江西省五市九校協(xié)作體2024屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省五市九校協(xié)作體2024屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知是實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根．則（）A.4 B. C.0 D.2〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的一個(gè)根，則也是關(guān)于的方程的一個(gè)根．可得，解得，，所以．故選：C.2.設(shè)集合，．則（）A. B.C.x-1≤x≤3 D.〖答案〗B〖解析〗集合，，則．故選：B.3.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則（）A.17 B.34 C.51 D.68〖答案〗C〖解析〗設(shè)公差為d，則，即，則，故選：C.4.若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到軸距離的2倍．則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗D〖解析〗已知拋物線的方程為，可得．所以焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為：．拋物線上一點(diǎn)Ax0,y0即，又∵A到x軸的距離為，由已知得，解得．故選：D．5.將1個(gè)0，2個(gè)1，2個(gè)2隨機(jī)排成一行，則2個(gè)1不相鄰的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗將1個(gè)0，2個(gè)1，2個(gè)2隨機(jī)排成一行，共有種，其中，2個(gè)1不相鄰的情況有種，故所求概率為．故選：A.6.已知函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，．則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)對(duì)稱軸為，，則函數(shù)周期，，函數(shù)，對(duì)稱軸為，，與題干不符；當(dāng)時(shí)，，其中，由函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，得的最小正周期，所以，所以，由函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為，得，令，得，即，得，所以，則．故選：C．7.已知正四面體棱長為4，半徑為的球與側(cè)面、、都相切，則該球心到棱的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取的中心為點(diǎn)Q，連接，則平面，連接并延長交于點(diǎn)D，連接，可知點(diǎn)D為的中點(diǎn)，因?yàn)榍蚺c側(cè)面、、都相切，所以球心O在線段上，記球O與平面的切點(diǎn)為點(diǎn)M，可知點(diǎn)M在線段上，，由正四面體棱長為4，球的半徑為，可得，，，，由，可得，在平面內(nèi)，過點(diǎn)O作于點(diǎn)N，可知球心O到棱的距離即為的長，球心O到棱的距離等于球心O到棱的距離，由，可得，所以該球心到棱的距離為．故選：B.8.若點(diǎn)既在直線上，又在橢圓上，的左、右焦點(diǎn)分別為，，且的平分線與垂直，則的長軸長為（）A. B. C.或 D.或〖答案〗B〖解析〗過點(diǎn)、分別作、垂直直線于點(diǎn)、，作的平分線與軸交于，由，故F1-1,0、F則，，由且為的平分線，故，故，又、，故與相似，故，由，令，則，故直線與軸交于點(diǎn)，故，，故，由，故，，故，，由橢圓定義可知，，故，即的長軸長為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知、是夾角為的單位向量，．下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.在方向上的投影數(shù)量為〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，，是夾角為的單位向量，則，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A得，，所以，又，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上的投影數(shù)量為，D正確．故選：AD．10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-2，0），B（4，0），點(diǎn)P滿足．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，下列結(jié)論正確的是（）A.軌跡C的方程為B.在x軸上存在異于A，B的兩點(diǎn)D，E使得C.當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線PO是的角平分線D.在C上存在點(diǎn)M，使得．〖答案〗BC〖解析〗在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（-2，0），B（4，0），點(diǎn)P滿足，設(shè)，則，化簡得，所以A錯(cuò)誤；作圖如下：假設(shè)在x軸上存在異于A，B的兩點(diǎn)D，E使得，設(shè)，，則，化簡得，由軌跡C的方程為，可得，，解得，或，（舍去），即在x軸上存在異于A，B的兩點(diǎn)D，E使，所以B正確；當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時(shí)，由可得射線PO是的角平分線，所以C正確；若在C上存在點(diǎn)M，使得，可設(shè)（），則有，化簡得，與聯(lián)立，解得：，方程組無解，故不存在點(diǎn)M，所以D錯(cuò)誤；故選：BC．11.已知定義在上的連續(xù)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A項(xiàng)，在中，，函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，則，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以，故A正確；B項(xiàng)，令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，B正確；C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則在取得最小值為1，所以不存在，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，令，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，則，所以，，令，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，，所以，所以，，所以與差大于與的差，因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)為__________．〖答案〗-105〖解析〗因?yàn)?，而二?xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，．所以的展開式中的項(xiàng)為，其系數(shù)為-105.13.記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、．若．則的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以，于是，所以由，得，由正弦定理得：，于是，，因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立，14.若實(shí)數(shù)a，b，c滿足條件：，則的最大值是______．〖答案〗〖解析〗由基本不等式，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.設(shè)，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，即，令，得，所以，解得，由，得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)．故的最大值是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.從集合的所有非空子集中，等可能地取出m個(gè).（1）若，求所取子集的元素既有奇數(shù)又有偶數(shù)的概率；（2）若，記所取子集的元素個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）當(dāng)時(shí)，記事件A：“所取子集的元素既有奇數(shù)又有偶數(shù)”．則集合的非空子集數(shù)為，其中非空子集的元素全為奇數(shù)的子集數(shù)為，全為偶數(shù)的子集數(shù)為，所以；（2）當(dāng)時(shí)，的所有可能取值為0，1，2，3，4，則，，，，，所以的概率分布為01234所以的數(shù)學(xué)期望16.已知函數(shù)，其中.（1）若，求函數(shù)的增區(qū)間；（2）若在上的最大值為0，求a的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?,+∞，，令f'x>0函數(shù)的增區(qū)間為0,1．（2）由，得，若，則f'x>0，若，，當(dāng)時(shí)，f'x>0，當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，即，不滿足題意，綜上，的取值范圍是.17.如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.（1）證明：設(shè)，連接，如下圖所示：∵側(cè)面為菱形，∴，且為及的中點(diǎn)，又，則為直角三角形，，又，，即，而為平面內(nèi)的兩條相交直線，平面.（2）解：，平面，平面，，即，從而兩兩互相垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長度，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，為等邊三角形，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，∴令，代入可得，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，代入可得，，由圖示可知二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為.18.我們約定，如果一個(gè)橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線.已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妺”圓錐曲線，分別為的離心率，且，點(diǎn)分別為橢圓的左?右頂點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為.（i）試探究與的比值是否為定值.若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由；（ii）求的取值范圍.解：（1）由題意可設(shè)雙曲線，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）（i）設(shè)，直線的方程為，由，消元得.則，且，，或由韋達(dá)定理可得，即,，即與的比值為定值.（ii）方法一：設(shè)直線，代入雙曲線方程并整理得，由于點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，所以此方程有一根為，.由韋達(dá)定理得：，解得.因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線的右支上，所以，解得，即，同理可得，由（i）中結(jié)論可知，得，所以，故，設(shè)，其圖象對(duì)稱軸為，則在上單調(diào)遞減，故，故的取值范圍為；方法二：由于雙曲線的漸近線方程為，如圖，過點(diǎn)作兩漸近線的平行線，由于點(diǎn)A在雙曲線的右支上，所以直線介于直線之間（含軸，不含直線），所以.同理，過點(diǎn)作兩漸近線的平行線，由于點(diǎn)在雙曲線的右支上，所以直線介于直線之間（不含軸，不含直線），所以.由（i）中結(jié)論可知，得，所以,故.19.若存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足（，），則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）判斷數(shù)列：1，2，3，8，49是否為“數(shù)列”，并說明理由；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為的“數(shù)列”，數(shù)列是等比數(shù)列，且與滿足，求的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列是“數(shù)列”，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，試比較與的大小，并證明.解：（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義，則，故，因?yàn)槌闪ⅲ闪?，不成立，所以不是“?shù)列”.（2）由是首項(xiàng)為