甘肅省會寧二中2025屆高二數學第一學期期末考試試題含解析

甘肅省會寧二中2025屆高二數學第一學期期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，O是坐標原點，P是雙曲線右支上的一點，F是E的右焦點，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（）A. B.C. D.2．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C.， D.，3．如圖，是邊長為4的等邊三角形的中位線，將沿折起，使得點A與P重合，平面平面，則四棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.4．已知圓，直線，直線l被圓O截得的弦長最短為（）A. B.C.8 D.95．已知雙曲線的左右焦點分別為、，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的面積為，則的漸近線方程為A. B.C. D.6．已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，下列命題中正確的為A若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β B.若m∥α，m∥β，則α∥βC.若m∥α，n∥α，則m∥n D.若m⊥α，n⊥α，則m∥n7．從裝有2個紅球和2個白球的袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A.取出的球至少有1個紅球；取出的球都是紅球B.取出的球恰有1個紅球；取出的球恰有1個白球C.取出的球至少有1個紅球；取出的球都是白球D.取出的球恰有1個白球；取出的球恰有2個白球8．定義域為的函數滿足，且的導函數，則滿足的的集合為A. B.C. D.9．已知隨圓與雙曲線相同的焦點，則橢圓和雙曲線的離心，分別為（）A. B.C. D.10．已知，，，其中，，，則（）A. B.C. D.11．已知拋物線過點，點為平面直角坐標系平面內一點，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點，則點與原點間的距離的最小值為（）A. B.C. D.12．如圖，在單位正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，則平面的法向量是（）A.，1， B.，1，C.，， D.，1，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列的通項公式，則數列的前5項為______.14．已知等差數列的前項和為，若，，則數列的前2021項和為___________.15．圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關系為________16．將全體正整數排成一個三角形數陣（如圖）：按照以上排列的規(guī)律，第9行從左向右的第2個數為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C的對稱軸是y軸，點在曲線C上.（1）求拋物線的標準方程；（2）過拋物線焦點的傾斜角為直線l與拋物線交于A、B兩點，求線段AB的長度.18．（12分）若函數與的圖象有一條與直線平行的公共切線，求實數a的值19．（12分）在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積V；（2）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF20．（12分）已知函數（1）當在處取得極值時，求函數的解析式；（2）當的極大值不小于時，求的取值范圍21．（12分）已知各項均為正數的等比數列前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求22．（10分）已知動圓過點且動圓內切于定圓：記動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若、是曲線上兩點，點滿足求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】令雙曲線E的左焦點為，連線即得，設，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【詳解】如圖，令雙曲線E的左焦點為，連接，由對稱性可知，點線段中點，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，設，則，，，在中，，解得或m＝0（舍去），從而有，中，，整理得，，所以雙曲線E的離心率為故選：B2、D【解析】根據全稱命題與存在性命題的關系，準確改寫，即可求解.【詳解】根據全稱命題與存在性命題的關系可得：命題“p：，”的否定式為“，”.故選：D.3、A【解析】分別取的中點，易得，則點為四邊形的外接圓的圓心，則四棱錐外接球的球心在過點且垂直平面的直線上，設球心為，設外接球的半徑為，，利用勾股定理求得半徑，從而可得出答案.【詳解】解：分別取的中點，在等邊三角形中，，是中位線，則都是等邊三角形，所以，所以點為四邊形的外接圓的圓心，則四棱錐外接球的球心在過點且垂直平面的直線上，設球心為，由為的中點，所以，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，則，設外接球半徑為，，，則，，所以，解得，所以，所以四棱錐外接球的表面積是.故選：A.第II卷4、B【解析】先求得直線過定點，再根據當點與圓心連線垂直于直線l時，被圓O截得的弦長最短求解.【詳解】因為直線方程，即為，所以直線過定點，因為點在圓的內部，當點與圓心連線垂直于直線l時，被圓O截得的弦長最短，點與圓心（0，0）的距離為，此時，最短弦長為，故選：B5、D【解析】求得，根據的面積列方程，由此求得，進而求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】依題意，雙曲線的一條漸近線為，則，所以，所以，所以.所以雙曲線漸近線方程為.故選：D【點睛】本小題主要考查雙曲線漸近線的有關計算，屬于中檔題.6、D【解析】根據空間線面、面面的平行，垂直關系，結合線面、面面的平行，垂直的判定定理、性質定理解決【詳解】∵α⊥γ，β⊥γ，α與β的位置關系是相交或平行，故A不正確；∵m∥α，m∥β，α與β的位置關系是相交或平行，故B不正確；∵m∥α，n∥α，m與n的位置關系是相交、平行或異面∴故C不正確；∵垂直于同一平面的兩條直線平行，∴D正確；故答案D【點睛】本題考查線面平行關系判定，要注意直線、平面的不確定情況7、D【解析】利用互斥事件、對立事件的定義逐一判斷即可.【詳解】A答案中的兩個事件可以同時發(fā)生，不是互斥事件B答案中的兩個事件可以同時發(fā)生，不是互斥事件C答案中的兩個事件不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，既是互斥事件又是對立事件D答案中的兩個事件不能同時發(fā)生，也可以都不發(fā)生，故是互斥而不對立事件故選：D【點睛】本題考查的是互斥事件和對立事件的概念，較簡單.8、B【解析】利用2f(x)<x＋1構造函數g(x)＝2f(x)－x－1，進而可得g′(x)＝2f′(x)－1>0．得出g(x)的單調性結合g(1)＝0即可解出【詳解】令g(x)＝2f(x)－x－1.因為f′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)單調增函數因為f(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.所以當x<1時，g(x)<0，即2f(x)<x＋1.故選B.【點睛】本題主要考察導數的運算以及構造函數利用其單調性解不等式．屬于中檔題9、B【解析】設公共焦點為，推導出，可得出，進而可求得、的值.【詳解】設公共焦點為，則，則，即，故，即，，故選：B10、C【解析】先令函數，求導判斷函數的單調性，并作出函數的圖像，由函數的單調性判斷，再由對稱性可得.【詳解】由，則，同理，，令，則，當；當，∴在上單調遞減，單調遞增，所以，即可得，又，，由圖的對稱性可知，.故選：C11、B【解析】將點的坐標代入拋物線的方程，求出的值，可求得拋物線的方程，求出的坐標，分析可知點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，利用圓的幾何性質可求得點與原點間的距離的最小值.【詳解】將點的坐標代入拋物線的方程得，可得，故拋物線的方程為，易知點，由中垂線的性質可得，則點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，故點的軌跡方程為，如下圖所示：由圖可知，當點、、三點共線且在線段上時，取最小值，且.故選：B.12、A【解析】設平面的法向量是，，，由可求得法向量.【詳解】在單位正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，設平面的法向量是，，，則，取，得，1，，平面的法向量是，1，.故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據數列的通項公式可得答案.【詳解】因為，所以數列的前5項為.故答案為：14、【解析】根據題意求出，代入中，再利用裂項相消即可求出答案.【詳解】由是等差數列且，可知：，故.，數列的前2021項和為.故答案為：.15、相交【解析】由題意知，兩圓的圓心分別為(－2,0)，(2,1)，故兩圓的圓心距離為，兩圓的半徑之差為1，半徑之和為5，而1<<5，所以兩圓的位置關系為相交16、38【解析】根據數陣的規(guī)律求得正確答案.【詳解】數陣第行有個數，第行有個數，并且數字從開始，每次遞增.前行共有個數，第行從左向右的最后一個數是，所以第行從左向右的第個數為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）16【解析】（1）設拋物線的標準方程為：，再代入求解即可.（2）根據焦點弦公式求解即可.【小問1詳解】由題意知拋物線C的對稱軸是y軸，點在曲線C上，所以拋物線開口向上，設拋物線的標準方程為：，代入點的坐標得：，解得則拋物線的標準方程為：.【小問2詳解】焦點，則直線的方程是，設，，由得，，所以，則，故.18、或3【解析】設出切點，先求和平行且和函數相切的切線，再將切線和聯立，求出的值.【詳解】設公共切線曲線上的切點坐標為，根據題意，得公共切線的斜率，所以，所以與函數的圖像相切的切點坐標為，故可求出公共切線方程為由直線和函數的圖像也相切，得方程，即關于x的方程有兩個相等的實數根，所以，解得或319、(1)(2)見解析.【解析】（1）在中，，求得，由此能求出四棱錐的體積；（2）由平面，證得和，由此利用線面垂直的判定定理，即可證得平面.試題解析：（1）在中，.在中,.則.（2），為的中點，.平面.平面.為中點，為為中點，，則.平面.考點：四棱錐的體積公式；直線與平面垂直的判定與證明.20、（1）；（2）.【解析】（1）對函數求導，根據求出m，并驗證此時函數在x=1處取得極值，進而求得答案；（2）對函數求導，進而求出函數的單調區(qū)間和極大值，然后求出m的范圍.【小問1詳解】因為，所以.因為在處取得極值，所以，所以，此時，時，，單調遞減，時，，單調遞增，即在處取得極小值，故.【小問2詳解】，令，解得.時，，單調遞增，時，，單調遞減，時，，單調遞增.，即的取值范圍是.21、（1）（2）9【解析】（1）根據題意列出關于等比數列首項、公比的方程組即可解決；（2）利用等比數列的前項和的公式，解方程即可解決.【小問1詳解】設各項均為正數的等比數列首項為，公比為則有，解之得則等比數列的通項公式.【小問2詳解】