人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題4.3 對數(shù)-重難點題型精講及檢測（教師版）

第第頁專題4.3對數(shù)-重難點題型精講1．對數(shù)的定義、性質(zhì)與對數(shù)恒等式(1)對數(shù)的定義：一般地，如果SKIPIF1<0=N(a>0,且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=SKIPIF1<0，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).(2)對數(shù)的性質(zhì)：①SKIPIF1<0=0，SKIPIF1<0=1(a>0,且a≠1)，負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù).

②對數(shù)恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).(3)對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系：根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)a>0，且a≠1時，=Nx=SKIPIF1<0.

用圖表示為：2．常用對數(shù)與自然對數(shù)3．對數(shù)的運算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我們有：4．對數(shù)的換底公式及其推論(1)換底公式：設(shè)a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.(2)換底公式的推論：①SKIPIF1<0=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②SKIPIF1<0(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③SKIPIF1<0(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).5．對數(shù)的實際應(yīng)用在實際生活中，經(jīng)常會遇到一些指數(shù)或?qū)?shù)運算的問題.求解對數(shù)的實際應(yīng)用題時，一是要合理建立數(shù)學(xué)模型，尋找量與量之間的關(guān)系；二是要充分利用對數(shù)的性質(zhì)以及式子兩邊取對數(shù)的方法求解.

對數(shù)運算在實際生產(chǎn)和科學(xué)研究中應(yīng)用廣泛，其應(yīng)用問題大致可以分為兩類：

(1)建立對數(shù)式，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些實際求值，計算時要注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化；

(2)建立指數(shù)函數(shù)型應(yīng)用模型，再進(jìn)行指數(shù)求值，此時往往將等式兩邊同時取對數(shù)進(jìn)行計算.【題型1對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點撥】對數(shù)式化簡或求值的常用方法和技巧：對于同底數(shù)的對數(shù)式，化簡的常用方法是：①“收”，即逆用對數(shù)的運算性質(zhì)將同底對數(shù)的和(差)“收”成積(商)的對數(shù)，即把多個對數(shù)式轉(zhuǎn)化為一個對數(shù)式；②“拆”，即正用對數(shù)的運算性質(zhì)將對數(shù)式“拆”成較小真數(shù)的對數(shù)的和(差).【例1】（2022·黑龍江哈爾濱·高三開學(xué)考試）求值lg4+2lg5+A．8 B．9 C．10 D．1【解題思路】根據(jù)對數(shù)運算公式和指數(shù)運算公式計算即可.【解答過程】因為lg4+2lg5=lg4+lg5log28=log223【變式1-1】（2022·天津·高考真題）化簡(2logA．1 B．2 C．4 D．6【解題思路】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.【解答過程】原式=(2×12【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）計算：2lgA．10 B．1 C．2 D．lg【解題思路】應(yīng)用對數(shù)的運算性質(zhì)求值即可.【解答過程】2lg【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡1ogA．?log62 B．?log6【解題思路】運用對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【解答過程】解析：log6【題型2換底公式的應(yīng)用】【方法點撥】利用換底公式進(jìn)行化簡求值的原則和技巧(1)原則：化異底為同底；(2)技巧：①技巧一：先利用對數(shù)運算法則及性質(zhì)進(jìn)行部分運算，最后再換成同底；②技巧二：借助換底公式一次性統(tǒng)一換為常用對數(shù)（自然對數(shù)），再化簡、通分、求值.【例2】（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知a=lg2，b=lg3，則A．2a+2b1?a B．1?a2【解題思路】利用對數(shù)的運算法則及性質(zhì)進(jìn)行運算可得答案．【解答過程】因為a=lg2，b=lg3，所以【變式2-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知log23=m，logA．mn+3mn+1 B．m+n+3【解題思路】由換底公式和對數(shù)運算法則進(jìn)行化簡計算.【解答過程】由換底公式得：log27=log23?log37=mn，log【變式2-2】（2022·安徽·安慶市高一期末）已知a=lg2，b=lg3，用a，b表示log36A．2a+2b1?a B．1?a【解題思路】利用換底公式即可求解.【解答過程】由題意知log36【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）正實數(shù)a，b，c均不等于1，若loga（bc）+logbc＝5，logba+logcb＝3，則logca的值為（）A．45 B．35 C．54【解題思路】利用對數(shù)的運算性質(zhì)以及換底公式將等式logabc+logbc＝5化簡變形，即可得到答案．【解答過程】5＝loga（bc）+logbc＝logab+logac+logbc，5=1logba5=3logca+1【題型3指數(shù)式與對數(shù)式的互化】【方法點撥】根據(jù)所給條件，利用指數(shù)式和對數(shù)式的轉(zhuǎn)化法則進(jìn)行互化即可.【例3】（2021·全國·高一課時練習(xí)）下列對數(shù)式中，與指數(shù)式7xA．log7x=9 B．log9x=7【解題思路】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系即可得出.【解答過程】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系,7x=9等價于【變式3-1】（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n等于（

）A．5 B．7 C．10 D．12【解題思路】對數(shù)式改寫為指數(shù)式，再由冪的運算法則計算．【解答過程】解：∵am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝12．故選：D．【變式3-2】（2021·全國·高一專題練習(xí)）下列指數(shù)式與對數(shù)式的互化中不正確的是（

）A．e0=1與ln1=0 B．log39=2與91C．8-13=12與log812=-13【解題思路】利用指對互化公式進(jìn)行互化，得出結(jié)果.【解答過程】對于A，e0=1可化為0=loge1=ln1，所以A中互化正確；對于B，log39=2可化為32=9，所以B中互化不正確；對于C，8-13=12可化為log8對于D，log77=1可化為71=7，所以D中互化正確.故選：B.【變式3-3】（2022·湖南·高一課時練習(xí)）將13A．log913=?2； B．log13?2=9；【解題思路】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式間的互化公式求解即可．【解答過程】根據(jù)對數(shù)的定義和13【題型4指、對數(shù)方程的求解】【方法點撥】解指數(shù)方程：將指數(shù)方程中的SKIPIF1<0看成一個整體，解（一元二次）方程，解出SKIPIF1<0的值，求x.解對數(shù)方程：對數(shù)方程主要有兩種類型，第一種類型的對數(shù)方程兩邊都是對數(shù)式且底數(shù)相同，根據(jù)真數(shù)相同轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程求解；第二種類型的對數(shù)方程可整理成關(guān)于SKIPIF1<0的（一元二次）方程，解出SKIPIF1<0的值，求x.【例4】（2022·安徽·合肥模擬）方程lnlogA．1 B．2 C．e D．3【解題思路】利用指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果.【解答過程】∵lnlog3x=0，∴l(xiāng)og【變式4-1】（2021·全國·高一專題練習(xí)）方程log2A．12 B．14 C．22【解題思路】把對數(shù)式化為指數(shù)式即可得出．【解答過程】方程log2x=【變式4-2】（2021·全國·高一課時練習(xí)）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（

）．A．log32 B．1 C．log23 D．2【解題思路】結(jié)合指數(shù)運算化簡已知條件，求得2x，再求得x【解答過程】方程4x－2x＋1－3＝0可化為(2x)2－2·2x－3＝0，即(2x－3)(2x＋1)＝0，∵2x>0，∴2x＝3，∴x＝log23.故選：C.【變式4-3】（2022·陜西·高一階段練習(xí)）如果方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7?lg5=0的兩根為A．135 B．lg35 C．lg7?lg5 D．【解題思路】利用根與系數(shù)的關(guān)系和對數(shù)的運算性質(zhì)直接求得.【解答過程】由題意知，lgα、lgβ是一元二次方程依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得lgα+lgβ=?(lg7+lg5)，lg(【題型5帶附加條件的指、對數(shù)問題】【方法點撥】帶附加條件的指、對數(shù)問題主要是已知一些指數(shù)值、對數(shù)值或其等量關(guān)系，利用這些條件來表示所要求的式子，解此類問題要充分利用指數(shù)、對數(shù)的轉(zhuǎn)化，同時，還要注意整體思想的應(yīng)用.【例5】（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知loga3=m，loga2=(1)求am(2)若0<x<1，x+x?1【解題思路】（1）根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系將對數(shù)式化為指數(shù)式，再根據(jù)指數(shù)的運算法則計算可得；（2）根據(jù)對數(shù)的運算求出a，再根據(jù)乘法公式求出x?【解答過程】（1）解：由loga3=m，loga2=n得（2）解：∵m+n=log32+1=log3于是x?x?12=x+∴x2【變式5-1】（2022·天津市高二期末）計算下列各題：(1)已知2a=5(2)求2log【解題思路】（1）根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的關(guān)系，將指數(shù)式化為對數(shù)式，再根據(jù)換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)計算可得；（2）根據(jù)換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)計算可得；【解答過程】(1)解：因為2a=5b=10，所以a=所以1a(2)解：2log=22log【變式5-2】（2022·遼寧·高一開學(xué)考試）已知3a=5，(1)27a+5b；【解題思路】（1）根據(jù)指數(shù)的運算化簡求值即可；（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)及換底公式求解即可.【解答過程】(1)由b=log253可得(2)∵3a=5,=(log【變式5-3】（2021·徐州市期末）（1）已知2lg(x?2y（2）已知a+a?1=7，分別求a2【解題思路】（1）利用對數(shù)式的運算化簡后，變形即可得出xy=1或xy（2）將等式兩邊平方即可求處a2+a?2；先算出(a【解答過程】（1）要使對數(shù)式有意義，必須滿足{x在此前提下，原等式可化為lg(x?2y)因為y>0，上式等號兩邊同除以y2，得(xy當(dāng)xy=1時，當(dāng)xy=4時，x?2（2）將a+a?1=7兩邊平方，得（a12+a?12）a32+【題型6對數(shù)的實際應(yīng)用】【方法點撥】對數(shù)運算在實際生產(chǎn)和科學(xué)研究中應(yīng)用廣泛，其應(yīng)用問題大致可以分為兩類：(1)建立對數(shù)式，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些實際求值，計算時要注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化；(2)建立指數(shù)函數(shù)型應(yīng)用模型，再進(jìn)行指數(shù)求值，此時往往將等式兩邊同時取對數(shù)進(jìn)行計算.【例6】（2022·廣東汕頭·高三階段練習(xí)）核酸檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在PCR擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級增加的靶標(biāo)DNA實時監(jiān)測，在PCR擴(kuò)增的指數(shù)時期，熒光信號強度達(dá)到閥值時，DNA的數(shù)量X與擴(kuò)增次數(shù)n滿足lgXn=nlg(1+A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%【解題思路】由題意Xn【解答過程】解：由題意知，lg(1000X0)=12lg(1+即3+lgX0=12lg(1+p)+lg【變式6-1】（2022·四川綿陽·高二期末（文））酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之間為酒后駕車，80mg及以上為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會以每小時20%的速度減少，若他想要在不違法的情況下駕駛汽車，則至少需經(jīng)過的小時數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3，lg3≈0.48）A．12 B．11 C．10 D．9【解題思路】由題意2.4(1?20%)t<0.2【解答過程】由題設(shè)，想要在不違法的情況下駕駛汽車，則酒精含量小于0.2mg/mL令t小時后，2.4(1?20%)t<0.2所以想要在不違法的情況下駕駛汽車，則至少需經(jīng)過的小時數(shù)約為11小時.故選：B.【變式6-2】（2022·河南安陽·高三開學(xué)考試（理））香農(nóng)定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香農(nóng)公式C=A．1.2倍 B．12倍 C．102倍 D．1002倍【解題思路】根據(jù)題意解對數(shù)方程Blog【解答過程】由題意可得S=100W，N=10W，則在信道容量未增加時，信道容量為C1=Blog2故選：C．【變式6-3】（2022·陜西·長安一中高一期末）牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為T0，則經(jīng)過一定時間t分鐘后的溫度T滿足T?Ta=12t?T0A．3.5分鐘 B．4.5分鐘 C．5.5分鐘 D．6.5分鐘【解題思路】根據(jù)已知條件代入公式計算可得12【解答過程】解：由題意，Ta=25℃，由一杯80℃的熱水降至75℃大約用時1分鐘，可得75?25=1又水溫從75℃降至55℃，所以55?25=12t所以12t?所以水溫從75℃降至55℃，大約還需要5.5分鐘.故選：C.專題4.3對數(shù)-重難點題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）計算：2lg5?A．10 B．1 C．2 D．lg【解題思路】應(yīng)用對數(shù)的運算性質(zhì)求值即可.【解答過程】2lg2．（3分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）有以下四個結(jié)論，其中正確的是（

）A．lglg10=1C．若e=lnx，則x=【解題思路】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【解答過程】因為lg10=lne=1，lg1=0，所以A錯誤，B正確；若e=lnx，則x=3．（3分）（2022·全國·高一單元測試）若xlog23=1，則3A．52 B．36 C．103【解題思路】求出x=log3【解答過程】解：由題得x=1log4．（3分）（2021·陜西·高一期中）方程ln(log2A．1 B．2 C．e D．0【解題思路】利用指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果.【解答過程】∵ln(log2x)=0，∴l(xiāng)og5．（3分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）若ln2=a，ln3=b，則log8A．a(chǎn)+3ba3 B．a(chǎn)+2b3a C．a(chǎn)+2b【解題思路】先換底，然后由對數(shù)運算性質(zhì)可得.【解答過程】log86．（3分）（2021·湖南·高一開學(xué)考試）已知b>0，log5b=a，lgb=c，5A．d=ac B．a(chǎn)=cd C．c=ab D．d=a+c【解題思路】根據(jù)對數(shù)運算法則，以及指對互化，即可判斷選項.【解答過程】log5b=a,lgb=7．（3分）（2022·內(nèi)蒙古包頭·二模（理））在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=52lgE1E2，其中星等為mk的星的亮度為Ekk=1,2．已知星A．1045 B．10?45 【解題思路】根據(jù)題意，運用代入法，結(jié)合對數(shù)與指數(shù)的互化公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】因為m2?m1=52lgE所以?1.5?(?3.5)=58．（3分）（2022·廣西桂林·二模（理））若正數(shù)a、b滿足1+log2a=2+log3A．?32 B．?23 C．23【解題思路】令1+log【解答過程】解：令1+log則a=(2)k故選：A.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2021·江蘇·高一單元測試）方程xlgx?2=1000A．10 B．110 C．1000 D．【解題思路】對xlg【解答過程】對xlgx?2=1000兩邊取以10為底的對數(shù)，得解得lgx=?1或lgx=3，所以10．（4分）（2022·全國·高一單元測試）下列運算中正確的是（

）A．log38logC．若a+a?1=14，則a【解題思路】根據(jù)換底公式判斷A，將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再根據(jù)冪的運算法則計算B，根據(jù)指數(shù)冪的運算法則判斷C，根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)判斷D.【解答過程】解：對于選項A，由換底公式可得log3對于選項B，3a對于選項C，設(shè)a12+a?12=tt>0，兩邊分別平方可得故選：BD．11．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且4a=6A．a(chǎn)b+bc=2ac B．a(chǎn)b+bc=ac C．4b?9【解題思路】設(shè)4a【解答過程】解：設(shè)4a=6b=9c所以bc+即bc+ba=2由bc+b因為4a?9又4a=6b=12．（4分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家經(jīng)過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M，則下列說法正確的是（

A．地震釋放的能量為1015.3B．八級地震釋放的能量為七級地震釋放的能量的6.3倍C．八級地震釋放的能量為六級地震釋放的能量的1000倍D．記地震里氏震級為n(n=1,2,???,9)，地震釋放的能量為f(n)，則f(n+1)【解題思路】根據(jù)已知條件及對數(shù)運算性質(zhì)即可求解.【解答過程】對于A，當(dāng)E=1015.3時，由題意得lg對于B,八級地震即M=8時，由lgE1所以E1對于C，六級地震即M=6時，由lgE2=4.8+1.5×6=13.8，解得對于D，由題意得f(n)=故選：ACD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·廣東·深圳市高級中學(xué)高三階段練習(xí)）計算：(827)【解題思路】利用指數(shù)冪及對數(shù)的運算性質(zhì)化簡求值即可.【解答過程】原式=(14．（4分）（2022·浙江·永嘉中學(xué)高一競賽）光線通過某種玻璃，強度損失10%.要使光線強度減弱為原來的15，至少要通過16塊這樣的玻璃.（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010【解題思路】設(shè)至少要通過n塊這樣的玻璃，則根據(jù)題意可得(1?10%)n【解答過程】設(shè)至少要通過n塊這樣的玻璃，則(1?10%)n≤1故要使光線強度減弱為原來的15，至少要通過1615．（4分）（2021·上海市行知中學(xué)高三開學(xué)考試）已知實數(shù)x,y滿足：32x=2y=27，則【解題思路】由已知指數(shù)式化為對數(shù)式求出x,y的值，再由對數(shù)的運算性質(zhì)求出【解答過程】因為32x=則1x+116．（4分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知a=lg2+lg5?4lg2lg【解題思路】化簡計算得a,【解答過程】解：a=1?4lg21?lg2?3lg3+6lg2?3310b=所以lg故答案為：2022.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2021·上海松江·高一期末）解方程:log3【解題思路】利用對數(shù)的運算法則得到log3【解答過程】解：∵log3(∴x+14>0x+2>018．（6分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）計算：(1)lg14?2(2)lg5(3)log6【解題思路】（1）利用對數(shù)相加相減的運算法則求解即可；（2）提公因式，逐步化簡即可求解；（3）逐步將原式化成只含log62和【解答過程】解：（1）方法一：（直接運算）原式=lg14?lg7方法二：（拆項后運算）原式=lg=lg2+lg7?2lg7+2lg3+lg7?2lg3?lg2=0．（2）原式=lg5×lg5+lg2+2（3）原式=log=log619．（8分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知loga3=m，loga2=n（(1)求am+2n(2)若0<x<1，x+x?1=a，且m+n=【解題思路】（1）根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系將對數(shù)式化為指數(shù)式，再根據(jù)指數(shù)的運算法則計算可得；（2）根據(jù)對數(shù)的運算求出a，