湖北省騰云聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省騰云聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期8月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以.故選：B．2.設(shè)，“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”是“”的（）A.充分而不必要條件； B.必要不充分條件；C.充分必要條件； D.既不充分也不必要條件.〖答案〗A〖解析〗當(dāng)是純虛數(shù)時，一定有，但是當(dāng)時，只有當(dāng)時，才能是純虛數(shù)，所以“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”是“”的充分而不必要條件，故選：A.3.函數(shù)的一個對稱中心的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則,當(dāng)k=1時，對稱中心為：，結(jié)合選項，ABC錯誤，故選：D.4.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗中，，，即，故選：A.5.中國航天英雄太空旅程時間一覽表如下，則太空旅程時間數(shù)據(jù)下四分位數(shù)為（）神舟五號神舟六號神舟七號神舟九號神舟十號神舟十一號神舟十二號神舟十三號神舟十四號神舟十五分神舟十六神舟十七號21時23分5天3天13天15天33天90天183天183天187天154天187天A.3 B.8 C.9 D.183〖答案〗C〖解析〗將數(shù)據(jù)從小到大排列后得到21時23分，3天，5天，13天，15天，33天，90天，154天，183天，183天，187天，187天，，下四分位數(shù)為第三個數(shù)和第四個數(shù)的平均數(shù)，即9天.故選：C.6.如圖，一個直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱.若側(cè)面水平放置時，液面恰好過的四等分點處，，當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r，液面高為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r，液面高為，依題意，側(cè)面水平放置時，液面恰好過的四等分點處，，所以水的體積，解得.故選：B.7.直線經(jīng)過函數(shù)圖象的對稱中心，則的最小值為（）A.9 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，∴fx關(guān)于點2,1則直線經(jīng)過點2,1，即，所以，所以.當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立.故選：A.8.已知函數(shù)，且恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時，，若，則，要使恒成立，即，若，則，要使恒成立，即，，即，當(dāng)時，，，∴fx在0,+要使恒成立，即，綜上所述，的取值范圍為，故選：C．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.李明上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車，他記錄了100次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6；騎自行車平均用時，樣本方差為4．假設(shè)坐公交車用時和騎自行車用時都服從正態(tài)分布．則下列說法中正確的是（）（參考數(shù)值：隨機變量服從正態(tài)分布，則，.）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗由題意可設(shè)，由題意可得：，所以A正確，B錯誤；，，，，故C錯誤；，，，故D正確.故選：AD．10.已知平面四邊形中，，和，將平面四邊形沿對角線翻折，得到四面體.則下列說法正確的是（）A.無論翻折到何處，B.四面體的體積的最大值為C.當(dāng)時，四面體的外接球的體積為D.當(dāng)時，二面角的余弦值為〖答案〗ACD〖解析〗對于：取線段的中點，連接，是等邊三角形，在中，，，又平面，平面，又平面，即無論翻折到何處，，故A正確；對于B：當(dāng)平面平面時，四面體的體積最大，又，平面平面，平面，所以平面，又，，所以，故B錯誤；對于C：當(dāng)時，，，所以，，又，即兩兩互相垂直，且，將四面體補成棱長為的正方體，則正方體的外接球即為四面體的外接球，所以外接球半徑，所以外接球體積為，故C正確；對于D：當(dāng)時，，，所以，，將四面體補成棱長為的正方體，取中點，中點，則，，所以，又,平面，平面，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，是二面角的平面角，又平面，平面，所以，所以，則當(dāng)時，二面角的余弦值為，故D正確.故選：ACD.11.已知定義域為的函數(shù)滿足：①若，則；②對一切正實數(shù)，則（）A.B.C.，恒有成立D.存在正實數(shù)，使得成立〖答案〗BCD〖解析〗對于A，在中，令，可得，無法確定f1的值，A錯；對于B，令，代入條件②中，，即，B對；對于C，當(dāng)時，，且當(dāng)時，，則，C對；對于D，取，由于，從而成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，即而公差，所以當(dāng)n充分大時，可使，D對.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若平面內(nèi)不共線的向量兩兩夾角相等，且，則__________.〖答案〗〖解析〗因為平面內(nèi)不共線平面向量兩兩的夾角相等，即兩兩的夾角為，.13.從有5個紅球和4個藍球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.那么，在第3次摸到紅球的條件下第4次摸到紅球的概率為__________.〖答案〗〖解析〗用表示事件"第次摸到紅球"，表示事件"第次摸到紅球"，..14.已知拋物線，從拋物線內(nèi)一點出發(fā)平行于軸的光線經(jīng)過拋物線上點反射后交拋物線于點，直線與軸交點橫坐標(biāo)為__________；的面積為__________.〖答案〗〖解析〗，設(shè)切線與軸交于點，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，過焦點，即與軸交點橫坐標(biāo)為；，直線的斜率為，直線的傾斜角為60°，且，即，.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足.（1）求；（2）若，且的面積為，求.解：（1）由題設(shè)及正弦定理得，，即.，，整理得，即，，即.（2）由，得，由余弦定理得，即，.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）討論關(guān)于方程的解的個數(shù).解：（1）函數(shù)的定義域為，令，解得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時，有極小值，且極小值為.綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間為1,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為；有極小值，極小值為，無極大值.（2）令，解得；當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)時，，當(dāng)時，，結(jié)合（1）中分析可得，的大致圖象如圖所示，方程的解的個數(shù)為函數(shù)y=fx的圖象與直線的交點個數(shù).由（1）可得當(dāng)時，有最小值；由圖可得，當(dāng)時，方程無解；當(dāng)或時，方程有1個解；當(dāng)時，方程有兩個解.17.如圖，已知四棱錐中，平面，且.（1）證明：平面；（2）已知銳二面角的正弦值為，求二面角的余弦值.（1）證明：法一：如圖1，延長和相交于點，連接，，，則，又，，則平面平面平面.法二：如圖2，過作平行交于點，，則，，，，，，均平行于平面，且是平面內(nèi)的兩條相交直線，平面平面，又平面平面.法三：如圖2，過作平行交于點，連接，，且，平行，，則，平行于，，..均平行于平面，且是平面內(nèi)的兩條相交直線，平面平面，又平面平面.（2）解：法一：平面平面平面平面，如圖3，過點作交于平面平面，平面平面.過點作交于，又，且平面，平面，為二面角的平面角，則，設(shè)，則，平面平面，，又，，中，，則，過點作交于點，連接，則為二面角的平面角，，綜上所述，二面角的余弦值為.法二：如圖4，在平面內(nèi)過點作的垂線于的延長線交于點過作交于，連接，平面平面平面平面，平面平面平面，平面，平面，又平面，即為二面角的平面角，平面平面，，又，中，，則，，，中，邊上的高，設(shè)二面角平面角為平面，，綜上所述，二面角的余弦值為.法三：如圖5，平面在平面內(nèi)過點引的垂線記為軸，以所在直線為軸，軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，平面平面，，又，，中，，則，則，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，取，則得，平面的法向量為n1=0,0,1二面角正弦值為，①，設(shè)二面角的平面角為，平面的法向量為，②由①解得，代入②中，得，綜上所述，二面角的余弦值為.18.已知點是圓上的任意一點，，線段的垂直平分線與半徑相交于點，當(dāng)點在圓上運動時，點的軌跡記為；點是圓上的任意一點，線段的垂直平分線與直線相交于點，當(dāng)點在圓上運動時，點的軌跡記為；已知直線與相交于點，與相交于點，線段和線段的中點分別為.（1）求曲線和曲線的方程；（2）已知的面積為，求直線的斜率的值.解：（1）依題意可得，點的軌跡是以為焦點，4為長軸長的橢圓，即，依題意可得，點的軌跡是以為焦點，1為實軸長的雙曲線，即.（2）設(shè)，聯(lián)立消去得，，由韋達定理可得，聯(lián)立.去得，，由韋達定理可得，則線段的長度為，點到直線的距離為，，即，，，法一：，，令在上單調(diào)遞增，，，使得上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即當(dāng)時，在上無解.綜上所述，直線的斜率的值為1.法二：設(shè)，顯然f1=0，令，當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上恒成立，即在單調(diào)遞增，在上有且僅有一解，綜上所述，直線的斜率的值為1.19.在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“A型擴展”.如將數(shù)列進行“A型擴展”，第一次得到數(shù)列：第二次得到數(shù)列設(shè)第次“A型擴展”后所得數(shù)列為（其中），并記；在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入后項與前項的商，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“B型擴展”.即將數(shù)列進行“B型擴展”，第一次得到數(shù)列；第二次得到數(shù)列設(shè)第次“B型擴展”后所得數(shù)列為（其中），當(dāng)時，記.（1）當(dāng)時，求數(shù)列1，2第3次“A型拓展”得到的數(shù)列的第6項；（2）當(dāng)時，求數(shù)列的通項公式；（3）是否存在一個項數(shù)為的數(shù)列，記的各項和為，記進行第一次“B型拓展”后得到的新數(shù)列，記各項和為，使得成立.（其中，是第二問中數(shù)列的通項公式）若存在，寫出一個