新教材高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何單元質(zhì)量測(cè)評(píng)新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

第一章單元質(zhì)量測(cè)評(píng)時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．若平面α，β的法向量分別為u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)，則()A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不正確答案C解析因?yàn)閑q\f(－3,2)≠eq\f(1,－3)≠eq\f(－4,5)，且u·v≠0，所以α，β相交但不垂直．2．已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)F是側(cè)面CC1D1D的中心，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))－neq\o(AA1,\s\up6(→))，則m，n的值分別為()A.eq\f(1,2)，－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)，eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)，eq\f(1,2)答案A解析由題意知，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以m＝eq\f(1,2)，n＝－eq\f(1,2).3．一束光線自點(diǎn)P(－1,1,1)發(fā)出，被yOz平面反射后到達(dá)點(diǎn)Q(－6,3,3)被汲取，則光線所走的路程是()A.eq\r(37) B．eq\r(47)C．eq\r(57) D．3eq\r(5)答案C解析因?yàn)辄c(diǎn)Q(－6,3,3)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)為Q′(6,3,3)，所以光線所走的路程為|PQ′|＝eq\r(6＋12＋3－12＋3－12)＝eq\r(57).故選C.4．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值為()A．a(chǎn)2 B．eq\f(1,2)a2C.eq\f(1,4)a2 D．eq\f(\r(3),4)a2答案C解析如右圖，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(a2cos60°＋a2cos60°)＝eq\f(1,4)a2.5．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，且A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A．斜交 B．平行C．垂直 D．不能確定答案B解析設(shè)eq\o(A1A,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝c.由題意，知A1B＝AC＝eq\r(2)a.又A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，∴eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(b＋c)，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(A1M,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,3)(b＋c)－eq\f(1,3)(a＋b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)c，因此，eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(A1D1,\s\up6(→))共面，∴MN∥平面AA1D1D，從而MN∥平面BB1C1C.6．如右圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是()A．45° B．60°C．90° D．120°答案B解析令eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|.∵eq\o(BC1,\s\up6(→))＝b＋c，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(c－a)，再令|a|＝2.則|eq\o(BC1,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(2).又eq\o(BC1,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)·(c－a)＝eq\f(1,2)(b·c－b·a＋|c|2－c·a)＝eq\f(1,2)(0－0＋4－0)＝2，∴cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(2,2\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，∴EF與BC1所成的角為60°.7．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，B1C的中點(diǎn)，則直線EF和平面ABCD所成角的正切值為()A.eq\r(2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,2) D．2答案B解析如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則點(diǎn)A1(1，0,1)，C(0,1,0)，D1(0，0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，\f(1,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(DD1,\s\up6(→))＝(0,0,1)為底面的一個(gè)法向量，cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(DD1,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))||\o(DD1,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).設(shè)直線EF和平面ABCD所成的角為θ，則sinθ＝eq\f(\r(3),3)，∴tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(\r(2),2).故選B.8．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1棱長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝BF.當(dāng)A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面時(shí)，平面A1DE與平面C1DF夾角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,5) D．eq\f(2\r(6),5)答案B解析由題意知，當(dāng)E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)時(shí)，A1，E，F(xiàn)，C1四點(diǎn)共面．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A1(6，0,6)，C1(0,6,6)，E(6，3,0)，F(xiàn)(3,6,0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(6,3,0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(6,0,6)，eq\o(DF,\s\up6(→))＝(3,6,0)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0,6,6)．設(shè)平面A1DE的一個(gè)法向量為n1＝(a，b，c)，依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(DE,\s\up6(→))＝6a＋3b＝0，,n1·\o(DA1,\s\up6(→))＝6a＋6c＝0，))令a＝－1，則c＝1，b＝2，所以n1＝(－1,2,1)為平面A1DE的一個(gè)法向量．同理得平面C1DF的一個(gè)法向量為n2＝(2，－1,1)．所以平面A1DE與平面C1DF夾角的余弦值為|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq\f(1,2).二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．在以下命題中，不正確的為()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件B．若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λbC．對(duì)空間隨意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D．|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|答案ABCD解析A錯(cuò)誤，應(yīng)為充分不必要條件；B錯(cuò)誤，應(yīng)強(qiáng)調(diào)b≠0；C錯(cuò)誤，∵2－2－1≠1；D錯(cuò)誤，依據(jù)數(shù)量積公式可知．10．在四面體P－ABC中，下列說(shuō)法正確的有()A．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))B．若Q為△ABC的重心，則eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))C．若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，則eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D．若四面體P－ABC各棱長(zhǎng)都為2，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)，則|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1答案ABC解析對(duì)于A，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，∴2eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴3eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，即3eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，故A正確；對(duì)于B，若Q為△ABC的重心，則eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，∴3eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝3eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴3eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))，即eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，故B正確；對(duì)于C，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，故C正確；對(duì)于D，∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))|，∵|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(\o(PA,\s\up6(→))2＋\o(PB,\s\up6(→))2＋\o(PC,\s\up6(→))2－2\o(PA,\s\up6(→))·\o(PB,\s\up6(→))－2\o(PA,\s\up6(→))·\o(PC,\s\up6(→))＋2\o(PB,\s\up6(→))·\o(PC,\s\up6(→))))＝eq\r(22＋22＋22－2×2×2×\f(1,2)－2×2×2×\f(1,2)＋2×2×2×\f(1,2))＝2eq\r(2)，∴|Meq\o(N,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，故D錯(cuò)誤．故選ABC.11．如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形態(tài)為平行六面體ABCD－A1B1C1D1，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60°，下列說(shuō)法中正確的是()A．(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋Aeq\o(B,\s\up6(→))＋Aeq\o(D,\s\up6(→)))2＝2Aeq\o(C,\s\up6(→))2B.eq\o(AC1,\s\up6(→))·(Aeq\o(B,\s\up6(→))－Aeq\o(D,\s\up6(→)))＝0C．向量eq\o(B1C,\s\up6(→))與eq\o(AA1,\s\up6(→))的夾角是60°D．BD1與AC所成角的余弦值為eq\f(\r(6),3)答案AB解析以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，它們彼此的夾角都是60°，可設(shè)棱長(zhǎng)為1，則eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)，(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋Aeq\o(B,\s\up6(→))＋Aeq\o(D,\s\up6(→)))2＝eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋3×2×eq\f(1,2)＝6，而2eq\o(AC,\s\up6(→))2＝2(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝2(eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋2×\f(1,2)))＝2×3＝6，所以A正確；eq\o(AC1,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋Aeq\o(D,\s\up6(→))·Aeq\o(B,\s\up6(→))－Aeq\o(D,\s\up6(→))2＝0，所以B正確；向量eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1D,\s\up6(→))，明顯△AA1D為等邊三角形，則∠AA1D＝60°.所以向量eq\o(A1D,\s\up6(→))與eq\o(AA1,\s\up6(→))的夾角是120°，向量eq\o(B1C,\s\up6(→))與eq\o(AA1,\s\up6(→))的夾角是120°，則C不正確；又eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則|eq\o(BD1,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AA1,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))2))＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))2))＝eq\r(3)，eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝1，所以cos〈eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BD1,\s\up6(→))||A\o(C,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(3))＝eq\f(\r(6),6)，所以D不正確．故選AB.12.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面ABB1A1內(nèi)．下列結(jié)論正確的是()A．直線CM與平面ABCD所成角的余弦值為eq\f(2\r(2),3)B．|eq\o(D1P,\s\up6(→))|的最大值為2eq\r(3)C．cos∠A1D1P的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))D．若D1P⊥CM，則△PBC的面積的最小值為eq\f(2\r(5),5)答案ABCD解析如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,2,0)，M(0,0,1)，C(2,2,0)，B(2,0,0)，D1(0,2,2)．對(duì)于A，eq\o(CM,\s\up6(→))＝(－2，－2,1)，eq\o(DD1,\s\up6(→))＝(0,0,2)，易知eq\o(DD1,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，設(shè)直線CM與平面ABCD所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(CM,\s\up6(→))·\o(DD1,\s\up6(→))|,|\a\vs4\al(\o(CM,\s\up6(→))|)|\a\vs4\al(\o(DD1,\s\up6(→)))|)＝eq\f(2,3×2)＝eq\f(1,3)，∴cosθ＝eq\f(2\r(2),3)，A正確；對(duì)于B，∵點(diǎn)P在側(cè)面ABB1A1內(nèi)，∴設(shè)P(a,0，b)，a，b∈[0,2]，則eq\o(D1P,\s\up6(→))＝(a，－2，b－2)，∴|eq\o(D1P,\s\up6(→))|＝eq\r(a2＋4＋b－22)∈[2,2eq\r(3)]，即|eq\o(D1P,\s\up6(→))|的最大值為2eq\r(3)，B正確；對(duì)于C，cos∠A1D1P＝eq\f(A1D1,D1P)＝eq\f(2,\r(a2＋4＋b－22))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))，C正確；對(duì)于D，∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝(－2，－2，1)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2－a,0，－b)，D1P⊥CM，∴eq\o(D1P,\s\up6(→))·eq\o(CM,\s\up6(→))＝－2a＋4＋b－2＝0，即b＝2a－2，∴a∈[1,2]．∵BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥PB，∴S△PBC＝eq\f(1,2)BC·PB＝eq\f(1,2)×2×PB＝eq\r(2－a2＋b2).將b＝2a－2代入，可得S△PBC＝eq\r(5a2－12a＋8)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(6,5)))2＋\f(4,5))，a∈[1，2]，∴當(dāng)a＝eq\f(6,5)時(shí)，S△PBC取得最小值，最小值為eq\f(2\r(5),5)，D正確．故選ABCD.三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上)13．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0,2)，B(1，－3,1)，點(diǎn)M在y軸上，且點(diǎn)M到點(diǎn)A，B的距離相等，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是________.答案(0，－1,0)解析因?yàn)辄c(diǎn)M在y軸上，所以可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，y,0)．由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，解得y＝－1，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，－1,0)．14．已知三棱錐S－ABC的三條側(cè)棱長(zhǎng)都等于a，且兩兩垂直，則二面角S－BC－A的正切值為________.答案eq\r(2)解析取BC的中點(diǎn)D，連接SD，AD，易證∠SDA為S－BC－A的平面角，在Rt△SDA中有tan∠SDA＝eq\f(SA,SD)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).15．給出下列命題：①若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則必有A與C重合，B與D重合，AB與CD為同一線段；②若a·b<0，則〈a，b〉是鈍角；③若a為直線l的方向向量，則λa(λ∈R)也是l的方向向量；④非零向量a，b，c滿意a與b，b與c，c與a都是共面對(duì)量，則a，b，c必共面．其中不正確的命題為________(填序號(hào))．答案①②③④解析①錯(cuò)誤，如在正方體ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(A1B1,\s\up6(→))，但線段AB與A1B1不重合；②錯(cuò)誤，a·b<0，即cos〈a，b〉<0?eq\f(π,2)<〈a，b〉≤π，而鈍角的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))；③錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0不能作為直線l的方向向量；④錯(cuò)誤，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，令eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則它們兩兩共面，但明顯eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))是不共面的．16．已知在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離是________，截面AB1D1與底面ABCD的夾角的余弦值為________.答案eq\f(4,3)eq\f(1,3)解析如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A1(2，0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－2，0,4)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(0,2,4)，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,4)．設(shè)平面AB1D1的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AD1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB1,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋4z＝0，,2y＋4z＝0，))解得x＝2z且y＝－2z，不妨設(shè)n＝(2，－2,1)，設(shè)點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離為d，則d＝eq\f(|\o(AA1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(4,3).由題意知，底面ABCD的一個(gè)法向量為m＝(0,0,1)，設(shè)截面AB1D1與底面ABCD的夾角為θ，則|cosθ|＝eq\f(|m·n|,|m||n|)＝eq\f(1,3).四、解答題(本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)設(shè)向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，計(jì)算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a與b所成角的余弦值，并確定λ，μ應(yīng)滿意的條件，使λa＋μb與z軸垂直．解2a＋3b＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8)＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)．3a－2b＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．a(chǎn)·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21.∵|a|＝eq\r(32＋52＋－42)＝5eq\r(2)，|b|＝eq\r(22＋12＋82)＝eq\r(69)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－21,5\r(2)×\r(69))＝－eq\f(7\r(138),230).∵λa＋μb與z軸垂直，∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ，∴當(dāng)λ，μ滿意λ＝2μ時(shí)，可使λa＋μb與z軸垂直．18．(本小題滿分12分)如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)為eq\r(2).(1)設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為1，求證：AB1⊥BC1；(2)設(shè)AB1與BC1的夾角為eq\f(π,3)，求側(cè)棱的長(zhǎng)．解(1)證明：eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)).∵BB1⊥平面ABC，∴eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.又△ABC為正三角形，∴〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝π－〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝π－eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3).∵eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))·(eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))2＋eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＋eq\o(BB1,\s\up6(→))2＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1.(2)結(jié)合(1)知eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＋eq\o(BB1,\s\up6(→))2＝eq\o(BB1,\s\up6(→))2－1.又|eq\o(AB1,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BB1,\s\up6(→))2))＝eq\r(\a\vs4\al(2＋\o(BB1,\s\up6(→))2))＝|eq\o(BC1,\s\up6(→))|，∴cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BB1,\s\up6(→))2－1,2＋\o(BB1,\s\up6(→))2)＝eq\f(1,2)，∴|eq\o(BB1,\s\up6(→))|＝2，即側(cè)棱長(zhǎng)為2.19．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB于點(diǎn)F.證明：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.證明如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DP,\s\up6(→))的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝a.(1)連接AC，交BD于點(diǎn)G，連接EG.依題意得A(a,0,0)，P(0，0，a)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(a,2))).∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心．故點(diǎn)G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，0))，且Peq\o(A,\s\up6(→))＝(a,0，－a)，Eeq\o(G,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，－\f(a,2)))，∴Peq\o(A,\s\up6(→))＝2eq\o(EG,\s\up6(→))，則PA∥EG.又EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)依題意得B(a，a,0)，Peq\o(B,\s\up6(→))＝(a，a，－a)，Deq\o(E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(a,2)))，故Peq\o(B,\s\up6(→))·Deq\o(E,\s\up6(→))＝0＋eq\f(a2,2)－eq\f(a2,2)＝0.∴PB⊥DE，又EF⊥PB，且EF∩DE＝E，∴PB⊥平面EFD.20．(本小題滿分12分)在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在棱CC1上，且CC1＝4CP.(1)求直線AP與平面BCC1B1所成角的正弦值；(2)求點(diǎn)P到平面ABD1的距離．解(1)如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，∵棱長(zhǎng)為4，∴A(4,0,0)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,4)，P(0,4,1)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－4,4,1)，明顯eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,4,0)為平面BCC1B1的一個(gè)法向量，∴直線AP與平面BCC1B1所成的角θ的正弦值sinθ＝|cos〈eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉|＝eq\f(16,\r(42＋42＋1)·\r(42))＝eq\f(4\r(33),33).(2)設(shè)平面ABD1的一個(gè)法向量為n＝(x，y,1)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,4,0)，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－4,0,4)，由n⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，n⊥eq\o(AD1,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,－4x＋4＝0，))∴n＝(1,0,1)，∴點(diǎn)P到平面ABD1的距離d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(3\r(2),2).21．(本小題滿分12分)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO.解如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz