云南省昆明市五華區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

云南省昆明市五華區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測驗（指標(biāo)值滿分為100分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述不正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)2．盒中有6個小球，其中4個白球，2個黑球，從中任取個球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后放回，此時盒中黑球的個數(shù)，則()A．， B．，C．， D．，3．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（）A．3 B．C．2 D．4．過拋物線的焦點的直線交該拋物線于，兩點，為坐標(biāo)原點.若，則直線的斜率為()A． B． C． D．5．設(shè)是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．6．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點的（）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位長度B．橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位長度C．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個單位長度D．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位長度7．函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A． B．C． D．8．正項等比數(shù)列中的、是函數(shù)的極值點，則（）A． B．1 C． D．29．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”意思為有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)目的地，請問第二天比第四天多走了（）A．96里 B．72里 C．48里 D．24里10．已知α，β是兩平面，l，m，n是三條不同的直線，則不正確命題是（）A．若m⊥α，n//α，則m⊥n B．若m//α，n//α，則m//nC．若l⊥α，l//β，則α⊥β D．若α//β，lβ，且l//α，則l//β11．已知底面為正方形的四棱錐，其一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（）A． B． C． D．12．設(shè)拋物線的焦點為F,拋物線C與圓交于M,N兩點,若,則的面積為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在直角坐標(biāo)系中，某等腰直角三角形的兩個頂點坐標(biāo)分別為，函數(shù)的圖象經(jīng)過該三角形的三個頂點，則的解析式為___________.14．能說明“若對于任意的都成立，則在上是減函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是________.15．在中，已知，則的最小值是________．16．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）定義：若數(shù)列滿足所有的項均由構(gòu)成且其中有個，有個，則稱為“﹣數(shù)列”．（1）為“﹣數(shù)列”中的任意三項，則使得的取法有多少種？（2）為“﹣數(shù)列”中的任意三項，則存在多少正整數(shù)對使得且的概率為.18．（12分）某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的某小區(qū)前修建了一個弓形景觀湖．如圖，該弓形所在的圓是以為直徑的圓，且米，景觀湖邊界與平行且它們間的距離為米．開發(fā)商計劃從點出發(fā)建一座景觀橋（假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行），橋面在湖面上的部分記作．設(shè)．（1）用表示線段并確定的范圍；（2）為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景，所以要將的長度設(shè)計到最長，求的最大值．19．（12分）已知函數(shù)（，），.（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）某公司打算引進(jìn)一臺設(shè)備使用一年，現(xiàn)有甲、乙兩種設(shè)備可供選擇.甲設(shè)備每臺10000元，乙設(shè)備每臺9000元.此外設(shè)備使用期間還需維修，對于每臺設(shè)備，一年間三次及三次以內(nèi)免費(fèi)維修，三次以外的維修費(fèi)用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計了曾使用過的甲、乙各50臺設(shè)備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設(shè)備分別在50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)23456甲設(shè)備5103050乙設(shè)備05151515（1）設(shè)甲、乙兩種設(shè)備每臺購買和一年間維修的花費(fèi)總額分別為和，求和的分布列；（2）若以數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，希望設(shè)備購買和一年間維修的花費(fèi)總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購買哪種設(shè)備？請說明理由.21．（12分）已知函數(shù)（1）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：22．（10分）設(shè)（1）證明:當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)所給的雷達(dá)圖逐個選項分析即可.【詳解】對于A，甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙，故A正確；對于B，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分，故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，故B正確；對于C，甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為，乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為，故C正確；對于D，甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算為80分，不是最強(qiáng)的，故D錯誤；故選：D【點睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計算，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出概率并求得數(shù)學(xué)期望，由此判斷出正確選項.【詳解】表示取出的為一個白球，所以.表示取出一個黑球，，所以.表示取出兩個球，其中一黑一白，，表示取出兩個球為黑球，，表示取出兩個球為白球，，所以.所以，.故選：C【點睛】本小題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計算，屬于中檔題.3、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，從而求得，然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】，所以，，故選：D.【點睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題，涉及到的知識點有復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題目.4、D【解析】

根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合，求出的坐標(biāo)，然后求出的斜率即可．【詳解】解：拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，故，此時，即．則直線的斜率．故選：D．【點睛】本題考查了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題．5、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法法則得.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系，即可容易求得.【詳解】為得到，將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），故可得；再將向左平移個單位長度，故可得.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導(dǎo)公式的使用，屬基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)定義域排除，求出的值，可以排除，考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域為，所以不合題意；選項，計算，不符合函數(shù)圖象；對于選項，與函數(shù)圖象不一致；選項符合函數(shù)圖象特征.故選：B【點睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式，主要利用函數(shù)性質(zhì)分析，常見方法為排除法.8、B【解析】

根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為，得出，再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】解：依題意、是函數(shù)的極值點，也就是的兩個根∴又是正項等比數(shù)列，所以∴.故選：B【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)以應(yīng)用，屬于中檔題.9、B【解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為，計算，代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為，則，解得，從而可得，故.故選：.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.10、B【解析】

根據(jù)線面平行、線面垂直和空間角的知識，判斷A選項的正確性.由線面平行有關(guān)知識判斷B選項的正確性.根據(jù)面面垂直的判定定理，判斷C選項的正確性.根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D選項的正確性.【詳解】A．若，則在中存在一條直線，使得，則，又，那么，故正確；B．若，則或相交或異面，故不正確；C．若，則存在，使，又，則，故正確．D．若，且，則或，又由，故正確．故選：B【點睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關(guān)命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】試題分析：通過對以下四個四棱錐的三視圖對照可知，只有選項C是符合要求的.考點：三視圖12、B【解析】

由圓過原點，知中有一點與原點重合，作出圖形，由，，得，從而直線傾斜角為，寫出點坐標(biāo)，代入拋物線方程求出參數(shù)，可得點坐標(biāo)，從而得三角形面積．【詳解】由題意圓過原點，所以原點是圓與拋物線的一個交點，不妨設(shè)為，如圖，由于，，∴，∴，，∴點坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，，∴，．故選：B.【點睛】本題考查拋物線與圓相交問題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點是其中一個交點，從而是等腰直角三角形，于是可得點坐標(biāo)，問題可解，如果僅從方程組角度研究兩曲線交點，恐怕難度會大大增加，甚至沒法求解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

結(jié)合題意先畫出直角坐標(biāo)系，點出所有可能組成等腰直角三角形的點，采用排除法最終可確定為點，再由函數(shù)性質(zhì)進(jìn)一步求解參數(shù)即可【詳解】等腰直角三角形的第三個頂點可能的位置如下圖中的點，其中點與已有的兩個頂點橫坐標(biāo)重復(fù)，舍去；若為點則點與點的中間位置的點的縱坐標(biāo)必然大于或小于，不可能為，因此點也舍去，只有點滿足題意.此時點為最大值點，所以，又，則，所以點，之間的圖像單調(diào)，將，代入的表達(dá)式有由知，因此.故答案為：【點睛】本題考查由三角函數(shù)圖像求解解析式，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題14、答案不唯一，如【解析】

根據(jù)對基本函數(shù)的理解可得到滿足條件的函數(shù).【詳解】由題意，不妨設(shè)，則在都成立，但是在是單調(diào)遞增的，在是單調(diào)遞減的，說明原命題是假命題.所以本題答案為，答案不唯一，符合條件即可.【點睛】本題考查對基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)的理解，關(guān)鍵是假設(shè)出一個在上不是單調(diào)遞減的函數(shù)，再檢驗是否滿足命題中的條件，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】分析：可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為：，然后再結(jié)合余弦定理整理為，再由cosC的余弦定理得到a，b的關(guān)系式，最后利用基本不等式求解即可.詳解：已知，可得，將角A,B,C的余弦定理代入得，由，當(dāng)a=b時取到等號，故cosC的最小值為.點睛：考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運(yùn)用，能正確轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.屬于中檔題.16、【解析】

先求出導(dǎo)數(shù)，再在定義域上考慮導(dǎo)數(shù)的符號為正時對應(yīng)的的集合，從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為.，令，則，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：.故答案為：.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，注意先考慮函數(shù)的定義域，再考慮導(dǎo)數(shù)在定義域上的符號，本題屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）16；（2）115.【解析】

(1)易得使得的情況只有“”,“”兩種,再根據(jù)組合的方法求解兩種情況分別的情況數(shù)再求和即可.(2)易得“”共有種,“”共有種.再根據(jù)古典概型的方法可知,利用組合數(shù)的計算公式可得,當(dāng)時根據(jù)題意有,共個；當(dāng)時求得,再根據(jù)換元根據(jù)整除的方法求解滿足的正整數(shù)對即可.【詳解】解：（1）三個數(shù)乘積為有兩種情況：“”,“”,其中“”共有：種,“”共有：種,利用分類計數(shù)原理得：為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則使得的取法有：種．（2）與(1)同理,“”共有種,“”共有種,而在“﹣數(shù)列”中任取三項共有種,根據(jù)古典概型有：,再根據(jù)組合數(shù)的計算公式能得到：,時,應(yīng)滿足,,共個,時,應(yīng)滿足,視為常數(shù),可解得,,根據(jù)可知,,,,根據(jù)可知,,（否則）,下設(shè),則由于為正整數(shù)知必為正整數(shù),,,化簡上式關(guān)系式可以知道：,均為偶數(shù),設(shè),則,由于中必存在偶數(shù),只需中存在數(shù)為的倍數(shù)即可,,．檢驗：符合題意,共有個,綜上所述：共有個數(shù)對符合題意．【點睛】本題主要考查了排列組合的基本方法,同時也考查了組合數(shù)的運(yùn)算以及整數(shù)的分析方法等,需要根據(jù)題意18、（1），；（2）米.【解析】

(1)過點作于點再在中利用正弦定理求解,再根據(jù)求解,進(jìn)而求得.再根據(jù)確定的范圍即可.(2)根據(jù)(1)有,再設(shè),求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.【詳解】解：過點作于點則,在中,,,由正弦定理得：,,,,,因為,化簡得,令,,且,因為,故令即,記,當(dāng)時,單調(diào)遞增；當(dāng)時,單調(diào)遞減,又,當(dāng)時,取最大值,此時,的最大值為米．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)在實際中的應(yīng)用,需要根據(jù)題意建立角度與長度間的關(guān)系,進(jìn)而求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)三角函數(shù)值求解對應(yīng)的最值即可.屬于難題.19、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，得到答案.（Ⅱ）變換得到，設(shè)，求，令，故在單調(diào)遞增，存在使得，，計算得到答案.【詳解】（Ⅰ）（），當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（Ⅱ）（），即，（）.令（），則，令，，故在單調(diào)遞增，注意到，，于是存在使得，可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.∴.綜上知，.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題，意在考查學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)知識的綜合應(yīng)用能力.20、（1）分布列見解析，分布列見解析；（2）甲設(shè)備，理由見解析【解析】

（1）的可能取值為10000，11000，12000，的可能取值為9000，10000，11000，12000，計算概率得到分布列；（2）計算期望，得到，設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為，，計算分布列，計算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】（1）的可能取值為10000，11000，12000，，因此的分布如下100001100012000的可能取值為9000，10000，11000，12000，，，因此的分布列為如下9000100001100012000（2）設(shè)甲、乙兩設(shè)備一年內(nèi)的維修次數(shù)分別為，的可能取值為2，3，4，5，，，則的分布列為2345的可能取值為3，4，5，6，，，則的分布列為3456由于，，因此需購買甲設(shè)備【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)期望和分布列，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.21、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）將問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，換元構(gòu)造新函數(shù)即可得解；（2）結(jié)合（1）可得，令，求導(dǎo)后證明其導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，結(jié)合，即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間