2025年高考數(shù)學一輪復習：集合背景下的新定義壓軸解答題（四大題型）（原卷版）

拔高點突破01集合背景下的新定義壓軸解答題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：定義新概念............................................................................2

題型二：定義新運算.............................................................................3

題型三：定義新性質(zhì).............................................................................5

題型四：定義新背景.............................................................................6

03過關(guān)測試.....................................................................9

亡法牯自與.柒年

//\\

1、解答新定義型創(chuàng)新題的基本思路是：

（1）正確理解新定義；

（2）根據(jù)新定義建立關(guān)系式；

（3）結(jié)合所學的知識、經(jīng)驗將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題；

（4）運用所學的公式、定理、性質(zhì)等合理進行推理、運算，求得結(jié)果.

2、集合中的新概念問題，往往是通過重新定義相應的集合或重新定義集合中的某個要素，結(jié)合集合

的知識加以創(chuàng)新，我們還可以利用原有集合的相關(guān)知識來解題.

3、集合中的新運算問題是通過創(chuàng)新給出有關(guān)集合的一個全新的運算規(guī)則.按照新的運算規(guī)則，結(jié)合

數(shù)學中原有的運算和運算規(guī)則，通過相關(guān)的集合或其他知識進行計算或邏輯推理等，從而達到解答的目的.

4、集合中的新性質(zhì)問題往往是通過創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)衍生而來的.我們通過可以結(jié)合相

應的集合概念、關(guān)系、運算等相關(guān)知識，利用相應的數(shù)學思想方法來解答有關(guān)的集合的新性質(zhì)問題.

題型一：定義新概念

【典例1-1】（2024?北京順義?二模）已知點集〃“=｛（和另），（々，%），，（x””）｝（〃N3）滿足0V%,%,

乙+y<2。=1,2,?，耳.對于任意點集若其非空子集A,8滿足Ac3=0,AB=Mn,則稱集合對

（4功為風,的一個優(yōu)劃分.對任意點集M“及其優(yōu)劃分（A3）,記A中所有點的橫坐標之和為X（A）,B中

所有點的縱坐標之和為丫⑻.

⑴寫出M3=｛（1,1）,（2,0）,（0,2）｝的一個優(yōu)劃分（A3）,使其滿足X（A）+F（3）=3；

（2）對于任意點集M，求證：存在M的一個優(yōu)劃分（A,3）,滿足X（A）+F（B）43；

（3）對于任意點集此，求證：存在此的一個優(yōu)劃分（A3）,滿足X（A）V等且y（B）w等.

【典例1-2】（2024?浙江臺州?二模）設(shè)A,8是兩個非空集合，如果對于集合A中的任意一個元素x,按照

某種確定的對應關(guān)系了,在集合8中都有唯一確定的元素y和它對應，并且不同的x對應不同的y；同時8

中的每一個元素》都有一個A中的元素x與它對應，則稱/：A-3為從集合A到集合8的一一對應，

并稱集合A與2等勢，記作了=7.若集合A與8之間不存在一一對應關(guān)系，則稱A與B不等勢，記作

A^B-

例如：對于集合4=?4*,?BupM-eN*},存在---對應關(guān)系y=2x（xwA,yeB）,因此］=

（1）已知集合C={（X,y）\x2+/=1）,O=",y）I［+?=1，，試判斷"方是否成立?請說明理由；

（2）證明：①（0,1）=（-8,+8）；

②N*wN*}.

【變式1-1］（2024.江西九江.二模）定義兩個"維向量q=（知,％,2,…,，勺=（%,專2,…,勺,“）的數(shù)量積

q.aj=%+?！?…+（i,JeN+）,at=a：，記\k為at的第左個分量（無三〃且左eN+）.如三

維向量q=（2,1,5）,其中％的第2分量62=1.若由〃維向量組成的集合A滿足以下三個條件：①集合中含

有w個力維向量作為元素；②集合中每個元素的所有分量取?；?；③集合中任意兩個元素q,aJ,滿足

a"=a：=T（T為常數(shù)）且q嗎=1.則稱A為T的完美〃維向量集.

⑴求2的完美3維向量集；

（2）判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由；

⑶若存在A為T的完美w維向量集，求證：A的所有元素的第左分量和1=T.

題型二：定義新運算

【典例2-1］（2024?海南?？?一模）在計算機科學中，〃維數(shù)組X=（占，w，.,天）,玉e{0,l},ieN+，〃N2是

一種基礎(chǔ)而重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它在各種編程語言中被廣泛使用.對于"維數(shù)組

A=(al,a2,L,an),B=(bvb2,L,b.),定義A與B的差為A-B=(|q-"他一么|，…，|凡一切)，人與5之間的距

離為或A,B)=t|a廠修.

1=1

⑴若〃維數(shù)組C=(O,O,,0),證明：J(AC)+J(B,C)>J(AB)；

(2)證明：對任意的數(shù)組A8,C,<rf(A-C,B-C)=J(A,B)；

⑶設(shè)集合,二^因二任,3，、%)，^^。/｝，*、,〃^｝,/^^,若集合P中有機(〃后2)個“維數(shù)組，記

尸中所有兩元素間的距離的平均值為"(P),證明：/尸)一(加一1)-

【典例2-2】(2024.浙江紹興.二模)己知左?N*,集合=｛小=2辦+2"+…+2",0*0<,<%,其中

io工，…，heN｝.

⑴求X2中最小的元素；

⑵設(shè)a=2i+23eX],beX[,且a+beX]，求6的值；

氏+1b

⑶記匕二看門啰+,"""],"eN*,若集合匕中的元素個數(shù)為4,求X苛?.

【變式2-1](2024?浙江嘉興?二模)已知集合A=[g2"“0W4</<<am,a;eN|,定義：當根=r時，把

集合A中所有的數(shù)從小到大排列成數(shù)列例6｝,數(shù)列作⑺“｝的前n項和為S(6.例如：公2時，

23

6(2)]=2°+2]=3,b(2)2=2°+2?=5,6(2%=2'+2=6,&(2)4=2°+2=9,,

S(2)4=b(2\+/28+伙2%+伙2)4=23.

⑴寫出伙2)5,仇2%,并求義2)1°；

(2)判斷88是否為數(shù)歹隆6(3)“｝中的項.若是，求出是第幾項；若不是，請說明理由；

⑶若2024是數(shù)列｛6⑺“｝中的某一項。(片)傳，求務,％及S%)取的值.

題型三：定義新性質(zhì)

【典例3-1］（2024.云南昆明.一模）若非空集合A與8,存在對應關(guān)系力使A中的每一個元素a,8中總

有唯一的元素6與它對應，則稱這種對應為從A到B的映射，記作力A—B.

設(shè)集合4={-5,-3,-1,1,3,5},3=也也，,2}"eN*，n<6）,且設(shè)有序四元數(shù)集合

「=國門=（4程￡，匕），尤"4且'=1，2,3,4},0={中=（%,%,%，”）}.對于給定的集合8,定義映射力

PTQ,記為y=/（x）,按映射/,若（i=1,2,3,4）,則M=%+1；若x陛B（f=1,2,3,4）,則

4

%=%.記SB（y）=?，.

1=1

⑴若3={_5,1},X=（1,-3,-3,5）,寫出匕并求%（丫）；

（2）若3={4也也}，X=（1,-3-3,5）,求所有SB（V）的總和；

4

⑶對于給定的X=（百,%2，玉,工4）,記工為="7,求所有邑（丫）的總和（用含機的式子表示）.

1=1

【典例3-2】（2024?廣東江門.一模）將2024表示成5個正整數(shù)占，巧，x3,x4,天之和，得到方程

國+9+三+匕+%=2024①，稱五元有序數(shù)組（%,9,七,4三）為方程①的解，對于上述的五元有序數(shù)組

（西,々，8及廣5），當時，若11^（%-勺）=W€2,則稱（石,彳2，玉，及，三）是/一密集的一組解.

⑴方程①是否存在一組解（冷電，￡，4%），使得1-X,1=1,2,3,4）等于同一常數(shù)?若存在，請求出該常數(shù);

若不存在，請說明理由；

⑵方程①的解中共有多少組是1-密集的？

5

（3）記5=￡尤"問$是否存在最小值?若存在，請求出s的最小值；若不存在，請說明理由.

Z=1

【變式3-1］（2024.廣東.模擬預測）已知集合A中含有三個元素為y，z,同時滿足①x<y<z；②x+y>z；

③x+y+z為偶數(shù)，那么稱集合A具有性質(zhì)尸.已知集合S.={1,2,3,；2n}（?eN*,?>4）,對于集合S“的非

空子集B,若S“中存在三個互不相同的元素a,。,c,使得a+瓦。+c,c+a均屬于8,則稱集合B是集合S”的

“期待子集”.

（1）試判斷集合A=｛1,2,3,5,7,9｝是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

⑵若集合3=｛3,4,a｝具有性質(zhì)產(chǎn)，證明：集合B是集合及的“期待子集”；

（3）證明：集合M具有性質(zhì)P的充要條件是集合M是集合Sn的“期待子集”.

題型四：定義新背景

【典例4-1】（2024?全國?模擬預測）拓撲學是一個研究圖形（或集合）整體結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的一門幾何學，以

抽象而嚴謹?shù)恼Z言將幾何與集合聯(lián)系起來，富有直觀和邏輯.已知平面￡2=｛（X，y）|Vx,yeR｝,定義對

4（沖y）,4（和%），其度量（距離）1（4,4）=一.y+（%.并稱（比力為一度量平

面.設(shè)尤0€（爐，d）,“R+,稱平面區(qū)域3（尤0，￡）=｛尤€（或%）＜￡｝為以毛為心，￡為半徑的

球形鄰域.

（1）試用集合語言描述兩個球形鄰域的交集；

（2）證明：（￡2,力中的任意兩個球形鄰域的交集是若干個球形鄰域的并集；

（3）一個集合稱作“開集”當且僅當其是一個無邊界的點集.證明：（序，d）的一個子集是開集當且僅當其可

被表示為若干個球形鄰域的并集.

【典例4-2】（2024.安徽蕪湖.二模）對稱變換在對稱數(shù)學中具有重要的研究意義.若一個平面圖形K在相

（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對稱性，并記相為K的一個對稱變

換.例如，正三角形R在叫（繞中心。作120。的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與我重合（如圖1圖2所示），所以

網(wǎng)是R的一個對稱變換，考慮到變換前后R的三個頂點間的對應關(guān)系，記肛=1]2；又如，氏在自

（關(guān)于對稱軸片所在直線的反射）的作用下仍然與R重合（如圖1圖3所示），所以《也是R的一個對稱變

fl23、

換，類似地，記4=132.記正三角形R的所有對稱變換構(gòu)成集合S?一個非空集合G對于給定的代

數(shù)運算.來說作成一個群，假如同時滿足:

I.VQ,Z?￡G,ab^G；

II.Ya,b,ceG,Z;)c=4(Z?c)；

III.eG,X/aGG,ae=e〃=〃；

IV.\/aGG,3a~xGG?aax=axa=e-

對于一個群G,稱HI中的e為群G的單位元，稱W中的/為〃在群G中的逆元.一個群G的一個非空子

集”叫做G的一個子群，假如“對于G的代數(shù)運算來說作成一個群.

1

⑴直接寫出集合S(用符號語言表示s中的元素);

(2)同一個對稱變換的符號語言表達形式不唯一，如

23、H「21233H/323121、H/32213}對于集合S中的元素，定義

父*僅1b2=%生］

一種新運算*,規(guī)則如下:

^3J、G。2C3J\C1C1C3J

、偽b2

{4，%,%}={4也也}={<:“2，。3}={1,2,3}.

①證明集合S對于給定的代數(shù)運算*來說作成一個群；

②已知”是群G的一個子群，e,e'分別是G,X的單位元，aeH,a',"分別是。在群G,群反中的

逆元.猜想e,e'之間的關(guān)系以及“一，"之間的關(guān)系，并給出證明;

③寫出群S的所有子群.

【變式4-1](2021.北京西城?二模)設(shè)A是正整數(shù)集的一個非空子集，如果對于任意xeA,都有x-leA

或x+leA,則稱A為自鄰集.記集合4={1,2,〃}(">2,〃eN)的所有子集中的自鄰集的個數(shù)為與.

⑴直接寫出4的所有自鄰集；

(2)若〃為偶數(shù)且〃>6,求證：4的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數(shù)是偶數(shù)；

(3)若n>4,求證：an<2an_].

0

過關(guān)測試\\

1.（2024?北京豐臺?一模）已知集合此={xeN*,V2〃}（"eN,?>4）,若存在數(shù)陣

4%a、，廿□

T=,,,糊足：

他％2」

①a“}U他也,也}=M.；

②@K-4=k（k=1,2,…,n）.

則稱集合”“為“好集合”，并稱數(shù)陣T為知“的一個“好數(shù)陣”.

xyz6

（1）已知數(shù)陣/=,?,c是加4的一個“好數(shù)陣”，試寫出X,九z,W的值；

7w12

（2）若集合為“好集合”，證明：集合A/,,的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個；

（3）判斷％=5,6）是否為“好集合”.若是，求出滿足條件”找4,%，,凡}的所有“好數(shù)陣”；若不是，說

明理由.

2.（2024?湖南益陽?模擬預測）我們知道，二維空間（平面）向量可用二元有序數(shù)組&,4）表示；三維空

間向盤可用三元有序數(shù)組（4，%,/）表示.一般地，〃維空間向量用，元有序數(shù)組3,%，，凡）表示，其中

%（左=1,2,稱為空間向量的第％個分量，上為這個分量的下標.對于“（九23）維空間向量（qg,

定義集合A（租）={用以=九左=1,2,,〃}.記A?）的元素的個數(shù)為|A（叫（約定空集的元素個數(shù)為0）.

（1）若空間向量（弓,02M3，4，。5M,求A（5）及|A（5）|；

⑵對于空間向量a，%,，%）?若點+島+1

+而『=求證：皿六{12，叭若，則

qw%；

（3）若空間向量（％,%,%M〃）的坐標滿足A（以_2+以-1）={k}Mi=%=1，當心3時，求證:

a；+a；++a；>1an_xan.

3.(2024.北京?模擬預測)對給定的正整數(shù)"，令={。=(%,生，…,4”0e{0」}，i=L2,…㈤，對任意的

+x

x=(xl,x2,—,xn),尸也,%,…,%)?。“，定義二與y的距離d(x,y)=|再一切+區(qū)一為|+\n~y.\■設(shè)A

是?！暗暮兄辽賰蓚€元素的子集，集合。={d(x,y)|xNeA)中的最小值稱為A的特征，記作力⑷

(1)當〃=3時，直接寫出下述集合的特征：

A={(O,O,O),(l,l,l)},B={(O,O,O),(O,l,l),(l,O,l),(l,l,O)},C={(O,O,O),(O,O,l),(O,l,l),(l,l,l)}；

(2)當〃=2020時，設(shè)4^^202。且力(4)=2,求A中元素個數(shù)的最大值；

o2020

⑶當”=2020時，設(shè)4a。2期且力(4)=3,求證：A中的元素個數(shù)小于^—.

2021

4.(2024.北京延慶一模)已知數(shù)列{%},記集合7={5(，,/)|5億/)=卬+4+|+...+%,14，＜刀,/€1\[*}.

(1)若數(shù)列{%}為1,2,3,寫出集合人

⑵若%=2〃，是否存在/"eN*,使得S(i")=512?若存在，求出一組符合條件的V；若不存在，說明

理由；

(3)若％=〃，把集合T中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為4也,…，⑥，…，若勾42024,求機的最大

值.

5.(2024?湖南邵陽?二模)給定整數(shù)席3,由"元實數(shù)集合戶定義其隨影數(shù)集。={卜-訓羽、€尸,無片".若

min(2)=l,則稱集合尸為一個"元理想數(shù)集，并定義尸的理數(shù)r為其中所有元素的絕對值之和.

⑴分別判斷集合S={-2,-1,2,3},T={43,-1.2,2.1,2.5}是不是理想數(shù)集；(結(jié)論不要求說明理由)

⑵任取一個5元理想數(shù)集尸，求證：|min(P)|+|max(P)|“；

⑶當尸={%%,、々3}取遍所有2024元理想數(shù)集時，求理數(shù)r的最小值.

注：由〃個實數(shù)組成的集合叫做〃元實數(shù)集合，max(P),min(P)分別表示數(shù)集尸中的最大數(shù)與最小數(shù).

6.(23-24高三上.北京昌平.期末)已知。：生,&，S為有窮正整數(shù)數(shù)列，且qW4W.-W4,集合

X={-1,0,1}.若存在%wX,i=l,2,,k,使得占4+9%++xkak=t,則稱t為左-可表數(shù)，稱集合

T=t=xlal+x2a2++xkak,xteX,z=l,2,,，無}為左-可表集.

⑴若左=10此=2"七=1,2,,k,判定31,1024是否為人-可表數(shù)，并說明理由;

中—1

⑵若{1,2,,“}17,證明：〃4七」；

(3)設(shè)％=3-、=1,2,,k,若{1,2,,2024}=T,求左的最小值.

7.設(shè)機為給定的正奇數(shù)，定義無窮數(shù)列4：q=l,%=，2""㈤為偶數(shù))，其中〃eN*.若應是數(shù)列"中

。"+機(4,為奇數(shù))

的項，則記作出e4.

(1)若數(shù)列4的前6項各不相同，寫出機的最小值及此時數(shù)列的前6項；

(2)求證：集合3=keN*|6e4，%>2時是空集；

⑶記集合S,"={x|xeA〃}，S={TV正奇數(shù)〃?,xeS,“},求集合S.(若加為任意的正奇數(shù)，求所有數(shù)列4的

相同元素構(gòu)成的集合S.)

8.已知集合4={4，%,?3……%}=N*,其中“eN且〃23嗎<a3V……若對任意的

x,yeA(x^y),都有,一了上詈，則稱集合A具有性質(zhì)加仆

(1)集合4={1,2,可具有性質(zhì)心，求。的最小值；

11n-1

(2)已知A具有性質(zhì)Ms，求證：------

(3)已知A具有性質(zhì)Me求集合A中元素個數(shù)的最大值，并說明理由.

9.(2023?河南?模擬預測)已知數(shù)列{%}是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)列{2-1}是公比為2的等比數(shù)列，且

%=瓦,%"3=20.

⑴求數(shù)列{%},{〃}的通項公式；

⑵設(shè)國表示不超過x的最大整數(shù)($□：[3.5]=3,[-1.5]=-2),求集合

{fceN*|a,?<[log2bk]<a2m,l<m<I。}中元素的個數(shù).

10.(2023?北京西城?模擬預測)已知A為有限個實數(shù)構(gòu)成的非空集合，設(shè)A+A={a,+%|a,,%eA},

4-4={勾-%卜,,為€可，記集合A+A和A-A其元素個數(shù)分別為M+H，設(shè)

77(A)=|A+A|—|A—4例如當A={1,2}時,A+A={2,3,4},A—A=1—1,0,11,|A+A|=|A—A|,所以

M(A)=O.

⑴若A={1,3,5},求w(A)的值；

⑵設(shè)A是由3個正實數(shù)組成的集合且(A+A)A=0,A'=A30}；,證明：為定值；

(3)若{4}是一個各項互不相同的無窮遞增正整數(shù)列，對任意“eN*,設(shè)從76,孫…，％}，2=〃(4).已

知4