2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：求曲線的軌跡方程（十一大題型）解析版

重難點(diǎn)突破05求曲線的軌跡方程

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................3

題型一：直接法.................................................................3

題型二：定義法.................................................................5

題型三：相關(guān)點(diǎn)法..............................................................10

題型四：交軌法................................................................12

題型五：參數(shù)法................................................................23

題型六：點(diǎn)差法................................................................25

題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡..............................................28

題型八：復(fù)數(shù)與圓錐曲線的軌跡..................................................32

題型九：向量與圓錐曲線的軌跡..................................................34

題型十：利用韋達(dá)定理求軌跡方程................................................37

題型十一：四心的軌跡方程......................................................42

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................50

亡法牯自與.柒年

//\\

一.直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

利用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的步驟如下：

（1）建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

（2）設(shè)點(diǎn)：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)尸（x,y）

（3）列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式

（4）代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為的

方程式化簡(jiǎn)

（5）證明（一般省略）：證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程（對(duì)某些特殊值應(yīng)另外補(bǔ)充檢

驗(yàn)）.簡(jiǎn)記為：建設(shè)現(xiàn)代化，補(bǔ)充說(shuō)明.

注：若求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，則不但要求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，還要說(shuō)明軌跡是什么曲線.

二.定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問(wèn)題，我們常常需要把動(dòng)點(diǎn)尸和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來(lái)判

斷.熟記焦點(diǎn)的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為P的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題目提到的定點(diǎn)等

等.當(dāng)看到以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來(lái)結(jié)合曲線定義求解軌

跡方程.

三.相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

如果動(dòng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知

曲線方程），則可以設(shè)出尸（x,y）,用（x,y）表示出相關(guān)點(diǎn)p的坐標(biāo)，然后把p的坐標(biāo)代入己知曲線方程，

即可得到動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程.

四.交軌法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，存在一種求解兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，這類問(wèn)題常常可以先解方程組得出

交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通

常選變角、變斜率等為參數(shù).

五.參數(shù)方程法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

動(dòng)點(diǎn)〃（x,y）的運(yùn)動(dòng)主要是由于某個(gè)參數(shù)。的變化引起的，可以選參、設(shè)參，然后用這個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)

的坐標(biāo)，即“，再消參.

[y=g（?）

六.點(diǎn)差法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

圓錐曲線中涉及與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)

A&,%）,8（x2,%）的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減可得占+無(wú)。，%+%，—x2>等關(guān)系式，由

于弦AB的中點(diǎn)尸(x,y)的坐標(biāo)滿足2x=X1+z，2、=必+%且直線4?的斜率為資三^，由此可求得弦

中點(diǎn)的軌跡方程.

題型一：直接法

【典例1-1](2024.高三.河北張家口.開(kāi)學(xué)考試)已知“N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別(-2,0),(2,0).直線洶0\長(zhǎng)相交于

點(diǎn)K,且它們的斜率之和是3,則點(diǎn)K的軌跡方程為()

A.3x2-2xy-12=0(x^±2)B.3y?一2yx-12=0(%w±2)

2222

C.-+=1(x±2)D.——=l(xw±2)

43v734v7

【答案】A

【解析】設(shè)K(x,y),則直線KM的斜率為底M=T，直線儂的斜率為8=三，

X十乙JC乙

依據(jù)題意可知，=-^—+-^—=3,化簡(jiǎn)得：3x2-2xy-12=0,

x+2x-2

因?yàn)橹本€KM、儂的斜率存在，所以xw±2,

所以3爐-2◎-12=0(xw±2),

故選：A.

【典例1?2】已知等腰三角形A6C的一腰的兩個(gè)端點(diǎn)分別是A(4,2),B(-2,0),|AB|=|AC|,則另一腰的一個(gè)

端點(diǎn)。的軌跡方程是()

A.x2+y2-8x-4y=0

B.x2+y2-8x-4y-20=0(除去(一2,0),(10,4)兩點(diǎn))

C.x2+y2+8x+4y-20=0￡除去(-2,0),(10,4)兩點(diǎn))

D.x2+y2-Sx-4y+20=0(除去(-2,0),(10,4)兩點(diǎn))

【答案】B

【解析】設(shè)點(diǎn)C(x,y),

由I=IAC],得(4+2)2+(2-0)2=(X-4)2+(y-2)2,

IPA：2+y2-8x-4y-20=0,

又點(diǎn)B與點(diǎn)C不重合且民CA不共線，所以需除去（-2,0）,（10,4）兩點(diǎn).

故選：B.

【變式1-1］（2024.高三.黑龍江哈爾濱.期末）點(diǎn)尸到直線y=3的距離比到點(diǎn)尸（0,-1）的距離大2,則點(diǎn)P

的軌跡方程為（）

A.y2=2xB.y2=-4xC.x2=4yD.x2=-4y

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P（x,y）,且點(diǎn)P在y=3的下方，

故點(diǎn)尸到直線y=i的距離和到點(diǎn)尸（0,-1）的距離相等，

所以點(diǎn)的軌跡為以尸（0,-1）為焦點(diǎn)，以直線y=i為準(zhǔn)線的拋物線，

所以尸的軌跡方程為d=-4y,

故選：D.

【變式1-2］在平面直角坐標(biāo)系中，若定點(diǎn)A（l,2）與動(dòng)點(diǎn)p（x,y）滿足向量OP在向量04上的投影為一石,

則點(diǎn)尸的軌跡方程為（）

A.x—2y+5=0B,x+2y-5=0

C.x+2y+5=0D,x-2y-5=0

【答案】C

【解析】由已知可得，向量O戶在向量。4上的投影為

OP|cos(OA,OP)=|op|O4OPOA-OP_x+2y_

MMIGAIy/5

整理可得x+2y+5=0.

因此，點(diǎn)尸的軌跡方程為x+2y+5=0.

故選：C.

【變式1-3］（2024?浙江溫州.一模）動(dòng)點(diǎn)M（x,y）到定點(diǎn)網(wǎng)-4,0）的距離與河到定直線/：x=-j的距離

的比等于力4，則動(dòng)點(diǎn)”的軌跡方程是（）

22

A.工+匚1x,y

B.-------1---------1

2592516

HHi

cD.

2592516

【答案】A

+步+;/_4

【解析】根據(jù)題意可得不一二二，平方化簡(jiǎn)可得9/+25y2=25x9,

XH---

4

22

進(jìn)而得上+匕=1，

259

故選:A

題型二：定義法

【典例2-1】已知圓G：-+（,+3）2=9和圓c2：x2+（y-3）2=l,動(dòng)圓M同時(shí)與圓。及圓C2外切，則動(dòng)

圓的圓心M的軌跡方程為一.

【答案】=

【解析】由題，設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r,圓G的半徑為4=3,圓C2的半徑為2=1,

當(dāng)動(dòng)圓加與圓G，圓仿外切時(shí),|MCj=3+r,|MC2|=l+r,

所以|Mq|Tg|=（3+r）—（l+r）=2,

因?yàn)閳A心C（0,-3）,C2（0,3）,即口￡|=6,又2<|CC|

根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)河的軌跡為雙曲線的上支，其中。=1,c=3,

所以爐=°2一/=8,則動(dòng)圓圓心"的軌跡方程是V-工

故答案為：/-^=l（y>l）

【典例2-2】已知定點(diǎn)P（<o）和定圓。一+》2=8%,動(dòng)圓Af和圓。外切，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸，求圓心Af的軌

跡方程

22

【答案】雙曲線土-工=1的左支

412

【解析】結(jié)合圖象可得，|MQ|-|MP|=4,可得a=2,c=4,貝!|b=2W，

22

M的軌跡為雙曲線工-匕=1的左支.

412

22

故答案為雙曲線土-匕=1的左支.

412

【變式2-11已知圓G：(x+l)2+y2=25,圓G：(xT『+y2=l,動(dòng)圓〃與圓c2外切，同時(shí)與圓G內(nèi)切,

則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()

八fx2y2

A.——+y=1B.——+—=1

332

222

C.—r+/=1D.—Y+-v^=1

9-98

【答案】D

【解析】如圖，由題意得：|CM=5—|MQ|,|c2M=1+|MP|,其中

所以|CM+IGM=5-|MQ|+I+|MP|=6>2=|GG|，

22

由橢圓定義可知：動(dòng)圓圓心M的軌跡為以G，G為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)=+2=1,

a2b2

貝|J2〃=6,c=l,解得：a=3,b2=a2-c2=9-1=8,

22

故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為工+匕=1

98

【變式2-2］已知M(-2,0),P是圓-4x+V-32=0上一動(dòng)點(diǎn)，線段MP的垂直平分線交N尸于點(diǎn)Q,

則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程為.

2

【答案】匕尤2+&V=1

95

【解析】由題意，可知圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+9=36,圓心為N(2,0),半徑為6.

???線段MP的垂直平分線交NP于點(diǎn)。，如圖，

.■.\QP\=\QM\,

.-.\QM\+\QN\=\QP\+\QN\=\PN\=6>\MN\=4,

.??點(diǎn)。的軌跡是以叔，N為焦點(diǎn)的橢圓，

a=3,c=2,b=J/=y/5，

22

??.其軌跡方程為土+匕=1.

95

22

故答案為：土+上=1

95

【變式2-3］已知定點(diǎn)RQ,O),圓S:f+y2+2x-15=0,過(guò)R點(diǎn)的直線均交圓于M,N兩點(diǎn)過(guò)R點(diǎn)作

直線4〃SN交于。點(diǎn)，求。點(diǎn)的軌跡方程；

【解析】因?yàn)镾:一+「z+2x-15=0,即(x+iy+y2=i6,所以S(-L,0),半徑為r=4,

如圖，根據(jù)題意可知|SM|=|SN|=r=4,

又RQ//SN，所以"=瑞，故|膻|=|。網(wǎng)，

又R(l,0),所以|因+|QR|==4>|SR|=2,

故動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是以S,R為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，這里a=2,c=l,故1=4*2=4-1=3,

22

所以。點(diǎn)的軌跡方程為：工+匕=1.

43

【變式2-4】設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，B(2,0),點(diǎn)A是直線x=-2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF并作AF的垂直平分線/,

過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交I于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡方程為一.

【答案】r=8x

【解析】如圖，由垂直平分線的性質(zhì)可得|/訓(xùn)=歸耳，符合拋物線第一定義，拋物線開(kāi)口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)

為網(wǎng)2,0),故。=4,20=8,點(diǎn)尸的軌跡方程為產(chǎn)=此

【變式2-5](2024?山東青島.一模)已知A(-2,0),8(2,0),設(shè)點(diǎn)P是圓Y+產(chǎn)=1上的點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)。滿足:

QPPB=O)

222

A./-匕=1B.--/=1C.—+y2=3lD.=1

33562

【答案】A

【解析】由Q尸?PB：。，可得0Plp8,

/\

而?i+陷，可知點(diǎn)尸在N8Q4的平分線上.

例\QB\]

ytQ

圓V+y2=l,圓心為原點(diǎn)O,半徑r=l,

連接4Q，延長(zhǎng)8尸交a。于點(diǎn)c,連接。尸,

因?yàn)?PQB=/PQC且PQLBC,所以。8=QC,且尸為8c中點(diǎn)，OPAC,OP^AC

因此，|04|—|。@=|&一|。。|=|4。|=2|。"=2,

22

點(diǎn)。在以43為焦點(diǎn)的雙曲線上，設(shè)雙曲線方程為=1（。>0,6>0）,

a2b2V'

可知c=2,/+〃=c?=4,由2。=|Q4]—]?；?2,得a=l,故廿=3，

2

雙曲線方程為爐一匕=1.

3

故選：A.

【變式2?6】（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）已知圓。的方程為爐+V=i6,直線/為圓C的切線，記

4（-2,0）,3（2,0）兩點(diǎn)到直線/的距離分別為4,4,動(dòng)點(diǎn)尸滿足|叫=4，|尸邳=/，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程

為（）

2222

A.x2+r=4B.上+工=1C.---乙=1D.y2=4x

16121612

【答案】B

【解析】如圖，分別過(guò)點(diǎn)A。,3做直線/的垂線，垂足分別為A，耳，

則招〃。。"/叫,4=網(wǎng)&=|網(wǎng)切點(diǎn)為a,

因?yàn)锳（-2,0）,3（2,0）,所以。是A3的中點(diǎn)，，

AA

所以。。是梯形ABBA的中位線，所以100,1=1，'聞=,

又因?yàn)閳AC的方程為尤2+y2=16,r=4,

所以。0=廠=4,所以4+4=8,

即|即+|冏=8,

所以動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以43為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓,

22

設(shè)橢圓的方程為方=1（〃>>>0）,

貝ij2a=8,c=2,

所以〃=4,〃2=i6,b1=a2—c2=12,

22

所以動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程為土+工=1.

1612

故選：B

題型三：相關(guān)點(diǎn)法

【典例3-1】設(shè)過(guò)點(diǎn)P（x,y）的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)。與點(diǎn)P關(guān)于y

軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若BP=2PA，且OQ-A8=1,則點(diǎn)P的軌跡方程是—.

3

【答案】-X2+3/=1(X>0,3；>0)

【解析】設(shè)點(diǎn)P（x,y）,則。（-x,y）,設(shè)A（a,O）,B（o,b）,貝心>0力>0,

/.BP=^x,y-b),PA=(a-x,-y),

3

BP=2PA，/.^=-x,Z?=3y,.,.x>0,)；>0,

一|國(guó)，

又?，AB=(-a,b)=OQ=(-x,y),OQAB=1,

3

.(-x)+3y.y=1,gp-x2+3^2=l(x>0,y>0).

3

故答案為：-x2+3y2=l(x>0,y>0).

【典例3-2】（2024.高三.江西?開(kāi)學(xué)考試）已知面積為9的正方形ABC3的頂點(diǎn)A、3分別在二軸和V軸上滑

21

動(dòng)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP=-OA+-OBf則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程是（）

22

A.口匚1B.土+2=1

3248

22

cD.土+匕=1

84

【答案】C

【解析】設(shè)點(diǎn)4(x°,o)、B(0,%)、p(x,y),

7191

由0尸=§04+503=§5,0)+5(0,為)=

2

戶a工。3

瓦=耳尤

所以,；,可得,

y=2y°7o=2y

因?yàn)檎叫蜛BCD的面積為|AB「=9,即x；+y；=9,即|xI+(2葉=9,

整理可得工+史=1,因此，動(dòng)點(diǎn)F的軌跡方程為《+土=1.

4949

故選：C.

【變式3?11已知不入分別為橢圓￡：《+丁=1的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓石上一動(dòng)點(diǎn)，G點(diǎn)是三角形

9

P耳耳的重心，則點(diǎn)G的軌跡方程為()

2222

A.%+9y=1B.%+9y=l(y^O)

=1D.—+-^—=l(y。0)

cH4819

【答案】B

【解析】；耳，鳥(niǎo)分別為橢圓E:：+y2=i的左、右焦點(diǎn)，.【耳㈠啦,0),月(2也,0)

設(shè)G(x,y),P(%〃)，G點(diǎn)是三角形尸耳B的重心

-2^/2+2^/2+m

x=----------------------

m=3x

則3,得

0+0+nn=3y

y=----------

3

又尸是橢圓E上一動(dòng)點(diǎn)，.[11111+(3/)2=1，即/+9/=1,

又G點(diǎn)是三角形尸耳居的重心，.??ywO

所以點(diǎn)G的軌跡方程為爐+9>2=1”/0)

故選：B

f1

【變式3.2】已知點(diǎn)P是橢圓一+>2=1上的動(dòng)點(diǎn)，~1/，%于點(diǎn).，若PN=^NM,則點(diǎn)N的軌跡方程

22

為()

A.二+為L(zhǎng)1RO1

2424

【答案】A

【解析】由于點(diǎn)尸是橢圓工+丁=1上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)「(%,%),則看+必=1,

22

又尸河_Lx于點(diǎn)則M(%,0)；

設(shè)N(x,y),由PN=3NM,得(％—x(),y—加=耳卜—X,—y),

x=x22

則03，代入與+尤=1,得土+曳-=1,

%—224

、乙

即點(diǎn)N的軌跡方程為三+型二=1,

24

故選：A

【變式3-3](2024.高三.重慶?期中)長(zhǎng)為2的線段A3的兩個(gè)端點(diǎn)A和3分別在二軸和V軸上滑動(dòng)，則點(diǎn)

A關(guān)于點(diǎn)3的對(duì)稱點(diǎn)”的軌跡方程為()

222122

Axyyxc%2y2yx

4242164164

【答案】D

【解析】設(shè)A&,0)、3(0,%)，M(x,y),

則有x+%=0,y+0=2%,即占=-x,y2=-|,

由題意可得x；+￡=4,即(_療+]￡|=4,即:+：=1.

故選：D.

題型四：交軌法

22

【典例4-1】已知A,8分別為橢圓上+上=1的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M,N為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足線段MN

43

與無(wú)軸垂直，則直線與NB交點(diǎn)的軌跡方程為.

尤2v2

【答案】

22

【解析】因?yàn)锳,2分別為橢圓;+g=l的左、右頂點(diǎn)，所以4-2,0),3(2,0),

設(shè)AM與NB的交點(diǎn)為尸，尸(尤，y),M(xi,yi),N(xi,-yi),

y_%y二一%

由kpA=k,k=k,得

MAPBNBx+2石+2x—2Xj—2

兩式相乘得：丁_-靖_一3(1-才)_3,化解得［《=1.

X2-4X；-4X；-4443

故答案為：^--^-=1.

1+/=l(a>b>0)的離心率為乎,

【典例4-2］已知橢圓C：且經(jīng)過(guò)M1,9，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)7(1,0)

2J

斜率不為0的直線/交C于E,尸兩點(diǎn)，A,B分別為橢圓C的左,右兩頂點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線AE與BF的交點(diǎn)為P,求P點(diǎn)的軌跡方程.

【解析】(1)

a2a=2

根據(jù)題意可得a2^b2+c2,解得<b=l,

±Ac=A/3

a2+4b2.1

求橢圓C的方程為丁丁』

(2)根據(jù)題意可得直線AE：y=6(x+2),BF：y=k2(x-2),

:=可得0+4腎）/+16片x+16片一4=0,

由

llt、I_16kl—4‘故j=溫'故人=為'

所以一

區(qū)“2—2“—"4^2

同理，號(hào)=整一

1JF1+4片故力"IT福

因?yàn)镋,T,尸三點(diǎn)共線，故防，井共線,

，一uun2-%ULT8片-2—4、

而”;卜許，,TF

1+4將1+4月」+4片1'

4kl一4左2,整理得到：I1

故一F~或k&=-

+4代X卜辭4,

11，一左1

右kk2=一二,則由心，砧=-二可得左血=左用=k2，這與題設(shè)矛盾，故/=￡?

144/）

y=kl(x+2)解得-億+七）

聯(lián)立方程2

y=履(x—2)，左一女2

??.P點(diǎn)的軌跡方程為％=4

22

【變式4-1】設(shè)A，4是橢圓土+匕=1與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，是橢圓上垂直于A4的弦的端點(diǎn)，則直線

94

與&心交點(diǎn)的軌跡方程為（）

【答案】c

如圖，設(shè)直線A1與A舄的交點(diǎn)為P（尤,y）,則4(-3,0),4(3,0),々(%,%),舄,

?.4月，尸共線，故己=+①，又?.?&，生產(chǎn)共線，故言=占②.

由①，②兩式相乘得=（*）,

J\,

22222

因65,%）在橢圓土+匕=1上，則也+&=1,可得：$=4（1-叢），將其代入（*）式，即得:

949409

X2-9考一99

2222

化簡(jiǎn)得：—-^=1,即尸的軌跡方程為工-二=1("±3).

9494v7

故選：C.

【變式4-2](2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)A。,。)，8(0,1),C(l,l)和動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足/是尸4P臺(tái)，

PA-PC的等差中項(xiàng).

(1)求尸點(diǎn)的軌跡方程；

⑵設(shè)P點(diǎn)的軌跡為曲線G按向量。=1平移后得到曲線Q,曲線G上不同的兩點(diǎn)M,N的連線交7

軸于點(diǎn)0(0,份，如果NMCW(。為坐標(biāo)原點(diǎn))為銳角，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

⑶在(2)的條件下，如果6=2時(shí)，曲線G在點(diǎn)/和N處的切線的交點(diǎn)為R,求證：R在一條定直線上.

【解析】(1)由題意可得PA=(l-x,-y),PB=(-x,l-y),PC=(l-x,l-y),

貝IjPA-PB=(l-x)-(-x)+(-y)-(l-y)=x2+y2-x-y,

PAPC=(l-x)-(l-x)+(-y)-(l-y)=x2+y2_2%_y+],

又：V是PA-PB，尸從尸乙的等差中項(xiàng)，

(尤2+y2_x_y)+(尤~+y2_2x_y+])=2’九

1

整理得點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程為y=x2-1x-卜一.

2

(2)

w

由(1)知G:y=x2—5X+5,

3f,3

-X=x—

「31、x二1_

40n14

又二。=-：，”，一?平移公式為，1即，L

1416),

>=>+布卜、一詔

,1_(,3丫，3)1

代入曲線G的方程得到曲線C2的方程為：y---=\x——x

16(^)2(—4JH—2

即y遑％2.

曲線C2的方程為丫=爐.

如圖由題意可設(shè)M,N所在的直線方程為y="+b,

\y=X2

由，消去v得f一"一匕=0,

y=Kx+b

x+x=k

令M?,%）,N（/，M（X。％2），則12

xrx2=-b

:.OM=（再,必）=（再,再）,ON=（々,%）=（%2芯）,

OMON即湍蒲

又?，ZMON為銳角，cosZMON=---------->0,

\OM\-\ON\

xxx2+x^xl>0,又XjX2=-b,

—b+（—b）?>0,得Z?<0Z?>1.

Ix.+x.=k",

（3）當(dāng)b=2時(shí)，由（2）可得<,對(duì)y=x求導(dǎo)可得y=2x,

[x{x2=-b=-2

???拋物線。2在點(diǎn)，

.?.”=（為，片），N（%,只）處的切線的斜率分別為3=2占，

kN=2々9

二在點(diǎn)M,N處的切線方程分別為/用：y-x；=2X]（x-xj,lN:y-^=2x2（x-x2）,

由〔二4|二:卜"），解得交點(diǎn)R的坐標(biāo)（羽y）.

X=-----X——

滿足彳2即J2,;.R點(diǎn)在定直線"-2上.

0=%?尤2卜=-2

【變式4-3】已知橢圓C:J+「=l（a>b>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0,T）,且離心率為手.直線y=區(qū)+3與C交于

A3兩點(diǎn)，連結(jié)尸4,尸氏

（1）求..P4B面積的最大值；

（2）設(shè)直線尸4尸3分別與x軸交于點(diǎn)M,N,線段MN的中點(diǎn)為Q,求直線尸。與直線A3的交點(diǎn)H的軌跡方

程.

b=l

【解析】⑴由題知，，廿3.解得。=23=1,

Ia24

所以C的方程為！+y2=i,

f+4v2=4/\

由—,消，并整理得（4^+l）/+24履+32=0,

y—kx+3

由△=（2的2—4x32（4左2+1）=64儼-2）>0,解得左？>2,

設(shè)人不姑+3),3(%2,區(qū)2+3),貝|]%+%2=—2——,％%2=-2——(X)，

4k+14k+1

又直線>=日+3過(guò)點(diǎn)(0,3),

所以的面積S=/13—（—1）］.6一到=2小（%1+Z）-4斗%2,

將田代入，得s="I'

I6t_16

設(shè)1=〃2_2(/>0)則3=彳百二1》

又394樸/<g>12,當(dāng)且僅當(dāng)4七Q，即至3，.當(dāng)A/i7時(shí)取等號(hào)，所以S=3---9--<一——12二一3,

故_E4B面積的最大值為J（當(dāng)且僅當(dāng)f=m即4=±姮時(shí)取得）.

322

V+1XX.

⑵直線方的方程為不二（'令>。，得到》=白

/\

所以“-^-,0同理可得

3+4)

1石（3+4）+々（何+4）村工2+2(石+%2)

故點(diǎn)。的橫坐標(biāo)七上

2（何+4）（仇+4）2

kxix2+4k(<xl+X2)+16

由（1）矢口%+%=F―7,玉％2=F—7（派），

44+14左+1

32k-48k

將屋）代入，得、。=32人96j16（4八1）7,故。（一左，°），

法1：又尸（0,-1）,所以直線尸。的斜率左'=因?yàn)楣玨=一1,所以PQ/A3,

K

設(shè)7（0,3）,則直線尸。與A3的交點(diǎn)口在以PT為直徑的圓上.

以PT為直徑的圓的方程是爐+&+1)"-3)=0,BPx2+/-2y-3=0.

x2+y2-2y-3=0

又點(diǎn)H在橢圓C內(nèi)，所以d+4y2<4,

x2+4/<4

消X得3y2+2y-l<。，解得

所以點(diǎn)H的軌跡方程是/+丁-2y-3=。[1<y<j.

法2：又尸(0,-1),所以直線加的方程為y=-；x-L

與AB:y="+3聯(lián)立，解得交點(diǎn)〃的坐標(biāo)為4-1].

Ik+1k+1)

411

因?yàn)樽?>2,所以—1<l—BP-l<y<-,

7/crI1

又由y+l=-，x,y-3="，兩式相乘，得％2+(y+l)(y_3)=0.

K

所以點(diǎn)H的軌跡方程是/+/一2y-3=011<y<j.

【變式4-4】拋物線C的對(duì)稱軸為x軸，定點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)，焦點(diǎn)/為直線/：>=尤-1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).

⑴求C的方程；

(2)已知P(O,-1),過(guò)點(diǎn)P的直線交C與M,N兩點(diǎn)，又點(diǎn)。在線段MN上(異于端點(diǎn))，且

\PM\-\QN\^\PN\-\QM\,求點(diǎn)。的軌跡方程.

【解析】(1)因?yàn)閽佄锞€C的對(duì)稱軸為了軸，所以C的焦點(diǎn)在X軸上，直線Z：y=x-1與X軸的交點(diǎn)為(1,0),

所以尸(1,0),所以5=1,解得P=2,所以拋物線C的方程為：y2=4x.

(2)顯然直線跖V的斜率存在且不為0,設(shè)直線跖V的方程為：y=mx-l(m^0),

設(shè)加(%,%)川(%,%),。(工3，%)，聯(lián)立直線的與拋物線方程：,可得:

m2x2-(2m+4)x+l=0,

2m+4

玉+%=vyi7-

且A=16+16/>0,解得：相>—1且加w0,<1

XX

I\2=Fm

因?yàn)閨PMMN|=|PN|MM，即犒=需，則有?二”，

2xx1

整理可得：2%％=電(玉+工,)，即退=—產(chǎn)=—

所以機(jī)=1一2,又點(diǎn)。在直線MN上，

所以％=〃比3-1，消加得％=一2三，

由m>一1且小WO得。<%3<1且犬3±1，

所以。的軌跡方程為：y+2x=0（O<X<1且x［）.

【變式4-5】已知矩形458中，A8=2#,8c=2A/IE,RG,H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，以矩形中心。

為原點(diǎn)，"F所在直線為x軸，EG所在直線為V軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.直線"，BC上的動(dòng)

點(diǎn)R,S滿足OR=AOF,CS=4CF（4eR）.求直線ER與直線GS交點(diǎn)尸的軌跡方程.

【解析】依題意，E（0,-V2）,G（0,V2）,F（^,0）,C（A/6,A/2）,

設(shè)點(diǎn)P（X,》）,R（XR,0）,5（",%），S02?=AOF，得XR=,即尺（逐2,。）,

由cS=xc尸，得力=及（1-4），即火區(qū),五（1一㈤），

當(dāng)；1*0時(shí)，直線ER:y=-^x-應(yīng)，直線GS:y=W^x+忘,

-V6A-76

2

f—1、,2

聯(lián)立消去參數(shù)2得（y+0）（>-夜）=-W爐，即r上+匕=l（xw0）,

362

當(dāng)4=0時(shí)，得交點(diǎn)P（O,0）,滿足上述方程，

22

所以直線ER與直線GS交點(diǎn)尸的軌跡方程:土+匕=1（不含點(diǎn)（0,-①））.

62

【變式4-6］（2024?高三?湖北?期末）已知雙曲線C與雙曲線二-V=i有相同的漸近線，且雙曲線c的上

4

焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于2.

⑴已知M（OJ）Q>4）,N為C上任意一點(diǎn)，求|肱V|的最小值；

（2）已知?jiǎng)又本€/:y=kx+m（k豐±2）與曲線C有且僅有一個(gè)交點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸且與/垂直的直線4與兩坐標(biāo)軸

分別交于A（xo,O）,B（O,%）.設(shè)點(diǎn)。（尤0,%）.

（i）求點(diǎn)Q的軌跡方程；

（ii）若對(duì)于一般情形，曲線C方程為區(qū)-￡=1,動(dòng)直線/方程為>=履+〃/4*±2］,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)

a2b2Ib）

Q&,%）的軌跡方程.

22

【解析】（1）設(shè)雙曲線c的方程為系-a=1（6>0）,其上焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,屜卜

一條漸近線方程為2x-y=0,則］*=2,解得。=2,

22

所以。的方程為匕-土=1.

164

22

設(shè)N（x,y）,則會(huì)亍=1,要使|MN|最小,由題意知”4.

則|M2V|=Jd+Cy—tf=｛『_4+y2_2ly+/

-2a+/一4=和一］］二一4,

①當(dāng)$44,即4<公5時(shí)，怛解在［4,+00）內(nèi)單調(diào)遞增，

可知當(dāng)y=4時(shí)，|尸叫面=好4；

②當(dāng)gf>4,即/>5時(shí)，|MN|在4，1內(nèi)單調(diào)遞減，在（gr,+8）內(nèi)單調(diào)遞增,

可知當(dāng)y=時(shí)，=Jg產(chǎn)-4=京5戶一100；

t-4,4<t<5

綜上所述:

y=kx+m

(2)(i)聯(lián)立(y2/得,(左2_4)f+帆?_16—0,

.16-T-

由題意知kw(—2,0)u(0,2),A=0=>4左之+/—16=0,

2kmkm4左

貝!J2x=-，解得%尸=_

p左2一4k2-4m

4k2+m2嶼，即尸

&y=kx+m=—+m=

ppmm

所以直線4的方程為y-31

mk

20k20

令x=0得，y=—；令尸。得，x=—,即。

0m0m