福建省部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟2024~2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省部分學(xué)校教學(xué)聯(lián)盟2024~2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.2.已知，，且，則的值為（

）A.6 B.10 C.12 D.14〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，解得，故選：C.3.在中，三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，則（）A. B. C. D..〖答案〗B〖解析〗由，則，，即，解得.故選：B.4.已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則a，b值分別是（）A.，3 B.，2 C.1，3 D.，2〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，解得.故選：D.5.如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.6.已知為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，設(shè)，則，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，則，無(wú)解，則不共面，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，則共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤；故選：B.7.如圖，為了測(cè)量某鐵塔的高度，測(cè)量人員選取了與該塔底在同一平面內(nèi)的兩個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，，米，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則該鐵塔的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗C〖解析〗在中，，則，，由正弦定理，可得，在中，可得.所以該鐵塔的高度約為米．故選：C.8.平面四邊形ABCD中，，，，，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，，，可得，故，又，所以，以為直徑作圓，則，，，四點(diǎn)共圓，如圖所示，故點(diǎn)的軌跡是以為弦，圓周角為的劣?。ú缓瑑牲c(diǎn)），則，又表示在上的投影，由圖可知，，，故（此時(shí)點(diǎn)在劣弧的中點(diǎn)位置），即的最小值為．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)或不選的得0分.9.如圖，在底面為等邊三角形的直三棱柱中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則（）A.平面BC.異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為D.平面與平面的夾角的正切值為〖答案〗ABD〖解析〗選項(xiàng)A：如圖連接交于，連接，由題意可知為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，故，又平面，平面，故平面，故A正確；選項(xiàng)B：由題意為等邊三角形，為的中點(diǎn)，故,又棱柱為直三棱柱，故，又，平面，平面，故平面，又平面，故，故B正確；選項(xiàng)C：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因，故A3,0,0所以，，設(shè)異面直線(xiàn)與所成角為，則故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由題意平面的一個(gè)法向量為，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，設(shè)，則，，故，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故，故，故D正確，故選：ABD.10.中，角所對(duì)的邊為下列敘述正確的是（）A.若，則一定是銳角三角形B.若，則一定是等邊三角形C.若，則D.若，則〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，在中，因?yàn)椋?，所以，即為銳角，但題中沒(méi)有告訴最大，所以不一定是銳角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，由正弦定理得，整理得，即一定是等邊三角形，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?,π單調(diào)遞減，所以，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由，得，所以，由余弦定理可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則當(dāng)，時(shí)，，即角可以大于，故D錯(cuò)誤；故選：BC．11.如圖，在棱長(zhǎng)為2正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論中正確的為（）A.在中點(diǎn)時(shí)，平面平面B.異面直線(xiàn)所成角的余弦值為C.在同一個(gè)球面上D.，則點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：取的中點(diǎn)，連接，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，易知，平面，在面內(nèi)，所以，面，面，，所以面，面，所以，連接，是正方形，，因面，面，所以，因?yàn)槊妫?，，所以面，因?yàn)槊?，所以，綜上，面，面，又，所以面，面，故平面平面，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：取的中點(diǎn)，連接，則，所以是異面直線(xiàn)所成的角，又，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：記正方體的中心為點(diǎn)，則，所以在以為球心，以為半徑的球面上，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以，故，所以點(diǎn)軌跡是過(guò)點(diǎn)與平行的線(xiàn)段，且，所以，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是__________．〖答案〗〖解析〗易知向量在向量上的投影向量為.13.若圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為_(kāi)_________〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，則，解得，因此圓錐的高，所以圓錐的體積.14.榫卯結(jié)構(gòu)是中國(guó)古代建筑文化的瑰寶，在連接部分通過(guò)緊密的拼接，使得整個(gè)結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運(yùn)用，使得榫卯配合的牢度得到最大化滿(mǎn)足，木楔子是一種簡(jiǎn)單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛?木片等.如圖為一個(gè)木楔子的直觀(guān)圖，其中四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，且均為正三角形，則該木楔子的外接球的表面積為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗如圖，分別過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足分別為，連接，則，故.取的中點(diǎn)，連接，又，則.由對(duì)稱(chēng)性易知，過(guò)正方形的中心且垂直于平面的直線(xiàn)必過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)，且所求外接球的球心在這條直線(xiàn)上，如圖.設(shè)球的半徑為，則，且，從而，即，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段內(nèi)（包括端點(diǎn)）時(shí)，有，可得，從而，即球心在線(xiàn)段的中點(diǎn)，其半徑.當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段外時(shí)，，解得（舍）.故所求外接球的表面積為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知（1）求；（2）若是邊上一點(diǎn)，且，求的面積．解：（1）因?yàn)?，則，可得，則，若，則，且B∈0,π，所以；若，則，即，且，所以，但，由正弦定理可得，不合題意；綜上所述：.（2）因?yàn)?，則，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），則，所以的面積.16.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)．（1）求證平面；（2）求二面角的大?。猓海?）因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以，，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，有題意可知，又，平面，平面，所以平面．（2）分別以，，所在直線(xiàn)為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因平面，平面，所以，因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，故，平面的一個(gè)法向量為，，設(shè)平面的法向量為，由得，令得，，則，所以，因?yàn)槎娼鞘氢g二面角，所以二面角的大小為．17.三棱臺(tái)中，，平面平面ABC，，與交于D．（1）證明：平面；（2）求異面直線(xiàn)與DE的距離．解：（1）三棱臺(tái)中，，則，有，得，所以，又，所以在平面內(nèi)，，有，平面平面，所以平面．（2）已知平面平面ABC，平面平面，，平面，所以平面，由平面，得，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，由平面ABC，得.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．則有，，因?yàn)?，所以，設(shè)向量，且滿(mǎn)足：，則有，令，在的投影數(shù)量為，異面直線(xiàn)與DE的距離.18.如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且，為邊的中點(diǎn).是平面外的一點(diǎn)，且有.（1）證明：；（2）已知，，，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.（i）求的面積；（ii）求三棱錐的體積.解：（1）因?yàn)镋為邊AB的中點(diǎn)，所以.又，即，即.，所以.又因?yàn)椋?，?因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)槠矫妫?（2）（i）由余弦定理可得，所以，所以.（ii）由（1）可知，平面，所以即為與平面所成角.因?yàn)?，所以，，所以，?設(shè)到平面的距離為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則.因?yàn)?，又，所?19.在空間直角坐標(biāo)系中，己知向量，點(diǎn)．若直線(xiàn)以為方向向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，一般式方程可表示為．（1）若平面，平面，直線(xiàn)為平面和平面的交線(xiàn)，求直線(xiàn)的單位方向向量（寫(xiě)出一個(gè)即可）；（2）若三棱柱的三個(gè)側(cè)面所在平面分別記為，其中平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，平面，平面，求實(shí)數(shù)m的值；（3）若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積和相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角的大小．解：（1）記平面，的法向量為，設(shè)直線(xiàn)的方向向量，因?yàn)橹本€(xiàn)為平面和平面的交線(xiàn)