九年級數(shù)學《銳角三角函數(shù)》知識點總結歸納

初中九年級數(shù)學中考銳角三角函數(shù)知識點總結

1、勾股定理：直角三角形兩直角邊。、。的平方和等于斜邊。的平方。az+b2=c2

2、如下圖，在Rt^ABC中，zC為直角，貝1UA的銳角三角函數(shù)為（NA可換成NB）:

\定義表達式取值范圍關系

正0<sinA<1

..ZA的對邊

sinA=---——........si?nA4=—a

斜邊csinA=cos5

弦(NA為銳角)

cosA=sinB

余0<cosA<1

.ZA的鄰邊“bsin2A+cos2A=1

cosA=----——------cosA=—

斜邊c

弦(NA為銳角)

正tanA>0

4ZA的對邊,a

tanA=-----一人tanA=—

/A的鄰邊b

切(NA為銳角)

3、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的IE玄值。

由/A+ZB=90。

qinA-ccsRsinA=cos(90°-A)

得

cosA=sinB/B=90°-/A,cosA=sin(90°-A)

鄰邊

4、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。

由N4+NB=90°

tanA=cotB____________)tanA=cot(90°-A)

得/B=90°-/A,

cotA=tanB

5、0\30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值（重要）

三角函數(shù)0°30°45°60°90°

y/3

sina0j_近1

22~2~

cosa1x/3V21_0

2

tana01-

—

6、正弦、余弦的增減性：

當（Twa《90°時，sina隨a的增大而增大，cosa隨a的增大而減小。

7、正切、余切的增減性：

當0。<（1<90°時，tana隨a的增大而增大，

8、解直角三角形的定義：已知邊和角（兩個，其中必有一邊）一所有未知的邊和角。

依據(jù)：①邊的關系：a2+W=C2；②角的關系：A+B=90。；③邊角關系：三角函數(shù)的定義。（注意：盡量避

免使用中間數(shù)據(jù)和除法）

9、應用舉例：

（1）仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。

（2）坡面的鉛直高度h和水平寬度I的比叫做坡度（坡比）。用字母，表示，即j。坡度一般寫成1：m的形式，

如『=1：5等。把坡面與水平面的夾角記作觀（叫做坡角）,那么j=2

tana

3、從某點的指北方向按順時針轉到目標方向的水平角，叫做方位角。如圖3,OA、OB、OC.0D的方向角

分別是:45。、135°、225°。

4、指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90。的水平角，叫做方向角。如圖4,0A、OB、OC、0D的方

向角分別是：北偏東30°（東北方向）,南偏東45°（東南方向），

南偏西60。（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

要點一：銳角三角函數(shù)的基本概念

一、選擇題

L三角形在方格紙中的位置如圖所示,則tana的值是（)

Ac.i

-l4Pt

2在aABC中，NC=90°,tanA=1,貝(]sinB=(

)

3

A?噂BC.1

-t4DY

4.如圖，在RtZXABC中，ZACB=RtZBC=1AB=2,則下列結論正確的是（）

A.sinA=B.tanA=—C.c°sB=叵D.tanB="

222

A

C

5.如圖，在Rt^ABC中，是斜邊AB上的中線，已知CD=2,AC=3，貝Usin3的值是（）

AB.2c.2

-I24-I

6.如圖，在△ABC中，ZACB=90,CD'AB于Q，若AC=2=3/，則tanZBCD的值為()

（c）q（D）￥

(A)串（B）：r

二、填空題

3

7.在SBC中，zC=90°,BC=6cm,sinA=-，貝！IAB的長是cm.

8.如圖，角a的頂點為。，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊0A上有一點P（3,4），則sina=

_3

9.如圖，菱形ABCD的邊長為10cm,DE_LAB,sinA=-,則這個菱形的面積=cm2.

三、解答題

10如圖，在AABC中，AD是BC上的高，tan3=cosZDAC,

(1)求證：AC=BD;(2)若sinC=—,BC=12,求AD的長.

要點二、特殊角的三角函數(shù)值

一、選擇題

1.sin30°的值為（）

A,更B.叵C.1D,史

2223

2..菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，ZAOC=45°，。。=0,則點B的坐標為（）

A.(0)B.(1，/)C.(0+1,1)D.(1，0+1)

3.某人想沿著梯子爬上高4米的房頂，梯子的傾斜角（梯子與地面的夾角）不能大于60°,否則就有危險，那么梯

子的長至少為（）

A.8米B.8JT米C.包米D.絲米

33

4.（宿遷中考）已知a為銳角，目sin（a-10。）=*,則a等于（）

A.50°B,60°C,70°D,80°

5.A（cos60°,-tan30°）關于原點對稱的點A1的坐標是（）

A且〕B①巫）C.（1⑹D.（1⑺

I2'3）I2>3J「廠司「'NJ

6（襄樊中考）計算：cos245。+tan60、cos30。等于（）

（A）1（B）。（C）2（D）W

二、填空題

7.4cos30°sin600+（-2）-i-（^009-2OO8）o=.

8.如圖，在一次數(shù)學課外活動中，測得電線桿底部B與鋼纜固定點C的距離為4米，鋼纜與地面的夾角為60°,

則這條鋼纜在電線桿上的固定點A到地面的距離AB是_米.（結果保留根號）

9.計算：（1）sin6（T?cos30。一1=10計算匣竺--tan45。的值是,

2---------------cos300-----------------

三、解答題

11.計算：3-i+(2n-l)o-直tan30°-tan45°

3

12.計算：2sin60°—3tan30°+H

+(-1)2009

13.計算：#sin60°-0cos45°+那

要點三、解直角三角形在實際問題中的運用

一、選擇題

1.某人想沿著梯子爬上高4米的房頂，梯子的傾斜角（梯子與地面的夾角）不能大于60°,否則就有危險，那么梯

子的長至少為（）

A.8米

2.為測量如圖所示上山坡道的傾斜度，小明測得圖中所示的數(shù)據(jù)（單位：米）,則該坡道傾斜角a的正切值是（）

A.1B.4C.J_D.

4加厲

3.如圖，先鋒村準備在坡角為a的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離

AB為（）

4.如圖，在平地上種植樹木時，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為4m.如果在坡度為0.75的山坡上種樹，也

要求株距為4m,那么相鄰兩樹間的坡面距離為（）

A.5mB.6mC.7mD.8m

5.如圖，小明要測量河內(nèi)小島B到河邊公路I的距離，在A點測得ZBAO=30°,在C點測得ZBCD=60°,又

測得AC=50米，則小島B到公路I的距離為（）米.

100^/3

A.25cD.25+25?

二、填空題

6.如圖，市政府準備修建一座高AB=6m的過街天橋，已知天橋的坡面AC與地面BC的夾角NACB的正弦值為可，

則坡面AC的長度為m.

7.某人沿著有一定坡度的坡面前進了10米北匕時他與水平地面的垂直距離為2.米則這個坡面的坡度為.

8.如圖，一艘海輪位于燈塔尸的東北方向，距離燈塔40海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于

燈塔尸的南偏東30°方向上的3處，則海輪行駛的路程A3為海里（結果保留根號）.

9長為4m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時調(diào)整為60。角，梯子的頂端沿墻面升高了米

10.如圖，一架梯子斜靠在墻上，若梯子底端到墻的距離AC=3米，cosZBAC=二，則梯子長AB=米.

11.小明發(fā)現(xiàn)在教學樓走廊上有一拖把以15°的傾斜角斜靠在欄桿上，嚴重影響了同學們的行走安全。他自覺地將拖

把挪動位置，使其的傾斜角為75°,如果拖把的總長為1.80m，則小明拓寬了行路通道.m.(結

果保留三個有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：sinl5%26,cosl5噎0.97）

三、解答題

12如圖（1）,一扇窗戶打開后用窗鉤AB可將其固定.如（2）是如圖（1）中窗子開到一定位置時的平面圖，若

ZAOB=45°,NOAB=30°,OA=60cm,求點B到OA邊的距離.（/心1.7，結果精確至ij整數(shù)）

圖⑴圖C2)

13.如圖，數(shù)學活動小組來到校園內(nèi)的一盞路燈下測量路燈的高度，測角儀AB的高度為1.5米，測得仰角a為

30°,點B到電燈桿底端N的距離BN為10米，求路燈的高度MN是多少米？（取口=1.414,乖=1.732,

結果保留兩位小數(shù)）