專題6.2 相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題（壓軸題專項(xiàng)講練）（蘇科版）（原卷版）

專題6.2相像三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題【典例1】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B動(dòng)身，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C動(dòng)身，在CB（1）若△BPQ與△ABC相像，求（2）直接寫出△BPQ是等腰三角形時(shí)t（3）如圖2，連接AQ、CP，若AQ⊥CP，求【思路點(diǎn)撥】（1）依據(jù)勾股定理可得AB=10cm，分兩種狀況：①△BPQ～△BAC，②（2）分三種狀況：①當(dāng)PB=PQ時(shí)，過P作PH⊥BQ，則BH=12BQ=4?2t，PB=5t，依據(jù)平行線分線段成比例定理得到PBAB（3）設(shè)AQ，CP交于點(diǎn)N，過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，先依據(jù)相像三角形的判定與性質(zhì)可得PM=3tcm，BM=4t【解題過程】解：（1）∵∠ACB=90∴AB=由題意得：BP=5分以下兩種狀況爭辯：①當(dāng)△BPQ～△BAC即5t解得t=1②當(dāng)△BPQ～△BCA即5t解得t=綜上，t的值為1或4132（2）解：分三種狀況：①當(dāng)PB=PQ時(shí)，如圖，過P作則BH=12∵PH⊥BQ，∴PH∥∴PBAB=BH解得：t=②當(dāng)PB=BQ時(shí)，即解得：t=③當(dāng)BQ=PQ時(shí)，如圖，過Q作QG⊥AB則BG=12∵∠QBG=∴△BGQ～∴BGBC=BQ解得：t=綜上所述：△BPQ是等腰三角形時(shí)t的值為：23或89（3）解：如圖，設(shè)AQ，CP交于點(diǎn)N，過P作PM⊥BC于點(diǎn)∵PM⊥∴PM∥∴△BPM∴BPBA=PM解得PM=3tcm∴MC=∵∠QAC+∴∠QAC=在△ACQ和△CMP中，∴△ACQ～∴ACCM=CQ解得t=經(jīng)檢驗(yàn)t=1．（2025·遼寧沈陽·九班級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，點(diǎn)P從點(diǎn)B動(dòng)身以1個(gè)單位長度/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C動(dòng)身以2個(gè)單位長度/秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)另一點(diǎn)即停．當(dāng)以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相像時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）A．2411秒 B．95秒 C．2411秒或92．（2025·全國·九班級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以A，P，B為頂點(diǎn)的三角形與△PDC相像，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2025·全國·九班級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2㎝，BC=6㎝，AB=7㎝，點(diǎn)P是從點(diǎn)B動(dòng)身在射線BA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的速度是1㎝/s，連接PC、PD．若△PAD與△PBC是相像三角形，則滿足條件的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是（

）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)4．（2025·全國·九班級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD邊長為8，E為AD中點(diǎn)，線段PQ在邊DC上從左向右以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，PQ=3，從P點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)開頭計(jì)時(shí)，到Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連結(jié)BE?EP?BQ，在運(yùn)動(dòng)過程中，下列4個(gè)結(jié)論：①當(dāng)t=1時(shí)，△BAE≌△BCQ；②只有當(dāng)t=53時(shí)，以點(diǎn)E?D?P構(gòu)成的三角形與△BCQ相像；③四邊形EPQB的周長最小等于16+45；④四邊形EPQBA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2025·全國·九班級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，有一正方形ABCD，邊長為62，E是邊CD上的中點(diǎn)，對(duì)角線BD上有一動(dòng)點(diǎn)F，當(dāng)△ABF與△DEF相像時(shí)，BF6．（2025·全國·九班級(jí)單元測試）如圖，在邊長為2個(gè)單位長度的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D動(dòng)身沿射線DC以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PF⊥DE于點(diǎn)F，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為______秒時(shí)，以P、F、E為頂點(diǎn)的三角形與△AED相像．7．（2025·廣東佛山·九班級(jí)期末）如圖，△ABC中AB=AC，A(0，8)，C(6，0)，D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A動(dòng)身，運(yùn)動(dòng)路徑為A→D→C，點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的53倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)D8．（2025·湖北武漢·一模）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在射線AD上，過點(diǎn)P作PF⊥AE，垂足為F．當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若以P、F、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相像，則PA的值為______．9．（2025·浙江紹興·九班級(jí)期末）如圖，邊長為5cm的正方形ABCD，E，F(xiàn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)動(dòng)身，以1cm/s速度沿射線AB，射線BC運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AF，DE交于點(diǎn)P，G為AD中點(diǎn)，連結(jié)PG，PB，若△PDG與△ABP相像，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為______．10．（2025·遼寧·鞍山市其次十六中學(xué)九班級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A動(dòng)身，沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C動(dòng)身，沿CA以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．(1)當(dāng)PQ∥BC時(shí)，求(2)△APQ與△CQB能否相像？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由．11．（2025·福建省大田縣老師進(jìn)修學(xué)校九班級(jí)期中）如圖，在三邊互不相等的△ABC中，AB=8cm，BC=16cm．動(dòng)點(diǎn)P從A開頭沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/秒，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B開頭沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/秒，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P，Q就不再運(yùn)動(dòng)．設(shè)(1)證明：當(dāng)x=2時(shí)，△BPQ?(2)若△BPQ?與△ABC相像，求x12．（2025·山東·滕州市南沙河鎮(zhèn)中學(xué)九班級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA=10cm，OB=5cm，點(diǎn)P從點(diǎn)O開頭沿OA邊向點(diǎn)A以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B開頭沿BO邊向點(diǎn)O以1cm/s的速度移動(dòng)．假如P、Q同時(shí)動(dòng)身，用(1)用含t的代數(shù)式表示：線段PO=cm；OQ=cm．(2)求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PABQ的面積為19cm(3)當(dāng)△POQ與△AOB相像時(shí)，求出t的值．(4)求當(dāng)t為何值時(shí)，線段PQ分三角形AOB的面積比為6:19．13．（2025·浙江金華·九班級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，BC>CD，BC,CD分別是一元二次方程x2?14x+48=0的兩個(gè)根，連結(jié)BD，動(dòng)點(diǎn)P從B動(dòng)身，以1個(gè)單位每秒速度，沿BD方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D動(dòng)身，以同樣的速度沿射線DA運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q即停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.以PQ為斜邊作RtΔPQM，使點(diǎn)M(1)求線段BD的長度；(2)求ΔPDQ(3)當(dāng)ΔPQM與ΔBCD相像時(shí)，求14．（2025·上海市市北初級(jí)中學(xué)九班級(jí)期中）如圖，已知ΔABC中，AB=4，BC=5，AC=6，把線段AB沿射線BC方向平移至PQ，直線PQ與直線AC交于點(diǎn)E，又連接BQ與直線AC交于點(diǎn)D(1)若BP=3，求AD的長；(2)設(shè)BP=x，DE=y，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)當(dāng)BP為多少時(shí)，以Q、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相像．15．（2025·福建·將樂縣老師進(jìn)修學(xué)校九班級(jí)期中）已知：E是矩形ABCD的邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線EF⊥DE交BC于點(diǎn)F，(1)求證：△ADE∽△BFE；(2)若直線EF經(jīng)過C點(diǎn)，且AD=3,AB=10，是否存在這樣的點(diǎn)E，使△ADE和△BFE相像？若存在，懇求出AE的長度；若不存在，請說明理由．(3)連結(jié)DF，若AD=3，AE=2，當(dāng)△ADE和△EFD相像時(shí)，則AB=16．（2025·上海市建平試驗(yàn)中學(xué)九班級(jí)期中）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)CA=CP時(shí)，求AP的長；(2)當(dāng)CP平分∠ACB時(shí)，求點(diǎn)P到BC的距離；(3)過點(diǎn)P作PQ⊥BC，PQ交邊CB于Q，設(shè)AP=x，BQ=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域．17．（2025·江蘇·江陰市長涇其次中學(xué)九班級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是BC邊的中點(diǎn)，E為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作∠DEF=90°，EF交射線BC于點(diǎn)F．設(shè)BE=x，△BED的面積為y．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)假如以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BED相像，求△BED的面積．18．（2025·吉林吉林·九班級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AB在x軸上，AB、BC的長分別是一元二次方程x2-7x+12=0的兩個(gè)根，其中BC＞AB，OA=2OB，邊CD交y軸于點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度，從點(diǎn)E動(dòng)身沿折線段ED—DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（0＜t＜6）秒，設(shè)△BOP與矩形AOED重疊部分的面積為s．請解答下列問題：(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)P，使△BEP為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．19．（2025·山東·濟(jì)南陽光100中學(xué)九班級(jí)階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，∠BCA＝90°,AC＝3,BC＝4，點(diǎn)P為斜邊AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作射線PD⊥PE(1)問題產(chǎn)生∶若P為AB中點(diǎn)，當(dāng)PD⊥AC,PE(2)問題延長：在（1）的狀況下，將若∠DPE圍著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，PDPE(3)問題解決：如圖3，連接DE，若△PDE與△ABC相像