2024-2025學(xué)年云南省紅河州高二年級上冊開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試卷+答案解析

2024-2025學(xué)年云南省紅河州高二上學(xué)期開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試卷。

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.樣本數(shù)據(jù)15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位數(shù)為（）

A.19B.23C.21D.18

2.已知2=（-2,5）焉=（2,1）.則了夾角的余弦值等于（）

A巫B.走C.gD._3_

-

1451452525

3.已知機(jī),幾為兩條不同直線，必。為兩個不同平面，且?n_La,n〃戶，則下列命題為真命題的是（）

A.若aJ_0,則m_LnB.若〃1〃n，則a_L0

C.若m_L0,則打〃aD.若以〃。，貝!!%//Q

4.若函數(shù)/（，）=ln（l+a"）—z是偶函數(shù)，則a=（）

e

A.*2B.eC.y/eD.

e2

5.已知復(fù)數(shù)2=1+23則z13,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

4z—1

A.（屋）B.（\，W）C.（一W）D-

'17'17y

6.若集合河={引sini:=cos22},N={j:|cosa;=sin2/},則（）

A.“nN=0B.MnN=MC.MUN=RD.MUN=M

7.如果棱臺的兩底面積分別是S,S'，中截面的面積是So,那么（）

A.2年=詬+四B.So=VW

C.2So=S+S'D.S,=2S'S

8.如圖所示，在棱長為1的正方體ABC。—43GO1中，P,又分別

為線段8場上的動點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，則的周長的最

小值為（）

A.

\/4+2^/2

B.

,4+通

D.

2

第1頁，共15頁

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知復(fù)數(shù)句蘆2的共輾復(fù)數(shù)分別為藥，為，則下列命題為真命題的有()

A.Z1+Z2=Zi+Z2B.\zi-切=|2i|?\z2\

C.若Z1—〉0，貝！121>3D.若2道2=0,則=0或22=0

10.已知樣本數(shù)據(jù)3,電，3,24,立5(/1<0,22,3,24,25〉0)的方差為§2，平均數(shù)萬>0,貝1K)

A.數(shù)據(jù)3叼—2,3x2-2,3磔一2,3必—2,33—2的方差為9s2

B.數(shù)據(jù)3d—2,3x2—2,3?一2,3x4-2,33一2的平均數(shù)大于0

劣4,工5的方差大于§2

C.數(shù)據(jù)工2,X3,

D.數(shù)據(jù)①2,X3,Xi,①5的平均數(shù)大于方

11.如圖1,扇形48。的弧長為12萬，半徑為6，5，線段N3上有一動點(diǎn)M，弧上一點(diǎn)N是弧的三等分

點(diǎn)，現(xiàn)將該扇形卷成以/為頂點(diǎn)的圓錐，使得和ZC重合，則在圖2的圓錐中()

B(O

圖I圖2

A.圓錐的體積為2167r

B.當(dāng)M為48中點(diǎn)時，線段在底面的投影長為3-

C.存在M,使得

C…，3^30

D.MNmin――-—

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.據(jù)統(tǒng)計，某段時間內(nèi)由內(nèi)地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次為5:2:3,現(xiàn)使用分層抽樣的方

法從這些旅客中隨機(jī)抽取〃人，若青年旅客抽到60人，則冗=

13.在△4BC中，AD是邊BC上的高，若初=(1,3),舒=(6,3)，貝！J］彳=

r41

14.max{g,a；2,C3}表示三個數(shù)中的最大值，對任意的正實(shí)數(shù)x,乃則乖+記的最小值是

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

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15.(本小題12分)

某工廠對一批鋼球產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行了抽樣檢測.如圖是根據(jù)隨機(jī)抽樣檢測后的鋼球直徑(單位：mm)數(shù)據(jù)繪制

的頻率分布直方圖，其中鋼球直徑的范圍是[98,103],樣本數(shù)據(jù)分組為

[98,99),[99,100),[100,101),[101,102),[102,103].已知樣本中鋼球直徑在[100,101)內(nèi)的個數(shù)是20.

(1)求樣本容量；

(2)若該批鋼球產(chǎn)品共1000個，認(rèn)定鋼球直徑在[99,102)的產(chǎn)品為合格產(chǎn)品，試根據(jù)樣本估計這批產(chǎn)品的

不合格產(chǎn)品件數(shù).

16.(本小題12分)

設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量OZ；、OZ；、◎演分別對應(yīng)復(fù)數(shù)分、名2、？3,且為=川+僅—a)i,3=—1+(3—2a)，,

Z3=2—mi(a,mER),已知z[+z?是純虛數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若4,Z2,Z3三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)m的值.

17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且CBLBP,CDLDP,PA=2,點(diǎn)、E,F

分別為PR,PO的中點(diǎn).

(1)求證：P4L平面48CD

(2)求點(diǎn)P到平面AEF的距離.

18.(本小題12分)

記△48。的內(nèi)角4,3,。所對的邊分別為a,b,c,已知a=2\/2c,sinA=cos(B-C).

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⑴求以

⑵若。是邊8c上一點(diǎn)，且40=。。="5，求△4BC的面積.

19.（本小題12分）

如圖，A,2是單位圓上的相異兩定點(diǎn)（0為圓心），且為銳角）.點(diǎn)C為單位圓上的動點(diǎn)，線

段/C交線段。8于點(diǎn)

（1）求瓦I.瓦歐結(jié)果用。表示）;

（2）若。=60。

①求無？.用的取值范圍；

②設(shè)百/=1加（0＜力＜1）,記沁絲=/（力），求函數(shù)/⑴的值域.

第4頁，共15頁

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

首先將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列，再計算中位數(shù)即可.

【解答】

解：將這10個數(shù)據(jù)從小到大排列為：

12,13,15,17,19,23,29,31,38,43,

1q93

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是士（3=21.

故選：C.

2.【答案】A

【解析】【解析】

【分析】利用向量夾角公式直接求解即可.

/—下\區(qū)?了-2x2+5x1/145

【詳解】Md"2+5”…f

故選：A.

3.【答案】B

【解析］【解析】

【分析】利用空間直線，平面的位置關(guān)系逐項判斷可得每個選項的正確性.

【詳解】對于/，可能相交，如圖所示正方體中，若加為直線681，

a為平面43GB，。為平面若〃為CCi，則m〃n,故/錯誤;

對于3：由?n/加，n///3,可得或mU/3,

當(dāng)mU又機(jī)_La，所以a_L。，

第5頁，共15頁

當(dāng)m〃/3,則在0內(nèi)存在又”_La，則/，a，又/U0,所以a，/L故3正確；

對于C：m邛,mA.a,則可得a〃。，又n//0,所以n〃a或ziua,故C錯誤；

對于。：m//(3,m±a,可得a_L/3,又隈〃0,可得九〃a或〃與。相交，故。錯誤.

故選：B.

4.【答案】A

【解析］【解析】

【分析】利用偶函數(shù)的定義，可得m(1+(1-，)+，=山(1+域)-/對定義域內(nèi)的每一個數(shù)均成立，可求Q.

【詳解】函數(shù)/(乃=ln(l+a3)—/的定義域?yàn)镽,

因?yàn)楹瘮?shù)/(2)=ln(l+ax)-c是偶函數(shù)，

所以/(—①)=f(x),所以ln(l+a-Z)+c=ln(l+a,)-x,

可得2a;=ln(l+a")-ln(l+，

可得2/=In=ln［］=Ina1=rlna對xGR均成立，

+a。~xjJ。外+)1

所以a=e2.

故選：A.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【解答】

即苗生5—1+351—2，-1+35z(-l-4i)41.

解：因?yàn)椤?---------=7i_,A?</1TT—7^—二2，

4z—14z—1(―1+4z)(—1—4z)1717

故其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(I,-')-

故選：B.

6.【答案】B

【解析】【解析】

【分析】解方程分別求得進(jìn)而可判斷結(jié)果.

【詳解】由sin力=cos2/，可得sin2=1—2sin2x，可得2sin2x+sin①—1=0，

解得sin/==—1,

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7F57riTT

所以M={x\x=—+2而或力=—+2而或力=—+2卜江,kEZ},

由cosrr=sin2力，可得cos/=2sin/cos/，解得cos/=0或sin/=：,

7T57r7T

所以N={引力=片+2時或力=---F2k7T或力=三十而/eZ},

662

所以MCN=M.

故選：B.

7.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查棱臺的結(jié)構(gòu)特征，以及棱臺的底面積與中截面面積關(guān)系，屬于中檔題.

[(4)、包

因?yàn)槭瞧胀ǖ睦馀_即可，不妨設(shè)為三棱臺，由相似比的性質(zhì)得4°+21化簡整理得之間的關(guān)系.

,a2_5

、a+rSo

【解答】

解：不妨設(shè)棱臺為三棱臺，上下底面面積分別為S'，亂

設(shè)棱臺的高為2%延長三條棱交于一點(diǎn)形成三棱錐如圖,

設(shè)以上底面組成的棱錐的高為a,

[(123

I%+2r)S

根據(jù)相似比的性質(zhì)可得:

」

[%L+Tr，So

a+2r_\/<S

a

可得:

a+r_y/So

a-W

消去r,a,可得2，瓦=，3+，皿

故選4

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8.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，平面展開圖的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.

由題意構(gòu)造三棱錐，求解展開圖中三角形的邊長，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：如圖,

連接BG，D1B1，則N為BC1的中點(diǎn),

將三棱錐口-沿BQ展開成平面圖形如下圖,

\NN'\即為三角形周長的最小值,

?.?正方體43。。—的棱長為1,N為中點(diǎn),

，其中BN=BN'=與ZCiBCj=135°,

11\/2y/2鼻—14+2方

?二=\BN^+\BN'^-2|BN||BN[cos135°=—I1-2X—XX—==-

222222

故本題選8.

9.【答案】ABD

【解析】【分析】

本題考查共輾復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算及其幾何意義，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，屬于中檔題.

設(shè)句=a+瓦,勿=c+由，則西=a-瓦，為=c一由，逐項計算可判斷每個選項的正確性.

【解答】

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解:設(shè)力=Q+bi/2=c+di且期b,c)d6R,則為=Q-%為=c—成，

zi+Z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d)i9%+%=a+c-(b+d)，,

所以Z1+0=a+c—(b+d)K所以句+22=四+為，故Z正確；

zi?3=(Q+bi)(c+di)=(QC-bd)+(6c+ad)i

\zi-z^\=q(ac-bd￥+(be+ad)2=\Ja2c2+62d2+62c2+a2d2

=\/a2+b2?y/c2+cP=\zi\?|匐，故5正確；

當(dāng)21=1+=2,時，滿足力一勿=1〉0，但不能得出次〉為，故C錯誤;

因?yàn)?13=(QC—bd)+(be+ad)i=0，

ac—bd=0

故。正確.

bc-\-ad=0

故選：ABD.

10.【答案】AD

【解析】【分析】

本題考查樣本的數(shù)字特征，是中檔題.

根據(jù)方差和平均數(shù)性質(zhì)逐一判定即可.

【解答】

解：對于4,數(shù)據(jù)3g—2,3電—2,3g—2,3^-2,3磔—2的方差為9s2,故4正確;

對于5,3g—2,3政—2,3磔-2,3^-2,3磔—2的平均數(shù)為腸—2,

當(dāng)于〉0時，3元一2不一定大于0,故8錯誤；

對于C,去掉一個極端數(shù)據(jù)，剩下的數(shù)據(jù)的方差有可能更小，故C錯誤；

力1+12+/3+3+

對于。，因?yàn)榱?/p>

數(shù)據(jù)也如%,3的平均數(shù)為電+3+血+&=:亍_?,①]<0,

444

所以數(shù)據(jù)/2,磔，立4,3的平均數(shù)大于亍，故。正確.

故選AD.

11.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，圓錐的體積問題，解三角形問題，屬中檔題.

根據(jù)圓錐的體積公式，解三角形，等面積法，即可分別求解.

第9頁，共15頁

【解答】

解：根據(jù)題意可得圓錐母線長為6及，圓錐的底面半徑為12手7r=6,

27r

所以圓錐的高為J(6，^)2—62=6，

對4選項，圓錐的體積為：x?義6?義6=72開，故4選項錯誤；

對2選項，M為中點(diǎn)時，設(shè)圓錐的底面圓心為O,

易知線段MN在底面的投影為圖中的其中〃為8。中點(diǎn)，

又易知圖1中前=粵=4萬，

O

47r2TT

所以上圖圓。中NBON=H=k，又B0=N0=6,所以HO=3,

63

由余弦定理可得HN=/32+62—2x3x6x(―；)=，故B選項正確;

對C,。選項，由2選項圖中，易知BN=6v^，又AB=4N=6v^，

由余弦定理易知△ABN的三個角都為銳角，所以存在M,使得

即過N作于點(diǎn)"，且此時最小，

根據(jù)等面積法可知gx6A/3x(6\/2)2—(3\/3)2=g*6\/2xMN,

解得“N=打紋，故C，。選項正確.

2

故選：BCD.

12.【答案】200

【解析】【分析】

第10頁，共15頁

本題考查分層隨機(jī)抽樣，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)分層抽樣得到老、中年旅客的人數(shù)，相加后得到答案.

【解答】

解：青年旅客抽到60人，根據(jù)分層抽樣可得，

抽到的老、中、青年旅客的比例也為5:2:3,

則抽到的老年旅客的人數(shù)為《x5=100(人),

抽到的中年旅客的人數(shù)為日x2=40(人).

O

故n=60+100+40=200.

故答案為：200.

13.【答案】75

【解析］【解析】

【分析】設(shè)BB=mB(i=(6m,3m)，表達(dá)出五3=(6m+1,3m+3),根據(jù)垂直關(guān)系得到方程,求出

m=-g,進(jìn)而得到答案.

【詳解】設(shè)箴=m^=(6m,3m)，

則A3=+Bf)=(1,3)+(6m,3m)=(6m+1,3m+3)，

由4。?=0得了4?B?=6(6772+1)+3(3m+3)=36m+6+9+9m=0,

解得m=—故前=(1—2,3—1)=(—1,2)，所以|前|=J(-1y+22=瓜

故答案為：V行.

14.【答案】2

【解析】【解析】

【分析】設(shè)N=max{o:,2%因7＞0,沙＞0,可得23/(/+.M5,借助于基本不等式可

41

得N328,驗(yàn)證等號成立的條件7=2沙=0+短=2,即得Nmin.

力y

「41141

［詳解】設(shè)N=max＜力,2g,后+方＞，則1(N,2y&N,忘+F(N,

［x2y2)xzyz

因力〉0,g〉0,則得21gH—.又因2xy.H—n/22xy，—=8,所以N，28,

\xzyzJ\xzy初xy

41(411

當(dāng)且僅當(dāng)比=2g=或+/=2,即”=2,沙=1時等號成立，故max11,2g,^+/j的最小值為2.

第11頁，共15頁

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題解題的思路在于，先根據(jù)max?,/2,/?}的含義，設(shè)出N=max「,2%白+"},

即得2陰/㈡+與卜科將問題轉(zhuǎn)化為求2費(fèi)㈡+與的最小值，而這可以利用基本不等式求得，同時

\xzy1J\xzyJ

需驗(yàn)證等號成立的條件.

15.【答案】【小問1詳解】

因?yàn)闃颖局袖撉蛑睆皆冢?00,101）內(nèi)的個數(shù)是20,其頻率為0.40，

所以樣本容量為冗=2（1=50.

0.4

【小問2詳解】

樣本中這批產(chǎn)品的不合格產(chǎn)品件數(shù)為（0.08+0.08）x50=8,

由樣本估計總體，可知這批產(chǎn)品的不合格產(chǎn)品件數(shù)為1x1000=160.

【解析］【解析】

【分析】（1）用頻數(shù)除以頻率即可求解；

（2）首先求出樣本中不合格產(chǎn)品的占比，由此乘以該批鋼球總數(shù)即可得解.

16.【答案】【小問1詳解】

由題意可得%+%2=Q?—1+（1—Q）。，

由于復(fù)數(shù)萬+Z2是純虛數(shù)，則|《一口°，解得a=—1；

I1-好0

【小問2詳解】

由（1）可得21=1+3。z2=-l+5i,則點(diǎn)Z1（1,3）,Z2（T,5）,點(diǎn)23（2,-m）

所以，為力=（—2,2）,將=（1,—m—3）

因Z1,Z2,Z3三點(diǎn)共線，所以友〃書，所以（一2）x（—加—3）=1x2,

所以m=-2

【解析】【解析】

【分析】（1）根據(jù)藥+Z2是純虛數(shù)，結(jié)合共軌復(fù)數(shù)、純虛數(shù)的定義求解即可;

第12頁，共15頁

(2)根據(jù)匹可〃2溶求解即可.

17.【答案】【小問1詳解】

由底面4BCD為正方形，得CBL4B,XCB1BP,ABClBP=B,AB,BPC^^ABP,

于是CBJ_平面/AP，而PAu平面NBP，則CBLP4，同理C7MP4，

又CBCCD=C,CB,CDC平面ABCD,

所以PAL平面4BCD

【小問2詳解】

由(1)得P4LAB，點(diǎn)￡為形的中點(diǎn)，在RtZSPAB中，人七=四，點(diǎn)歹為尸。的中點(diǎn)，同理人?二方,

在△PB。中,EF=g]3D=/,因此SAAEF=gx四義四x噂=

在直角△PAB中，SAAPE=|X|X2X2=1,

由⑴知CBL平面ABP,則4D,平面ABP,于是點(diǎn)尸到平面APE的距離為:A。=1

設(shè)點(diǎn)尸到平面/斯的距離為/?,由&YEF=VFTEP,得工xYIx%=』xlxl，解得力=與目，

3233

所以點(diǎn)P到平面AEF的距離為空!

3

【解析】【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.

(2)利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離.

18.【答案】解：(1)因?yàn)閟inA=cos(B—。)，則sin(B+。)=cos(B—。)，

可得sin_BcosC+cosBsinC=cosBcosC+sinBsinC,

則(sinB-cosB)(sinC-cosC)=0,

，、c7T

若sin_B—cos_B=0,則tan_B=l,且?Be(0,7r),所以8=下

若sinB-cos_B#0,則cosC=sinC,即tan。=1,

7T

且Ce(0,7r),所以。=儲

但a=2v^c，由正弦定理可得sinA=2，^sin。=2>1，不合題意；

7T

綜上所述：B=了

⑵因?yàn)?。=。。=函，則8。=26c—西，

第13頁，共15頁

A

在△48。中，由余弦定理可得=AB2+BD2_2AB.BDcosB,

即10=+(2V2C-\/10)2-2C(2\/2C-\/10)x?，

整理可得5c2—6海c=0,解得c=5任或c=0(舍去)，

5

則。=2V2c="要，所以△ABC的面積s》B。=jacsinB=jx"?x萼x#=g.

【解析】本題考查正、余弦定理的綜合應(yīng)用，三角形面積公式，三角恒等變換的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

⑴根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換可得(sinB-cos0(sin。一cos。)=0,進(jìn)而可得結(jié)果；

(2)根據(jù)題意利用余弦定理解得°=5至，再結(jié)合面積公式運(yùn)算求解.

5

19.【答案】解：⑴U2.Xg=|Ul||Xg|cos(7r—/OAB)=—|X^cos/O43=cos0—l;

(2)當(dāng)9=60。時，01-0^=1

27r

設(shè)/_BOC=a,由條件知，a6[0,—],

o

Kt3,7r31\/3.

GA?CB=--cos(—+Q)—cosa=---COSQ+--sma—cosa

/j//Zi

_33通._3/-V31..3Q7r

————cosaH———sina———V3(cosa——,sina)———v3cos(a+-).

2222v2272<6,

「r27T,7T「通A/3,

??,aCnpF，,\cos(a+-)e

。OZ2

.-.c2.c5e[0,3]；

②設(shè)疝=AA^(O<A<i),則如=+=+XA5=(I-A)O2+xod=to^,

..灰=灑——辦

AA

由前=1可得，無—一瓦?1=1,

AA

即針+(中)2—2x[x『x整理得x=停一1+1

AA