為雙曲線C：%2—2L=1的左，右頂點，耳，耳分別為雙曲線C的左，右焦點.下列命題中

2.一

第2頁/共4頁

正確的是(

A.若R為雙曲線C上一點,且歸耳|=4,則歸用=6

B.每到雙曲線C的漸近線的距離為血

C.若尸為雙曲線C上非頂點的任意一點，則直線PA、尸3的斜率之積為2

D.雙曲線C上存在不同兩點”,N關(guān)于點Q(l,l)對稱

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.12%一工］的展開式中f的系數(shù)是.

13.正四棱臺高為2,上下底邊長分別為2血和4&，所有頂點在同一球面上，則球的表面積是一

14.已知向量瓦B滿足|利=2,|21+B|+|B|=6,貝+的取值范圍為.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

r、13a

15.已知數(shù)列｛凡｝的首項％=5,且滿足4+1=1；.

(1)證明：數(shù)列1'―4為等比數(shù)列；

UJ

11115

(2)若一+—+—+…+—<50,求滿足條件的最大整數(shù)

16.在直三棱柱ABC—44￡中，明=243=2,/43。=90°,。在3片上，且5。=。.

(1)證明：\CLAD.

(2)當四棱錐A-BCG。的體積為［時，求平面AG。與平面ABC所成二面角的正弦值.

17.已知銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a-c=2cccsB.

(1)證明：B=2C；

第3頁/共4頁

(2)若。=2,求Jcosr匕+—i的取值范圍.

bc

18.已知動圓Q經(jīng)過點/(1,0)且與直線x=-l相切，記圓心Q的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)設(shè)過點R且斜率為正的直線/交曲線C于A3兩點(點A在點2的上方)，A3的中點為

①過作直線x=—1的垂線，垂足分別為河1，用，試證明：AM,//FBX；

②設(shè)線段A3的垂直平分線交x軸于點尸，若口fPM的面積為4,求直線/的方程.

19.設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx—a(%2一1).

(I)若曲線y=/(x)在點(1,0)處的切線方程為x+y—1=0,求。的值；

(2)當x>l時/(x)<0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)證明：￡鱉<26—2(〃eN*).

左=2左一］

第4頁/共4頁

巴中市普通高中2022級“零診”考試

數(shù)學(xué)試題

(滿分150分120分鐘完卷)

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置.

2.答選擇題時請使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題答題時必須用

0.5毫米黑色墨跡簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置，在規(guī)定的答題區(qū)域以外答題無

效、在試題卷上答題無效.

3.考試結(jié)束后，考生將答題卡交回.

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項中，只有一項

符合題目要求的.

2

1.已知復(fù)數(shù)1+1,則|Z|=()

A.—B.1C.J2D.2

2

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的運算和模長的計算公式求解即可.

22(1)

【詳解】

(1+0(1-02

故|刃=|l+i|=0.

故選：C

2.設(shè)/,〃中均為直線，其中機，〃在平面a內(nèi)，

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【詳解】設(shè)/,小,”均為直線，其中相，〃在平面a內(nèi)，"/_La"，則"/j_m且/_L〃"，反之若"/J_m且/_!_〃"，當

m//n時，推不出“/_La”，a”是且/_L"”的充分不必要條件，選A.

第1頁/共18頁

3.已知集合尸=,xyeN>,Q={x|-4WxW4},則尸「IQ=()

JiIJ-

A.{1,2,4}B.{0,1,3}C.{x|o<x<3}D.{x|-l<x<4}

【答案】B

【解析】

【分析】用列舉法表示集合尸，結(jié)合交集的概念即可得解.

4

【詳解】若丁=——,yeN,則x+1是4的正因數(shù)，而4的正因數(shù)有1,2,4,

x+1

所以P=<Jxy=={0,1,3},

x+1J

因為。={x|T?x<4},

所以尸口。={0』,3}.

故選：B.

4.已知S”是等差數(shù)列{%}的前〃項和，若S4=12,§8=40,則幾=()

A.44B.56C.68D.84

【答案】D

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列的前〃項和性質(zhì)：黑，S2n-Sn,S3〃-S?,成等差數(shù)列可求Si?.

【詳解】由題意可得S”S8-S4,$2-Sg成等差數(shù)列，

所以2舊-84)=84+%-Sg,

因為邑=12,§8=40,

則56=12+12-40,解得42=84.

故選：D.

x(x+4),x>0/,、

5.設(shè)函數(shù)/(x)=,八八；若/。2_3〉/("1),則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(-oo,-l)1j(2,+oo)B.(-co,-2)U(1,+℃)

C.(-oo,-l)0(3,+oo)D.(-co,-3)U(l,+℃)

【答案】A

第2頁/共18頁

【解析】

【分析】作出函數(shù)圖象，判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合解一元二次不等式，即得答案.

x(x+4),x>0

【詳解】作出函數(shù)/（%）=r(x―4),x(。的圖象’如圖:

龍+4）

可知函數(shù)/（X）=<\C在R上為單調(diào)遞增函數(shù),

-x（x-4）,x<0

故由/（。2—3）〉/（。一1）可得。2一3〉?！?，即。2一。一2〉0,

解得a<—1或a>2,

即實數(shù)a的取值范圍是（一”,一1）。（2,+“）,

故選：A

6.有4名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，服務(wù)星期六、星期日兩天.若每天從4人中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1

人連續(xù)參加兩天服務(wù)的概率為（）

3211

A.-B.—C.—D.一

4334

【答案】B

【解析】

【分析】選出1個志愿者參加兩天的服務(wù)，再從剩下的3人中抽取2人參加服務(wù)，再結(jié)合古典概型計算概

率即可.

【詳解】不妨設(shè)4名志愿者分別a?b,c,d,假設(shè)。連續(xù)參加兩天的社區(qū)服務(wù)，剩下的3人中抽取2人參加

服務(wù)，共有A；=6種方法，

所以恰好有1人連續(xù)參與兩天服務(wù)的總數(shù)為：4義6=24種.

總的情況數(shù)為C；xC：=36種.

242

故恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的概率為不=

故選：B.

第3頁/共18頁

7.已知函數(shù)/(幻=》+-7+3的圖象與直線'=左(%—1)+4有兩個交點(%,%),(X2，%)，則

玉+%+%+%=()

A.6B.8C,10D.12

【答案】C

【解析】

【分析】由直線過定點和函數(shù)圖像的對稱性結(jié)合即可；

【詳解】由題意可得直線丁=左(％-1)+4恒過點(1,4),且無論左取何值，直線與函數(shù)都有兩個交點,

所以分析函數(shù)/(x)=x+'+3=x—l+,+4的對稱中心為(1,4),

x-1x-l

所以％+%=2,%+%=8,

所以石+%2+%+%=1°，

故選：C.

22

8.已知耳，工是橢圓C:=+：=l(a〉6〉0)的左，右焦點，A,2是橢圓C上的兩點.若

ab

---?---?71

耳4=268,且NA耳g=i，則橢圓C的離心率為()

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)|A耳|=2后加，結(jié)合題意可得|A巴根據(jù)橢圓定義整理可得2后a-2c=以，根據(jù)向量關(guān)系

m

可得耳A〃工B,且忸6|=拒加，同理結(jié)合橢圓定義可得血。+。=生，進而可求離心率.

m

【詳解】由題意可知：片(一。,0),&(c,0),

設(shè)|A耳|=2y/2m,m>0,

第4頁/共18頁

因為乙4月6=：,則A（—c+2根,2根），可得|四=14療+（2c-2a『，

由橢圓定義可知：|A￡|+|A6|=2。，即26m+｛加+（2c-24=2a,

整理可得2應(yīng)a-2c=幺；

m

又因為不=2月瓦則耳A〃KB,且忸閭=g|AE|=0機，

則B（c+根,根），可得忸耳|=J（2c+nt）-+/,

由橢圓定義可知：出F/+IBF2I=2a,即J（2c+*+病+叵n=2a，

整理可得收a+c

m

即2亞a—2c-42a+c，可得41a-3c,

所以橢圓c的離心率6=￡=也

a3

故選：B.

【點睛】方法點睛：橢圓的離心率（離心率范圍）的求法

求橢圓的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定m4c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把6用a,

c代換，求e的值.

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.

9.設(shè)離散型隨機變量X的分布列如下表

X01234

P0.10.2m0.20.1

若離散型隨機變量y滿足y=2x+i,則（)

第5頁/共18頁

A.加=0.4B.E（X）=2,D（X）=1.2C.E（r）=3,D（y）=3.4

D.E（r）=5,D（y）=4.8

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)分布列性質(zhì)可求出機的值，判斷A；根據(jù)期望和方差公式計算判斷B；利用期望和方差性質(zhì)

可判斷CD.

【詳解】由離散型隨機變量X的分布列性質(zhì)可得〃z=l-0.1-0.2-0.2—0.1=04,A正確；

E（X）=0x0.1+lx0.2+2x0.4+3x0.2+4x0.1=2,

D（X）=（0-2）2X0.1+（1-2）2X0.2+（2-2）2X0.4+（3-2）2X0.2+（4-2）2X0.1=1.2,B正確；

由于y=2X+l,故E（y）=2E（X）+l=5,D（y）=4D（X）=4.8,C錯誤，D正確;

故選：ABD

7T

10.已知函數(shù)/（x）=asinx+cosx的圖象關(guān)于x=§對稱，下列結(jié)論中正確的是（）

A.-是奇函數(shù)

B.佃="

C.若/（x）在[-%M上單調(diào)遞增，則0<mV—

3

TT

D./（x）的圖象與直線丁=2%+1有三個交點

【答案】AC

【解析】

【分析】先函數(shù)對稱性求解。，得到/（x）的解析式.A項，化簡/[x-￡]=2sinx可知為奇函數(shù)；B項，

2兀7T

代入解析式求值即可；c項，利用整體角求/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，由一號根（根可得加范圍；D

項，利用導(dǎo)數(shù)可知直線恰為曲線在處的切線，進而可得公共點個數(shù).

JT

【詳解】因為/（X）的圖象關(guān)于直線工=三對稱，

所以/[3~]=/（。），即5〃一;=1,解得〃=6,

第6頁/共18頁

所以/(x)=Gsinx+cosx=2sinx+—兀\,

6

驗證：當x=1■時，f2,/(x)取最大值,

故/(x)的圖象關(guān)于直線苫=三對稱，滿足題意;

由2sin(-x)=-2sinx,

故B錯誤;

2

C項，/(x)=2sinx+—

,JIJIJI//JjJI

由----F2kii<%+—<—+2kn.kGZ,解得-----b2kji<x<—+2kn.kGZ,

26233

當左=0時，一巴，

33

2兀7T

由/(x)在[一加,加]上單調(diào)遞增，則----<-m<m<—,

33

jr

解得0<mV—,故C正確；

3

D項,/(x)=2sin[x+Wj的圖象與直線y=2x+|?均過點[一巳,0

由/'(x)=2cos[x+q,則/'2cos0=2,

故直線>=2(x+^j即'=2x+|■與曲線f(x)=2sin[x+Wj相切,

TT

如圖可知/(X)的圖象與直線y=2x+］有且僅有一個公共點,故D錯誤.

故選：AC.

第7頁/共18頁

II.已知A,B為雙曲線C：%2—21=1的左，右頂點，耳，耳分別為雙曲線C的左，右焦點.下列命題中

2一

正確的是（）

A.若我為雙曲線C上一點，且歸用=4,則歸鳥|=6

B.用到雙曲線C的漸近線的距離為血

C.若尸為雙曲線C上非頂點的任意一點，則直線PA、尸5的斜率之積為2

D.雙曲線C上存在不同兩點”,N關(guān)于點Q（l,l）對稱

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的定義、漸近線、斜率、對稱等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.

2

【詳解】對于雙曲線C:/—匕=1,a=l,b=E,c=6,

2

A選項,根據(jù)雙曲線的定義，由忸周一|R劇=|4一區(qū)聞=2,

解得|R8|=2或囚囚=6,所以A選項錯誤.

B選項，雙曲線的一條漸近線方程為y=JL;,即JLc-y=0,

V6

R（G,O）到直線后x—y的距離為=V2所以B選項正確.

=0耳

f2

C選項，設(shè)尸（SJ），N>1,則52—5=1,25272=2,

2s-2

A（-l,0）,5（1,0）,所以臉.臉牛」=2,C選項正確.

5+1S-1s2-l52-1

D選項，設(shè)不同兩點”（為％）,N（X2，%）關(guān)于點Q（LD對稱，

第8頁/共18頁

則X1+%=2,%+%=2,

2

X2_2_=1

則,,兩式相減并化簡得2kq?2^工=2,

工2_五=1%+%2為一工2

則無1=2,即左MN=2,此時直線MN與雙曲線的漸近線y=JL;平行,

這與MN是雙曲線上不同的兩點矛盾，所以D選項錯誤.

故選：BC

【點睛】

方法點睛：求解雙曲線定義有關(guān)問題，一定要注意雙曲線定義中的“絕對值”.在雙曲線中，有關(guān)弦和中點的

問題，可以考慮利用“點差法”來解決.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.12x—2］的展開式中/的系數(shù)是.

【答案】-32

【解析】

【分析】根據(jù)題意可求得展開式的通項為（+1=（-令4—2廠=2,運算求解即可.

【詳解】因為12x-工）的展開式通項為7；+1

=C：（2x）,r=0,l,2,3,4,

令4—2r=2,解得r=l,

所以展開式中%2的系數(shù)是（—『-23C^=-32.

故答案為：-32.

13.正四棱臺高為2,上下底邊長分別為2行和40，所有頂點在同一球面上，則球的表面積是

【答案】807r

【解析】

【分析】畫出圖形，設(shè)出未知數(shù)，利用半徑相等列出方程，求出半徑，從而得到球的表面積.

【詳解】如圖所示，AB=AD=BC=CD=2血,GH=HE=EF=FG=4血，

。為外接球球心，設(shè)外接球半徑為R,MN=2,OA=OE=R

第9頁/共18頁

由勾股定理得：AM=-V8+8=2,NE」j32+32=4,

22

設(shè)ON=x,則。A?=(2+X『+22,OE2=X2+42,

故(2+x『+2?=/+42,解得：x=2,

故R2=22+42=20-

故球的表面積為4?很2=80兀.

故答案為：807r

14.已知向量扇B滿足|利=2,|2G+B|+|B|=6,則|,+B|的取值范圍為.

【答案】[6,3]

【解析】

【分析】不妨設(shè)5=而=（2,0）,3=礪=（羽丁），利用向量的幾何意義和坐標運算，確定點3的軌跡為橢

圓，然后利用橢圓的性質(zhì)求解.

【詳解】設(shè)。=加=（2,0）石=礪=（羽丁），CO=2AO=（4,0）,

則22+3=函+礪=而,則|。|+|礪|=6〉|灰|=4,

故點B的軌跡是以。，。為焦點，A為中心，長軸長2a=6的橢圓，

故短半軸：b=yja2—c2=V32-22=V5,

則歸+同=|通'[6,3].

故答案為：[君,3]

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

第10頁/共18頁

z、13a

15.已知數(shù)列｛凡｝的首項q=5,且滿足。用=丁%.

(1)證明：數(shù)列］工-"為等比數(shù)列；

1可J

11115

(2)若一+—+—+…+—＜50,求滿足條件的最大整數(shù)

Cl?CI3〃

【答案】(1)證明見解析

(2)47

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知條件進行化簡，結(jié)合等比數(shù)列的知識求得正確答案.

1

(2)先求得一，然后利用分組求和法、數(shù)列的單調(diào)性來求得正確答案.

a?

【小問1詳解】

3a1a+2211

打4+1=—n^得一"—=--+

117

所以數(shù)列一-1是首項為一-1=1,公比為一的等比數(shù)列.

&Jq3

【小問2詳解】

數(shù)列＜“+3—＞是單調(diào)遞增數(shù)歹!J,

第11頁/共18頁

47

當〃=47時，〃+3-3<50,

當”=48時，“+3—31|]=50+1-3^>50,

所以滿足條件的最大整數(shù)為47.

16.在直三棱柱ABC—A4G中，A4,=2AB=2,NA3C=90°,。在3片上，且=

(1)證明：\CLAD.

(2)當四棱錐A-BCG。的體積為1時，求平面AG。與平面ABC所成二面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵叵

3

【解析】

【分析】(1)建立空間直角坐標系，利用空間向量證垂直.

(2)先根據(jù)已知四棱錐的體積求5c的長，再利用空間向量求二面角的三角函數(shù).

【小問1詳解】

因為三棱柱ABC-AqG是直三棱柱，且NABC=90°,所以癡,3。,3與兩兩垂直，故可以8為原

點，建立如圖空間直角坐標系:

z,

G5,

4

D

B

y

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設(shè)5C=f,則8（0,0,0）,A（0,l,0）,C（r,0,0）,D^0,0,1j,4（0,1,2）.

所以電=（/,—1,—2）,I5=1O,T￡|.

因為4。AD=（/,—1,—2）｛o,—I,'=0+l-l=0,

所以而，礪.故AC，A。.

【小問2詳解】

因為梯形BCG。的面積：

S=gx（3D+CG）x3C=gx[g+2）x/=/

BCCD=-SAB=lx—xl=-,所以7=3.

A~BCC'D3344

所以C（3,0,0）,Q（3,0,2）,所以適=（3,-L,2）.

設(shè)平面AQD的法向量為n=（x,y,z）,

f方IAC［（X，%2），（3，T，2）=03x-y+2z=0

則d—?n，\fn［n_nn,z八，取五=（T/,2）.

n±AD（x,%z）［0,-1，5J=0-y+-=0

12

取平面ABC的法向量為：m=（0,0,1）,

設(shè)平面AC】。與平面ABC所成的二面角為8,

.玩Q/八________/Q

則cos0==—==—,所以sin8=Vl-cos20=——?

\nmV633

17.已知銳角△ABC中，角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,若a-c=2ccosB.

（1）證明：B=2C；

cosC1

（2）若a=2,求上上上+—的取值范圍.

bc

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

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【分析】（1）由正弦定理、兩角和差的正弦公式化簡得sin（3-C）=sinC,進一步即可證明；

cosC1

（2）由題意首先求得cosC的取值范圍，進一步將目標式子+-轉(zhuǎn)換為只含有cosC的式子即可求解.

bc

【小問1詳解】

因為a-c=2ccos5，由正弦定理得sin4-sinC=2sinCcosB,

所以sinBcosC+sinCcosB—sinC=2sinCcosB,

所以sin8cosC-sinCcos6=sinC=sin（8—C）=sinC,

而0<5<7T,0<C<7r,則B—。=?；?—C+C=TI,

即B=2C或8=%（舍去），故B=2C.

【小問2詳解】

0<y

0<2C<

因為△ABC是銳角三角形，所以＜t，解得/c<%

7T

0<7i-3C<-

2

所以cosC的取值范圍是正＜cosC＜且，

22

?bsinB…sinB吧"c=2cosC.c,

由正弦定理可得：一二二一，則人=-----c

csmCsinCsinC

.cosC1.cosC13

所以「一=—,所以「一+-=—,

b2cbc2c

因為a-c=2ccos3,所以2-c=2ccos2C,

2

所以2—c=2ccos2C,所以c=

2cos2C+l

cosC,1_3_3_3(2COS2C+1)_3(4COS2C-1)

所以b+~c~^c~4—4—4

2cos2C+l

因為cosC￡，所以4cos2C-le(1,2),

2'2

所以cosCJ_3(4cos2—1)

的取值范圍是

bc4SI

18.已知動圓Q經(jīng)過點/（1,0）且與直線x=-l相切，記圓心Q的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程;

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（2）設(shè)過點R且斜率為正的直線/交曲線C于A3兩點（點A在點8的上方），A5的中點為

①過機8作直線x=—1的垂線，垂足分別為此,用，試證明：AMX//FBi；

②設(shè)線段A3的垂直平分線交x軸于點尸，若口fPM的面積為4,求直線/的方程.

【答案】（1）y2=4x

⑵①證明見解析；②x-y-1=0

【解析】

【分析】（1）由拋物線的定義知P點軌跡是拋物線，方程為標準方程，求出焦參數(shù)可得;

（2）①設(shè)直線AJB的方程為無=租y+l（〃7＞。），4（%，%）,3＞2，%），（西，可求得

〃（土產(chǎn)，電上），進而可得“4—L”21）,4（-1,%），聯(lián)立直線與拋物線方程可得以%=—4,

進而可得左FB]='可證結(jié)論；

②求得AB的中點”（2機2+1,2m）,進而可得線段AB的垂直平分線方程為y-2m=-m（x-2療-1）,進而

可得P（2/7?+3,2m）,結(jié)合已知可得（2加2+2）m=4,可求直線A3的方程.

【小問1詳解】

依題意可得圓心Q到定點F（l,0）的距離等于到定直線x=-1的距離相等，

所以Q的軌跡是以為歹（L0）焦點，x=-1為準線的拋物線，

又F（l,0）到直線x=-l的距離為p=2,所心拋物線的方程為/=4x；

【小問2詳解】

①設(shè)直線AB的方程為x=my+l（m＞。），A（X1,%）,5（X2，%）,（X1A%），

則AB的中點+々』十"）,由（1）可知'+%）,B（-l,y9）,

2221

聯(lián)立方程組「'消去工可得V—4機y—4=0,

所以,+%=4根，%%=-4，

-4

----%

所以““一%一%%一%%%

2(玉+1)C2、(4)

2工+12

(4)2-+1

(%)

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又kpB\="\一~~~~~?所以女鶴=仁出，所以AM1〃尸與；

-1-12

②由①可得入土匹=2加，代入彳=72+1("2>0),可得中點/的橫坐標為2//+1，

2

所以M(2m2+1,2m),又線段AB的垂直平分線的斜率為TH,

所以線段A3的垂直平分線方程為y-2m=-m(x-2m2-1),

令V=0,可得x=2根2+3,所以尸(2加2+3,2機)，

所以|P尸1=12m2+3—11=2m2+2,

1,

所以=51尸歹n2m1=(2m2+2)m,

又口FPM的面積為4,所以(2/7?+2)m=4,所以(m-1)(2機2+2wi+4)=0,

解得根=1,所以直線/的主程為x=y+l,即x—y—1=0.

19.設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx—"爐一1).

(1)若曲線y=/(x)在點(1,0)處的切線方程為％+y—1=0,求。的值；

(2)當x>l時/(x)<0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)證明：f鱉<26—2(〃eN*).

k=2左一］

【答案】(1)a=l；

⑵?>-；

2

(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；

(2)求出導(dǎo)函數(shù)r(x)