2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.1.2向量數(shù)量積的運算律課時素養(yǎng)檢測含解析新人教B版必修第三冊

PAGE課時素養(yǎng)檢測十五向量數(shù)量積的運算律(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分,多選題全部選對得4分,選對但不全對的得2分,有選錯的得0分)1.(2024·全國卷Ⅱ)已知向量a,b滿意|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)= ()A.4 B.3 C.2 D.0【解析】選B.因為|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12-(-1)=3.2.在△ABC中,∠BAC=QUOTE,AB=2,AC=3,=2,則·= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為=+=+QUOTE=+QUOTE(-)=QUOTE+QUOTE,所以·=·(-)=QUOTE×32-QUOTE×22+QUOTE·=QUOTE+QUOTE×3×2cosQUOTE=QUOTE.3.已知向量|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,則a與b的夾角為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為向量|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,所以a·b-a2=a·b-1=2,則a·b=3,設(shè)a與b的夾角為θ,得cosθ=QUOTE=QUOTE,因為θ∈[0,π],所以θ=QUOTE.【補償訓(xùn)練】若非零向量a,b滿意|a|=QUOTE|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),則a與b的夾角為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.π【解析】選A.由(a-b)⊥(3a+2b)得(a-b)·(3a+2b)=0,即3a2-a·b-2b2=0.又因為|a|=QUOTE|b|,設(shè)<a,b>=θ,即3|a|2-|a|·|b|cosθ-2|b|2=0,所以QUOTE|b|2-QUOTE|b|2cosθ-2|b|2=0,所以cosθ=QUOTE.又因為0≤θ≤π,所以θ=QUOTE.4.設(shè)單位向量e1,e2的夾角為QUOTE,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,則b在a上投影的數(shù)量為()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因為單位向量e1,e2的夾角為QUOTE,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,得e1·e2=1×1×cosQUOTE=-QUOTE,|a|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,a·b=(e1+2e2)·(2e1-3e2)=2QUOTE-6QUOTE+e1·e2=-QUOTE,因此b在a上投影的數(shù)量為QUOTE=QUOTE=-QUOTE.5.已知平行四邊形ABCD中,||=6,||=4,若點M,N滿意=3,=2,則·= ()A.20 B.15 C.9 D.6【解析】選C.如圖所示,由題設(shè)知,=+=+QUOTE,=QUOTE-QUOTE,所以·=·=QUOTE||2-QUOTE||2+QUOTE·-QUOTE·=QUOTE×36-QUOTE×16=9.6.(多選題)對隨意向量a,b,c,下列命題中真命題是()A.若a·b=b·c,則a=c B.若a=b,b=c,則a=cC.|a|―|b|<|a|+|b| D.|a·b|≤|a||b|【解析】選BD.若a·b=b·c,則b·(a―c)=0,所以a=c或b⊥(a―c),故選項A不正確.若a=b,b=c,則a=c,故選項B正確.對于隨意向量a,b,總有|a|―|b|≤|a|+|b|,當且僅當|b|=0時,等號成立,故選項C不正確.|a·b|=|a||b||cos<a,b>|≤|a||b|,故選項D正確.二、填空題(每小題4分,共8分)7.已知平面對量a,b的夾角為QUOTE,且|a|=QUOTE,|b|=2,在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D為BC中點,則||=.

【解析】因為=QUOTE(+)=QUOTE(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以||2=4(a-b)2=4(a2-2a·b+b2)=4×QUOTE=4,則||=2.答案:28.已知向量||=1,||=QUOTE,·=0,點C在∠AOB內(nèi),且∠AOC=30°,設(shè)=m+n(m,n∈R),則QUOTE=.

【解題指南】利用向量的夾角公式,通過向量數(shù)量積的運算律計算,建立方程求值.【解析】因為∠AOC=30°,所以cos∠AOC==cos30°=QUOTE,從而有=QUOTE.因為||=1,||=QUOTE,·=0,所以QUOTE=QUOTE,化簡可得QUOTE=QUOTE,整理得m2=9n2.因為點C在∠AOB內(nèi),所以m>0,n>0,所以m=3n,則QUOTE=3.答案:3三、解答題(每小題14分,共28分)9.(2024·湛江高一檢測)已知|a|=1,|b|=QUOTE,且向量a與b的夾角為θ.(1)若θ=QUOTE,求a·b;(2)若a-b與a垂直,求θ.【解析】(1)因為θ=QUOTE,所以a·b=|a||b|cosθ=1·QUOTE·cosQUOTE=QUOTE.(2)因為a-b與a垂直,所以QUOTE·a=0,即|a|2-a·b=|a|2-|a||b|cosθ=1-QUOTEcosθ=0,所以cosθ=QUOTE,又0°≤θ≤180°,所以θ=45°.10.利用向量法證明直徑對的圓周角為直角.已知:圓的直徑為AB,C為圓周上異于A,B的隨意一點.求證:∠ACB=90°.【解題指南】代數(shù)證明題的基本思想是“以算代證”,即只要計算·=0即可.【證明】設(shè)圓心為O,連接OC,則||=QUOTE||,=QUOTE(+),所以||2=QUOTE||2,=QUOTE(+)2,得||2=(+)2,即(―)2=(+)2,得+―2·=++2·,所以4·=0,·=0,所以⊥,即∠ACB=90°.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題4分,共16分,多選題全部選對得4分,選對但不全對的得2分,有選錯的得0分)1.已知向量a,b均為單位向量,若兩個向量的夾角是60°,則|3a-4b|= ()A.5 B.QUOTE C.13 D.QUOTE【解析】選B.因為單位向量a,b的夾角是60°,所以(3a-4b)2=9|a|2-24a·b+16|b|2=9-24cos60°+16=13,所以|3a-4b|=QUOTE.2.在△ABC中,(+)·=||2,則△ABC的形態(tài)肯定是 ()A.等邊三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】選C.由(+)·=||2=,得·(+-)=0,即·(++)=0,所以2·=0,所以⊥.所以∠A=90°,又因為依據(jù)條件不能得到||=||,故△ABC為直角三角形.3.(多選題)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,向量a,b滿意=2a,=2a+b,則下列結(jié)論正確的是 ()A.|b|=2 B.a·b=-1C.a⊥b D.(4a+b)⊥【解析】選ABD.在△ABC中,由=-=2a+b-2a=b,得|b|=2,選項A正確.又=2a且||=2,所以|a|=1,所以a·b=|a||b|cos120°=-1,選項B正確,選項C錯誤.(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥,D正確.4.(2024·西寧高一檢測)已知向量與的夾角為θ,||=2,||=1,=t,=(1-t),t∈R,||在t=t0時取得最小值,當0<t0<QUOTE時,夾角θ的取值范圍為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為向量與的夾角為θ,||=2,||=1,所以·=2cosθ,=-=(1-t)-t,得||2==(1-t)2-2t(1-t)·+t2=(5+4cosθ)t2-(2+4cosθ)t+1,所以t0=QUOTE,由0<QUOTE<QUOTE,且5+4cosθ>0,解得-QUOTE<cosθ<0,因為0≤θ≤π,所以QUOTE<θ<QUOTE.二、填空題(每小題4分,共16分)5.如圖,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,則·(-)=.

【解析】由已知得||=QUOTE,||=QUOTE,則·(-)=(+)·=·+·=1×QUOTEcosQUOTE+QUOTE×QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE6.(2024·濟寧高一檢測)已知向量a,b的夾角為QUOTE,且|a|=2,|b|=1,則a-b在a+b方向上投影的數(shù)量為.

【解析】因為向量a,b的夾角為QUOTE,且|a|=2,|b|=1,則|a+b|2=a2+2a·b+b2=4+2×2×1·cosQUOTE+1=3,所以|a+b|=QUOTE,且(a-b)·(a+b)=a2-b2=3,所以a-b在a+b方向上投影的數(shù)量為QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.(2024·寧波高一檢測)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,則λ的值為.

【解析】因為在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,所以·=cos60°=3,=QUOTE+QUOTE,得·=·(λ-)=QUOTE×3+QUOTE×4-QUOTE×9-QUOTE×3=-4?λ=QUOTE.答案:QUOTE8.已知和是平面內(nèi)的兩個單位向量,它們的夾角為60°,則2-與的夾角是.

【解析】設(shè)2-與的夾角為θ,則cosθ=,又與是平面內(nèi)的兩個單位向量,則||=1,||=1,則(2-)·=-(2-)·=-2·+=-2||·||cos60°+=0,所以cosθ=0,又0°≤θ≤180°,所以θ=90°.答案:90°三、解答題(共38分)9.(12分)已知|a|=2,|b|=3,a與b的夾角為120°,試求:(1)a·b;(2)(a+b)·(a-b);(3)(2a-b)·(a+3b).【解析】(1)a·b=|a|·|b|cos120°=2×3×QUOTE=-3.(2)(a+b)·(a-b)=a2-a·b+a·b-b2=a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+6a·b-a·b-3b2=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×4-5×3-3×9=-34.10.設(shè)向量a,b滿意|a|=|b|=1,且|3a-2b|=QUOTE.(1)求a與b的夾角;(2)求|2a+3b|的大小.【解析】(1)設(shè)a與b的夾角為θ.由已知得QUOTE=QUOTE=7,即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,因此9+4-12cosθ=7,于是cosθ=QUOTE,故θ=QUOTE,即a與b的夾角為QUOTE.(2)|2a+3b|=QUOTE=QUOTE=Q