專題07三角函數(shù)的圖象與性質綜合（2知識點6重難點7方法技巧4易錯易混）

專題06三角函數(shù)的圖象與性質綜合（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）知識點1三角函數(shù)的圖象與性質1、用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]無對稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ無知識點2函數(shù)y=Asin(ωx＋φ)1、y＝Asin(ωx＋φ)的有關概念y＝Asin(ωx＋φ)振幅周期頻率相位初相(A>0，ω>0)AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φeq\a\vs4\al(φ)2、用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)y＝Asin(ωx＋φ)0eq\a\vs4\al(A)0－A03、三角函數(shù)的圖象變換由函數(shù)y＝sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法重難點01利用三角函數(shù)的單調性求參數(shù)1、子集法：求出原函數(shù)的相應單調區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；2、反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正、余弦函數(shù)的某個單調區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；3、周期性法：由所給區(qū)間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過eq\f(1,4)周期列不等式(組)求解?！镜淅?】（2324高三下·江西宜春·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則的取值范圍是．【答案】【解析】因為在區(qū)間上單調遞減，所以，則，即，所以，因為，，所以，因為，所以，，因為在區(qū)間上單調遞減，所以，解得，所以的取值范圍為．【典例2】（2324高三下·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則的取值范圍是.【答案】【解析】當時，，又的單調遞減區(qū)間為，所以，解得，且，解得，又，所以0，所以的取值范圍為.重難點02與函數(shù)零點或方程的根有關的參數(shù)問題因為f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是T=2πω，所以ω=2πT，也就是說只要確定了周期T，就可以確定ω的取值.對于區(qū)間長度為定值的動區(qū)間，若區(qū)間上至少含有k個零點，需要確定含有k個零點的區(qū)間長度，一般和周期相關，若在在區(qū)間至多含有k【典例1】（2324高三下·河北滄州·月考）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得，令,所以或，故函數(shù)的正零點從小到大排列為：，要使在區(qū)間上有且僅有3個零點，需要滿足且，解得，故選：C【典例2】（2324高三下·湖北·二模）已知函數(shù)（，）的最小正周期為T，，若在內恰有10個零點則的取值范圍是．【答案】【解析】函數(shù)（，）的周期為，又，所以，所以，即，因為，所以，解得，所以，因為，所以，要使在內恰有10個零點，則.所以的取值范圍是.重難點03利用三角函數(shù)的對稱性（奇偶性）求參數(shù)（1）三角函數(shù)兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為T2，相鄰的對稱軸和對稱中心之間的“水平間隔”為T4，也就是說，我們可以根據(jù)三角函數(shù)的對稱性來研究其周期性，進而可以研究（2）三角函數(shù)的對稱軸比經過圖象的最高點或最低點，函數(shù)的對稱中心就是其圖象與x軸的交點（零點），也就是說我們可以利用函數(shù)的最值、零點之間的“差距”來確定其周期，進而可以確定ω的取值.【典例1】（2324高三下·黑龍江·三模）已知函數(shù)在區(qū)間內恰有3條對稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，又函數(shù)在區(qū)間恰有3條對稱軸，所以，解得，故選：D.【典例2】（2324高三上·福建漳州·月考）已知函數(shù)（ω＞0），若f（x）在區(qū)間上有且僅有3個零點和2條對稱軸，則ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)，因為，所以，由于函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個零點和2條對稱軸，根據(jù)函數(shù)的圖像：

所以，整理得：．故選：D．重難點04與圖象平移有關的參數(shù)范圍問題1、平移后與原圖象重合思路1：平移長度即為原函數(shù)周期的整倍數(shù)；思路2：平移前的函數(shù)=平移后的函數(shù).2、平移后與新圖象重合：平移后的函數(shù)=新的函數(shù).3、平移后的函數(shù)與原圖象關于軸對稱：平移后的函數(shù)為偶函數(shù)；4、平移后的函數(shù)與原函數(shù)關于軸對稱：平移前的函數(shù)=平移后的函數(shù)；5、平移后過定點：將定點坐標代入平移后的函數(shù)中。【典例1】（2324高三下·內蒙古赤峰·開學考試）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若在上單調遞增，則的最大值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】由題意，令，顯然關于單調遞增，且，若在上單調遞增，則，解得，即的最大值為.故選：C.【典例2】（2324高三上·江蘇鎮(zhèn)江·月考）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，再將使得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（）得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間內有5個零點，則的取值范圍是.【答案】【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到函數(shù)的圖象.時，，在軸右方的零點為因為函數(shù)的圖象在區(qū)間內有5個零點，所以，解得.重難點05根據(jù)三角函數(shù)的最值求參數(shù)若已知三角函數(shù)的最值，則可利用三角函數(shù)的最值與對稱軸或周期的關系，列出關于參數(shù)的不等式(組)，進而求解.【典例1】（2324高三下·浙江·三模）若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的取值可以為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)的最大值為1，的最大值為1，由題意可知，取得最大值1時，也取得最大值1，即當時，，，得，，，當時，，其他值不滿足等式.故選：D【典例2】（2324高三下·山東濟寧·三模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，函數(shù)，當時，，顯然，且正弦函數(shù)在上單調遞減，由在區(qū)間上的值域為，得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D一、三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域實際上是構造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)圖象來求解．【注意】解三角不等式時要注意周期，且k∈Z不可以忽略．【典例1】（2324高三上·全國·專題練習）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，解得.故選：B．【典例2】（2324高三上·河南新鄉(xiāng)·月考）函數(shù)的定義域為.（用區(qū)間表示結果）【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，只需，所以，，即，，所以或，所以函數(shù)的定義域為.二、三角函數(shù)值域或最值的3種求法1、直接法：形如y＝asinx＋k或y＝acosx＋k的三角函數(shù)，直接利用sinx，cosx的值域求出；2、化一法：形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函數(shù)，化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，確定ωx＋φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調性寫出函數(shù)的值域(最值)；3、換元法：（1）形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函數(shù)，可先設sinx＝t，化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值)；（2）形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設t＝sinx±cosx，化為關于t的二次函數(shù)求值域(最值)【典例1】（2324高三下·廣東湛江·二模）函數(shù)在上的值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，所以，故在上的值域為.故選：B.【典例2】（2223高三上·山東朔州·開學考）已知函數(shù)，則的最小值為.【答案】【解析】因為，則，所以，，故當時，函數(shù)取得最小值，即.【典例3】（2223高三上·廣東深圳·月考）已知函數(shù)，則的最大值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】，令，即，由，則.故選：A.【典例4】（2324高三下·湘豫聯(lián)考·三模）當時，的最大值是（

）A．2 B． C．0 D．【答案】D【解析】原式，其中銳角由確定，由，得，所以.故選：D三、求三角函數(shù)單調區(qū)間的2種方法1、代換法：就是將比較復雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當作一個角u(或t)，利用基本三角函數(shù)的單調性列不等式求解；2、圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦和正切曲線，結合圖象求它的單調區(qū)間求解三角函數(shù)的單調區(qū)間時，若x的系數(shù)為負，應先化為正，同時切莫忽視函數(shù)自身的定義域．【典例1】（2324高三上·湖南衡陽·期末）下列函數(shù)的最小正周期為，且在上單調遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，A項，在中，，，最小正周期為，當單調遞增時，，解得：∴在上不單調遞減，A錯誤；B項，在中，，最小正周期為，當單調遞增時，，解得：∴在上不單調遞減，B錯誤；C項，在中，，周期,∴函數(shù)在即上單調遞減，∴函數(shù)在上單調遞減，C正確；D項，在中，，故D錯誤.故選：C.【典例2】（2324高三下·全國·模擬預測）函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，令，,故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.故選：D．【典例3】（2324高三下·天津·高考模擬）函數(shù)的圖象經過點和點，則的單調遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，，且，即且，因為，所以，則，所以，化簡得，因為，所以時，故，所以．由，得，所以的單調遞增區(qū)間是．故選：D．四、與三角函數(shù)奇偶性相關的結論三角函數(shù)中，判斷奇偶性的前提是定義域關于原點對稱，奇函數(shù)一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx＋b的形式．常見的結論有：（1）若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)．（2）若y＝Acos(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．（3）若y＝Atan(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)．【典例1】（2324高三下·浙江杭州·三模）已知函數(shù)，則“”是“為奇函數(shù)且為偶函數(shù)”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】一方面，當，時，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，故充分性成立，另一方面，當時，有是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，但此時關于的方程沒有解，故必要性不成立，綜上所述，在已知的情況下，“”是“為奇函數(shù)且為偶函數(shù)”的充分而不必要條件.故選：A.【典例2】（2324高三下·河南信陽·一模）若函數(shù)的圖像關于原點對稱，則m＝．【答案】/【解析】因為的圖像關于原點對稱，則為奇函數(shù)，且為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，即，，則，則．【典例3】（2324高三下·湖北黃石·三模）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．為偶函數(shù)，的圖象關于直線對稱B．的圖象關于軸對稱，不是對稱圖形C．的圖象關于原點對稱，的圖象關于點對稱D．的圖象關于原點對稱，的圖象關于軸對稱【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關于軸對稱，任意，，則，故是偶函數(shù)，即的圖象關于軸對稱.故選：A五、三角函數(shù)對稱性問題的2種求解方法1、定義法：正(余)弦函數(shù)的對稱軸是過函數(shù)的最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心是圖象與x軸的交點，即函數(shù)的零點；2、公式法：（1）函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；（2）函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；（3）函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2ω)－\f(φ,ω)，0)).上述k∈Z【典例1】（2324高三下·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)的最小正周期為，則的圖象的一個對稱中心為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，由題可知，所以.令，得，所以的圖象的對稱中心為，所以點符合.故選：D.【典例2】（2324高三下·陜西·模擬預測）已知函數(shù)，則的圖像（

）A．關于直線對稱 B．關于直線對稱C．關于中心對稱 D．關于中心對稱【答案】A【解析】，對于A，，函數(shù)關于直線對稱，A正確；對于B，，函數(shù)關于直線不對稱，B錯誤；對于C，，函數(shù)關于不成中心對稱，C錯誤；對于D，，函數(shù)關于中心對稱，D錯誤.故選：A【典例3】（2324高三下·安徽·三模）“”是“函數(shù)的圖象關于對稱”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若函數(shù)的圖象關于對稱，則，解得，因為是的真子集，所以“”是“函數(shù)的圖象關于對稱”的充分不必要條件.故選：A.六、由圖象確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步驟和方法(1)求A，b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).(2)求ω.確定函數(shù)的最小正周期T，則ω＝eq\f(2π,T).(3)求φ，常用方法如下：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入.【典例1】（2324高三下·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（

）A． B． C．0 D．【答案】B【解析】由圖可得，，，所以，所以，因為在函數(shù)的圖像上，可得，解得，因為，所以，，所以.故選：B.【典例2】（2324高三下·甘肅酒泉·三模）函數(shù)，其部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設的最小正周期為，由題意可知：，，即，且，則，可得，由圖象可知：為的最大值點，則，解得，且，可知，所以.故選：B.七、三角函數(shù)圖象的變換函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，參數(shù)A，ω，φ，k的變化引起圖象的變換：（1）A的變化引起圖象中振幅的變換，即縱向伸縮變換；（2）ω的變化引起周期的變換，即橫向伸縮變換；（3）φ的變化引起左右平移變換，k的變化引起上下平移變換．圖象平移遵循的規(guī)律為：“左加右減，上加下減”．【注意】（1）平移變換和伸縮變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值；（2）余弦型、正切型函數(shù)的圖象變換過程與正弦型函數(shù)的圖象變換過程相同?！镜淅?】（2324高三下·廣東揭陽·二模）把函數(shù)的圖象向左平移個最小正周期后，所得圖象對應的函數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得的最小正周期為，則所求函數(shù)為.故選：C【典例2】（2324高三下·浙江·月考）（多選）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】AD【解析】把函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，A正確；把函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，B錯誤；把函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，C錯誤；把函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得函數(shù)的圖象，D正確；故選：AD.八、三角函數(shù)圖象與性質綜合角度一、圖象性質的綜合應用方法總結：研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結合思想進行解題.【典例1】（2324高三下·陜西銅川·三模）已知函數(shù)，則下列說法中不正確的是（

）A．的最小正周期為B．的最大值為C．在區(qū)間上單調遞增D．【答案】C【解析】依題意，則函數(shù)的最大值為，最小值正周期為，從而可排除選項.，，根據(jù)三角函數(shù)的性質可知，當，即時函數(shù)單調遞減，當，即時函數(shù)單調遞增，故在區(qū)間上不可能單調遞增，應選C項.為偶函數(shù)，從而，從而可排除D選項.故選：C【典例2】（2324高三下·湖北武漢·模擬預測）（多選）已知（，，）的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．的最小正周期為C．在內有3個極值點 D．在區(qū)間上的最大值為【答案】ABD【解析】對于AB，根據(jù)函數(shù)的部分圖象知，，，，故AB正確，對于C，由五點法畫圖知，，解得，由于，所以，.令，則，時，，時，，當時，，當時，，當時，，故在內有2個極值點，分別為，，故C錯誤，對于D，，可得：，故當此時取最大值，故D正確.故選：ABD.角度二：三角函數(shù)的零點（方程的根）的問題方法總結：方程根的個數(shù)可轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù).【典例1】（2324高三上·浙江溫州·期末）已知函數(shù)，若關于x的方程在上有兩個不同的根，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】畫出函數(shù)，的圖象，若方程在上有兩個不同的根，，由圖可知.故選：C【典例2】（2324高三下·江蘇·月考）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】，所以的最大值為2，當取最大值時，有，即，由，令，解得，當趨于時，趨于正無窮，而，所以在上存在一個零點，根據(jù)上述分析，在同一平面直角坐標系中畫出的圖象與的圖象如圖所示，由圖可知，在上存在一個零點，在上存在個零點，綜上所述，的圖象與的圖象共有11個交點.故選：C．易錯點1忽視正、余弦函數(shù)的有界性點撥：許多三角函數(shù)問題可以通過換元的方法轉化為代數(shù)問題解決，在換元時注意正、余弦函數(shù)的有界性．【典例1】（2023高三上·全國·專題練習）函數(shù)的最大值為

．【答案】【解析】，∵，∴，，，∴函數(shù)的最大值為．【典例2】（2324高三上·上海浦東新·月考）函數(shù)的值域為.【答案】【解析】由，又，令，則在給定區(qū)間內遞增，所以，即原函數(shù)的值域為.易錯點2三角函數(shù)單調性判斷錯誤點撥：對于函數(shù)來說，當時，由于內層函數(shù)是單調遞增的，所以函數(shù)的單調性與函數(shù)的單調性相同，故可完全按照函數(shù)的單調性來解決；但當時，內層函數(shù)是單調遞減的，所以函數(shù)的單調性與函數(shù)的單調性正好相反，就不能按照函數(shù)的單調性來解決。一般來說，應根據(jù)誘導公式將的系數(shù)化為正數(shù)加以解決，對于帶有絕對值的三角函數(shù)宜根據(jù)圖象從直觀上加以解決?！镜淅?】（2324高三·全國·專題練習）在上的單調遞減區(qū)間為.【答案】和【解析】，令得則的單