2025屆溫州樂成寄宿中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆溫州樂成寄宿中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量X，Y滿足，，且，則的值為（）A.0.2 B.0.3C.0..5 D.0.62．“圓”是中國文化的一個(gè)重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運(yùn)用，最具代表性的便是園林中的門洞．如圖，某園林中的圓弧形挪動(dòng)高為2.5m，底面寬為1m，則該門洞的半徑為（）A.1.2m B.1.3mC.1.4m D.1.5m3．過雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為．若，則雙曲線的離心率是A. B.C. D.4．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A B.C. D.5．已知是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.6．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．據(jù)記載，歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”特別是當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)令人著迷的優(yōu)美恒等式，將數(shù)學(xué)中五個(gè)重要的數(shù)（自然對數(shù)的底，圓周率，虛數(shù)單位，自然數(shù)的單位和零元）聯(lián)系到了一起，有些數(shù)學(xué)家評價(jià)它是“最完美的數(shù)學(xué)公式”.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)的虛部（）A. B.C. D.8．方程表示的曲線經(jīng)過的一點(diǎn)是（）A. B.C. D.9．已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切，且與定圓C：外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程A. B.C. D.10．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則公差的值為（）A. B.2C.3 D.411．不等式解集為（）A. B.C. D.12．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，=（）A.1 B.2C. D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時(shí)代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動(dòng)態(tài)，緊跟時(shí)代脈搏的熱門APP，某市宣傳部門為了解全民利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”了解國家動(dòng)態(tài)的情況，從全市抽取2000名人員進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)他們每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的時(shí)長，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖（1）根據(jù)上圖，求所有被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時(shí)長和中位數(shù)；（2）宣傳部為了了解大家利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從和組中抽取50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50入中選5人參加一個(gè)座談會,現(xiàn)從參加座談會的5人中隨機(jī)抽取兩人發(fā)言，求小組中至少有1人發(fā)言的概率？14．若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.15．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)___________.16．已知＝（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直線l的方向向量，＝（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，則5a+b＝__三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，且的最小值為（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，直線，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別交直線于點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，若，求的值18．（12分）大學(xué)生王蕾利用暑假參加社會實(shí)踐，對機(jī)械銷售公司月份至月份銷售某種機(jī)械配件的銷售量及銷售單價(jià)進(jìn)行了調(diào)查，銷售單價(jià)和銷售量之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：月份銷售單價(jià)（元）銷售量（件）（1）根據(jù)至月份數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸直線方程；（2）若剩下的月份的數(shù)據(jù)為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，并規(guī)定由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過元，則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？（注：，，參考數(shù)據(jù)：，）19．（12分）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為4，且點(diǎn)在橢圓上（1）經(jīng)過點(diǎn)M（1，）作一直線交橢圓于AB兩點(diǎn)，若點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，求直線的斜率；（2）設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為P，設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)P的直線與橢圓C交于C，D兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)20．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由賈玲導(dǎo)演的電影《你好，李煥英》上映，截至到2月21日22點(diǎn)8分，票房攀升至40.25億，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎來了2021春節(jié)檔最具戲劇性的一幕．正是因?yàn)橛捌心概g的這份簡單、純粹、誠摯的情感觸碰了人們內(nèi)心柔軟的地方，打動(dòng)了萬千觀眾，才贏得了良好的口碑，不少觀眾都流下了感動(dòng)的淚水．影片結(jié)束后，某電影院工作人員當(dāng)日隨機(jī)抽查了100名觀看《你好，煥英》的觀眾，詢問他們在觀看影片的過程中是否“流淚”，得到以下表格：男性觀眾女性觀眾合計(jì)流淚20沒有流淚520合計(jì)（1）完成表格中的數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)？（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，然后從這5人中再隨機(jī)抽取2人，求這2人都流淚的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，21．（12分）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.（1）求的解析式；（2）若關(guān)于的方程在上有解，求的取值范圍.22．（10分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若，分別為橢圓的上，下頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn)（異于橢圓的右頂點(diǎn)），交軸于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn).求證：直線的斜率為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用正態(tài)分布的計(jì)算公式：，【詳解】且又故選：D2、B【解析】設(shè)半徑為R，根據(jù)垂徑定理可以列方程求解即可.【詳解】設(shè)半徑為R，,解得,化簡得.故選：B.3、C【解析】直線l：y=-x+a與漸近線l1：bx-ay=0交于B，l與漸近線l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），∴，∵，∴，b=2a，∴，∴，∴考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；雙曲線的簡單性質(zhì)4、D【解析】根據(jù)，解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓，則，解得.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：D5、B【解析】令，再結(jié)合，和已知條件將問題轉(zhuǎn)化為，最后結(jié)合單調(diào)性求解即可.【詳解】解：令，則，因?yàn)?，所以，即函?shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?，不等式可化為，所以，故不等式的解集為故選：B6、C【解析】先求出方程表示雙曲線時(shí)滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”原則進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)榉匠虨殡p曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.7、D【解析】由歐拉公式的定義和復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得，則復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.8、C【解析】當(dāng)時(shí)可得，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)可得所以方程表示的曲線經(jīng)過的一點(diǎn)是，且其它點(diǎn)都不滿足方程，故選：C9、D【解析】由題意動(dòng)圓M與直線y=2相切，且與定圓C：外切∴動(dòng)點(diǎn)M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以C（0，-3）為焦點(diǎn)，直線y=3為準(zhǔn)線的拋物線故所求M的軌跡方程為考點(diǎn)：軌跡方程10、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：C11、C【解析】化簡一元二次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式并求出解集即可.【詳解】不等式整理得，解得或，則不等式解集為.故選：.12、B【解析】根據(jù)拋物線定義，轉(zhuǎn)化，要使有最小值，只需最大，即直線與拋物線相切，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求出斜率，然后求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，，過P作垂直于準(zhǔn)線于，連接，由拋物線定義知.由正弦函數(shù)知，要使最小值，即最小，即最大，即直線斜率最大，即直線與拋物線相切.設(shè)所在的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，整理得：則，解得即，解得，代入得或，再利用焦半徑公式得故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要將取最小值轉(zhuǎn)化為直線斜率最大，再轉(zhuǎn)化為拋物線的切線，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）平均時(shí)長為，中位數(shù)為（2）在和兩組中分別抽取30人和20人，概率【解析】（1）由頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)，中位數(shù)的公式即可求解；（2）先根據(jù)分層抽樣求出每一組抽取的人數(shù)，再列舉抽取總事件個(gè)數(shù)，從而利用古典概型概率計(jì)算公式即可求解【小問1詳解】解：（1）設(shè)被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時(shí)長為，中位數(shù)為，，被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的時(shí)長中位數(shù)滿足，解得，即抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時(shí)長為6.8，中位數(shù)為【小問2詳解】解：組的人數(shù)為人，設(shè)抽取的人數(shù)為，組的人數(shù)為人，設(shè)抽取的人數(shù)為，則，解得，，所以在和兩組中分別抽取30人和20人，再利用分層抽樣從抽取的50入中抽取5人，兩組分別抽取3人和2人，將組中被抽取的工作人員標(biāo)記為，，，將中的標(biāo)記為，，則抽取的情況如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10種情況，其中在中至少抽取1人有7種，故所求概率14、【解析】設(shè)由題可知，當(dāng)時(shí)，可得適合題意，當(dāng)時(shí)，可求函數(shù)的最小值即得，當(dāng)時(shí)不合題意，即得.【詳解】設(shè)，由題可知，∴，當(dāng)時(shí)，，適合題意，所以，當(dāng)時(shí)，令，則，此時(shí)時(shí)，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，∴，又，∴，∴，即，解得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，，故的值有正有負(fù)，不合題意；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，設(shè)由題可知，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的最小值，結(jié)合，可得，進(jìn)而通過解，即得.15、【解析】當(dāng)時(shí)，利用及求得函數(shù)的解析式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由于函數(shù)是奇函數(shù)，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知函數(shù)的奇偶性以及軸一側(cè)的解析式，求另一側(cè)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.16、36【解析】根據(jù)方向向量和平面法向量的定義即可得出，然后即可得出，然后求出a，b的值，進(jìn)而求出5a+b的值【詳解】∵l⊥α，∴，∴，解得，∴故答案為：36三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先求出拋物線的準(zhǔn)線，作于由拋物線的定義，可得，從而當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小，得出答案.（2）設(shè)，，設(shè)：與拋物線方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，設(shè)出直線的方程分別與直線的方程聯(lián)立得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到，的表達(dá)式，由條件可得答案.【小問1詳解】的準(zhǔn)線為：，作于，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，所以當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，所以，解得，所以的方程為【小問2詳解】由題意可知的斜率一定存在，且不為0，設(shè)：（），聯(lián)立消去得，由，即，得，結(jié)合，知記，，則直線的方程為由得易知，所以同理可得由，可得，即，化簡得，結(jié)合，解得18、（1）（2）回歸直線方程是理想的【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)求得，利用最小二乘法可求得回歸直線方程；（2）令回歸直線中的可求得估計(jì)數(shù)據(jù)，對比檢驗(yàn)數(shù)據(jù)即可確定結(jié)論.小問1詳解】由表格數(shù)據(jù)可知：，，，則，關(guān)于的回歸直線方程為；【小問2詳解】令回歸直線中的，則，，（1）中所得到的回歸直線方程是理想的.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出橢圓的方程，再利用點(diǎn)差法求解；（2）由題得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得韋達(dá)定理，根據(jù)和韋達(dá)定理得到，即得證.【小問1詳解】解：由題設(shè)橢圓的方程為因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以所以橢圓的方程為.設(shè)，所以，所以，由題得，所以，所以，所以，所以直線的斜率為.【小問2詳解】解：由題得當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組y=kx+nx24所以，解得①，設(shè)，，，，則②，因?yàn)?，則，，，又，，所以③，由②③可得（舍或滿足條件①，此時(shí)直線的方程為，故直線過定點(diǎn)20、（1）填表見解析；有99.9%的把握認(rèn)為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)；（2）【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)可完善列聯(lián)表，然后計(jì)算可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣定義求出5人中流淚與沒有流淚的觀眾人數(shù)并編號，用列舉法寫出作任取2人的所有基本事件，并得出2人都流淚的基本事件，計(jì)數(shù)后可計(jì)算概率【詳解】解：（1）男性觀眾女性觀眾合計(jì)流淚206080沒有流淚15520合計(jì)3565100所以有99.9%的把握認(rèn)為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關(guān)（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，則流淚的觀眾抽到人，記為，，，，沒有流淚的觀眾抽到人，記為從這5人中抽2人有10種情況，分別是，，，，，，，，，其中這2人都流淚有6種情況，分別是，，，，，所以所求概率21、（1）（2）【解析】（1）求，由條件可得，得出關(guān)于的方程組，求解可得；（2）令，注意，所以在具有單調(diào)性時(shí)，則方程無解，求，對分類討論，求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)值的變化趨勢，即可求得結(jié)論.【詳解】解：（1），因?yàn)椋裕獾?，，所?（2）令，則.令，則在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以；當(dāng)，即時(shí)，則存在，使得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，則.當(dāng)時(shí)，，所以在上有解.綜上，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義求