人教版八年級數(shù)學(xué) 13.3等腰三角形（學(xué)習(xí)、上課課件）

13．3等腰三角形第十三章軸對稱13．3.1等腰三角形逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2等腰三角形的定義等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的判定1.定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形.幾何語言：如圖13.3-1，在△

ABC中，∵AB=AC，∴△ABC

為等腰三角形.2.等腰三角形的頂角可以是銳角、直角或鈍角，但底角只能是銳角.根據(jù)頂角的大小，等腰三角形可分為等腰銳角三角形、等腰直角三角形和等腰鈍角三角形.知識點等腰三角形的定義1知1－講特別解讀確定等腰三角形的兩條腰時，應(yīng)找三角形中相等的兩邊，腰與三角形本身的位置無關(guān).知1－講若某個等腰三角形的兩邊長分別為4和6，求這個等腰三角形的周長.例1解題秘方：根據(jù)等腰三角形的定義確定腰和底邊的長，再利用三角形三邊關(guān)系進行判斷并計算.特別提醒：等腰三角形的邊分腰和底邊，若沒有說明，則必須分類討論，同時還要注意三角形的三邊關(guān)系.知1－練解：∵等腰三角形的底邊長和腰長不確定，∴需分情況討論.第一種情況：當4為腰長時，該等腰三角形的三邊長分別為4，4，6，∵4＋4>6，滿足三角形的三邊關(guān)系，∴周長=4＋4＋6=14；第二種情況：當6為腰長時，該等腰三角形的三邊長分別為4，6，6，∵4＋6>6，滿足三角形的三邊關(guān)系，∴周長=6+6+4=16.綜上可知，這個等腰三角形的周長為14或16.知1－練1-1.[中考·河北]四邊形ABCD的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當△

ABC為等腰三角形時，對角線AC的長為()A.2 B.3C.4 D.5B知1－練1-2.[期末·廣州南沙區(qū)]若等腰三角形的周長是28cm，一條邊長為6cm，則它的腰長為______

cm.11知1－練1.性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”).幾何語言：如圖13.3-2，在△

ABC中，∵AB=AC，∴∠B

＝∠C.必定是銳角特別提醒1.適用條件：必須在同一個三角形中.2.作用：是證明角相等的常用方法，應(yīng)用它證角相等時可省去三角形全等的證明，因而更簡便.知識點等腰三角形的性質(zhì)2知2－講2.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”).特別解讀(1)必須是等腰三角形；(2)必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角的平分線才相互重合.2.作用：是證明線段相等、角相等、線段垂直等關(guān)系的重要方法.3.知道其中“一線”，就可以說明是其他“兩線”.知2－講幾何語言：如圖13.3-3，在△ABC

中，(1)∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD

平分∠BAC(或BD=CD)；(2)∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC(或AD

平分∠

BAC)；(3)∵AB=AC，AD

平分∠BAC，∴BD=DC(或AD⊥BC)．知2－講3.對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線(或底邊上的高、底邊上的中線)所在的直線是它的對稱軸．拓展延伸：等腰三角形的其他性質(zhì)(1)等腰三角形兩腰上的中線、高分別相等；(2)等腰三角形兩底角的平分線相等；(3)等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等；知2－講(4)等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高；(5)當?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時，此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個銳角都是45°.知2－講如圖13.3-4，在△ABC

中，AB=AC，AD

平分∠BAC.(1)求∠

ADB的度數(shù)；例2解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.由角平分線得到高線解題秘方：緊扣等腰三角形的性質(zhì)進行解答.知2－練(2)若∠BAC=100°，求∠B，∠C

的度數(shù)；

等邊對等角知2－練(3)若BC=3cm，求BD

的長.

由角平分線得到中線知2－練2-1.如圖，在△ABC

中，AB=AC，AD，CE

分別是△ABC的中線和角平分線，相交于點O.知2－練(1)若△ABC

的面積是20，且BC=4，求AD

的長；知2－練(2)若∠B=70°，求∠AOC

的度數(shù).知2－練[中考·北京]如圖13.3-5，在△

ABC中，AB=AC，AD

是BC

邊上的中線，BE⊥AC于點E.求證：∠CBE=∠BAD．例3解題秘方：根據(jù)三角形三線合一的性質(zhì)和同角的余角相等解決問題.知2－練證明：∵AB=AC，AD

是BC

邊上的中線，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.又∵BE⊥AC，∴∠BEC=∠ADC=90°.∴∠CBE=90°－∠C，∠CAD=90°－∠C.∴∠CBE=∠CAD.∴∠CBE=∠BAD．知2－練3-1.[中考·宿遷]如圖，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求證：∠C=2∠D．知2－練證明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD.∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD，∴∠ABC＝∠CBD＋∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D.∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D.又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.知2－練[母題中考·衡陽教材P82習(xí)題T6]如圖13.3-6，在△ABC中，AB=AC，D，E

是BC

邊上的點，且BD=CE．求證：AD=AE．例4解題秘方：解題秘方：利用等腰三角形的邊角性質(zhì)為證明△

ABD和△ACE

全等創(chuàng)造條件，或者作出底邊BC上的高，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)證明其垂直平分DE.知2－練證法一：∵AB=AC，∴∠B=∠C.在△ABD

和△

ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS).∴AD=AE．證法二：如圖13.3-6，過點A

作AF⊥BC于點F.∵AB=AC，∴BF=CF.∵BD=CE，∴DF=EF.易知AF垂直平分DE，∴AD=AE．AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，知2－練4-1.[中考·黃石]如圖，在△ABC

中，∠BAC=90°，E

為邊BC上的點，且AB=AE，D

為線段BE

的中點，過點E作EF⊥AE，過點A

作AF∥BC，且AF，EF相交于點F.求證：知2－練(1)∠C=∠BAD；證明：∵AB＝AE，∴△ABE是等腰三角形．又∵

D為線段BE的中點，∴AD⊥BC.∴∠C＋∠DAC＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∴∠C＝∠BAD.知2－練(2)AC=EF.證明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠AEB.∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB.∴∠EAF＝∠ABC.又∵∠BAC＝∠AEF＝90°，AB＝AE，∴△BAC≌△AEF(ASA)．∴AC＝EF.知2－練如圖13.3-7，在△ABC

中，AB=AC，點D，E

分別在AC，AB邊上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A

的度數(shù).例5知2－練思路引導(dǎo)：知2－練方法點撥：當已知條件中沒有已知度數(shù)的角而又要求角的度數(shù)時，一般采用方程思想來解決問題.設(shè)出要求的角的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角與內(nèi)角之間的關(guān)系，用含未知數(shù)的式子表示出一個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和等于180°列出方程，求出未知數(shù)的值即可.知2－練

知2－練5-1.[新考向知識情境化中考·衢州]“三等分角”大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．知2－練這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O

點相連并可繞O點轉(zhuǎn)動，C

點固定OC=CD=DE，點D，E

可在槽中滑動.若∠BDE=75°，則∠CDE的度數(shù)是()A.60°B.65°C.75°D.80°D知2－練1.判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”).幾何語言：如圖13.3-8，在△ABC

中，∵∠B=∠C，∴AB=AC.知識點等腰三角形的判定3知3－講2.等腰三角形的性質(zhì)與判定的異同相同點：使用的前提都是“在同一個三角形中”.不同點：等腰三角形的性質(zhì)：兩邊相等→這兩邊所對的角相等.等腰三角形的判定：兩角相等→這兩角所對的邊相等.知3－講特別提醒1.等腰三角形的定義也是一種判定方法.2.“等角對等邊”是我們以后證明兩條線段相等的常用方法，在證明過程中，經(jīng)常通過計算三角形各角的度數(shù)，或利用角的關(guān)系得到角相等，從而得到所對的邊相等.知3－講3.已知底邊及底邊上的高作等腰三角形已知：一個等腰三角形底邊長為a，底邊上的高為h(如圖13.3-9).求作：這個等腰三角形.知3－講作法：如圖13.3-10所示.(1)作線段AB=a；(2)作線段AB

的垂直平分線MN，交AB

于點D；(3)在MN

上取一點C，使DC=h；(4)連接AC，BC，則△

ABC就是求作的等腰三角形．知3－講特別解讀解決復(fù)雜作圖題的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.知3－講如圖13.3-11，在△ABC

中，D

為AC

的中點，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點E，F(xiàn)，且DE=DF．求證：△

ABC是等腰三角形．解題秘方：利用“等角對等邊”判定等腰三角形，只需證明三角形兩個內(nèi)角相等即可.例6知3－練證明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點E，F(xiàn)，∴∠AED=∠CFD=90°.∵D為AC

的中點，∴AD=DC.在Rt△ADE

和Rt△CDF中，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴∠A=∠C.∴BA=BC，即△ABC

是等腰三角形．AD=DC，DE=DF，知3－練6-1.[期末·西安雁塔區(qū)]如圖，在△ABC

中，∠

ACB=90°，CE是斜邊AB上的高，角平分線BD

交CE

于點M．求證：△

CDM是等腰三角形.知3－練證明：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠CBD＋∠CDB＝90°，∠ABD＋∠BME＝90°.∴∠CDB＝∠BME.∵∠BME＝∠CMD，∴∠CDB＝∠CMD.∴CM＝CD，即△CDM是等腰三角形．知3－練尺規(guī)作圖：已知線段a(如圖13.3-12)，畫一個底邊長為a，底邊上的高的長也為a的等腰三角形.例7知3－練解：(1)作線段BC=a；(2)作線段BC

的垂直平分線MN，與BC

相交于點D；(3)在MN

上取一點A，使DA=a；(4)連接AB，AC，則△ABC

就是所求作的等腰三角形.如圖13.3-13所示.知3－練7-1.如圖，已知線段a，求作以a

為底，以2a為高的等腰三角形(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡).知3－練解：如圖，△ABC即為所求作的三角形．知3－練等腰三角形等腰三角形兩邊相等性質(zhì)等邊對等角三線合一判定等角對等邊互逆13．3等腰三角形第十三章軸對稱13.3.2等邊三角形逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2等邊三角形的定義及性質(zhì)等邊三角形的判定含30°角的直角三角形的性質(zhì)1.

定義：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形.知識點等邊三角形的定義及性質(zhì)1知1－講2.性質(zhì)(1)等邊三角形的三條邊都相等；(2)等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°；(3)等邊三角形是軸對稱圖形，它有3條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線；(4)各邊上的高、中線、對角的角平分線重合，且長度相等.知1－講特別解讀等邊三角形是特殊的等腰三角形，具備等腰三角形的所有性質(zhì)：1.任意兩邊都可以作為腰；2.任意一個角都可以作為頂角；3.任意一邊上的“三線合一”.知1－講如圖13.3-25，△ABC

是等邊三角形，D，E，F(xiàn)分別是三邊AB，AC，BC

上的點，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，計算△DEF

各個內(nèi)角的度數(shù).例1解題秘方：緊扣等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°，求角的度數(shù).知1－練解：∵△ABC

是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，∴∠AED=∠EFC=∠FDB=90°.∴∠ADE=90°－∠A=90°－60°=30°.∴∠EDF=180°－30°－90°=60°.同理可得∠

DEF=∠EFD=60°，∴△DEF

各個內(nèi)角的度數(shù)都是60°知1－練1-1.如圖，△

ABC是等邊三角形，兩個銳角都是45°的三角尺的一條直角邊在BC上，則∠1的度數(shù)為_______

.75°知1－練如圖13.3-26，等邊三角形ABC

的邊長為3，D是AC的中點，點E

在BC

的延長線上，若DE=DB，求CE

的長.例2解題秘方：利用等邊三角形“三線合一”的性質(zhì)將未知線段向已知線段轉(zhuǎn)化.知1－練

知1－練2-1.如圖，△

ABC為等邊三角形，AD⊥BC，AE=AD，則∠ADE=_______.2-2.如圖，△ABC是等邊三角形，BD

平分∠ABC，點E

在BC

的延長線上，且CE=1，∠E=30°，則BC=________.75°2知1－練[母題教材P83習(xí)題T12]如圖13.3-27，△ABC

和△ADE

是等邊三角形．求證：BD=CE．例3解題秘方：利用等邊三角形中邊相等、角相等證明△BAD≌△CAE.知1－練證明：∵△ABC

和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△BAD

與△CAE

中，∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴BD=CE．AB=AC，∠BAD=∠CAEAD=AE，知1－練3-1.如圖，△ABC

為等邊三角形，D為邊BA

延長線上一點，連接CD，以CD

為邊作等邊三角形CDE，連接AE，判斷AE

與BC的位置關(guān)系，并說明理由.知1－練解：AE∥BC.理由如下：∵△ABC與△CDE都為等邊三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.∴△BCD≌△ACE(SAS)．∴∠B＝∠EAC.∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC.知1－練1.判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.幾何語言：如圖13.3-28，在△ABC

中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC

是等邊三角形.知識點等邊三角形的判定2知2－講2.判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.幾何語言：如圖13.3-28，在△ABC

中，∵AB=AC，∠A=60°或∠B=60°或∠C=60°，∴△ABC

是等邊三角形.知2－講3.證明等邊三角形的思維導(dǎo)圖(如圖13.3-29)知2－講特別解讀1.在等腰三角形中，只要有一個角是60°，無論這個角是頂角還是底角，判定定理2都成立.2.等邊三角形的判定方法：(1)若已知三邊關(guān)系，一般選用定義判定；(2)若已知三角關(guān)系，一般選用判定定理1判定；(3)若已知該三角形是等腰三角形，一般選用判定定理2判定.知2－講[母題教材P83習(xí)題T14]如圖13.3-30，在△ABC

中，AB=AC，∠BAC=120°，點D，E

在BC

上，AD⊥AC，AE⊥AB．求證：△AED

為等邊三角形．例4解題秘方：利用等邊三角形的判定定理1，通過求∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，得△AED

為等邊三角形.知2－練

知2－練4-1.如圖，四邊形ABCD

中，AB∥DC，DB

平分∠ADC，∠A=60°．求證：△ABD

是等邊三角形.知2－練知2－練如圖13.3-31，在△ABC

中，∠A=120°，AB=AC，D

是BC

的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，點E，F(xiàn)為垂足.求證：△

DEF是等邊三角形．例5知2－練解題秘方：要證△DEF

是等邊三角形，關(guān)鍵是得到DE=DF，且∠EDF=60°，利用全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得出.知2－練證明：∵∠A=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.∴易得∠BDE=∠CDF=60°.∴∠EDF=180°－∠BDE－∠CDF=60°.知2－練∵D是BC

的中點，∴BD=CD.在△BDE

和△CDF

中，∴△BDE≌△CDF(ASA).∴DE=DF.∴△DEF是等邊三角形.∠B=∠C，BD=CD，∠BDE=∠CDF，知2－練方法總結(jié)：知2－練5-1.如圖，點D

在線段BC

上，∠B=∠C=∠ADE=60

°，AB=DC.求證：△ADE

為等邊三角形．知2－練知2－練5-2.如圖,在等邊三角形ABC

中，點P在△ABC

內(nèi)，點Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，問△

APQ是什么形狀的三角形？試說明你的理由．知2－練知2－練

知識點含30°角的直角三角形的性質(zhì)3知3－講2.作用：應(yīng)用于證線段的倍分關(guān)系和計算角度.拓展：該性質(zhì)反過來說也成立.在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么它所對的角等于30°.知3－講特別解讀應(yīng)用此性質(zhì)，必須滿足兩個條件：1.在直角三角形中；2.有一個銳角為30°.二者缺一不可.知3－講如圖13.3-33，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB

邊的垂直平分線MN

交AB

于點M，交BC

于點N，且∠B=15°，AC=4cm，求BN