湖北省部分學校2025屆新高三新起點暑期效果聯(lián)合質(zhì)量檢測數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分學校2025屆新高三新起點暑期效果聯(lián)合質(zhì)量檢測數(shù)學試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因集合，，所以．故選：A．2.若復數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得：，所以．故選：C．3.在中，是中點且，則向量在向量上的投影向量（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得為等邊三角形，故過點作交于點，則為中點，所以向量在向量上的投影向量為，與方向相反，由是中點，為中點，有.故選：C.4.已知數(shù)列滿足，若，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗因為且，所以，解得，則，即，解得.故選：C.5.與都是邊長為2的正三角形，沿公共邊折疊成的二面角，若點A，B，C，D在同一球的球面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題，設正與的中心分別為，，根據(jù)外接球的性質(zhì)有平面，平面，又二面角的大小為，故，又正與的邊長均為2，故，故，，，故，故，又，故球的半徑，故球的表面積為．故選：C．6.若圓上恰有三點到直線的距離為2，則的值為（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗由得，所以圓心，半徑，因為圓上恰有三點到直線的距離為2，所以圓心到直線的距離為1，即，解得，故選：C．7.若函數(shù)有兩個不同的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，故原命題等價于關(guān)于的方程在上有兩個不同的實數(shù)根，即關(guān)于的方程在上有兩個不同的實數(shù)根，令，則，所以關(guān)于的方程在上有兩個不同的實數(shù)根，令，因為在上單調(diào)遞增，故在上的值域為，因為在上單調(diào)遞減，故在上的值域為，而，從而實數(shù)的取值范圍是.故選：A.8.十七世紀法國數(shù)學家、被譽為業(yè)余數(shù)學家之王的皮埃爾·德·費馬提出一個著名的幾何問題：已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最?。洹即鸢浮饺缦拢寒斎切蔚娜齻€角均小于時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形三個頂點的連線兩兩成角;當三角形有一內(nèi)角大于或等于時，所求的點為三角形最大內(nèi)角的頂點．在費馬問題中所求的點被稱為費馬點．已知a，b，c分別是的內(nèi)角A，B，C所對的邊，且，若P為的費馬點，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，及正弦定理得，因為，所以，消去得．因為，故或，而根據(jù)題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以．由三角形內(nèi)角和性質(zhì)可知，的三個內(nèi)角均小于，結(jié)合題設易知點P一定在的內(nèi)部．由余弦定理可得，解得，所以，所以．故選：A.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.設首項為1的數(shù)列前項和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.數(shù)列的前項和C.數(shù)列的通項公式為 D.數(shù)列為等比數(shù)列〖答案〗AB〖解析〗對A、B：，，又，數(shù)列是首項公比都為的等比數(shù)列，故，即，故A、B正確；對C、D：當，，當，，，故C錯誤.，，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故D錯誤.故選：AB.10.已知為斜三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（）A. B.的最小值為2C.若，則 D.若，則〖答案〗AC〖解析〗A．由，得，因為，所以，兩邊都除以，得，整理得，故A項正確；B．若的最小值為2，則此時，可得，結(jié)合，得，此時，可得，與為斜三角形矛盾，故B項不正確；C．若，由正弦定理，得，結(jié)合，可得，所以，可得，由余弦定理得，因此，，整理得，故C項正確；C．，若，則，可得，即，結(jié)合為三角形的內(nèi)角，可知或，所以或，故D項不正確．故選：AC．11.如圖，正方體的棱長為1，P是線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.平面C.的最小值為D.當，C，，P四點共面時，四面體的外接球的體積為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，因為不在平面內(nèi)，平面，所以平面，又，所以點到平面的距離為，又為定值，故定值，A正確；對于B，因為，平面，平面，所以平面，同理可知平面，又，平面，所以平面平面，由于平面，故平面，B正確.對于C，展開兩線段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形，連接，交于點，此時最小，最小值即為的長，過點作⊥，交的延長線于點，其中，故，又勾股定理得，C正確；對于D，點P在點B處，，C，，P四點共面，四面體的外接球即正方體的外接球，故外接球的半徑為，所以該球的體積為，D正確.故選：ABD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.在中，角A，B，C的對邊分別為的平分線AD交BC于點.若，則周長的最小值為___________.〖答案〗〖解析〗，，即，，，.，得，由，得，當且僅當時，等號成立.又的周長，當且僅當時，等號成立.13.的展開式中，所有項的系數(shù)和為__________．〖答案〗32〖解析〗令，得，所以所有項的系數(shù)和為32．14.已知，若，，則的最大值為______．〖答案〗〖解析〗設，則，的圖象如圖所示，即的圖象與的圖象有3個交點，橫坐標依次為，且，由余弦函數(shù)圖象的性質(zhì)可知，，所以，又因為，所以，令，則，令，解得或，當時，在單調(diào)遞增，當時，在單調(diào)遞減，當時，在單調(diào)遞增，又因為，，所以，所以．四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.在中，角的對邊分別為，若，且．（1）求角B的值；（2）若，且的面積為，求BC邊上的中線AM的長．解：（1）因為，由正弦定理得，所以或，又因為，則，故.（2）由（1）知，又，所以，則，所以又，所以，在中，，由余弦定理得，所以.16.如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，，，為的中點．（1）求證：平面平面；（2）若，求直線BM與平面所成角正弦值．（1）證明：以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則A0,0,0，，，，，，.設平面PCD的一個法向量為n1=x即，不妨令，則，，所以，設平面PAC的一個法向量為，則，即，不妨令，則，，所以，因為，所以，所以平面平面．（2）解：由（1）知，，所以，，因為，所以，即，解得，故，所以，由（1）知，設直線BM與平面PCD所成的角為，則，故直線BM與平面PCD所成角的正弦值為.17.“布朗運動”是指懸浮在液體或氣體中的微小顆粒所做的永不停息的無規(guī)則運動，在如圖所示的試驗容器中，容器由三個倉組成，某粒子做布朗運動時每次會從所在倉的通道口中等可能隨機選擇一個到達相鄰倉，且粒子經(jīng)過次隨機選擇后到達2號倉的概率為，已知該粒子的初始位置在2號倉.（1）求；（2）證明數(shù)列Pn-1（3）粒子經(jīng)過4次隨機選擇后，記粒子在1號倉出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.（1）解：由題意可得：.（2）證明：記粒子經(jīng)過次隨機選擇后到達1號倉的概率為，粒子經(jīng)過次隨機選擇后到達3號倉的概率為，所以所以，所以，又，所以是公比為的等比數(shù)列.所以.（3）解：結(jié)合題意易得可取，，，，所以的分布列為012的數(shù)學期望18.已知橢圓的離心率為，橢圓的左，右焦點與短軸兩個端點構(gòu)成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，過點作軸的垂線交橢圓交于另一點，求面積的最大值.解：（1）設橢圓的焦距為，則，即，則，，由的左，右焦點與短軸的兩個端點構(gòu)成的四邊形的面積為，得，即，解得，所以橢圓方程為.（2）顯然，設，則，由消去得，，則，又，而與同號，因此，當且僅當，即時等號成立，所以面積的最大值為.19.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點