遼寧省沈陽市杏壇中學(xué)2024-2025學(xué)年度上學(xué)期九年級(jí)10月份月考數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年度上學(xué)期九年級(jí)階段練習(xí)（一）數(shù)學(xué)（時(shí)間：120分鐘滿分：120分）一、單選題（每小題3分，共30分）1．將一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化為的形式，下列結(jié)果中正確的是（）A． B．C． D．2．一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B．且C． D．且3．小明熱愛研究鳥類，每年定期去北京各個(gè)濕地公園觀鳥．從他的觀鳥記錄年度總結(jié)中摘取部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示．設(shè)小明從2020年到2022年觀測(cè)鳥類種類數(shù)量的年平均增長率為x，則下列方程正確的是（）觀鳥記錄年度總結(jié)2020年：觀測(cè)鳥類150種2021年：觀測(cè)鳥類2022年：觀測(cè)鳥類216種A． B．C． D．4．一個(gè)盒中有9個(gè)紅球，8個(gè)白球，7個(gè)黑球，10個(gè)黃球，這些球除了顏色外都一樣，現(xiàn)從中任取一球，則在以下事件中，可能性最小的是（）A．取出的一個(gè)球是紅球 B．取出的一個(gè)球是白球C．取出的一個(gè)球是黑球 D．取出的一個(gè)球是黃球5．某小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折線統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果0.25的實(shí)驗(yàn)最有可能的是（）A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”B．挪一枚一元硬幣，落地后正面朝上C．暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球D．挪一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是46．如圖的兩個(gè)四邊形相似，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．7．寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形，分別取，的中點(diǎn)，，連接；以點(diǎn)為圓心，以為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)；作，交的延長線于點(diǎn)，則下列矩形是黃金矩形的是（）A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形8．已知三個(gè)數(shù)1，2，，如果再添上一個(gè)數(shù)，使它們能組成一個(gè)比例式，那么這個(gè)數(shù)不可以的是（）A． B． C． D．9．如圖，已知：，，，的度數(shù)為（）A． B． C． D．10．如圖，中，為上的一點(diǎn)，在下列四個(gè)條件中：①﹔②﹔③；④，能滿足和相似的條件是（）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③二、填空題（每小題3分，共15分）11．若是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則的值為________．12．等腰三角形的邊長是方程的解，則這個(gè)三角形的周長是________．13．兩個(gè)相似三角形的一組對(duì)應(yīng)邊分別為和，如果較小三角形的周長為，那么較大三角形的周長為________．l4．如圖，五線譜是由等距離的五條平行橫線組成的．如果直線上的三個(gè)點(diǎn)、、都在橫線上，且、兩點(diǎn)間的距離為4，那么、兩點(diǎn)間的距離為________．15．如圖，與中，，，，交于，點(diǎn)在邊上．給出下列結(jié)論：①﹔②；③；④其中正確的結(jié)論是________．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．三、解答題（每小題5分，共10分）16．（10分）解方程：（1）（2）17．（8分）如圖，均勻的正四面體的各面依次標(biāo)有1，2，3，4四個(gè)數(shù)字．小明做了60次投擲試驗(yàn)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：朝下數(shù)字1234出現(xiàn)的次數(shù)16201410（1）計(jì)算上述試驗(yàn)中“4朝下”的頻率是_______；（2）隨機(jī)投擲正四面體兩次，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖法，求兩次朝下的數(shù)字之和大于4的概率．18．（9分）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若此方程有一個(gè)負(fù)數(shù)根，的取值范圍是________．19．（8分）如圖，用一長為24米的籬笆圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，其中一面利用墻（墻的最大可用長度為15米）．如果要圍成面積為45平方米的花圃，那么的長是多少米？20．（8分）如圖，在中，是角平分線，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且滿足．（1）證明：．（2）若，，的長________．21．（8分）某商店銷售一種進(jìn)價(jià)為每千克15元的草莓，若售價(jià)為20元/千克，則一個(gè)月可售出500千克；若售價(jià)在20元/千克的基礎(chǔ)上每漲價(jià)1元，則月銷售量就減少10千克，為了保障顧客利益，規(guī)定銷售價(jià)不得高于進(jìn)價(jià)的3倍．（1）當(dāng)漲價(jià)3元時(shí)，每月銷售草莓________千克；（2）當(dāng)月利潤為6000元時(shí)，每千克草莓售價(jià)為多少元？22．（12分）如圖，在中，，，﹐是上一點(diǎn)，，點(diǎn)從出發(fā)沿方向，以的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)處，線段將分成兩部分，其中一部分與相似，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．（1）當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，________，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，________（請(qǐng)用含的代數(shù)式表示）；（2）求出滿足條件的所有值．23．（12分）如圖，為正方形邊上任一點(diǎn)，于點(diǎn)，在的延長線上取點(diǎn)，使，連接，．（1）如圖1，若正方形的邊長為6，，的長度________．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，求證：（3）如圖1，當(dāng)時(shí)，的值________．2024-2025學(xué)年度上學(xué)期九年級(jí)階段練習(xí)（一）數(shù)學(xué)參考答案1．【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊加上16，然后把方程作邊寫成完全平方形式即可．【解答】解：，，．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．2．【分析】根據(jù)判別式即可求出答案．【解答】解：由題意可知：且，∴且，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．3．【分析】根據(jù)2020年觀測(cè)鳥類種類數(shù)量年觀測(cè)鳥類種類數(shù)量，列出一元二次方程即可．【解答】解：由題意得：．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．【分析】根據(jù)題意分析可得：一個(gè)盒中有9個(gè)紅球，8個(gè)白球，7個(gè)黑球，10個(gè)黃球，黑球數(shù)目最少；求得相應(yīng)的概率，比較即可．【解答】解：根據(jù)概率公式可得：A、取出的一個(gè)球是紅球的概率；B、取出的一個(gè)球是白球的概率；C、取出的一個(gè)球是黑球的概率；D、取出的一個(gè)球是黃球的概率．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查概率即可能性大小的求法：如果一個(gè)事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種可能，那么事件的概率．5．【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，試驗(yàn)結(jié)果在0.17附近波動(dòng)，即其概率，計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)的概率，約為0.17者即為正確答案．【解答】解：A、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明陸機(jī)出的是“剪刀”的概率為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、擲一枚一元硬幣，落地后正面朝上的概率是；故B選項(xiàng)錯(cuò)誤：C、暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球的概率為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤：D、挪一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點(diǎn)數(shù)是4的概率為，故D選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：頻率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．同時(shí)此題在解答中要用到概率公式．6．【分析】根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等求出的度數(shù)，根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于計(jì)算即可．【解答】解：∵兩個(gè)四邊形相似，∴，∵四邊形的內(nèi)角和等于，∴，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．7．【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理，求得的長，再根據(jù)求得的長，最后根據(jù)與的比值為黃金比，判斷矩形為黃金矩形．【解答】解：設(shè)正方形的邊長為2，則，，在直角三角形中，∴∴∴，∴矩形為黃金矩形，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了黃金分割，解決問題的關(guān)鍵是掌握黃金矩形的概念．解題時(shí)注意，寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形，圖中的矩形也為黃金矩形8．【分析】根據(jù)“兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段”判斷即可．【解答】解：A．，能組成一個(gè)比例式，不合題意：B．，能組成一個(gè)比例式，不合題意：C．1，2，，，不能組成一個(gè)比例式，符合題意：D．，能組成一個(gè)比例式，不合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了成比例的線段，熟知：兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．9．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵，∴，，∴，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．10．【分析】根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對(duì)①②進(jìn)行判斷；根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可對(duì)③④進(jìn)行判斷．【解答】解：當(dāng)，公共，所以；當(dāng)，公共，所以；當(dāng)，即，公共，所以；當(dāng)，即，而，所以不能判斷和相似．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．二．填空題（共5小題）11．【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，再把變形為，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：∵是關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，∴，∴，∴．故案為：2024．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．12．【分析】由等腰三角形的邊長是方程的解，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰與底邊的長，注意需要分當(dāng)2是等腰三角形的腰時(shí)與當(dāng)4是等腰三角形的腰時(shí)討論，然后根據(jù)三角形周長的求解方法求解即可．【解答】解：∵，∴，解得：或，∵等腰三角形的邊長是方程的解，∴當(dāng)2是等腰三角形的腰時(shí)，，不能組成三角形，舍去：當(dāng)4是等腰三角形的腰時(shí)，，則這個(gè)三角形的周長為．當(dāng)邊長為2的等邊三角形，得出這個(gè)三角形的周長為．當(dāng)邊長為4的等邊三角形，得出這個(gè)三角形的周長為．∴這個(gè)三角形的周長為10或6或12．故答案為：10或6或12．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解法．解題的關(guān)鍵是注意分類討論你思想的應(yīng)用．解一元二次方程，因式分解等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能把一元二次方程轉(zhuǎn)換成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．13．【分析】由兩個(gè)相似三角形的一組對(duì)應(yīng)邊分別為和，可求得相似比，又由相似三角形的周長的比等于相似比，較小三角形的周長為，即可求得答案．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的一組對(duì)應(yīng)邊分別為和，∴相似比為：，∴周長比為：，∵較小三角形的周長為，∴較大三角形的周長為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握相似三角形的周長比等于相似比定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．14．【分析】過點(diǎn)作平行橫線的垂線，交點(diǎn)所在的平行橫線于點(diǎn)，交點(diǎn)所在的平行橫線于點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，求解即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作平行橫線的垂線，交點(diǎn)所在的平行橫線于點(diǎn)，交點(diǎn)所在的平行橫線于點(diǎn)，則，即，解得．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用平行線分線段成比例定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．15．【分析】先根據(jù)已知條件證明，從中找出對(duì)應(yīng)角或?qū)?yīng)邊．然后根據(jù)角之間的關(guān)系找相似，即可解答．【解答】解：在與中∵，，∴，∴，∴；由，，可知：；∵，∴，由可得，∴．綜上可知：①③④正確．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．三．解答題（共7小題）16．【分析】（1）根據(jù)試驗(yàn)中“4朝下”的總次數(shù)除以總數(shù)即可得出答案：（2）列表列舉出所有的可能的結(jié)果，然后利用概率公式解答即可．【解答】解（1）“4朝下”的頻率：，故答案為：；（2）隨機(jī)投擲正四面體兩次，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：第一次第二次12341（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）總共有16種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，而兩次朝下數(shù)字之和大于4的結(jié)果有10種．∴（兩次朝下的數(shù)字之和大于4）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查列表法與樹狀圖法求概率，以及頻率的意義，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：頻率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．17．【分析】（1）進(jìn)行判別式的值得到，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得，然后根據(jù)判別式的意義可判斷方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）先求出方程的解，再根據(jù)題意得出答案即可．【解答】（1）證明：依題意，得．∵，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2），可得，解得，，若方程有一個(gè)根為負(fù)數(shù)，則，故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的個(gè)數(shù)與根的判別式之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．【分析】設(shè)的長為米，則米，根據(jù)長方形的面積公式列出方程，解方程即可得到答案．【解答】解，設(shè)的長為米，則米，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，米，符合題意，當(dāng)時(shí)，米，符合題意，∴的長是3米或5米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．19．【分析】（1）證出．根據(jù)相似三角形的判定可得出結(jié)論：（2）由相似三角形的性質(zhì)可得出，則可得出答案【解答】（1）證明：∵是的角平分線，∴．∵，∴．（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．20．【分析】（1）由月銷售量（銷售單價(jià)），可求解；（2）設(shè)每千克蘋果售價(jià)為元，由利潤每千克的利潤銷售的數(shù)量，可列方程，即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)售價(jià)為23元/千克時(shí)，每月銷售蘋果千克；答：每月銷售蘋果470千克．故答案為：470；（2）設(shè)每千克蘋果售價(jià)為元，由題意可得：，∴，解得或，∵銷售價(jià)不得高于進(jìn)價(jià)的3倍，∴，∴每千克蘋果的售價(jià)為30元，答：每千克蘋果售價(jià)為30元．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，有理數(shù)混合計(jì)算的