第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)課課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)課人教B版

數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)知識(shí)梳理構(gòu)建體系知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

要點(diǎn)梳理

1.什么是平均變化率?提示:一般地,若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),則稱Δx=x2-x1為自變量的改變量;稱Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))為相應(yīng)的因變2.導(dǎo)數(shù)或瞬時(shí)變化率的概念是什么?3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么?提示:如果將函數(shù)y=f(x)的圖象看成曲線(稱為曲線y=f(x)),而且曲線y=f(x)在點(diǎn)A(x0,f(x0))處的切線為l,則Δx很小時(shí),B(x0+Δx,f(x0+Δx))是A附近的一點(diǎn),割線AB的斜率是

,則當(dāng)Δx無(wú)限接近于0時(shí),割線AB的斜率將無(wú)限趨近于切線l的斜率.這就是說(shuō),f'(x0)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處(也稱在x=x0處)的切線的斜率,根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可知,切線的方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).4.根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,請(qǐng)完成下表.基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=C(C為常數(shù))f'(x)=0f(x)=xαf'(x)=αxα-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=exf'(x)=exf(x)=ax(a>0)f'(x)=axlnaf(x)=lnx

f(x)=logax(a>0,且a≠1)

5.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則有哪些?提示:若f'(x),g'(x)存在,則有:(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);6.如何求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?提示:復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx'=yu'ux',即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.7.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性有什么關(guān)系?提示:一般地,(1)如果在區(qū)間(a,b)內(nèi),f'(x)>0,則曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)對(duì)應(yīng)的那一段上每一點(diǎn)處切線的斜率都大于0,曲線呈上升狀態(tài),因此f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是增函數(shù),如圖所示.(2)如果在區(qū)間(a,b)內(nèi),f'(x)<0,則曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)對(duì)應(yīng)的那一段上每一點(diǎn)處切線的斜率都小于0,曲線呈下降狀態(tài),因此f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是減函數(shù),如圖所示.8.函數(shù)的極值是如何定義的?提示:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,設(shè)x0∈D,如果對(duì)于x0附近的任意不同于x0的x,都有(1)f(x)<f(x0),則稱x0為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn),且f(x)在x0處取極大值;(2)f(x)>f(x0),則稱x0為函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn),且f(x)在x0處取極小值.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)都稱為極值點(diǎn),極大值與極小值都稱為極值.9.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點(diǎn)有什么關(guān)系?提示:(1)一般地,如果x0是y=f(x)的極值點(diǎn),且f(x)在x0處可導(dǎo),則必有f'(x0)=0.(2)一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),且f'(x0)=0.①如果對(duì)于x0左側(cè)附近的任意x,都有f'(x)>0,對(duì)于x0右側(cè)附近的任意x,都有f'(x)<0,那么此時(shí)x0是f(x)的極大值點(diǎn).②如果對(duì)于x0左側(cè)附近的任意x,都有f'(x)<0,對(duì)于x0右側(cè)附近的任意x,都有f'(x)>0,那么此時(shí)x0是f(x)的極小值點(diǎn).③如果f'(x)在x0的左側(cè)附近與右側(cè)附近均為正號(hào)(或均為負(fù)號(hào)),則x0一定不是y=f(x)的極值點(diǎn).10.函數(shù)的極值點(diǎn)與最值點(diǎn)有什么關(guān)系?提示:一般地,如果函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo),且函數(shù)存在極值,則函數(shù)的最值點(diǎn)一定是某個(gè)極值點(diǎn);如果函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇a,b]且存在極值,函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),那么函數(shù)的最值點(diǎn)要么是區(qū)間端點(diǎn)a或b,要么是極值點(diǎn).11.如何利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)化問(wèn)題?提示:用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路是:優(yōu)化問(wèn)題→用函數(shù)表示數(shù)學(xué)問(wèn)題→用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題→優(yōu)化問(wèn)題的答案.【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)求f'(x0)時(shí),可先求f(x0),再求f'(x0).(×)(2)曲線在某點(diǎn)處的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).(√)(3)f'(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充要條件.(×)(4)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)越小,函數(shù)的變化越慢,函數(shù)的圖象就越“平緩”.(×)(5)若函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)=0,則f(x)在此區(qū)間內(nèi)為常數(shù)函數(shù).(√)(6)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值是唯一的.(×)(7)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),f'(x0)=0是x0為極值點(diǎn)的充要條件.(×)(8)開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)極值和最值.(√)專(zhuān)題歸納核心突破專(zhuān)題整合

專(zhuān)題一

導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用【例1】

已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線的方程;(2)若直線l為曲線y=f(x)的切線,且經(jīng)過(guò)原點(diǎn),求直線l的方程及切點(diǎn)的坐標(biāo).解:(1)∵f'(x)=3x2+1,∴曲線在點(diǎn)(2,-6)處的切線的斜率為f'(2)=3×22+1=13,∴切線的方程為y+6=13(x-2),即y=13x-32.求曲線的切線方程的題目主要有以下兩種類(lèi)型:(1)求曲線y=f(x)在一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程,此時(shí)點(diǎn)P(x0,y0)為切點(diǎn).當(dāng)切線斜率存在,即函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)時(shí),切線斜率為f'(x0),有唯一的一條切線,對(duì)應(yīng)的切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0);當(dāng)切線斜率不存在時(shí),對(duì)應(yīng)的切線方程為x=x0.(2)求曲線y=f(x)過(guò)一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程,此時(shí)切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,點(diǎn)P可能是切點(diǎn),也可能不是切點(diǎn).解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出切點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出切線的方程.反思感悟?qū)ｎ}二

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

即a≤2x3在區(qū)間[2,+∞)內(nèi)恒成立.∴a≤(2x3)min=16.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,16].已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的兩種思路(1)轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問(wèn)題,即f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,用分離參數(shù)求最值或函數(shù)性質(zhì)求解,注意驗(yàn)證使f'(x)=0的參數(shù)是否符合題意.(2)構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的不等式求解,即令f'(x)≥0(或f'(x)≤0)求得用參數(shù)表示的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合所給區(qū)間,利用區(qū)間端點(diǎn)列不等式求參數(shù)的取值范圍.反思感悟【變式訓(xùn)練2】

設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(diǎn)(1,-11).(1)求a,b的值;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.解:(1)f'(x)=3x2-6ax+3b.∵f(x)的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(diǎn)(1,-11),∴f(1)=-11,f'(1)=-12,(2)由(1)得,f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).令f'(x)>0,解得x>3或x<-1.令f'(x)<0,解得-1<x<3.故當(dāng)x∈(-∞,-1)和x∈(3,+∞)時(shí),f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(-1,3)時(shí),f(x)單調(diào)遞減.專(zhuān)題三

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值

解:(1)f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1),令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a.因?yàn)閍>0,所以x1<x2.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表.x(-∞,-1)-1(-1,a)a(a,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以當(dāng)x=-1時(shí),f(x)有極大值2,即3a+2b=3.(2)當(dāng)0<a<3時(shí),由(1)知,f(x)在區(qū)間[0,a)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(a,3]內(nèi)單調(diào)遞增,已知函數(shù)的極值,確定參數(shù)時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn):(1)根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為0和極值兩個(gè)條件可列出方程組,用待定系數(shù)法求解.(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值為0不能推出此點(diǎn)就是極值點(diǎn),所以利用上述方程組求出解后必須驗(yàn)證根的合理性.反思感悟【變式訓(xùn)練3】

若函數(shù)f(x)=ax2+2x+blnx在x=1和x=2時(shí)取極值.(1)求a,b的值;專(zhuān)題四

用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立、能成立問(wèn)題【例4】

已知兩個(gè)函數(shù)f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,x∈[-3,3],k∈R.(1)若對(duì)?x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)若?x∈[-3,3],使得f(x)≤g(x)成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(3)若對(duì)?x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解:(1)設(shè)h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈[-3,3]時(shí),h(x)≥0恒成立,即h(x)min≥0.令h'(x)=6x2-6x-12=0,解得x=2或x=-1.∵h(yuǎn)(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20,h(3)=k-9,∴h(x)min=k-45≥0,∴k≥45.(2)依題意,?x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即?x∈[-3,3],使h(x)=g(x)-f(x)≥0成立,∴h(x)max≥0,即k+7≥0,∴k≥-7.(3)依題意,f(x)max≤g(x)min,易知f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-3)=-21,∴120-k≤-21,∴k≥141.不等式的恒成立、能成立問(wèn)題的解題技巧將不等式的恒成立、能成立問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題.常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化類(lèi)型如下:(1)?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f1(x1)>f2(x2)?f1(x)min>f2(x)max.(2)?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f1(x1)>f2(x2)?f1(x)max>f2(x)min.(3)?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f1(x1)>f2(x2)?f1(x)min>f2(x)min.(4)?x1∈[a,b],?x2∈[c,d],f1(x1)>f2(x2)?f1(x)max>f2(x)max.反思感悟【變式訓(xùn)練4】

設(shè)函數(shù)f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)<-2t+m對(duì)t∈(0,2)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),∴當(dāng)x=-t時(shí),f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g'(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(舍去后者).當(dāng)t變化時(shí),g'(t),g(t)的變化情況如下表.t(0,1)1(1,2)g'(t)+0-g(t)↗極大值↘∴g(t)在區(qū)間(0,2)內(nèi)的最大值為g(1)=1-m.∵h(yuǎn)(t)<-2t+m在區(qū)間(0,2)內(nèi)恒成立,∴g(t)<0在區(qū)間(0,2)內(nèi)恒成立,∴1-m<0,解得m>1.故m的取值范圍為(1,+∞).專(zhuān)題五

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【例5】

已知函數(shù)f(x)=x2-(a-2)x-alnx(a∈R).(1)討論函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a=1時(shí),證明:對(duì)任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2.(1)解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0對(duì)任意x∈(0,+∞)恒成立,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)證明:當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2+x-ln

x.要證明f(x)+ex>x2+x+2,只需證明ex-ln

x-2>0.設(shè)g(x)=ex-ln

x-2,當(dāng)x變化時(shí),g'(x)和g(x)變化情況如下表.x(0,x0)x0(x0,+∞)g'(x)-0+g(x)↘極小值↗構(gòu)造函數(shù)證明不等式的方法(1)移項(xiàng)法:證明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))可轉(zhuǎn)化為證明f(x)-g(x)>0(或f(x)-g(x)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)=f(x)-g(x).(2)主元法:對(duì)于(或可化為)f(x1,x2)≥A的不等式,可選x1(或x2)為主元,利用x1與x2的關(guān)系,構(gòu)造函數(shù)g(x1)(或g(x2)).(3)放縮法:若所構(gòu)造的函數(shù)的最值不易求解,則可先將要證明的不等式進(jìn)行放縮,再重新構(gòu)造函數(shù).反思感悟【變式訓(xùn)練5】

設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-(x+1)lnx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為0.(1)求a的值;專(zhuān)題六

利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根(或函數(shù)的零點(diǎn))【例6】

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b的圖象上一點(diǎn)P(1,0),且在點(diǎn)P處的切線與直線3x+y=0平行.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值;(3)關(guān)于x的方程f(x)=c在區(qū)間[1,3]上恰有兩個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.解:(1)f'(x)=3x2+2ax.因?yàn)榍€在點(diǎn)P(1,0)處的切線與直線3x+y=0平行,所以f'(1)=3+2a=-3,解得a=-3.又點(diǎn)P(1,0)在f(x)的圖象上,所以-2+b=0,所以b=2.所以f(x)=x3-3x2+2.(2)由(1)得f'(x)=3x2-6x.由f'(x)=0,得x=0或x=2.①若0<t≤2,則f'(x)≤0在區(qū)間[0,t]上恒成立,f(x)在區(qū)間[0,t]上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t3-3t2+2.②若2<t<3,則當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表.x0(0,2)2(2,t)tf'(x)0-0+

f(x)2↘-2↗t3-3t2+2故f(x)min=f(2)=-2,f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個(gè).因?yàn)閒(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0,所以f(x)max=f(0)=2.(3)令g(x)=f(x)-c=x3-3x2+2-c,則g'(x)=3x2-6x=3x(x-2).當(dāng)x∈[1,2)時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x∈(2,3]時(shí),g'(x)>0.要使g(x)=0在區(qū)間[1,3]上恰有兩個(gè)實(shí)根,反思感悟?qū)τ诜匠痰母?或函數(shù)零點(diǎn))的個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題,可以利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合思想來(lái)求解.解決此類(lèi)問(wèn)題的一般步驟如下:(1)構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),這是求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn),并求其定義域;(2)求出導(dǎo)數(shù),得到單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn);(3)作出函數(shù)的大致圖象,進(jìn)行觀察;(4)數(shù)形結(jié)合,挖掘隱含條件,列出不等式(組)求解.高考體驗(yàn)

考點(diǎn)一

導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用1.(2021·新高考Ⅰ)若過(guò)點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則(

)A.eb<a

B.ea<b

C.0<a<eb

D.0<b<ea解析:設(shè)切點(diǎn)(x0,y0),因?yàn)閥'=ex,設(shè)g(x)=ex(a-x+1)-b,則g'(x)=ex(a-x)=0,解得x=a,所以g(x)在區(qū)間(-∞,a)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.由g(a)>0,得ea>b.結(jié)合4個(gè)選項(xiàng),可知選D.答案:D答案:C3.(2022·全國(guó)新高考Ⅰ)若曲線y=(x+a)ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,則a的取值范圍是

.

∴Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.故a的取值范圍是(-∞,-4)∪(0,+∞).答案:(-∞,-4)∪(0,+∞)考點(diǎn)二

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性4.(2023·新高考Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,則a的最小值為(

)A.e2

B.e

C.e-1

D.e-2設(shè)g(x)=xex,則g'(x)=(x+1)ex>0在區(qū)間(1,2)內(nèi)恒成立,所以函數(shù)g(x)=xex在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,所以g(x)>g(1)=e,答案:C5.(2021·全國(guó)甲高考)設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2+ax-3lnx+1,其中a>0.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若y=f(x)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn),求a的取值范圍.(1)當(dāng)a=2時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),求a的取值范圍.考點(diǎn)三

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值、最值7.(2023·新高考Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是(

)A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞)解析:方法一(導(dǎo)數(shù)法):由題意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)2x(x-a)ln

2,由函數(shù)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,知(2x-a)2x(x-a)·ln

2≤0在(0,1)內(nèi)恒成立,即2x-a≤0在(0,1)內(nèi)恒成立,即a≥(2x)max,所以a≥2.故選D.方法二(復(fù)合函數(shù)法):因?yàn)楹瘮?shù)y=2x在R上是增函數(shù),要使復(fù)合函數(shù)答案:D8.(2019·全國(guó)Ⅲ高考)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為-1且最大值為1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,說(shuō)明理由.(2)滿足題設(shè)條件的a,b存在.①當(dāng)a≤0時(shí),由(1)知,f(x)在[0,1]單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為f(0)=b,最大值為f(1)=2-a+b.此時(shí)a,b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.②當(dāng)a≥3時(shí),由(1)知,f(x)在[0,1]單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[0,1]的最大值為f(0)=b,最小值為f(1)=2-a+b.此時(shí)a,b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.考點(diǎn)四

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立、能成立問(wèn)題9.(2020·全國(guó)Ⅰ高考)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1.故當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增.所以g(x)在(0,2)單調(diào)遞增,而g(0)=1,故當(dāng)x∈(0,2)時(shí),g(x)>1,不合題意.考點(diǎn)五

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式10.(2021·新高考Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(1)解:由條件知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=-ln

x.當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.即在區(qū)間(0,1)內(nèi),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在區(qū)間(1,+∞)內(nèi),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.

方法二:f(x)在點(diǎn)(e,0)處的切線φ(x)=e-x,令F(x)=f(x)-φ(x)=2x-xln

x-e,x∈(0,e),F'(x)=1-ln

x>0,所以F(x)在區(qū)間(0,e)內(nèi)單調(diào)遞增,即F(x)<F(e)=0,所以當(dāng)x∈(0,e)時(shí),f(x)<φ(x).令t=f(x1)=f(x2),則t=f(x2)<φ(x2)=e-x2?t+x2<e.又t=f(x1