湖南省長沙市六校2024屆高三下學期聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省長沙市六校2024屆高三下學期聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，則，故選：B.2.已知向量，，且，則實數(shù)（）A.1或4 B.1或C.或1 D.或1〖答案〗B〖解析〗由，，，有，解得．故選：B.3.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（）A.向右平行移動個單位長度B.向左平行移動個單位長度C.向右平行移動個單位長度D.向左平行移動個單位長度〖答案〗C〖解析〗因為，所以只要把函數(shù)圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，即可得到函數(shù)的圖象．故選：C.4.“”是“圓與圓相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗圓圓心，半徑為；圓圓心，半徑為；當兩圓相切時，可分為內(nèi)切和外切兩種，圓心距為，①當兩圓外切時：，即.②當兩圓內(nèi)切時：，即.則根據(jù)充分條件和必要條件的判定原則，可知“”是“圓與圓相切”的充分不必要條件.故選：A.5.若，且，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，則，因為，，所以，，則.故選：C.6.若展開式的常數(shù)項為60，則值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為展開式的通項為，令，則，所以常數(shù)項為，即，所以.故選D.7.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，表示初始學習率，表示衰減系數(shù)，表示訓練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為，衰減速度為18，且當訓練迭代輪數(shù)為18時，學習率衰減為，則學習率衰減到以下（不含）所需的訓練迭代輪數(shù)至少為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.72 B.74 C.76 D.78〖答案〗B〖解析〗由于，所以，依題意，則，則，由，所以，即，所以所需的訓練迭代輪數(shù)至少為74次．故選：B.8.已知，分別是橢圓（）的左，右焦點，M，N是橢圓C上兩點，且，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗連接，設(shè)，則，，，在中，即，，，，，，在中，，即，，，又，.故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.帶有編號1、2、3、4、5的五個球，則（）A.全部投入4個不同的盒子里，共有種放法B.放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，共有種放法C.將其中的4個球投入4個盒子里的一個(另一個球不投入)，共有種放法D.全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，共有種不同的放法〖答案〗ACD〖解析〗對于A：每個球都可以放入4個不同的盒子，則共有種放法，A正確；對于B：放進不同的4個盒子里，每盒至少一個，則有：全部投入4個不同的盒子里，每盒至少一個，相當于把其中的2個球捆綁成一個球，再進行排列，共有種放法，B錯誤；對于C：先選擇4個球，有種，再選擇一個盒子，有種，故共有種放法，C正確；對于D：全部投入4個不同的盒子里，沒有空盒，則相當于把其中的2個球捆綁成一個球，再進行排列，共有種放法，D正確；故選：ACD.10.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則（）A. B. C.的面積為 D.的周長為〖答案〗ABD〖解析〗由，有，得，選項A正確．因為，由正弦定理有，，得，選項B正確．的面積為，選項C錯誤．因為，由余弦定理，解得，故的周長為，選項D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)則下列說法正確的是（）A.當時,B.當時,直線與函數(shù)的圖象相切C.若函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增,則D.若在區(qū)間上恒成立,則〖答案〗AB〖解析〗對于A,當時,,,當時,,當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,故選項A正確;對于B,當時,,,f'(0)=2,函數(shù)在處的切線方程為,故選項B正確;對于C,,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則區(qū)間上恒成立,即在上恒成立,令,,則,函數(shù)上單調(diào)遞減,,,故選項C錯誤;對于D,當時,恒成立,此時;當時,恒成立等價于恒成立,即恒成立,設(shè),,則在上恒成立,在上單調(diào)遞減,,,綜上所述,故選項D錯誤.故選:AB．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知雙曲線過點，則其漸近線方程為______．〖答案〗〖解析〗因為雙曲線過點，即有，解得或（舍），而，故漸近線方程，即.13.已知復數(shù)滿足，則_________.〖答案〗〖解析〗因為，所以.14.立方、塹堵、陽馬和鱉臑等這些名詞都出自中國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)商功》，在《九章算術(shù)商功》中有這樣的記載：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑”意思是說：把一塊長方體沿斜線分成相同的兩塊，這兩塊叫“塹堵”，如圖，再把一塊“塹堵”沿斜線分成兩塊，其中以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為“陽馬”，余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為“鱉臑”，如圖．現(xiàn)有一四面體ABCD，已知，，，，，，根據(jù)上述史料中“鱉臑”的由來，可求得這個四面體的體積為___________，及該四面體的外接球的體積為___________．〖答案〗4〖解析〗根據(jù)資料可得“鱉臑”的由來是將長方體分解一半，得到三棱柱，三棱柱再分成兩塊；現(xiàn)將“鱉臑”還原成長方體，由已知，，，，，，還原成長方體，如圖，從還原的長方體可以看出，四面體的體積；長方體的體對角線即為四面體外接球的直徑，，四面體的外接球的體積．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列的前項和為，，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求解：（1）因為是等差數(shù)列，可設(shè)首項為，公差為，由題意得：，，聯(lián)立解得：，，是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為.（2）由上問可知，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，通項公式.所以,從而可得,從而可得,.16.如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形.四邊形是梯形，，平面平面，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的大小.（1）證明：∵，平面，∴平面，∵，平面，平面，∴.平面，∵，、平面，∴平面/平面，∵平面，∴平面．（2）解：以為原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，設(shè)平面一個法向量，，，則，即，令，則，，∴，設(shè)平面一個法向量，，，則，即，令，則，，∴，∴，設(shè)二面角的平面角為，則，故.17.要獲得某項英語資格證書必須依次通過聽力和筆試兩項考試，只有聽力成績合格時，才可繼續(xù)參加筆試考試．已知聽力和筆試各自允許有一次補考機會，兩項成績均合格方可獲得證書．現(xiàn)某同學參加這項證書考試，根據(jù)以往模擬情況，聽力考試成績每次合格的概率均為，筆試考試成績每次合格的概率均為，假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響．（1）求他不需要補考就可獲得證書的概率；（2）求他恰好補考一次就獲得證書的概率；（3）在這項考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為，求參加考試次數(shù)的分布列和期望值．解：（1）設(shè)“聽力第一次考試合格”為事件，“聽力補考合格”為事件；“筆試第一次考試合格”為事件，“筆試補考合格”為事件不需要補考就獲得證書的事件為，注意到與相互獨立，則（2）恰好補考一次的事件是，則；（3）由已知得，，3，4，注意到各事件之間的獨立性與互斥性，可得，，，參加考試次數(shù)的期望值.18.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當時，若在時恒成立，求整數(shù)的最大值．解：（1）當時，，所以，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，無極小值.（2