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文檔簡介
3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)【考點(diǎn)1:根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)】【考點(diǎn)2:離心率問題】【考點(diǎn)3:相同離心率的橢圓的方程】【考點(diǎn)4:點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系】【考點(diǎn)5:直線與橢圓的位置關(guān)系】【考點(diǎn)6:直線與橢圓相交的弦長問題
【考點(diǎn)7:中點(diǎn)弦和點(diǎn)差法】知識點(diǎn)1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a對稱性對稱軸:坐標(biāo)軸;對稱中心:原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)離心率e=eq\f(c,a),且e∈(0,1)a,b,c的關(guān)系c2=a2-b2知識點(diǎn)2橢圓中的幾個常用結(jié)論(1)過橢圓焦點(diǎn)垂直于長軸的弦是最短的弦,長為eq\f(2b2,a),過焦點(diǎn)最長弦為長軸.(2)過原點(diǎn)最長弦為長軸長2a,最短弦為短軸長2b.(3)與橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)有共同焦點(diǎn)的橢圓方程為eq\f(x2,a2+λ)+eq\f(y2,b2+λ)=1(λ>-b2).(4)焦點(diǎn)三角形:橢圓上的點(diǎn)P(x0,y0)與兩焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形.若r1=|PF1|,r2=|PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面積為S,則在橢圓eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)中:①當(dāng)r1=r2,即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時,θ最大;②S=eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ=c|y0|,當(dāng)|y0|=b,即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時,S取得最大值,最大值為bc;③△PF1F2的周長為2(a+c).【考點(diǎn)1:根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)】【典例1】已知下列橢圓的方程,分別求橢圓的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo).(1)x2(2)25x【變式11】求下列各橢圓的長軸長、短軸長、焦距、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率:(1)x2(2)x2(3)4x【變式12】已知橢圓C:x2a2+y2b2A.6 B.5 C.25 D.【變式13】多選題已知橢圓C:x216A.C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±5,0) B.C的長軸長為8C.C的短軸長為6 D.C的一個頂點(diǎn)為(0,?4)【考點(diǎn)2:離心率問題】【典例2】下列橢圓的形狀更接近于圓的是(
)A.x22+C.x24+【變式21】下列方程表示的橢圓中,形狀最接近圓的是(
)A.x23+y22=1 B.【變式22】下列橢圓中最接近于圓的是(
)A.x24+y2=1 B.x【變式23】曲線C1:3x2+4y2=12和A.C1 B.C2 C.相同【典例3】設(shè)橢圓C1:x2a2+y2A.233 B.2 C.3 【變式31】多選題已知橢圓C:x24+y2mA.1 B.3 C.163 【變式32】已知橢圓x225+y2b=1b>0【變式33】橢圓x2a2+y2=1(a>1)A.233 B.2 C.3【考點(diǎn)3:相同離心率的橢圓的方程】【典例4】若橢圓C2的焦點(diǎn)在y軸上,且與橢圓C1:x24+y2【變式41】已知橢圓焦點(diǎn)在x軸,它與橢圓x24+y23=1【變式42】經(jīng)過點(diǎn)N(1,2),且與橢圓x212+【變式43】過點(diǎn)(2,1),焦點(diǎn)在x軸上且與橢圓x24+A.x216+y243=1 【考點(diǎn)4:點(diǎn)與橢圓的位圈關(guān)系】【典例5】點(diǎn)1,1與橢圓x225+A.點(diǎn)在橢圓上 B.點(diǎn)在橢圓內(nèi)C.點(diǎn)在橢圓外 D.不確定【變式51】已知橢圓C:x24A.1,1 B.2C.2,2 【變式52】多選題點(diǎn)Aa,1在橢圓x24+yA.?2 B.?1 C.1 D.【變式53】直線y=kx+1與橢圓x25+y2A.1,+∞ B.0,1∪1,+∞ C.【考點(diǎn)5:直線與橢圓的位置關(guān)系】【典例61】直線y=x+1與橢圓x2+yA.相離 B.相切 C.相交 D.無法確定【典例62】已知直線l的方程為mx+y+2m=1,橢圓C的方程為x29+y24=1A.相離 B.相交 C.相切 D.不能確定【變式61】已知橢圓C:x24+y2=1,直線l:x?2y+A.相交 B.相切 C.相離 D.以上選項(xiàng)都不對【變式62】直線l:2m+1x+m+1y?7m?4=0與橢圓C:xA.相交 B.相切 C.相離 D.不能確定【變式63】已知直線l:a+2x+1?ay?a+5=0,橢圓C:xA.相切 B.相交 C.相離 D.相交或相切【考點(diǎn)6:直線與橢圓相交的弦長問題【典例7】已知橢圓C的一個焦點(diǎn)是直線x+my?2=0所過的定點(diǎn),且短軸長為4.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求直線2x?y?4=0與橢圓的相交弦長.【變式71】已知橢圓E的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)為F1(?23,0),F(xiàn)2(23,0),且離心率e=32.過點(diǎn)P(2,?1)的直線l與橢圓E相交于A,A.23 B.22 C.25【變式72】直線x=?1被橢圓x24+A.32 B.32 C.3 【變式73】已知橢圓E的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)為F1(?23(1)求橢圓E的方程;(2)過點(diǎn)P(2,?1)的直線l與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn)且P為AB的中點(diǎn)求弦長AB.
【考點(diǎn)7:中點(diǎn)弦和點(diǎn)差法】【典例8】已知中心在原點(diǎn),半焦距為4的橢圓x2m2+y2n2=1(m>0,n>0A.x28+C.x28+y24=1【變式81】已知A、B為橢圓x24+y23=1上兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),M(異于點(diǎn)O)為弦AB中點(diǎn),若ABA.?23 B.?32 C.【變式82】已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),M(?2,1)是橢圓A.22 B.C.33 D.【變式83】若橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸,一個焦點(diǎn)為(0,2),直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為(?2,1),則這個橢圓的方程為.一、單選題1.已知傾斜角為π4的直線l與橢圓C:x24+y2=1交于A,B兩點(diǎn),P為A.?1 B.?12 C.?12.中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,離心率為12,且過點(diǎn)2,0的橢圓方程是(
A.x24+y2C.x24+3y3.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點(diǎn)為F,若A.3?1 B.23?3 C.4?24.已知橢圓C:x2m+y2m+6A.23 B.42 C.435.橢圓x2+my2=1的焦點(diǎn)在yA.14 B.12 C.26.與橢圓9x2+4y2A.x225+C.x220+7.橢圓x218+A.214 B.4 C.628.已知橢圓C:x24+y23=1,直線l經(jīng)過點(diǎn)T1,12與CA.4x?6y?1=0 B.3x?2y?1=0C.4x+6y?7=0 D.3x+2y?4=0二、填空題9.焦點(diǎn)在x軸上,b=1,e=32的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為10.橢圓3x2+411.過點(diǎn)(3,?2)且與橢圓4x2+912.若橢圓x24+y23=1的弦AB13.若橢圓x23+y2
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