2024-2025學年滬科版九年級數(shù)學上冊復習：動點的函數(shù)圖象問題（壓軸題）解析版

動點的函數(shù)圖象問題

?思想方法

I/

數(shù)形結(jié)合思想：所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學

問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象

的對應(yīng)關(guān)系；（3所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。

?典例分析

【典例1］如圖，在aABC中，^ACB=90°,AABC=60°,BD=2,CD14B于點D,點E、F、G分別是

邊CD、CA,4。的中點，連接EF、FG,動點M從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向點4方向運動（點

M運動到4B的中點時停止）；過點M作直線MPIIBC與線段4C交于點P,以PM為斜邊作Rt△PMN,點N在4B

上，設(shè)運動的時間為t（s）,Rt^PMN與矩形DEFG重疊部分的面積為S,貝口與t之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致為

（）

本題考查幾何動點問題的函數(shù)圖象，正確分段并分析是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意先分段，分為0WtW0.5,

0.5<t<1,1<t<2三段，分別列出三段的函數(shù)解析式便可解決，本題也可只列出。<t<0.5,1<t<2

兩段，用排除法解決.

【解題過程】

解：分析平移過程,

①從開始出發(fā)至PM與點E重合，由題意可知0WtW0.5,如圖,

過點M作MT于點T,

?4=60。，CD1AB,

：.BC=2BD=4,CD=遮BD=2收BT==t,

???乙4cB=90°,MP||BC,

=乙MPA=90°,

???四邊形CTM尸為矩形，

.-.PM=CT=BC—BT=4—t,

-Z.PMN=^B=60°,PN1AB,

…rPM4-t

；.MN=—

:?DN=MN-MD=MN-BD+BM=^,

???E為CD中點,

??.DE=牛=V3,

；.S=DE,DNT

??.S與力的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù);

②當0.5<t<1,即從PM與E重合至點M與點。重合，如圖,

BMDN

由①可得QN=ED=g,DM=2—2t,DN=|t,S矩形=考

??ZPMN==60°,CDLAB,

:.SD=V3MD=2V3—2V3t,

：.ES—ED—SD—2y[3t—V3?

；?ER=-=2t—1,

?.,S=S矩形EDMQ_SAERS=—|(2V3t—V3)(2t—1)=+寫￡一浮

此函數(shù)圖象是開口向下的二次函數(shù)；

③當l<tW2,即從點M與點。重合至點M到達終點，如圖，

BDMNGA

由①可得DN=|t,MN=?,

■:AD=近CD=6,DG=^AD=3,

3

??.NG=DG-DN=3--t,

??.QF=NG=3-|3

??,PQ專巡-當，

,??收=51=1一3，

.=(HQ+MN)XQN=(l-lf+i^)xV3=_烏+3V3

??.s與t的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)，

綜上，只有選項A的圖象符合，

故選：A.

?學霸必刷

1.(2024?四川廣元?二模)如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=2cm,動點M自點/出發(fā)沿AB方向以

每秒1cm的速度向點B運動，同時動點N自點/出發(fā)沿折線2D—DC—CB以每秒2cm的速度運動，到達點8

時運動同時停止.設(shè)aAMN的面積為y(cm2),運動時間為無(秒)，則下列圖象中能大致反映y與x之間

的函數(shù)關(guān)系的是()

DC

AM―?B

【思路點撥】

本題考查動點問題的函數(shù)圖象問題；根據(jù)自變量不同的取值范圍得到相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解決本題的關(guān)

鍵.根據(jù)題意，分三段(0<x<l,lWx<3,3<%<4)分別求解y與x的解析式，從而求解.

【解題過程】

解：當0<x<l時，M、N分別在線段48、AD±,

此時AM=xcm,AN=2%cm,

1

2

y=S^AMN=-xAMxAN=x,為二次函數(shù)，圖象為開口向上的拋物線;

當1W久<3時，M,N分別在線段48、CD上，

DNC

此時ZM=xcm,△4MN底邊力M上的高為2D=2cm,

1

X4MXXO-X

y—^AAMN2-為一次函數(shù),圖象為直線;

當3Wx<4時，M、N分別在線段48、BC上,

此時AM=xcm,△4MN底邊AM上的高為BN=(8-2%)cm,

y=S/^MN=Jx4MxBN=1r（8—2無）=一萬2+4%,為二次函數(shù)，圖象為開口向下的拋物線；

結(jié)合選項，只有A選項符合題意，

故選：A.

2.（22-23九年級上?安徽合肥?期中）如圖，在△ABC中，NC=135。，AC=BC=242,P為BC邊上一動

點，PQII4B交力C于點Q,連接BQ,設(shè)PB=x,SABPQ=y,則能表示y與％之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是

（）

過點Q作QE1BC交延長線于點E,根據(jù)S^BPQ=y=?BP列出解析式再判斷即可.

【解題過程】

解：如圖，過點Q作QE1BC交BC延長線于點E,

E

「、義

AB

■■■AC=BC=2V2

：.Z-A=Z-ABC

???PQII4B,

：.Z-CQP=乙A,乙CPQ=Z-ABC

"CQP=Z.CPQ

???CQ=CP—2V2—x.

-AACB=135°

:ZECQ=45°

在RtZkCEQ中，Z-ECQ=45°,

QE=*CQ=￥（2&_x）=2_孝居

y=-BP=夫（2---x）--?/+x=—-V2）2+享

.?.當x=魚時,y最大值=￥，

故選：c.

3.（2024?河北石家莊?二模）如圖所示，aaBC和△DEF均為邊長為4的等邊三角形，點力從點。運動到點

E的過程中，48和。尸相交于點G,2C和第相交于點H,（S4BGF+SVCH）為縱坐標門點2移動的距離為橫坐

標x,則y與x關(guān)系的圖象大致為（）

,y.y

C.°\XD.°\X

【思路點撥】

如圖，過G作GK1BC于K,過H作HT1BC于T,證明四邊形4CFD為平行四邊形，可得力D=CF=%,

BF=4-%,求解CT=FT=*TH=、FH2—FT2=爭,同理可得：6"費4—%),再利用面積公式

建立函數(shù)關(guān)系式即可判斷.

【解題過程】

解：如圖，過G作GKLBC于K,過H作HT18C于T,

DAE

???四邊形4CFD為平行四邊形，

：.AD=CF=x,

：.BF=4—%,

???△4BC和△OEF均為邊長為4的等邊三角形，AD\\CFf

.?2。=乙DFB=60°,而48=60°,

.?.△BGF為等邊三角形，

同理：為等邊三角形，

-,-HT1BC,

:.CT=FT=3，TH=VFH2-FT2=與c,

同理可得：GK=^(4—x),

■-y=%爭+1(4-X)-苧(4-x)

=爭2_2V3X+4V3,

故選B

4.（2023?遼寧鐵嶺?模擬預測）如圖，矩形4BCD中，AB=8cm,AD=12cm,AC與BD交于點0,M是BC

的中點.P、Q兩點沿著B-CTD方向分別從點B、點M同時出發(fā)，并都以lcm/s的速度運動，當點Q到達。點

時，兩點同時停止運動.在P、Q兩點運動的過程中，與△OPQ的面積隨時間t變化的圖象最接近的是（）

【思路點撥】

本題考查了動點問題函數(shù)圖象.根據(jù)矩形的性質(zhì)求出點。到的距離等于4,至北。的距離等于6,求出點Q

到達點C的時間為6s,點P到達點C的時間為12s,點Q到達點。的時間為14s,然后分①0WtW6時，點P、

Q都在BC上，表示出PQ,然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可；②6<tW12時，點P在BC上，點Q在

CD上，表示出CP、CQ,然后根據(jù)SAOPQ=SACOP+SACOQ—S"CQ列式整理即可得解；③12<tW14時，表

示出PQ,然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解.

【解題過程】

解：?.?矩形力BCD中，AB=8cm,AD=12cm,4c與BD交于點0,

???點。到BC的距離==4,至此。的距離=^AD=6,

???點M是BC的中點，

???CM=|fiC=6,

點Q到達點C的時間為6+1=6s,

點P到達點C的時間為12+1=12s,

點Q到達點。的時間為(6+8)+1=14s,

①0WtW6時，點P、Q都在BC上，PQ=6,

△OPQ的面積=：x6x4=12；

②6<tW12時，點P在BC上，點Q在CD上，

CP=12-t,CQ=t-6,

SROPQ—SACOP+SRCOQ—

=5X(12—t)x4+-x(t—6)x6——x(12—t)x(t—6),

=1t2-8t+42,

=1(t-8)2+10,

@12<t<14時，PQ=6,

△?！?lt;2的面積=《*6*6=18；

縱觀各選項，只有B選項圖形符合.

故選：B.

5.(2023?江蘇南通?模擬預測)如圖，在矩形2BCD中，4B=4,BC=6,E為4B中點，動點P從點B開始

沿8C方向運動到點C停止，動點Q從點C開始沿CD-ZM方向運動，與點P同時出發(fā)，同時停止；這兩點的運

動速度均為每秒1個單位；若設(shè)他們的運動時間為x(s),△EPQ的面積為y,貝的與久之間的函數(shù)關(guān)系的圖

像大致是()

___________________D

V''''''''

BPC

【思路點撥】

先求出點P在BC上運動是時間為6秒，點。在CD上運動是時間為4秒，再根據(jù)中點的定義可得

AE^BE^^AB,然后分①點0在CD上時，表示出BP、CP、CQ,再根據(jù)△EPQ的面積為y=S裁施CQE

SABPE—S^PCQ，列式整理即可得解；②點。在4。上時,表示出BP、AQ,再根據(jù)△EPQ的面積為、=

S梯形ABPQ—S&BPE-SAAEQ，列式整理即可得解，再根據(jù)函數(shù)解析式確定出函數(shù)圖象即可.

【解題過程】

解：???點P、Q的速度均為每秒1個單位，

???點尸在BC上運動的時間為6+1=6（秒），點0在CD上運動的時間為4+1=4（秒），

■■■E為中點，

.-.AE=BE=，B="4=2,

①如圖1,點0在CD上時，0WxW4,

則BP=x,CP=6—x,CQ=%,

??.△EPQ的面積為y=S梯形BCQE一S2PE一SNCQ，

111

=—(2+%)x6——x2%——(6—%)?%

1

=—9—x+6

111

=2(K-1)2Q+彳

②如圖2,點。在4。上時，4<x<6,

AQD

貝ijBP=x,AQ=6+4—%=10—%,

△EPQ的面積為y=S梯形ABPQ—S^BPE—

iii

=-(%+10—x)x4--x2%--(10—%)-2=10,

函數(shù)圖象為對稱軸為直線1=1的拋物線的一部分加一條線段，只有A選項符合.

故選：A.

6.(2024?河南開封?一模)如圖1,在△ABC中，zB=60°,點。從點5出發(fā)，沿運動，速度為1

cm/s.點P在折線BZC上，且尸。于點D點。運動2s時，點P與點力重合.△尸8。的面積S(cm2)與

運動時間t(s)的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，￡是函數(shù)圖象的最高點.當S(cm2)取最大值時，尸。的長為()

圖1圖2

A.2V3cmB.(1+V3)cmC.(1+2V3)cmD.(2+2V3)cm

【思路點撥】

本題考查動點函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，三角形面積.本題屬二次函數(shù)與幾何綜合題目.

先根據(jù)點。運動2s時，點尸與點/重合.從而求得產(chǎn)〉=7PB2一BD2=2g(cm),再由函數(shù)圖象求得

BC=(2+2V3)X1=(24-2V3)cm,從而求得DC=BC—BD=2+2V3—2=2V3(cm),得出PO=DC,

然后根據(jù)由題圖2點、E的位置可知，點尸在ZC上時，SMBZ)有最大值.所以當2<t<2+2舊時，點尸在/C

邊上，此時8。=tx1=t(cm),PD=DC=(2+2V3—t)cm,根據(jù)三角形面積公式求得=一萬

[t-(l+V3)]2+2+V3,最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【解題過程】

解：由題意知，點。運動2s時，點尸，。的位置如圖1所示.

P⑷

圖1

此時，在Rt^PBD中，BD=2cm,NB=60。，PD1BC,

：.PB=2BD=4(cm),

：.PD=7PB2-BD2=2V3(cm).

由函數(shù)圖象得BC=(2+2V3)x1=(2+2V3)cm,

-'-DC=BC—BD=2+2V3—2=2V3(cm),

.-.PD=DC.

由題圖2點K的位置可知，點尸在AC上時，S^PBD有最大值.

當2WCW2+2機時，點尸在AC邊上，如圖2,

圖2

此時BQ=tX1=t(cm),PD=DC=(2+2V3—t)cm,

:S&pBD=gxBDxPD=gxtx(2+2V3-t)=-|t2+(1+V3)t.

1r-12

?'△PBD=__(1+v3)J+2+V3,

1

又???一5<0,

.?.當t=1+遮時，S?BO的值最大，

此時PD=CD=2+2V3-(1+V3)=(1+V3)cm.

故選：B.

7.(2024?安徽?一模)如圖，在四邊形A8CD中，乙4=60。，CDLAD,^BCD=90°,AB=BC=4,動點

P,Q同時從4點出發(fā)，點Q以每秒2個單位長度沿折線A—B—C向終點C運動；點P以每秒1個單位長度沿線

段4。向終點。運動，當其中一點運動至終點時，另一點隨之停止運動.設(shè)運動時間為x秒，△APQ的面積為y

個平方單位，則y隨x變化的函數(shù)圖象大致為（）

分當0Wx<2時，點Q在上和當2WXS4時，點Q在8c上，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解題過程】

解：過Q作QNLAD于N,當0Wx<2時，點Q在4B上，

■.■/.A=60°,

"AQN=90°-60°=30°,

.-.AN=^AQ=|X2%=%,

■.QN=JAQ2—AN2=V3x,

：.y=^xAPxNQ=^xxxV3x=

當2WxW4時，點Q在8c上，過點B作BM14D于點M,

■:BMLAD,Z.A=60°,

：.Z.ABM=30°,

：.AM=^AB=|x4=2,

：.BM=7AB2-4AP=2V3,

■.■CD1AD,QNLAD,

：.QN||CD,

:/BQN=4BCD=90°,

■■BM1AD,CD1AD,

二.四邊形8MNQ是矩形，

.-.QN=BM=2V3,

y=-QN=^xx2V3=V3x,

綜上所述，當0W"<2時的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分，當2WXW4時，函數(shù)圖象是直線的一

部分，

故選：D.

8.（23-24九年級上?浙江溫州?期末）某興趣小組開展綜合實踐活動：在以△ABC中，NC=90。，CD=近

,D為AC上一點,動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿CrB-a勻速運動，到達點2時

停止，以DP為邊作正方形DPEF,設(shè)點P的運動時間為ts,正方形DPEF的面積為S,當點P由點C運動到點4

時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象，若存在3個時刻q,t2，均?<t2<t3）

對應(yīng)的正方形OPE尸的面積均相等，當功=5切時，則正方形DPEF的面積為（）

【思路點撥】

由題意可得：CD=42,CP=t,當點P在8C上運動時S=產(chǎn)+2,由圖可得，當點P與點B重合時，5=6,

求出t=2,即BC=2,當P在B2上時，由圖可得拋物線過點（2,6）,頂點為（4,2）,求出拋物線解析式為

S=（t—2/+2,從兩個函數(shù)表達式看，兩個函數(shù)a相同，都為1,則從圖象上看以，以關(guān)于％=2對稱，t2，

「3關(guān)于％=4對稱，ti+t2=40,t2+t3=8（2）,結(jié)合t3=5ti③，求出t的值即可得出答案.

【解題過程】

解：由題意可得：CD=五,CP=t,

當點P在BC上運動時，S=DP2=CP2+CD2=t2+2,

由圖可得，當點P與點B重合時，5=6,

?1?t2+2=6,

.?"=2或1=—2（不符合題意，舍去），

.?.BC=2,

當P在84上時，由圖可得拋物線過點（2,6）,頂點為（4,2）,

則拋物線的表達式為S=a（t-4）2+2,

將（2,6）代入得：a（2—4尸+2=6,

?*,CL-],

???拋物線的表達式為:S=（"4）2+2,

從兩個函數(shù)表達式看，兩個函數(shù)a相同，都為1,

若存在3個時刻以，以，2Vt3）對應(yīng)的正方形DPE尸的面積均相等，則從圖象上看“，t2關(guān)于x=2

對稱，13關(guān)于久=4對稱，

ti+t2=4①，4+%=8②,

,-,h=5tl③，

由①③③解得以=1，

二5=/+2=1+2=3,

故選：A.

9.（22-23九年級上?浙江嘉興?期中）如圖，在中，NC=90。，^ABC=60%BC=6,點。為AC

中點，點。為線段力B上的動點，連接OD,設(shè)BD=x,OD2=y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系圖像大致為（）

【思路點撥】

如圖:過。作。E14B,垂足為E,先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得=12/C=6K，再根據(jù)中點的定義求得

OA=|4C=3V3,進而求得4E=7A02+陽=軻得DE=y-x,然后再根據(jù)勾股定理求得函數(shù)解析式,

最后確定函數(shù)圖像即可.

【解題過程】

解：如圖:過。作0E14B,垂足為E

A

.?2=30°

-BC=6

：.AB=2BC=12

'-AC=7AB2-BC2=4122-62=6V3

???點o為zc中點

：.OA=^AC=3V3

vZ.A=30°

：.OE=夕。=竽

'-AE=、AO2+g=J(3圾2+(竽丫=2

■■-DE=\^-x\

?■OD2=OE2+DE2,BPy=(乎)+(y-x)=(%-勇+4

當x=0時，y=(o—?2+今=63

當一當時，”停一？?+￥=￥

當％=12時，y=(12-Y)+,=27

則函數(shù)圖像為

故選C.

10.（2024?廣東深圳?三模）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=8,點D和點E分別是力B和4c

的中點，點M和點N分別從點4和點E出發(fā)，沿著A-C-B方向運動，運動速度都是1個單位/秒，當點N到達

點B時，兩點間時停止運動.設(shè)△DMN的面積為S,運動時間為3則S與t之間的函數(shù)圖象大致為（）

本題主要考查動點問題，依托三角形面積考查二次函數(shù)的圖象和分類討論思想，取BC的中點F,連接DF

根據(jù)題意得到DF和。號分三種情況討論三角形的面積：（1）當0<tW6時，得MN=AE=6,結(jié)合三角

形面積公式求解即可；（2）當6<tW12時，得AM,MC,CN和BN,結(jié)合S=SAABC-SAADM-SABDN-

SMMN；（3）當12<tW14時，點M、N都在BC上，結(jié)合。尸和MN求面積即可.

【解題過程】

解：如圖，取BC的中點尸，連接DF,

?.?點D、E是中點,

：.DE=|BC=4,DF||CB,

???zC=90°,

.??四邊形DECF為矩形，

當0<tW6時，點M在4E上，點N在EC上，MN=AE=6,

???S=*N-D￡,=|x6x4=12；

如圖，當6<tW12時，點M在EC上，點N在BC上，

MC=12-t,CN=t—6,BN=14-t,

S=Sf^BC-SAADM—S^BDN-S&CMN

1111

=-x8x12--x4t--x6(14-t)--(12-t)(t-6)

=5t之—8t+42；

如圖，當12<tW14時，點M、N都在BC上，

綜上判斷選項A的圖象符合題意.

故選：A.

11.（2024?河南南陽?二模）如圖是一種軌道示意圖，其中4、B、C、。分別是菱形的四個頂點，

ZX=60°.現(xiàn)有兩個機器人（看成點）分別從力，C兩點同時出發(fā)，沿著軌道以相同的速度勻速移動，其路線

若移動時間為t,兩個機器人之間距離為d.則d2與t之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表

示大致為()

【思路點撥】

設(shè)菱形的邊長為2,根據(jù)菱形的性質(zhì)求出關(guān)于兩個機器人之間的距離d2的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即

可解答.

【解題過程】

解：①設(shè)4。=2,如圖所示，

???移動時間為3乙4=60°,

.-.CK=1,FT=KB=遍,

：.AE=t,CF=2—t,

??FK=2—t—1=1+t,

??ET=2—t—(1+t)=l+2t,

2

???在RtZkEFT中，EF2=ET2+FT2=(1+2t)2+(V3)=4t2+4t+4；

??,移動時間為3乙4=60°,

.-.BM=t—2,CM=2—(t—2)=4—t,CP=1,PD=LQ=V3,

：.MQ=CM-CQ=(4-t)-1=3-t,

在Rt△LMQ中，ML2=MQ2+LQ2=(3-t)2+(V3)=t2-6t+12,

???函數(shù)圖像為兩個二次函數(shù)圖象；

③當從4出發(fā)的機器人在B點，從C出發(fā)的機器人在D點，此時距離是8D；從4出發(fā)的機器人在4點，從C出

發(fā)的機器人在C點，此時距離是4C；

?.?設(shè)2。=2,42=60°,

:.BD=2,AE=V3,

■■.AC=2AE=2-/3>

：.BD<AC,

???函數(shù)圖象的起點和終點高于中間點；

綜上所述：A項符合題意；

故選A.

12.（2024?山東聊城?二模）如圖，等邊aABC與矩形DEFG在同一直角坐標系中，現(xiàn)將等邊△48C按箭頭

所指的方向水平移動，平移距離為x,點C到達點尸為止，等邊△2BC與矩形DEFG重合部分的面積記為

S,則S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）

【思路點撥】

本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象，等腰三角形的性質(zhì)等知識，如圖，作4Q1BC于點

Q,可知42=遮.分當0<久W1或1<xW2或2<xW3三種情形，分別求出重疊部分的面積，即可得出

圖象.

【解題過程】

解：如圖①，設(shè)AC與DE交于點H,

圖1

???△4BC是等邊三角形，

.-./.ABC=/.ACB=60°,AB=BC=AC=2,

過點4作4Q1BC于點Q,則BQ=CQ=：8C=1,

■-AQ='"2—CQ2=。22—I=V3,

?.?四邊形DEFG是矩形，

:/DEF=90°,DE=AQ=曲,EF=。/-0E=5-2=3,

當0<xW1時，

在Rt△中，/-ACE=60°,EC=x,

:./.CHE=30°,

：.HC=2x,

■.HE=VWC2-EC2=V(2x)2-%2=V3x

;.S='|ECxHE=京xV3x=,

所以，S關(guān)于x的函數(shù)圖象是頂點為原點，開口向上且在?！幢萕1內(nèi)的一段;

當1<xW2時，如圖，

設(shè)AB與DE交于點P,

'-'EC=x,BC=2,

.,.BE=BC—EC=2—x,

同理可得，PE=V3(x—2),

:S=S^ABC—S^PBE=5x2xV3--(2—x)-V3(2—x)=—字(％—2)2+V3,

所以，圖象為2時開口向下的一段拋物線索；

當2<xW3時，如圖，

S=|x2xV3=V3,

此時的函數(shù)圖象是在2<xW3范圍內(nèi)的一條線段，即S=V3（2<x<3）,

故選：C

13.（2024?河南?模擬預測）如圖，在等腰直角三角形4BC中，AABC=90°,BD是4C邊上的中線，將△BCD

沿射線B4方向勻速平移，平移后的三角形記為△BiCi%,設(shè)△8停1。1與△4BD重疊部分的面積為y,平

移距離為％,當點當與點4重合時，△BiCWi停止運動，則下列圖象最符合y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

【思路點撥】

本題考查了二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，涉及等腰直角三角形，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解

題的關(guān)鍵是靈活運用這些性質(zhì)，學會分類討論.過點。作于由△ABC為等腰直角三角形,

/.ABC=90°,可設(shè)4B=BC=2,可得2。=CD=8。=&,DM=AM=BM=1,然后分情況討論：當

0<xWl時，當1<XW2時，分別求出關(guān)于S、x的函數(shù)，再數(shù)形結(jié)合即可求解.

【解題過程】

解：過點。作于M,

???△ABC為等腰直角三角形，AABC=90°,

???AB—BC,

設(shè)4B=BC=2,

???AD=CD=BD=V2,DM=AM=BM=1,

當0<%W1時，設(shè)為。1交4c于點G,BG交BD于N,

???AB^=AB—BBi=2—%,

由平移知BiGIIBO,^ABrG=^LABD,

???4ABiG是等腰直角三角形，

SAAB1G=3*孫="(2-x)2,

又^/\ABD=萬>5乂2*2=1,SABBIN=/2

222

S=ABD—SAAB1G—S^BB,N=1一式2—x)--%=--x+x,

12

當"一巾J號時取得最大值，故排除A、B選項

當1<XW2時，Bi外交4：于點G,B1J交AC于點H,

||BC,

???Z.B^G=/.ACB=45°,

又???4。$1的=45。，

.??△/G”為等腰三角形，

4ABiDi=Z-ABD=45°=Z-A,

a/G為等腰三角形，

B]G=浮AB[='(2—%),

2

S=SAB1GH—去孝(2—%)x孝(2—x)=](2—x),

即當1<XW2時，函數(shù)圖像為開口向上的拋物線，故排除C選項

故選：D.

14.(23-24九年級上?安徽滁州?期末)如圖，菱形4BCD的邊長為3cm,NB=60。，動點P從點B出發(fā)以3cm/

s的速度沿著邊BC—CD—D4運動，到達點2后停止運動；同時動點Q從點B出發(fā)，以lcm/s的速度沿著邊B4

向力點運動，到達點力后停止運動.設(shè)點P的運動時間為久(s),△BPQ的面積為y(cm2),貝!Jy關(guān)于乂的函數(shù)圖

【思路點撥】

根據(jù)題意可知分情況討論，分別列出當點P在BC上時，點P在CD上時，點P在力。上時表達式，再畫圖得到函

數(shù)解析式，即可得到本題答案.

【解題過程】

解：設(shè)點尸的運動時間為x(s),aBPQ的面積為y(cm2),

①當OWxWl時，點P在BC上時，

過點P作PE1B4

A

C

???根據(jù)題知：N8=6O°,PB=3x,BQ=x,

.■.BE=|x,PE=久，

.-.y—^BQ-PE—^x-^-x-^-x2；

2，24

②當1<xW2時，點P在CD上時，

過點P作PH1B4

???根據(jù)題知：NB=60°,BC=3,BQ=x,

③當2<xW3時，點P在4。上時,

過點P作PF184交ZM延長線于尸，

丸

P

C

???根據(jù)題知：48=60。，即乙兄40=60。,

?:BC+CD+AD=3+3+3=9cm,BC+CD+DP=3%,

：-AP=(9—3x)cm,

：.PF=手電,

■?'y=^BQ-PF==竽x-苧?2；

??.結(jié)合三種情況，圖像如下所示：

15.（2023?遼寧盤錦?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形48CD的頂點/在y軸的正半軸上，頂

點、B、C在x軸的正半軸上，D（2,V3）,P（—1,—1）.點M在菱形的邊4。和DC上運動（不與點n,C重

合），過點M作MN||y軸，與菱形的另一邊交于點N,連接PM,PN,設(shè)點M的橫坐標為x,△PMN的面

積為y,則下列圖象能正確反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

【思路點撥】

先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出各點坐標，分M的橫坐標x在。?1,1?2,2?3之間三個階段，用含x的代數(shù)式

表示出△PMN的底和高，進而求出分段函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式判斷圖象即可.

【解題過程】

解：?.?菱形4BCD的頂點/在y軸的正半軸上，頂點3、C在無軸的正半軸上，

:.AB=AD=2,0A=V3,

2

...OB=7AB2—。42=122-(V3)=1,

0C=。8+BC=1+2=3,

???X(0,V3),C(3,0),

設(shè)直線4B的解析式為y=kx+b,將4(0,遮)，代入，得：

ck+b=0

Ib=V3'

解得F，

?1?直線4B的解析式為y=-V3x+V3.

???MN||y軸，

'''N的橫坐標為x,

(1)當初的橫坐標x在0?1之間時，點N在線段AB上，△PMN中MN上的高為1+x,

N(x,—V3x+V3),

MN=V3—(—A/3X+V3)=V3x,

?1'S^PMN=：MN-(1+%)=|>/3x?(1+x)=~x2+~x,

;該段圖象為開口向上的拋物線；

(2)當M的橫坐標x在1?2之間時，點N在線段BC上，4PMN中MN=痘,MN上的高為1+%,

SAPMN=,(1+%)=,(1+%)=字x+日，

該段圖象為直線;

(3)當M的橫坐標尤在2?3之間時，點N在線段BC上，△「"可中MN上的高為1+x,

由。(2,場，C(3,0)可得直線的解析式為y--V3x+3V3,

M(x,—V3x+3A/3),N(x,O),

MN=—V3x+3V3,

S^PMN=?MN-(1+x)V3x+3V3)-(!+%)=—與好+V3x+竽，

??.該段圖象為開口向下的拋物線；

觀察四個選項可知，只有選項A滿足條件，

故選A.

16.(22-23九年級上?安徽蚌埠?期末)如圖，在平面直角坐標系中，點4(2,0),點B(0,2^),點C(—3，回,

點P從點。出發(fā)沿。-4路線以每秒1個單位的速度運動，點Q從點。出發(fā)沿。-CiB路線以每秒遙個單位

的速度運動，當一個點到達終點時另一個點隨之停止運動，設(shè)丫=。(?2,運動時間為t秒，則正確表達y與t

【思路點撥】

先分析各個線段的長，在夫心。48中，可知，OA=2,O5=2V3,AB=4,^BAO=60°,過點C作CA/ly軸于

點M,易得△08C是等邊三角形，OC=BC=OB=2^,點P在。4上運動用時2s,在48上運動用時4s,點

0在。。上運動用時2s,在OC上運動用時2s,則點尸和點0共用時4s,可排除。選項；再算出點尸在

OA上時，y的函數(shù)表達式，結(jié)合選項可得結(jié)論.

【解題過程】

解：如圖，,?,點/(2,0),點2(0,2V3),

：.OA=2,OB=2-/3,

：.AB=4,乙8/0=60°,

過點C作CMly軸于點

plijOM=BM=y[3,CM=3,

：.OC=BC=2W，

.?.△O2C是等邊三角形，乙BOC=60。,

.?.點P在O/上運動用時2s,在上運動用時4s,點0在OC上運動用時2s,在OC上運動用時2s,

即點尸和點。共運動4s后停止；由此可排除D選項.

當點尸在線段0/上運動時，點0在線段OC上運動，過點Q作軸于點M

由點尸，點0的運動可知，OP=t,OQ=yl3t,

■-QN=|0Q=*,ON=|t,

：.PN=

.-.y=PQ2=（|t）2+（^0=7/.

即當0V/V2時，函數(shù)圖象為拋物線，

結(jié)合選項可排除A,C.

故選：B.

17.（2022?遼寧?中考真題）如圖，在等邊三角形/3C中，BC=4,在RfADEF中,乙EDF=90°,zF=

30°,DE=4,點、B,C,D,E在一條直線上，點C,。重合，AABC沿射線DE方向運動，當點2與點￡

重合時停止運動.設(shè)aNBC運動的路程為X,A48C與7?/△￡＞瓦'重疊部分的面積為S,則能反映S與x之間

函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

【思路點撥】

分三種情形：①當0＜爛2時，重疊部分為△CDG,②當2＜xf4時，重疊部分為四邊形NGZJC,③當4V

爛8時，重疊部分為△2EG,分別計算即可.

【解題過程】

解：過點/作/M18C,交BC于點、M,

F

BMC(D)E

在等邊A42C中，乙4cB=60。，

在用△￡＞斯中，"=30°,

:/FED=60°,

/-ACB—乙FED,

：.AC\\EF,

在等邊A42C中，AMLBC,

:.BM=CM=，C=2,AM=6BM=2小

：.S^ABC^BC-AM^4V3,

①當。〈爛2時，設(shè)/C與。尸交于點G,此時A43C與RtADEF重疊部分為△CDG,

F

BDCE

由題意可得C7)=x,DG=y/3x

■■■S=lcD-DG=^x2；

②當2c后4時，設(shè)A8與。尸交于點G,此時ZU2C與放△￡>￡/重疊部分為四邊形/GOC,

F

h

BDCE

由題意可得：CD=x,則&)=4-x,DG=W(4-x),

■■^S^ABC-SABDG=4Y/3-(4-x)Y(4-x),

■■.S=-yx2+4V3x-4V3=-空(x-4)2+4A/3,

③當4c爛8時，設(shè)與斯交于點G,過點G作GM12C,交BC于點、M,

此時A48C與Rt/^DEF重疊部分為△BEG,

由題意可得CD=x,則CE=x-4,DB=x-4,

??.BE=x-(x-4)-(x-4)=8-x,

??.BM=4-

在QA8GM中，GM=y/3(4-1x),

■.S=IBE-GM=1(8-X)XV3(4-$),

：.S="(x-8)2,

4

綜上，選項A的圖像符合題意，

故選：A.

18.(2023?山東聊城?三模)如圖(1)所示，￡為矩形48C。的邊4。上一點，動點尸，。同時從點3出發(fā),

點P沿折線BE-ED-DC運動到點C時停止，點。沿2c運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/秒,

設(shè)尸，0同時出發(fā)/秒時，的面積為ycm2.已知y與/的函數(shù)關(guān)系圖像如圖(2)(曲線。M為拋物線

的一部分)，則下列結(jié)論不正確的是()

圖⑴圖⑵

A.AB-.AD=4:5B.當t=2.5秒時，PQ=居

C.當"學時，=fD.當△BPQ的面積為4cm2時，/的值是VI同噂秒

【思路點撥】

先由圖2中的函數(shù)圖像得到當t=5時，點Q到達點C,即8C=5cm,然后由5<t<7時，y=10可知△BPQ

的面積是定值lOcm?、BE=5cm,ED=2cm,當t=7時點P到達點D,AE=3cm,AB=y/BE2—AE2=4cm,可

以判定“；當0<tW5時，根據(jù)

y=±2得到y(tǒng)=2.5cm2,過點P作PH1BC于點、H,根據(jù)y=^BQ-PH=|x2.5cmxPH=2.5cm2求得PH=2,

設(shè)QH=xcm,根勾股定理計算QH=1cm,可計算PQ=遮；根據(jù)力B=CD=4cm,得到再運動4秒到達C

點即

H(ll,0),N(7,10),確定直線HN的解析式，分別計算可得到機或半秒；

當”號〉髭=7時,故點Q在。。上,把1=今弋入直線HN的解析式計算器=1

【解題過程】

解:設(shè)拋物線的解析式為、=前2,

當t=5時，y—10,

?，-10=25a,

解得a=I，

■■■y=|t2,

由圖2中的函數(shù)圖像得當t=5時，點。到達點C,即BC=BE=5cm,

時，y=10,

△BPQ的面積是定值10cm2且BE=5cm,ED=2cm,

當t=7時點尸到達點

：.AE=5—2=3cm,AB=VBE2—AE2=4cm,AD=BC=5cm,

.'.AB'.AD=4:5,

故A正確，不符合題意；

當0<tW5時，

vy=|t2,t=2,5,

；,BP=BQ=2.5cm,y=2.5cm2,

圖⑴

過點尸作于點”，

.,.y=^BQ'PH=gx2.5cmxPH=2.5cm2

解得PH=2,

設(shè)Q”=xcm,則8”=BQ—QH=(2.5—%)cm,

.-.2.52=22+(2.5-%)2,

解得％=lfx=4(舍去)，

:.QH=1cm,

:.PQ—712+22=岳,

故B正確，不符合題意；

根據(jù)/區(qū)=CD=4cm,

???再運動4秒到達。點即H(1LO)，N(7,1O),

設(shè)直線"N的解析式為y=kt+b,

根據(jù)題意，得僅解得「［If，

???直線HN的解析式為y=-|t+y,

???△BPQ的面積為4cm2,

故4=|t2^4=-|t+y

解得t=VIM=-（舍去）或t=?

故D正確，不符合題意；

e=7時,故點Q在DC上,

44-

當"那，y=—|x弓+苧=泉

175

解得PQ=?

BQ54

：'~PQ=T=3*

故c錯誤，符合題意.

故選：C.

19.（2023?遼寧?中考真題）如圖，4MAN=60°,在射線AM,AN上分別截取4C=48=6,連接BC,乙MAN

的平分線交BC于點。，點E為線段4B上的動點，作EF1AM交力M于點尸，作EGII4M交射線力。于點G,過

點G作GH1AM于點X,點E沿方向運動，當點E與點3重合時停止運動.設(shè)點E運動的路程為x,四

邊形EFHG與△4BC重疊部分