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認(rèn)證信息

認(rèn)證類型：個人認(rèn)證

認(rèn)證主體：常**（實名認(rèn)證）

IP屬地：河北

IP屬地：河北 上傳時間：2024-10-12 格式：PDF 頁數(shù)：10 大?。?.69MB 積分：12 舉報 版權(quán)申訴

專題28順?biāo)寄嫦?/p>

閱讀與思考

解數(shù)學(xué)題時，大多是從條件出發(fā)，進(jìn)行正面的順向思考.對有些數(shù)學(xué)問題，如果從正面去直接求解,

思維常常受阻，這時可以改變一下思維的角度，從問題的反面進(jìn)行思考.順向推導(dǎo)有困難時就逆向推導(dǎo),

直接證明有困難時就間接證明，探求問題的可能性有困難時就探求不可能性等，我們把這種“倒著干”

的思維方法稱為“逆向思維”.

逆向思維解題的常見形式有：

i.逆用定義；

2.逆用公式、法則；

3.常量與變量的換位；

4.主元與輔元的互換；

5.反倒否定；

6.反證法.

例題與求解

【例1】設(shè)b,c均為非零實數(shù)，并且ab-2（ei+b）,be=3（&+c）,ac-4（c+a^,則

a+b+c=.（北京市競賽試題）

解題思路：直接通過解方程組求a,b,c的值較困難，就對已知條件變形，由ab=2Q+b）,得

a+b1111

逆用分式加法法則得一+丁=工，這是解本例的關(guān)鍵.

ab2ab2

【例2】設(shè)三個方程+4mx+4根2+2根+3=0,元2+（2m+1）工+加2=0,

（m-1）x2+2mx+m-1=。中至少有一個方程有實根，則根的取值范圍是（）

311

A---

244

C.根W—/或根與5D.

（江蘇省競賽試題）

解題思路：三個方程中至少有一個方程有實根的可能情況有七種，逐一討論情況復(fù)雜.若從反面考

慮，就只需研究三個方程均無實根一種情況，問題就簡單得多.

【例3】求出所有這樣的正整數(shù)。，使得二次方程a%2+2（2a-1%+4、-3）=0至少有一個整數(shù)根.

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

解題思路：常規(guī)的想法是用求根公式先求出方程的根，再討論方程至少有一個整數(shù)根的條件，從而

求出整數(shù)這樣解過程復(fù)雜，由于。的最高次數(shù)為1,不妨著眼于。來考慮.

分類討論法是解數(shù)學(xué)題中一個重要方法，但如何準(zhǔn)確分類卻是一個技巧性很強的工作，有時為避免

分類使解題過程中得以優(yōu)化，常用如下方法：

①整體考慮；

②數(shù)形結(jié)合；

③反面思考.

“順難則逆，直難則曲，正難則反”.在具體應(yīng)用中，分析法、逆推法、反證法、常量與變量的換

位、主元與輔元的互換、公式定理的逆用，都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)換角度的思考.

【例4】證明：當(dāng)〃為自然數(shù)時，2（2"+1）形式的數(shù)不能表示為兩個整數(shù)的平方差.

（西安市競賽試題）

解題思路：由于〃為任意自然數(shù)，不可能逐個試湊，而命題的結(jié)論又是否定形式，故可考慮用反證

法來證明.

［例5］解方程：2.73x2-x+3-s/3=0.

解題思路：由于1次數(shù)較高，直接求解較困難，不妨令、回為主元，將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于小的方

程進(jìn)行求解.

【例6】已知一平面內(nèi)的任意四點，其中任何三點都不在一條直線上.試問：是否一定能從這樣的

四點中選出三點構(gòu)成一個三角形，使得這個三角形至少有一內(nèi)角不大于45。？請證明你的結(jié)論.

（江蘇省競賽試題）

解題思路：結(jié)論是以疑問形式出現(xiàn)的，不妨先假定是肯定的，然后推理.若推出矛盾，則說明結(jié)論

是否定的；若推不出矛盾，則可考慮去證明結(jié)論是肯定的，

能力訓(xùn)練

11114

L方程X2+x+X2+3X+2+X2+5X+6+陋+7x+12-力的解是?

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

2.若，則k-

（“五羊杯”邀請賽試題）

3

3.已知x滿足...--X2-2X=2,那么X2+2%的值為

X2+2x

（河南省競賽試題）

717171

4.若a,b,c為實數(shù)，-2b+—,B=ZJ2-2C+—,C=c2-2a+—,則A,B,C中至

236

少有一個的值大于.

5.化簡Q+仆—3Q+11+3Q+D—1的結(jié)果是（）

C.Q+2)

A.X3—1B.尤3D.QT)

111

6.化簡一--+—k----R---h---------的值是()

271+1,23?2+2、百100J99+99/00

39

A，4B.—C.1D.五

10

（新加坡中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題）

7.方程x2—3因—2=0的最小一個根的負(fù)倒數(shù)是（）

8.設(shè)A,B,C,。為平面上的任意四點.如果其中任何三點不在一條直線上，則△ABC,AABD,△

ACO,△8CO中至少有一個三角形的某個內(nèi)角滿足（）

A.不超過15。B.不超過30。

C.不超過45。D.以上說法都不對

9.已知三個關(guān)于x的方程彳2-％+m=0,（m-l）x2+2x+l=0,Gw-2%2+2x-l=0.若其中至少

有兩個方程有實根，則實數(shù)根的取值范圍為（）

1

A.根W2B.根W-；■或1W根W2

4

1

C.根21D.一W根W1

4

10.某班參加運動會的19名運動員的運動服號碼恰是1?19號，這些運動員隨意地站成一個圓圈，則一

定有順次相鄰的某3名運動員，他們運動服號碼之和不小于32,請你說明理由.

（“希望杯”邀請賽試題）

11.證明：如果整系數(shù)二次方程以2+阮+。=0弓/0）有有理根，那么。，b,c中至少有一個是偶數(shù).

（波蘭中學(xué)生競賽試題）

,一1800

12.已知平面上〃條直線兩兩相交，求證：它們的交角中至少有一個不大于--

n

（天津市競賽試題）

13.在一次馬拉松長跑比賽上，有100位選手參加.大會準(zhǔn)備了100塊標(biāo)有整數(shù)1至IJ100的號碼布，分

發(fā)給每位選手。選手們被要求在比賽結(jié)束時，將自己的號碼布上的數(shù)與到達(dá)終點時的名次相加，并

將這個和數(shù)交上去.問這樣交上去的100個數(shù)的末2位數(shù)字是否可能都不相同？請回答可能或不可

能，并清楚地說明理由.（注：沒有同時到達(dá)終點的選手）

（日本奧林匹克競賽試題）

14.有〃（〃26）名乒乓球選手進(jìn)行單循環(huán)賽，比賽結(jié)果表明：任意5人中既有1人勝于其余4人，又有

1人負(fù)于其余4人.求證：必有1人獲全勝.

（《學(xué)習(xí)報》公開賽試題）

15.如果正整數(shù)。和b之和是〃，則〃可變?yōu)楹?，問能不能用這種方法數(shù)次，將22變成2001?

（世界城際間數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

16.能夠找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任兩個數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)嗎？若能夠,

請舉出一例；若不能夠，請說明理由.

（北京市競賽試題）

17.【問題背景】在△ABC中，AB,BC,AC三邊的長分別為、后，、而，<13,求這個三角形的面積.

小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）,再在網(wǎng)格中畫出格

點AABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示，這樣不需求&1BC的高，而借

用網(wǎng)格就能計算出它的面積.

（1）請你將A4BC的面積直接填寫在橫線上：.

⑵【思維拓展】我們把上述求△ABC面積的方法叫作構(gòu)圖法.若△ABC三邊的長分別為丁豆，2、@z,

Ma（a>0）,請利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為。）畫出相應(yīng)的△ABC,并求出它

的面積.

（3）【探索創(chuàng)新】若ZVIBC三邊的長分別為+16〃2,J9祖2+4出，24m2+ri2（m>0,〃〉0）,

且根W〃），試運用構(gòu)圖法求出這個三角形的面積.

（咸寧市中考試題）

18.設(shè)AABC是等腰直角三角形，它的腰長是1,P是斜邊A3上一點，P到其他兩邊的射影是。，R.

考慮△APQ,ZXPBR的面積以及矩形QCRP的面積，證明P無論怎樣選擇，這三個面積中最大的至

2

少是

（加拿大數(shù)學(xué)競賽試題）

19.有12位同學(xué)圍成一圈，其中有些同學(xué)手中持有鮮花，鮮花總數(shù)為13束.他們進(jìn)行分花游戲，每次分

花按如下規(guī)則進(jìn)行：其中一位手中至少持有兩束鮮花的同學(xué)拿出兩束鮮花分給與其相鄰的左、右兩

位同學(xué)，每人一束.試證：在持續(xù)進(jìn)行這種分花游戲的過程中，一定會出現(xiàn)至少有7位同學(xué)手中持

有鮮花的情況.

(山東省競賽試題)

專題28順?biāo)寄嫦?/p>

——逆向思維

力1128+曰一,,111,111,11,,,1,113

例1后.提示：由已知條件，布+二通+丁§,-+-=4-相D加嗤+/二五

例2B提示：①當(dāng)機W1時且三個方程均無實根，則

‘△=(4m)2—4(4加2+2加+3)=—4(2加一3)V0

131

<22

△2-(2m+l)-4Xm=4m+l<0，解得一]〈根〈一加

,△3二(2機產(chǎn)一4(機一1)2=8加一4<0

____31

②當(dāng)m=l,第三個方程為2x=0,尤=0為其實根，由①②知，當(dāng)加W—；或根》一：時，三個方程

至少有一個方程有實根

。V—I—10

例3a=(_1_>2三1，解得一4WxW2且xW—2.是整數(shù)，故x只能取一4,—3,—1,0,1,2.將以上

(x十，尸

x的值分別代入〃的關(guān)系式，得〃=1,3,6,10.

例4設(shè)2(2及+1)=〃2—匕2(〃，匕都為整數(shù))，“2—52=(。+/?)(〃一匕).又q+b與[―6奇偶性相同，

而2(2"—1)是一個偶數(shù)，???4=3+份―),即4=2(2"+1),得2=(2〃+1),這與2〃+1是奇

數(shù)矛盾.

例5設(shè)小=〃，則3=〃2..)原方程可變?yōu)椋?—2ax2—x-\-a2—。=0,即成一(2x2+Z)tz+x4—一

(2垠+1)〃+(蝗一x)(x2+x+1)—0,[a-(x2—x)][a-(x2+x+l)]=0,?>xl—X=Q或x2+x+l

=a,即x2—x：/或x2+x+l=>/3,分別解兩個一元二次方程得原方程四根為:

1+.1+4于1—{1—4小1+.4小—31一業(yè)4—3

2，2，2，2.

例6能.①如圖1,若四點A、B、C、。構(gòu)成凸四邊形，則必有一個內(nèi)角<90°,不妨設(shè)為/A,這

是因為，假設(shè)四個內(nèi)角都大于90°,則360°=ZA+ZB+ZC+ZD>4X90°=360°,矛盾.

又乙4=NBAC+/CADW90°,則NA4c與/CA。中必有一個wgx90°=45,故結(jié)論成立.

則/MBC中必有一個內(nèi)角wgxi80°=60°,不

②如圖2,若四點A、B、C、。構(gòu)成凹四邊形,

妨設(shè)/AW60°,由NA=NBAD+/CAZ）W60°,則NBA。與/CA。之中必有一個W3X60°<

45°,故結(jié)論成立.

能力訓(xùn)練

1.3,-7

2.3提示：j5+\,Q=Q5r①+媼+梃）=,一+^~^

y[J5+j373-72

2（一-/#6+?_、+3雜>-2\也

=Q柩+萬事-江）Z/+V5）（L-。）

3.1由條件得Cf2+2x+3）（2+2x-i）=0,但x2+2x+3=（x+1”+222

故％2+2x=1

4.0

5.B

6.B

7.D提示：12=國2

8.C提示：分ABC。為凸四邊形、凹四邊形兩種情況討論。

9.B

10.在圓周上按逆時針順序以1號為起點記運動服號碼為4,a2,%，…"18，"19，顯然。1=1，而〃2,

a.,a,...4c就是2,3,4,5,6,...18,19的一個排列，令&=a+a+a,A=a+a+a,A=〃+〃+a,…A

3A4lo191234A2jo/3o91（Jo

=<2+<2+tz,則A+A+…+A=2+3+4+...+17+18+19=189,若A、A、...A中每一*個都W31,貝!J

17lo1912o126

A,+A+...+A<6x31=186與上式矛盾.

126

m

11.假設(shè)mb,c全是奇數(shù)，而一是方程的一個有理根，且Gn,n）=1,

n

（根、2f/i

則Q—+/??—+c=0,即由必+匕加幾+c及2=o,分別就根，〃都是奇數(shù)；m為奇數(shù),及為偶數(shù)；根為偶

\nJn

數(shù)，〃為奇數(shù)三種情況討論，推導(dǎo)矛盾.

12.交角位置分散，應(yīng)設(shè)法將交角集中到同一頂點，考慮平移變換，平面上n條直線兩兩相交最多有

4tn-l）+（?-2）++2+1]=2〃（九-1）個角.在平面上任取一點o,將〃條直線平移，于是這w條直

線將以0為頂點周角分為2n（n對）個角，這2n個角中每一個都與2〃（加1）個交角中的一個相等.若這2n

[80。IgQO

個角中的每一個角均大于——，則它們的和大于2〃x------=360°,這與周角矛盾.

nn

13.假設(shè)交上去的100個數(shù)的末二位數(shù)字都不相同，那么這些末二位數(shù)字是00,01,…，99,它們的和為

00+01+...+99=4050,即總和的末二位數(shù)字是50.另一方面，各位選手的號碼與名次相加，再求和，總和

應(yīng)為（1+2+3+...+100）+（1+2+3...+100）=9900,末二位數(shù)字是00,用兩種方法計算同一對象，得出

的結(jié)果卻不相同，這個矛盾表明交上去的數(shù)的末二位數(shù)字不可能都不相同.

14.假設(shè)沒有一個人全勝，則〃個人勝的場次只能取0,1,2,…止2共小1個值，當(dāng)中必有兩人勝的場次相

同.設(shè)A,8勝的場次相同且A勝8,則在敗于2的選手中必有C,C勝A（否則，凡敗于2也敗于A,

則A至少比8多勝一場，與A,B勝的場次矛盾）.故有3個選手A、B、C,使A勝B,8勝C,C勝

A.對于上述A、B、C,我們再加上2個選手，這5個選手必有1人負(fù)于其余4人，但這人不是4、B、C,

我們記為。。除。外，再取2人加進(jìn)A、2、C中(當(dāng)論6時這是可以辦到的)，這5個任重又有1人負(fù)

于其余4人，但這人不是A、B、C、D,記為E,于是A、B、C、D、E這5個人中無一人勝其余4人，

與已知條件矛盾.

15.逆向推算，2001=3x667,由3+667=670得至U670=10x67,由10+67=77得到77=7x11,由7+11=18

得到...同任意〃=1+(n-1)可得到因此從22開始，可依次得到21,20,19,18,77,671和2001.

16.不能找到這樣的四個正整數(shù)，使得它們中任兩個數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù).理由如下：偶

數(shù)的平方能被4整除，奇數(shù)的平方被4除余1,也就是正整數(shù)的平方被4除余0或1.若存在正整數(shù)時,

n2,%,%滿足？+2002=,層；i,六1,2,3,4刁是正整數(shù)；因為2002被4除余2,所以"均被4除應(yīng)余2

近3.①若正整數(shù)；；/a，%中有兩個偶數(shù)，不妨設(shè)?，"，是偶數(shù)，貝U々”,+2002被4磕余2,與正整

數(shù)的平方被4除余。或1不符，所以正整數(shù)"Jn2,%，時,至多有一個是擒數(shù)，至少有三個是奇數(shù)②

在這三個奇數(shù)中，被4除的余數(shù)可分為余1或3兩類，根據(jù)抽屜原則，必有兩個奇數(shù)屬于同一類，則它

們的乘積被4除余1,與勺％被4除余2或3的結(jié)論矛盾.綜上所述，不能找到這樣的四個正整數(shù)，使得

它們中的任兩個數(shù)的積與Woi)2的和都是完全平方數(shù).

7

17.(1)-

2

(2)△ABC如圖1所示，

S=2ax4a-—xax2a-^-x2a'x2a-—xax4a=3a2

AABC222

(3)構(gòu)造△ABC如圖2所示，

S=3mx4M-—xmx4w-—x3mx2"——x2mx2”=5mn

AABC222

2222

18.假設(shè)最大的面積小于-，便有S<-,S<-,S<K.設(shè)BR=