2022-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：概率與統(tǒng)計(jì)（理）（解析版）

三年真題

12就率S疙制（理）

后第魯母。絹您俺

考點(diǎn)三年考情（2022-2024）命題趨勢

2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題

2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

考點(diǎn)1:獨(dú)立性檢驗(yàn)與

2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題

回歸分析

2023年天津高考數(shù)學(xué)真題

2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題

2024年天津高考數(shù)學(xué)真題

2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題

2024年天津高考數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)2：條件概率、全從近三年的高考卷的考查情況來

2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題

概率公式、貝葉斯公

2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題看，本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，特別是

式

2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題

解答題中，更是經(jīng)常出現(xiàn).隨著

2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題計(jì)算機(jī)技術(shù)和人工智能的發(fā)展，

考點(diǎn)3：信息圖表處理

2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題概率統(tǒng)計(jì)逐步成為應(yīng)用最廣泛的

考點(diǎn)4：頻率分布直方2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題數(shù)學(xué)內(nèi)容之一.這部分內(nèi)容作為

圖2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題

高考數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容之一，會越

2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題

2023年北京高考數(shù)學(xué)真題來越受到重視.主要以應(yīng)用題的

考點(diǎn)5：概率最值問題

2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題方式出現(xiàn)，多與經(jīng)濟(jì)、生活實(shí)際

2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

相聯(lián)系，需要在復(fù)雜的題目描述

2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題中找出數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，

年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題

2024并且運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問

2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題

2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題題.

考點(diǎn)6：古典概型與幾

2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題

何概型

2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題

2023年天津高考數(shù)學(xué)真題

2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題

2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題

2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題

2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)7：正態(tài)分布與相

2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題

互獨(dú)立

2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)8：平均數(shù)、中位

2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題

數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)

2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題

準(zhǔn)差、極差

2024年北京高考數(shù)學(xué)真題

考點(diǎn)9：求離散型隨機(jī)

2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題

變量的分布列與期望

2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題

考點(diǎn)10：概率遞推問

2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題

題與概率綜合問題.

曾窗用綴。闔滔送溫

考點(diǎn)1:獨(dú)立性檢驗(yàn)與回歸分析

1.(2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題)為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000

名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：

時間范圍學(xué)業(yè)成績[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)

優(yōu)秀5444231

不優(yōu)秀1341471374027

(1)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時長不少于1小時人數(shù)約為多少？

(2)估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時長(精確到0.1)

(3)是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān)?

(附：X2=------r,---—T,----八其中〃=a+b+c+d,>3.841)^0.05.)

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)\'

【解析】(1)由表可知鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為占比179+：43+28==25,

則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為29000x)=12500.

(2)估計(jì)該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時長約為

10.5+11+1.51?1.5+22+2.5

—X139+X191+xl79+--------x43+x28?0.9.

58022222

則估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時長為0.9小時.

(3)由題列聯(lián)表如下:

口，2)其他合計(jì)

優(yōu)秀455095

不優(yōu)秀177308485

合計(jì)222358580

提出零假設(shè)"o：該地區(qū)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不少于1小時但少于2小時無關(guān).

其中@=0.05.

580x(45x308-177x50)2

Z2-3.976>3.841.

―95x485x222x358

則零假設(shè)不成立,

即有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關(guān).

2.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、

乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級品合格品不合格品總計(jì)

甲車間2624050

乙車間70282100

總計(jì)96522150

⑴填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級品非優(yōu)級品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品

的優(yōu)級品率存在差異？

（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率。=0.5,設(shè)萬為升級改造后抽取的"件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果

?>p+1.65）四3,則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生

Vn

產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（同。12.247）

n(ad-bc￥

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K->k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【解析】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表:

優(yōu)級品非優(yōu)級品

甲車間2624

乙車間7030

可得^=150（26x3。-24x70）2q=4.6875,

50x100x96x5416

因?yàn)?.841<4.6875<6.635,

所以有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異，沒有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品的

優(yōu)級品率存在差異.

（2）由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品的頻率為9需6=0.64,

用頻率估計(jì)概率可得p=0.64,

又因?yàn)樯壐脑烨霸摴S產(chǎn)品的優(yōu)級品率P=Q5,

則p+1.65、嚴(yán)=0.5+1.65、歸E

?0.5+1.65x05?0.568，

\nV15012.247

可知》>/+].65y1—0）,

所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.

3.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估

計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：n?）和材

積量（單位：n?）,得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號i12345678910總和

根部橫截面積玉0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量為0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得WX=0.038,￡弁=16158,￡龍?=0.2474.

i=li=li=l

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186mz.已

知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.

￡（七一?。ā芬涣___

附：相關(guān)系數(shù)r=IJ"“，J1.896"1.377.

\應(yīng)尤「元茂（%-區(qū)）2

Vi=li=l

【解析】(1)樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值7=苛=006

39

樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值歹=*=0.39

據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0。6m°,

平均一棵的材積量為0.39m3

10

-可（％-區(qū)）

i=l

（2）

[To2io

區(qū)（不一可力%一刃2

Vi=li=l

=0.2474-10x0.06x0.39=。。134°0.0134”

7(0.038-10X0.062)(1.6158-10X0.392)70.00018960.01377

貝1!”0.97

(3)設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為KT?,

又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，

可得039=于-'解之得y=1209m3.

則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為1209m3

4.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)甲、乙兩城之間的長途客車均由A和8兩家公司運(yùn)營，為了解

這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)?

附：K、——幽也——,

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2..k）0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

【解析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次,

設(shè)A家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為

24012

則尸陽=麗

13

B共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次,

設(shè)B家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N,

2107

則尸（N）=旃

8

A家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為二；

7

5家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為g

O

（2）列聯(lián)表

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)

A24020260

B21030240

合計(jì)45050500

n{ad-bcf

(〃+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

=500x（240x3。-21。、2。）1205>2.7。6,

260x240x450x50

根據(jù)臨界值表可知，有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).

5.（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）鶯是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)?大雅?旱麓》日：“鶯飛戾天，魚躍余淵”.鶯尾花

因花瓣形如鶯尾而得名，寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機(jī)抽樣，收集了若干朵某品種鶯尾花的花萼長度

和花瓣長度（單位：cm）,繪制散點(diǎn)圖如圖所示，計(jì)算得樣本相關(guān)系數(shù)為r=Q8642,利用最小二乘法求得

相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.750k+0.6105,根據(jù)以上信息，如下判斷正確的為（）

72

6.8

花6.4

瓣6.0

長5.6

度52

4.8

4.4

4.85.25.66.06.46.8727.6

花萼長度

A.花瓣長度和花萼長度不存在相關(guān)關(guān)系

B.花瓣長度和花萼長度負(fù)相關(guān)

C.花萼長度為7cm的該品種鶯尾花的花瓣長度的平均值為5.8612cm

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8642

【答案】C

【解析】根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A選項(xiàng)錯誤

散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項(xiàng)錯誤，

把x=7代入y=0.7501.x+0.6105可得y=5.8612cm,C選項(xiàng)正確；

由于r=0.8642是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)?，即取出的?shù)據(jù)的

相關(guān)系數(shù)不一定是0.8642,D選項(xiàng)錯誤

故選：C

6.（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對此描述正

確的是（）

A.氣候溫度高，海水表層溫度就高

B.氣候溫度高，海水表層溫度就低

C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢

D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢

【答案】C

【解析】對于AB,當(dāng)氣候溫度高，海水表層溫度變高變低不確定，故AB錯誤.

對于CD,因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)為正，故隨著氣候溫度由低到高時，海水表層溫度呈上升趨勢，

故C正確，D錯誤.

故選：C.

7.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）下列圖中，線性相關(guān)性系數(shù)最大的是（）

【答案】A

【解析】觀察4幅圖可知，A圖散點(diǎn)分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較

好，呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)，值相比于其他3圖更接近1.

故選:A

考點(diǎn)2：條件概率'全概率公式'貝葉斯公式

8.（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)

生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時

在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，2表示事件“選到的人患有該疾

病”.緇2與段的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R

尸(A|B)P(X|豆)

(i)證明:

P(A|B)P(A|B)

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出尸（AIB）,P（AI豆）的估計(jì)值，并利用（i）的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

n(ad-be)1

附K?=

(a+b)(c+d){a+c)(b+d)

P(K->k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

Mad-bc?_200(40x90-60x10)2

【解析】（1）由已知K?==24,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x150x100x100

又尸(K,26.635)=0.01,24>6,635,

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

P(B|A)晅[Z)_尸(AB)P(A)P(通)P(N)

(2)①因?yàn)镽=

P(B|A)P(B|A)-P(A)P(AB)P(A)P(AB)

3S厘3

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

所以滅

P(A|B)

(ii)

由已知?(A|3)=&,P(A|B)=—,

100100

-60--90

又尸(A|5)=——,P(A\B)=——，

100100

在尸

所以NRR=-(A=-I-'------P--(-A--\-Bh)=6

P(A\B)P(A|B)

9.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）A氏CD,石五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到A的概率為

已知乙選了A活動，他再選擇8活動的概率為.

【答案】||

【解析】解法一：列舉法

從五個活動中選三個的情況有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10種情況,

其中甲選到A有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

則甲選到A得概率為：尸=搐=|；

乙選A活動有6種可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

其中再選則8有3種可能性：ABC,ABD,ABE,

31

故乙選了A活動，他再選擇8活動的概率為：=

62

解法二：

設(shè)甲、乙選到A為事件乙選到5為事件N,

r23

則甲選到A的概率為尸（四）=m=不

乙選了A活動，他再選擇5活動的概率為P（N|M）=g^=S=:

可

小依山位

故答案為：-3；萬1

10.（2022年新高考全國H卷數(shù)學(xué)真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年

齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）;

（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70）的概率；

（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該

地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50）,求此人患這種疾病的概率.（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位

于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.

【解析】（1）平均年齡元=（5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0,002）xl0=47.9（歲）.

（2）設(shè)4=｛一人患這種疾病的年齡在區(qū)間［20,70）｝,所以

p⑷=1-p（A）=1-（0.001+0.002+0.006+0,002）xlO=1-0.11=0.89.

（3）設(shè)3="任選一人年齡位于區(qū)間［40,50）”，C=“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，

則由已知得：

P（B）=16%=0.16,P（C）=0.1%=0.001,P（B|Q=0.023x10=0.23,

則由條件概率公式可得

從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50）,此人患這種疾病的概率為

P（C⑶=*=冬°尸⑻Q=0001x0^=0.0014375X0,0014

P（B）P（B）0.16

11.（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）某校舉辦科學(xué)競技比賽，有AB、C3種題庫，A題庫有5000道題，

8題庫有4000道題，C題庫有3000道題.小申已完成所有題，他A題庫的正確率是0.92,8題庫的正確率

是0.86,C題庫的正確率是0.72.現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是.

【答案】0.85

【解析】由題意知，A,B,C題庫的比例為：5:4:3,

各占比分別為白5,4門三3，

121212

543

則根據(jù)全概率公式知所求正確率P=丘*0.92+—x0.86+—x0.72=0.85.

故答案為：0.85.

12.（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A

的概率為;己知第一次抽到的是4則第二次抽取A的概率為

11

【答案】赤17

【解析】由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到4的事件為C,

1

則“3（7）=±><」=,,2（2）=巴=-1-,尸（。|2）=^^=翠=-^.

''52512215213V'P（B）17

13

故答案為：――；

22117

13.（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑

雪，70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)

也愛好滑冰的概率為（）

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

【答案】A

【解析】同時愛好兩項(xiàng)的概率為05+0.6-0.7=0.4,

記“該同學(xué)愛好滑雪”為事件A，記“該同學(xué)愛好滑冰”為事件B,

貝（j尸（A）=0.5,尸（AB）=0.4,

所以尸（HA）=^^=—=0.8.

P（A）0.5

故選:A.

考點(diǎn)3:信息圖表處理

14.（2024年新課標(biāo)全國H卷數(shù)學(xué)真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得

到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表

畝產(chǎn)量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

【答案】C

【解析】對于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯誤；

對于B,畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比為1量00產(chǎn)-34=66%,故B錯誤；

對于C,稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-95。=200,故C正確；

對于D,由頻數(shù)分布表可得，平均值為

^x（6x925+12x975+18xl025+30xl075+24xll25+10xll75）=1067,故D錯誤.

故選；C.

15.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解

講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社

區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖:

100%.

95%4

90%

樹85%

建80%*講座前

田75%*-?講座后

70%*-

65%*

60%t-.................一*........一0一...............................

nv-------1-------1-------1-------1-------1-------1-------1-------1-------1------1—

V12345678910

居民編號

貝U（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

【答案】B

【解析】講座前中位數(shù)為：>70%,所以A錯;

講座后問卷答題的正確率只有一個是80%,4個85%,剩下全部大于等于90%,所以講座后問卷答題的正確率

的平均數(shù)大于85%,所以B對；

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，所

以C錯；

講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%,所以D錯.

故選:B.

考點(diǎn)4：頻率分布直方圖

16.（2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)

指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

頻率/組距頻率/組距

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性，小于或等于C的人判

定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽

性的概率，記為虱C).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

⑴當(dāng)漏診率P(c)=0.5%時，求臨界值c和誤診率q(c)；

(2)設(shè)函數(shù)f(c)=Mc)+q(c)，當(dāng)ce[95,105]時，求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.

【解析】(1)依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c—95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01x(100-97.5)+5x0.002=0.035=3.5%.

(2)當(dāng)ce[95,100]時，

f(c)=p(c)+4(c)=(。-95)X0.002+(100-c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0.82>0.02；

當(dāng)cw(100,105]時，

f(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0.02,

f-0.008c+0.82,95<c<l00

故《)=4,

[0.01c-0.98,100<c<105

所以〃c)在區(qū)間[95,105]的最小值為0.02.

17.(2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題)為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿

者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序

分別編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第

二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為()

頻率

礪

0.24

0.16

0.08

121314151617舒張壓/kPa

【答案】B

【解析】志愿者的總?cè)藬?shù)為，.“二，八，=50,

所以第三組人數(shù)為50x0.36=18,

有療效的人數(shù)為18-6=12.

故選：B.

考點(diǎn)5：概率最值問題

18.(2024年新課標(biāo)全國H卷數(shù)學(xué)真題)某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體

規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績?yōu)?分；

若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未

投中得0分.該隊(duì)的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概

率為P，乙每次投中的概率為外各次投中與否相互獨(dú)立.

(1)若。=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概率.

(2)假設(shè)。<p<q,

(i)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

(ii)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

【解析】(1)甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1

次，

???比賽成績不少于5分的概率p=(1-0.63)(1-0.53)=0.686.

(2)(i)若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率為用-OF]/,

若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率為？=1-

-.■()<p<q,

，埼一2=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3

=(4一0(/++(“-mA+(p-pq)(q-pq)]

=(P-4)(3p%2_3plq-3pq2)

=3pq(p—q)(pq—p-q)=3Pq(p-q)[(l-p)(l-q)-1]>0,

；.1>今,應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.

(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績X的所有可能取值為0,5,10,15,

P(X=O)=(l-p)3+[l-(l-p)3].(l-^)3,

32

P(X=5)=[l-(l-p)]c^.(l-?),

P(X=10)=[1-(1-獷)C；/(1一q),

P(X=15)=[1—(1-pF]/,

；.E(X)=15[1-(l-p)3]q=15(p3-3p2+3°).q

記乙先參加第一階段比賽，比賽成績y的所有可能取值為0,5,10,15,

同理E(X)=15(/_3/+3q)M

E(X)-E(Y)=151pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)]

=l5(p-q)pq(p+q-3),

因?yàn)椤?lt;P<4,貝!Jp_q<0,^+??-3<l+l-3<0,

貝ij(p-4)pq(p+q-3)>o,

???應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.

19.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價

格變化數(shù)據(jù)，如下表所示.在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價格比前一天價格高；用“，表示

“下跌”，即當(dāng)天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價格與前一天價格相同.

時段價格變化

第1天到第20天-++0---++0+0--+-+004-

第21天到第40天04-4-0---4-4-04-04----+0-+

用頻率估計(jì)概率.

(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”的概率；

(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨(dú)立的.在未來的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天

中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；

(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響.判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”“下跌”和“不

變”的概率估計(jì)值哪個最大.(結(jié)論不要求證明)

【解析】(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，40天里，有16個+,也就是有16天是上漲的，

根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，農(nóng)產(chǎn)品價格上漲的概率為：g=。4

（2）在這40天里，有16天上漲，14天下跌，10天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是。.4,0.35,

0.25,

于是未來任取4天，2天上漲，1天下跌，1天不變的概率是C；X0.42XC；X0.35X0.25=0.168

（3）由于第40天處于上漲狀態(tài)，從前39次的15次上漲進(jìn)行分析，上漲后下一次仍上漲的有4次，不變的

有9次，下跌的有2次，

因此估計(jì)第41次不變的概率最大.

20.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在校運(yùn)動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績

達(dá)到9.50m以上（含9.50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎.為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、

丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立.

（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；

（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

（3）在校運(yùn)動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）

【解析】（1）由頻率估計(jì)概率可得

甲獲得優(yōu)秀的概率為04,乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,

故答案為04

（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件4,乙獲得優(yōu)秀為事件A2,丙獲得優(yōu)秀為事件4

---------3

p（x=0）=P（A44）=0.6X0.5X0.5=.，

p（x=I）=P（A44）+mAA）

Q

=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——,

20

p（x=2）=p（A44）+P（A44）+P（4&A）

7

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——,

20

P（X=3）==0.4X0.5x0.5=—.

的分布列為

X0123

3872

p

20202020

38727

石(X)=0x——+lx——+2x——+3x——=

202020205

（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.

11

因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為了，甲獲得9.80的概率為二:,

410

乙獲得9.78的概率為!.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.

6

21.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互

獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為P1，P2，P3,且。3＞?。?。1＞。.記該棋手連勝兩盤的

概率為p,則（）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽，p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，p最大

【答案】D

【解析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，

記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠椋。?/p>

則此時連勝兩盤的概率為A

貝1P甲=g[（1-。2）PlPl（1一）]+；[0一）P1。2+Pl（1一）]

="（必+03）-2R。2P3；

記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為P乙,

則P乙=（1-Pl）P2P3+P1P2（1-）=02（0+烏）-2Plp2P3

記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為P丙

1

貝1P丙=（1-R）。3P2+PlP3（1一）=0（R+。2）-2Plp2P3

貝!1尸甲一。乙=Pl（A+2）-2Plp2P3—（Pi+0）-2Plp2P3]=（Pi-％）P3＜0

。乙一。丙=P2（Pl+）-20。2。3一[。3（口+）-2Plp2P3]=（。2-2）P1＜°

即P甲＜P乙，P乙＜P丙，

則該棋手在第二盤與丙比賽，。最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯誤;

〃與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯誤.

故選：D

考點(diǎn)6：古典概型與幾何概型

22.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個，則這4個點(diǎn)在同一個平面的

概率為.

【答案】*

【解析】從正方體的8個頂點(diǎn)中任取4個，有〃=C；=70個結(jié)果，這4個點(diǎn)在同一個平面的有根=6+6=12個,

故所求概率尸=m'=3]2=26.

n7035

故答案為：—.

23.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、

乙都入選的概率為.

3

【答案】—03

10

【解析】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3,從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙，1,2）,（乙，1,

3）,（乙，2,3）,（1,2,3）,共10種選法；

3

其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率P=木.

3

故答案為：~

解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為C；=10

3

甲、乙都入選的方法數(shù)為C；=3,所以甲、乙都入選的概率尸=歷

3

故答案為：—

24.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排

尾的概率是（）

A.-B.-C.1D.-

4323

【答案】B

【解析】解法一：畫出樹狀圖，如圖，

乙

甲丙丁

AAA

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙

T丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲

T

甲乙丙

AAA

乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙

丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲

由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法,

其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，

Q1

故所求概率尸=五=1

解法二：當(dāng)甲排在排尾，乙排第一位，丙有2種排法，丁就1種，共2種；

當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1種排法，丁就1種，共2種；

于是甲排在排尾共4種方法，同理乙排在排尾共4種方法，于是共8種排法符合題意;

基本事件總數(shù)顯然是A；=24,

根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為盤Q=彳1

故選：B

25.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)。為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域｛（無，刈

隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為4