甘肅省蘭州市五十一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

甘肅省蘭州市五十一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若，則當(dāng)最大時(shí)，（）A. B.1C. D.22．函數(shù)的最小值是（）A.2 B.4C.5 D.63．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的值為（）A. B.C.1 D.4．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C. D.5．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.2C.1 D.06．下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是（）A. B.C. D.7．某產(chǎn)品的銷售收入（萬元）是產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，生產(chǎn)成本（萬元）是產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)，且函數(shù)解析式為，要使利潤(rùn)最大，則該產(chǎn)品應(yīng)生產(chǎn)（）A.6千臺(tái) B.7千臺(tái)C.8千臺(tái) D.9千臺(tái)8．已知拋物線過點(diǎn)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.9．若，則（）A.1 B.0C. D.10．如圖，在長(zhǎng)方體中，若，，則異面直線和所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．函數(shù)在處有極值為，則的值為（）A. B.C. D.12．斗笠，用竹篾夾油紙或竹葉粽絲等編織，是人們遮陽光和雨的工具.某斗笠的三視圖如圖所示（單位：），若該斗笠水平放置，雨水垂直下落，則該斗笠被雨水打濕的面積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓與圓的位置關(guān)系為______(填相交，相切或相離).14．直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)弦AB的長(zhǎng)度最短時(shí)，則三角形ABC的面積為________15．等差數(shù)列中，若，，則______，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______16．將集合且中所有的元素從小到大排列得到的數(shù)列記為，則___________（填數(shù)值）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的左，右焦點(diǎn)分別為F1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），且橢圓C過點(diǎn)（﹣）.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過（0，﹣2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求直線l的方程.18．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)直角梯形，其中∠BAD=90°，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，AB=AD=PA=2，DC=1，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別為PA和PC的中點(diǎn)（1）證明：直線DM∥平面PBC；（2）求直線BM和平面BDN所成角的余弦值；（3）求二面角M-BD-N正弦值；（4）求點(diǎn)P到平面DBN距離；（5）設(shè)點(diǎn)N在平面BDM內(nèi)的射影為點(diǎn)H，求線段HA的長(zhǎng)19．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.（1）證明為等比數(shù)列，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）在（1）的條件下，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）如圖，在四面體ABCD中，，平面ABC，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，，（1）證明：；（2）求平面BCD和平面DCM夾角的余弦值21．（12分）已知數(shù)列通項(xiàng)公式為：，其中．記為數(shù)列的前項(xiàng)和（1）求，；（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求的前項(xiàng)和22．（10分）已知，，其中（1）已知，若為真，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合換元法、配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)設(shè)為，拋物線的焦點(diǎn)為F，所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因此，令，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為1，此時(shí).故選：B2、C【解析】結(jié)合基本不等式求得所求的最小值.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C3、B【解析】由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)在軸，從而可得，再列方程可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，所以，，所以，解得，故選：B4、A【解析】由，可得等比數(shù)列公比q=2，利用等比數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式即可求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，.故選：A.5、B【解析】集合中的元素為點(diǎn)集，由題意，可知集合A表示以為圓心，為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集合B表示直線上所有的點(diǎn)組成的集合，又圓與直線相交于兩點(diǎn)，，則中有2個(gè)元素.故選B.【名師點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡(jiǎn)集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件.集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對(duì)解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.6、B【解析】對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算驗(yàn)證即可.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：B7、A【解析】構(gòu)造利潤(rùn)函數(shù)，求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，求得最大值處對(duì)應(yīng)的自變量即可.【詳解】設(shè)利潤(rùn)為y萬元，則，∴.令，解得（舍去）或，經(jīng)檢驗(yàn)知既是函數(shù)的極大值點(diǎn)又是函數(shù)的最大值點(diǎn)，∴應(yīng)生產(chǎn)6千臺(tái)該產(chǎn)品.故選：A【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某區(qū)間上最值的規(guī)律：(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減，與一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上有極值，要先求出上的極值，與，比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成(3)函數(shù)在區(qū)間上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到8、D【解析】把點(diǎn)代入拋物線方程求出，再化成標(biāo)準(zhǔn)方程可得解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，所以拋物線方程為，方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.9、C【解析】由結(jié)合二項(xiàng)式定理可得出，利用二項(xiàng)式系數(shù)和公式可求得的值.【詳解】，當(dāng)且時(shí)，，因此，.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)和的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟悉二項(xiàng)式系數(shù)和公式，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】根據(jù)長(zhǎng)方體中，異面直線和所成角即為直線和所成角，再結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】解：連接、，如下圖所示由圖可知，在長(zhǎng)方體中，且，所以，所以異面直線和所成角即為，又，，由余弦定理可得∶故選：D.11、B【解析】根據(jù)函數(shù)在處有極值為，由，求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，，解得a=6,b=9，=-3，故選：B12、A【解析】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，則所求面積積為圓錐的側(cè)面積與圓環(huán)的面積之和【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，所以該斗笠被雨水打濕的面積為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、相交【解析】求兩圓圓心距，并與半徑之和、半徑之差的絕對(duì)值比較即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，∵，∴兩圓相交.故答案為：相交.14、【解析】由于直線過定點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，弦AB的長(zhǎng)度最短，然后先求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理可求出的長(zhǎng)，從而可求出三角形ABC的面積【詳解】因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)，圓的圓心，半徑為，所以當(dāng)時(shí)，弦AB的長(zhǎng)度最短，因?yàn)椋?，所以三角形ABC的面積為，故答案為：15、①.②.【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求通項(xiàng)公式；，采用裂項(xiàng)相消的方法求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，，，；∵，∴.故答案為：；.16、992【解析】列舉數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察特征，可得出.詳解】由題意得觀察規(guī)律可得中，以為被減數(shù)的項(xiàng)共有個(gè)，因?yàn)?，所以是中的?項(xiàng)，所以.故答案為：992.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或.【解析】（1）設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程組得解.（2）設(shè)直線方程代入橢圓方程消元，韋達(dá)定理整體思想，可得直線斜率得解.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為，可設(shè)橢圓C的方程為，又點(diǎn)在橢圓C上，所以，解得，因此，橢圓C的方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以，①?lián)立方程，消去得，則，代入①，得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)直線與橢圓相交，所以直線l的方程是或.18、（1）證明見解析（2）（3）（4）（5）【解析】（1）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，證明與平面的法向量垂直，從而證明直線平面（2）求出平面的法向量，利用向量法，求出直線和平面所成角的余弦值（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法，求出二面角的正弦值（4）求出的坐標(biāo)，再求出平面的法向量，利用向量法，求出點(diǎn)到平面的距離；（5）設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，從而表示出的坐標(biāo)，求出到平面的距離，列出方程組，求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的長(zhǎng)度.【小問1詳解】四棱錐，底面是一個(gè)直角梯形，，平面，所以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，所以，，取，則，所以，平面，所以直線平面.【小問2詳解】，，，設(shè)平面的法向量，則，即，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為.【小問3詳解】設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，所以，所以二面角的正弦值為.【小問4詳解】，平面的法向量，所以點(diǎn)到平面的距離為.【小問5詳解】設(shè)點(diǎn)在平面的射影為點(diǎn)，則，所以點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)，得解得，，，或者，，（舍）所以.19、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）利用與的關(guān)系求數(shù)列的遞推關(guān)系，即得證明結(jié)論，并根據(jù)等比數(shù)列求通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求出，再分和，求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，與已知式作差得，即，又，∴，∴，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以（2）由（1）知，∴，若，，若，，∴.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是第二問弄清楚數(shù)列與的前項(xiàng)和的關(guān)系，在分段求數(shù)列的前項(xiàng)和.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明平面ABD即可；（2）以A為原點(diǎn)，分別以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面BCD的一個(gè)法向量和平面DCM的一個(gè)法向量，然后由求解【小問1詳解】證明：∵平面ABC，∴，又，，∴平面ABD，∴【小問2詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，依題意，可得，設(shè)為平面BCD的一個(gè)法向量，則，不妨令，可得設(shè)為平面DCM的一個(gè)法向量，則，不妨令，可得，所以所以平面BCD和平面DCM的夾角的余弦值為21、（1）；；（2）.【解析】（1）驗(yàn)證可知數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，則，；（2）由（1）可求得，利用錯(cuò)位相減法可求得結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列；，；【小問2詳