2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（21題）解析版

專題15二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（21題）

一、單選題

1.（2024?天津?中考真題）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度。（單位：m）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間/（單

位：s）之間的關(guān)系式是/z=3O/5/（OWt＜6）.有下列結(jié)論：

①小球從拋出到落地需要6s；

②小球運(yùn)動(dòng)中的高度可以是30m；

③小球運(yùn)動(dòng)2s時(shí)的高度小于運(yùn)動(dòng)5s時(shí)的高度.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，令?=（）解方程即可判斷①；配方成頂點(diǎn)式即可判斷②；把f=2

和f=5代入計(jì)算即可判斷③.

【詳解】解：令?=（）,則30r—5〃=0,解得：tf=0,r2=6,

??.小球從拋出到落地需要6s,故①正確；

?=3（k-5/=-5（x-3）2+45,

最大高度為45m,

小球運(yùn)動(dòng)中的高度可以是30m,故②正確；

當(dāng)7=2時(shí)，?=30x2-5x22=40；當(dāng)7=5時(shí)，?=30x5—5x52=25;

...小球運(yùn)動(dòng)2s時(shí)的高度大于運(yùn)動(dòng)5s時(shí)的高度，故③錯(cuò)誤；

故選C.

2.（2024.黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，在等腰RCABC中，4c=90。，AB=12,動(dòng)點(diǎn)￡,廠同時(shí)

從點(diǎn)A出發(fā)，分別沿射線和射線AC的方向勻速運(yùn)動(dòng)，且速度大小相同，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸也

隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接斯，以所為邊向下做正方形EFG”，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程為彳（。＜》＜12）,正方形

EFG”和等腰重合部分的面積為下列圖像能反映y與龍之間函數(shù)關(guān)系的是（）

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【答案】A

【分析】本題考查動(dòng)態(tài)問題與函數(shù)圖象，能夠明確y與尤分別表示的意義，并找到幾何圖形與函數(shù)圖象之

間的關(guān)系，以及對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意并結(jié)合選項(xiàng)分析當(dāng)龍與重合時(shí)，及當(dāng)x44時(shí)圖象的

走勢，和當(dāng)x>4時(shí)圖象的走勢即可得到答案.

【詳解】解:當(dāng)龐與重合時(shí)，設(shè)AE=x,由題可得：

:.EF=EH=6X，BE=12-X,

在RtAEHB中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH2>

??JC—4f

???當(dāng)0<xW4時(shí)，y==2x2,

V2>0,

???圖象為開口向上的拋物線的一部分,

當(dāng)用在下方時(shí)，設(shè)AE=%，由題可得:

:.EF=叵x，BE=12-x,

?：ZAEF=NB=45。,ZA=ZEOB=9Q0,

C.NFAE^NEOB,

.AEEO

…而一商

?__x____E__O_

y/2x12-x

.?.EO=B,

.?.當(dāng)4Vx<12時(shí),y=(近N2g=(42)x=-x2+x,

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-l<0,

.??圖象為開口向下的拋物線的一部分，

綜上所述：A正確，

故選：A.

3.（2024.山東煙臺(tái).中考真題）如圖，水平放置的矩形中，AB=6cm,BC=8cm,菱形EFG〃的

頂點(diǎn)E,G在同一水平線上，點(diǎn)G與的中點(diǎn)重合，EF=2^cm,ZE=60°,現(xiàn)將菱形EFGH以lcm/s

的速度沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到8上時(shí)停止，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，菱形EFGH與矩形ABCD重

疊部分的面積S（cn?）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間［s）之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（）

【答案】D

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,菱形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象的性質(zhì),

先求得菱形的面積為6百，進(jìn)而分三種情形討論，重合部分為三角形，重合部分為五邊形，重合部分為菱

形，分別求得面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，設(shè)EG,HF交于點(diǎn)

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:菱形EFGH,ZE=60°,

：.HG=GF

又：NE=60。，

是等邊三角形，

VEF=2V3cm,ZHEF=60°,

：.ZOEF=30°

EG=2EO=2xEFcos30°=也EF=6

形=gx6x2百=6有

當(dāng)?！淳?lt;3時(shí)，重合部分為MNG,

如圖所示,

依題意，,腦VG為等邊二角形,

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為乙則NG=^^=2叵r,

cos3003

5=-x^Gx^Gxsin60°=—f—=—r2

243J3

當(dāng)3<x?6時(shí)，如圖所示,

=6—g（6T）2=_g產(chǎn)+4后_]2用6

,/EG=6<BC

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?,?當(dāng)6<x?8時(shí)，S=6A/3

當(dāng)8<xWU時(shí)，同理可得，S=6-弓（f一8）2

綜上所述，當(dāng)0<xV3時(shí)，函數(shù)圖象為開口向上的一段拋物線，當(dāng)3<xW6時(shí)，函數(shù)圖象為開口向下的一

段拋物線，當(dāng)6<xV8時(shí)，函數(shù)圖象為一條線段，當(dāng)8<xVU時(shí)，函數(shù)圖象為開口向下的一段拋物線，當(dāng)

11〈尤W14時(shí)，函數(shù)圖象為開口向上的一段拋物線;

故選：D.

二、填空題

,7

4.（2024.廣西.中考真題）如圖，壯壯同學(xué)投擲實(shí)心球，出手（點(diǎn)P處）的高度OP是—m,出手后實(shí)心球

4

沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是5m,高度是4m.若實(shí)心球落地點(diǎn)為則m.

35

【答案】y

【分析】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)拋物線為y=a（x-5y+4,把點(diǎn)代入即可求出解

析式；當(dāng)y=0時(shí)，求得x的值，即為實(shí)心球被推出的水平距離。

【詳解】解：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線0M方向?yàn)閤軸正半軸，射線。尸方向?yàn)閥軸正半軸，建立平面直

角坐標(biāo)系，

???出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是5m,高度是4m.

設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-5）2+4,

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把點(diǎn)1。，：］代入得：25a+4=:,

9

解得：。=一2，

100

拋物線解析式為：>=-孟（彳-5）2+4；

O9

當(dāng)y=o時(shí)，一礪（無一5）一+4=0,

535

解得，^=-|（舍去），X2=y,

即此次實(shí)心球被推出的水平距離ON為三35m.

35

故答案為：Y

5.（2024.甘肅.中考真題）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2

是棚頂?shù)呢Q直高度y（單位：m）與距離停車棚支柱AO的水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系

>=-0.02/+0.3彳+1.6的圖象，點(diǎn)3（6,2.68）在圖象上.若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作

長CD=4m,高DE=1.8m的矩形，則可判定貨車完全停到車棚內(nèi)（填“能”或“不能”）.

圖1圖2

【答案】能

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意求出當(dāng)尤=2時(shí)，y的值，若此時(shí)y的值大于1.8,

則貨車能完全停到車棚內(nèi)，反之，不能，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：VCD=4m,5（6,2.68）,

6-4=2,

在>=-0.02/+0.3》+1.6中，當(dāng)x=2時(shí)，j=-0.02x22+0.3x2+1.6=2.12,

,/2.12>1.8,

；?可判定貨車能完全停到車棚內(nèi)，

故答案為：能.

6.（2024.四川自貢.中考真題）九（1）班勞動(dòng)實(shí)踐基地內(nèi)有一塊面積足夠大的平整空地.地上兩段圍墻

于點(diǎn)。（如圖），其中上的EO段圍墻空缺.同學(xué)們測得AE=6.6m,OE=L4m,OB=6m,

OC=5m,0D=3m.班長買來可切斷的圍欄16m,準(zhǔn)備利用已有圍墻，圍出一塊封閉的矩形菜地，則該

菜地最大面積是cm2.

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B

【答案】46.4

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用.要利用圍墻和圍欄圍成一個(gè)面積最大的封閉的矩形菜地，那就必須

盡量使用原來的圍墻，觀察圖形，利用A0和0C才能使該矩形菜地面積最大，分情況，利用矩形的面積

公式列出二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：要使該矩形菜地面積最大，則要利用A0和0C構(gòu)成矩形，

設(shè)矩形在射線上的一段長為am,矩形菜地面積為S,

當(dāng)xW8時(shí)，如圖，

16-X-L4+519.6-x

則在射線0c上的長為

2―_2-

IOr11。

貝ljS=x?—=--%2+9.8%=--(.X-9.8/+48.02,

--<0,

2

.?.當(dāng)X49.8時(shí)，S隨x的增大而增大,

,當(dāng)尤=8時(shí)，S的最大值為46.4；

當(dāng)x>8時(shí)，如圖，

則矩形菜園的總長為(16+6.6+5)=27.6m,

則在射線CC上的長為27、2x

2

貝l|S=x.(13.8-x)=-X2+13.8X=-(x-6.9)2+47.61,

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V-l<0,

當(dāng)尤<6.9時(shí)，S隨X的增大而減少，

...當(dāng)x>8時(shí)，S的值均小于46.4；

綜上，矩形菜地的最大面積是46.4cm?;

故答案為：46.4.

三、解答題

7.（2024?陜西?中考真題）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索右與纜索4均呈拋物線型，

橋塔與橋塔2C均垂直于橋面，如圖所示，以。為原點(diǎn)，以直線F尸為x軸，以橋塔AO所在直線為y

軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

已知：纜索人所在拋物線與纜索4所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，橋塔AO與橋塔之間的距離OC=100m,

AO=BC=llm,纜索乙的最低點(diǎn)尸到FF的距離PD=2m（橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì)）

（1）求纜索右所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵點(diǎn)E在纜索右上，EFYFF',S.EF=2.6m,FO<OD,求尸。的長.

【答案】（l）y=旃（x-5oy+2；

（2）尸。的長為40m.

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)題意求得函數(shù)解析式是解題的

關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意設(shè)纜索右所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=“（x-50）2+2,把（0,17）代入求解即可；

（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到纜索4所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=&（x+50y+2,由EF=2.6m,把

、=2.6代入求得再=-40,X2=-60,據(jù)此求解即可.

【詳解】（1）解：由題意得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（50,2）,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,17）,

設(shè)纜索右所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-50）2+2,

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把（0,17）代入得17=.（0-50）2+2,

3

解得〃=旃

3°

???纜索乙所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=旃(％-50)2+2.

(2)解：???纜索右所在拋物線與纜索4所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱,

???纜索4所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=品(％+50)+2,

EF=2.6,

3

???把y=2.6代入得，2.6=—（x+50）9+2,

解得玉=-40,x2=-60,

FO=40m或FO=60m,

FO<OD,

：.BO的長為40m.

8.(2024?湖北?中考真題)學(xué)校要建一個(gè)矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成.已知墻長42m,

籬笆長80m.設(shè)垂直于墻的邊AB長為x米，平行于墻的邊BC為丁米，圍成的矩形面積為Sen?.

AD

----------------------T

⑴求y與羽s與無的關(guān)系式.

(2)圍成的矩形花圃面積能否為750cm2,若能，求出尤的值.

(3)圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值，并求出此時(shí)無的值.

【答案】⑴；V=80-2x(194x<40)；5=—2%2+80x

(2)能,x=25

(3)$的最大值為800,此時(shí)x=20

【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用和二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：

(1)根據(jù)AB+3C+CD=80可求出丫與x之間的關(guān)系，根據(jù)墻的長度可確定x的范圍；根據(jù)面積公式可確

立二次函數(shù)關(guān)系式；

(2)令s=750,得一元二次方程，判斷此方程有解，再解方程即可；

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(3)根據(jù)自變量的取值范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的最大值即可.

【詳解】(1)解：：籬笆長80m,

?*.AB+BC+CD=80,

*.*AB=CD=x,BC=y,

%+y+x=80,

y=80-2x

,?,墻長42m,

/.0<80-2x<42,

解得，19<x<40,

y=80—2x(19<x<40)；

又矩形面積s=AB

=yx

=(80—2x)x

=—2x2+80x;

(2)解：令s=750,貝I—2%2+80X=750,

整理得：X2_4OX+375=O,

止匕時(shí)，A=Z?2-4ac=(-40)2-4x375=1600-1500=100>0,

所以，一元二次方程尤2-40x+375=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

；?圍成的矩形花圃面積能為750cm2；

.-(-40)±7100

??x=-------2---------，

?(X]—25,%?=15,

V19<x<40,

/.x=25；

(3)解：5=-2%2+80X=-2(X-20)2+800

V-2<0,

有最大值，

又19Wx<40,

.?.當(dāng)x=20時(shí)，s取得最大值，此時(shí)s=800,

即當(dāng)x=20時(shí)，5的最大值為800

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2

9.(2024.河南?中考真題)從地面豎直向上發(fā)射的物體離地面的高度〃(m)滿足關(guān)系式/i=-5r+vot,其中心)

是物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，%(m/s)是物體被發(fā)射時(shí)的速度.社團(tuán)活動(dòng)時(shí)，科學(xué)小組在實(shí)驗(yàn)樓前從地面豎直向上

發(fā)射小球.

(1)小球被發(fā)射后s時(shí)離地面的高度最大(用含％的式子表示).

(2)若小球離地面的最大高度為20m,求小球被發(fā)射時(shí)的速度.

(3)按(2)中的速度發(fā)射小球，小球離地面的高度有兩次與實(shí)驗(yàn)樓的高度相同.小明說：“這兩次間隔的時(shí)

間為3s.”已知實(shí)驗(yàn)樓高15m,請(qǐng)判斷他的說法是否正確，并說明理由.

【答案】⑴*

(2)20(m/s)

(3)小明的說法不正確，理由見解析

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：

(1)把函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

(2)把「=*，/，=20代入〃=-5/+求解即可；

(3)由(2),得人=-5r+20/,把％=15代入，求出f的值，即可作出判斷.

2

【詳解】⑴解:h=-5t+vQt

當(dāng)仁小時(shí)，力最大，

故答案為：

(2)解：根據(jù)題意，得

當(dāng)今時(shí)，〃=2。，

?*.-5xf—+vx—=20.

UOj°10

%=20(m/s)(負(fù)值舍去);

(3)解：小明的說法不正確.

理由如下：

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由(2),得〃=-5/+20t,

當(dāng)/z=15時(shí)，15=-5/+20r,

解方程，得6=1,灰=3,

兩次間隔的時(shí)間為3-1=2s,

.?.小明的說法不正確.

10.(2024?湖北武漢?中考真題)16世紀(jì)中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級(jí)火箭的始祖.火

箭第一級(jí)運(yùn)行路徑形如拋物線，當(dāng)火箭運(yùn)行一定水平距離時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭第二級(jí)，火箭第二級(jí)沿直線運(yùn)

行.某科技小組運(yùn)用信息技術(shù)模擬火箭運(yùn)行過程.如圖，以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，地平線為x軸，垂直于地面的

直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得到拋物線丁=以2+》和直線>=一;x+氏其中，當(dāng)火箭運(yùn)行的

水平距離為9km時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭的第二級(jí).

圖1圖2

(1)若火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為3.6km.

①直接寫出。，》的值；

②火箭在運(yùn)行過程中，有兩個(gè)位置的高度比火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)低L35km,求這兩個(gè)位置之間的距離.

(2)直接寫出。滿足什么條件時(shí)，火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過15km.

【答案】⑴①。=-&,6=8.1；②8.4km

2

(2)<〃<0

【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)①將(9,3.6)代入即可求解；②將,=一3/+*變?yōu)閥=即可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出

y=2.4km,進(jìn)而求得當(dāng)y=2.4km時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的值，然后進(jìn)行比較再計(jì)算即可；

2

(2)若火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離為15km,求得。=-不，即可求解.

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【詳解】（1）解：①：火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為3.6km

，拋物線y=/+x和直線y=_Lx+b均經(jīng)過點(diǎn)（9,3.6）

，3.6=81a+9,3.6=--x9+b

2

解得。=-百，6=8.1.

②由①知，y———x+8.1,y=一記

.11（15?15

??y=--x2+%=-----x----H----

1515^2）4

，最大值y==km

當(dāng)y=/1.35=2.4km時(shí)，

貝!]---X2+x=2.4

15

解得看=12,X2=3

又：彳二鄉(xiāng)時(shí)，y=3.6>2.4

.?.當(dāng)y=2.4km時(shí)，

貝I]-L+8.1=2.4

2

解得x=11.4

11.4-3=8.4(km)

這兩個(gè)位置之間的距離8.4km.

(2)解：當(dāng)水平距離超過15km時(shí)，

火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)為(9,81a+9),

將(9,8L+9),(15,0)代入y=,得

Sla+9=——x9+b,0=--xl5+Z?

22

2

解得8=7.5,a=---

27

2

??-----<Q<0.

27

11.(2024?四川內(nèi)江?中考真題)端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場上豬肉粽的進(jìn)價(jià)比豆沙粽的進(jìn)

價(jià)每盒多20元，某商家用5000元購進(jìn)的豬肉粽盒數(shù)與3000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同.在銷售中，該商

家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價(jià)52元時(shí)，可售出180盒；每盒售價(jià)提高1元時(shí)，少售出10盒.

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(1)求這兩種粽子的進(jìn)價(jià)；

⑵設(shè)豬肉粽每盒售價(jià)X元(52VXW70),y表示該商家銷售豬肉粽的利潤(單位：元)，求y關(guān)于X的函數(shù)

表達(dá)式并求出y的最大值.

【答案】(1)豬肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元

(2)y=-1Ox2+1200.x-35000-10(%-60)2+1000,當(dāng)x=60時(shí)，,取得最大值為1000元

【分析】本題考查列分式方程解應(yīng)用題和二次函數(shù)求最值，解決本題的關(guān)鍵是正確尋找本題的等量關(guān)系及

二次函數(shù)配方求最值問題.

(1)設(shè)豆沙粽每盒的進(jìn)價(jià)為“元，則豬肉粽每盒的進(jìn)價(jià)為(〃+20)元.根據(jù)“用5000元購進(jìn)的豬肉粽盒數(shù)

與3000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同”即可列出方程，求解并檢驗(yàn)即可；

(2)根據(jù)題意可列出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答.

【詳解】(1)解：設(shè)豆沙粽每盒的進(jìn)價(jià)為w元，則豬肉粽每盒的進(jìn)價(jià)為(〃+20)元

解得：幾=30

經(jīng)檢驗(yàn)：〃=30是原方程的解且符合題意

?"+20=50

答：豬肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元.

(2)解：設(shè)豬肉粽每盒售價(jià)x元(52<xW70),V表示該商家銷售豬肉粽的利潤(單位：元)，則

y=(x-50)[180-10(^-52)]=-10.r2+1200%-35000=-10(x-60)2+1000

V52<x<70,-10<0,

...當(dāng)x=60時(shí)，y取得最大值為1000元.

12.(2024?貴州?中考真題)某超市購入一批進(jìn)價(jià)為10元/盒的糖果進(jìn)行銷售，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)

不低于進(jìn)價(jià)時(shí)，日銷售量y(盒)與銷售單價(jià)無(元)是一次函數(shù)關(guān)系，下表是y與尤的幾組對(duì)應(yīng)值.

銷售單價(jià)力元1214161820

銷售量y/盒5652484440

(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式；

⑵糖果銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？

(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈(zèng)送一件價(jià)值為楊元的禮品，贈(zèng)送禮品后，為確保該種糖果日

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銷售獲得的最大利潤為392元，求機(jī)的值.

【答案】⑴、=-2尤+8。

(2)糖果銷售單價(jià)定為25元時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元

(3)2

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：

(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)設(shè)日銷售利潤為w元，根據(jù)利潤=單件利潤x銷售量求出w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)

的性質(zhì)求解即可；

(3)設(shè)日銷售利潤為w元，根據(jù)利潤=單件利潤x銷售量wx銷售量求出卬關(guān)于％的函數(shù)表達(dá)式，然后利用

二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為，=辰+"

12%+6=56

把x=12,y=56；x=20,y=40代入,

20Z+Z>=40

y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+80；

(2)解：設(shè)日銷售利潤為w元，

根據(jù)題意，得w=(x—10)-y

=(%-10)(-2x+80)

=—2x?+100x—800

=-2(X-25)2+450,

...當(dāng)x=25時(shí)，卬有最大值為450,

/.糖果銷售單價(jià)定為25元時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元;

(3)解：設(shè)日銷售利潤為卬元，

根據(jù)題意，得w=(x-10r辦y

=(%-10-m)(-2x+80)

=-2x2+(100+2〃?)x-800-80/w,

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100+2m50+m(5n_|_Y(50+mA

；?當(dāng)尤=-2x(_2)=F~時(shí)'w有最大值為-2[竺廣n))+(100+2〃。竺丁卜800-80機(jī)，

???糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，

二.一2[^^]+(100+2m)-800-80m=392,

化簡得nr—60m+116=0

解得叫=2,mz=58

b

當(dāng)相=58時(shí)，x=——=54,

2a

則每盒的利潤為：54—10—58<0,舍去，

的值為2.

13.(2024?廣東?中考真題)廣東省全力實(shí)施“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)出口總額居

全國首位，其中荔枝鮮果遠(yuǎn)銷歐美.某果商以每噸2萬元的價(jià)格收購早熟荔枝，銷往國外.若按每噸5萬

元出售，平均每天可售出100噸.市場調(diào)查反映：如果每噸降價(jià)1萬元，每天銷售量相應(yīng)增加50噸.該

果商如何定價(jià)才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值.(題中“元”為人民幣)

【答案】當(dāng)定價(jià)為4.5萬元每噸時(shí)，利潤最大，最大值為312.5萬元

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)每噸降價(jià)x萬元，每天的利潤為w萬元，根據(jù)利潤=每

噸的利潤x銷售量列出w關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：設(shè)每噸降價(jià)尤萬元，每天的利潤為w萬元，

由題意得，w=(5-%-2)(100+50%)

=—50x~+50x+300

=一501一￡|+312.5,

V-50<0,

...當(dāng)x時(shí)，w有最大值，最大值為312.5,

2

??5—x—4.5,

答：當(dāng)定價(jià)為4.5萬元每噸時(shí)，利潤最大，最大值為312.5萬元.

14.(2024?四川遂寧?中考真題)某酒店有A、2兩種客房、其中A種24間，B種20間.若全部入住，一天

營業(yè)額為7200元；若43兩種客房均有10間入住，一天營業(yè)額為3200元.

(1)求A3兩種客房每間定價(jià)分別是多少元？

(2)酒店對(duì)A種客房調(diào)研發(fā)現(xiàn)：如果客房不調(diào)價(jià)，房間可全部住滿；如果每個(gè)房間定價(jià)每增加10元，就會(huì)有

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一個(gè)房間空閑；當(dāng)A種客房每間定價(jià)為多少元時(shí)，A種客房一天的營業(yè)額W最大，最大營業(yè)額為多少元?

【答案】（DA種客房每間定價(jià)為200元，8種客房每間定價(jià)為為120元；

（2）當(dāng)A種客房每間定價(jià)為220元時(shí)，A種客房一天的營業(yè)額W最大，最大營業(yè)額為4840元.

【分析】（1）設(shè)A種客房每間定價(jià)為龍?jiān)?，B種客房每間定價(jià)為為y元，根據(jù)題意，列出方程組即可求解；

（2）設(shè)A種客房每間定價(jià)為。元，根據(jù)題意，列出W與。的二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可

求解；

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意，正確列出二元一次方程組和二次函數(shù)解

析式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：設(shè)A種客房每間定價(jià)為x元，8種客房每間定價(jià)為為>元，

24尤+20y=7200

由題意可得,

10元+10y=3200

x=200

解得

y=i20

答：A種客房每間定價(jià)為200元，3種客房每間定價(jià)為為120元;

（2）解：設(shè)A種客房每間定價(jià)為。元,

22

則W=124一*00)a=-_La+44a=-^(a-220)+4840,

--<0,

10

...當(dāng)。=220時(shí)，W取最大值，%大值=4840元,

答：當(dāng)A種客房每間定價(jià)為220元時(shí)，A種客房一天的營業(yè)額W最大，最大營業(yè)額為4840元.

15.（2024?四川南充?中考真題）2024年“五一”假期期間，闌中古城景區(qū)某特產(chǎn)店銷售42兩類特產(chǎn).A

類特產(chǎn)進(jìn)價(jià)50元/件，8類特產(chǎn)進(jìn)價(jià)60元/件.已知購買1件A類特產(chǎn)和1件8類特產(chǎn)需132元，購買3

件A類特產(chǎn)和5件B類特產(chǎn)需540元.

（1）求A類特產(chǎn)和B類特產(chǎn)每件的售價(jià)各是多少元？

（2）4類特產(chǎn)供貨充足，按原價(jià)銷售每天可售出60件.市場調(diào)查反映，若每降價(jià)1元，每天可多售出10件

（每件售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)）.設(shè)每件A類特產(chǎn)降價(jià)x元，每天的銷售量為y件，求y與尤的函數(shù)關(guān)系式，并寫

出自變量x的取值范圍.

（3）在（2）的條件下，由于B類特產(chǎn)供貨緊張，每天只能購進(jìn)100件且能按原價(jià)售完.設(shè)該店每天銷售這

兩類特產(chǎn)的總利潤為卬元，求卬與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件A類特產(chǎn)降價(jià)多少元時(shí)總利潤卬最大，最

大利潤是多少元？（利潤=售價(jià)一進(jìn)價(jià)）

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【答案】(1)A類特產(chǎn)的售價(jià)為60元/件，B類特產(chǎn)的售價(jià)為72元/件

⑵y=10尤+60(0W10)

(3)4類特產(chǎn)每件售價(jià)降價(jià)2元時(shí)，每天銷售利潤最犬，最大利潤為1840元

【分析】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用、函數(shù)關(guān)系式和二次函數(shù)的性質(zhì)，

(1)根據(jù)題意設(shè)每件A類特產(chǎn)的售價(jià)為x元，則每件8類特產(chǎn)的售價(jià)為(132-x)元，進(jìn)一步得到關(guān)于尤的一

元一次方程求解即可；

(2)根據(jù)降價(jià)1元，每天可多售出10件列出函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合進(jìn)價(jià)與售價(jià)，且每件售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)得到x

得取值范圍；

(3)結(jié)合(2)中A類特產(chǎn)降價(jià)x元與每天的銷售量y件，得到A類特產(chǎn)的利潤，同時(shí)求得8類特產(chǎn)的利潤，

整理得到關(guān)于尤的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)每件A類特產(chǎn)的售價(jià)為x元，則每件2類特產(chǎn)的售價(jià)為(132-x)元.

根據(jù)題意得3X+5(132-X)=540.

解得x=60.

則每件B類特產(chǎn)的售價(jià)132-60=72(元).

答：4類特產(chǎn)的售價(jià)為60元/件，8類特產(chǎn)的售價(jià)為72元/件.

(2)由題意得>=10尤+60

：A類特產(chǎn)進(jìn)價(jià)50元/件，售價(jià)為60元/件，且每件售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)

答：y=10x+60(0<x<10).

(3)卬=(60-50-x)(l0尤+60)+100x(72-60)

=-1Ox2+40.x+1800=-10(x-2)2+1840.

Q-10<0,

.?.當(dāng)x=2時(shí)，w有最大值1840.

答:A類特產(chǎn)每件售價(jià)降價(jià)2元時(shí)，每天銷售利潤最大，最大利潤為1840元.

16.(2024?江蘇鹽城?中考真題)請(qǐng)根據(jù)以下素材，完成探究任務(wù).

制定加工方案

生產(chǎn)背背景?某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風(fēng)”“雅”“正”三種樣式.

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景1?因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風(fēng)”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”

服裝1件.

?要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等.

每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為：

①“風(fēng)”服裝:24元/件;

背景

②“正”服裝：48元/件;

2

③“雅”服裝：當(dāng)每天加工10件時(shí)，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每

件獲利將減少2元.

現(xiàn)安排無名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，列表如下：

服裝種類加工人數(shù)（人）每人每天加工量（件）平均每件獲利（元）

信息整理風(fēng)y224

雅X1

正148

任務(wù)

探尋變量關(guān)系求X、y之間的數(shù)量關(guān)系.

1

探究任任務(wù)

建立數(shù)學(xué)模型設(shè)該工廠每天的總利潤為w元，求卬關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式.

務(wù)2

任務(wù)

擬定加工方案制定使每天總利潤最大的加工方案.

3

i70

【答案】任務(wù)1：y=-]X+工；任務(wù)2：w=-2/+72x+3360（》＞10）；任務(wù)3：安排17名工人加工“雅”

服裝，17名工人加工“風(fēng)”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲得最大利潤

【分析】題目主要考查一次函數(shù)及二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵.

任務(wù)1：根據(jù)題意安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，得出加工“正”服裝的有（70-尤-y）

人，然后利用“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等，得出關(guān)系式即可得出結(jié)果；

任務(wù)2：根據(jù)題意得：“雅”服裝每天獲利為：x[100-2（x-10）],然后將2種服裝的獲利求和即可得出結(jié)

第19頁共31頁

果；

任務(wù)3：根據(jù)任務(wù)2結(jié)果化為頂點(diǎn)式，然后結(jié)合題意，求解即可.

【詳解】解：任務(wù)1：根據(jù)題意安排70名工人加工一批夏季服裝，

???安排無名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，

???加工“正”服裝的有(70-x-y)人，

?嚴(yán)正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)''服裝相等,

.?.(70—x-y)xl=2y,

170

整理得：

任務(wù)2：根據(jù)題意得：“雅”服裝每天獲利為：x[100-2(x-10)],

w=2yx24+(70-x-y)x48+x[100-2(x-10)],

整理得：w=(-16x+1120)+(-32x+2240)+(-2f+120x)

??.w=-2x2+72x+3360(x>10)

任務(wù)3：由任務(wù)2得叩=-2x2+72x+3360=—2(x—18)2+4008,

.??當(dāng)％=18時(shí)，獲得最大利潤，

17052

y=——xl18O+——=——,

333

???尤W18,

???開口向下，

?,?取元=17或x=19,

53

當(dāng)x=l7時(shí)，、=不符合題意；

當(dāng)x=19時(shí)，y=y=17,符合題意；

70-尤-y=34,

綜上：安排17名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風(fēng)”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲得最大利

潤.

17.(2024?山東煙臺(tái)?中考真題)每年5月的第三個(gè)星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享

美好生活”，康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計(jì)劃在該月銷售，根據(jù)市場調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時(shí)，

每天可售出60輛；單價(jià)每降低10元，每天可多售出4輛.公司決定在成本不變的情況下降價(jià)銷售，但每

輛輪椅的利潤不低于180元，設(shè)每輛輪椅降價(jià)x元，每天的銷售利潤為y元.

第20頁共31頁

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；每輛輪椅降價(jià)多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元?

（2）全國助殘日當(dāng)天，公司共獲得銷售利潤12160元，請(qǐng)問這天售出了多少輛輪椅？

2

【答案】（1）＞=-1爐+2°尤+12000,每輛輪椅降價(jià)20元時(shí)，每天的利潤最大，為12240元

（2）這天售出了64輛輪椅

【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確的列出函數(shù)關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵：

（1）根據(jù)總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；

（2）令,=12160,得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解：由題意，得:y=（200-x）|^60+x4^|=-1x2+20x+12000；

;每輛輪椅的利潤不低于180元，

200-x2180,

x＜20,

：y=-W尤2+20犬+12000=--（x-25）2+12250,

.,.當(dāng)x＜25時(shí)，y隨X的增大而增大，

2,

.?.當(dāng)x=20時(shí)，每天的利潤最大，為-yX（20-25）+12250=12240元；

答：每輛輪椅降價(jià)20元時(shí)，每天的利潤最大，為12240元；

2

（2）當(dāng)y=12160時(shí)，--X2+20X+12000=12160,

解得：=10,%=40（不合題意，舍去）；

/.60+—x4=64（輛）；

10

答:這天售出了64輛輪椅.

18.（2024?江西?中考真題）如圖，一小球從斜坡。點(diǎn)以一定的方向彈出球的飛行路線可以用二次函數(shù)

丁=62+樂（。＜0）亥|］畫，斜坡可以用一次函數(shù)＞=刻畫，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高

度y（米）的變化規(guī)律如下表：

X012m4567

71515L

y068n

2~2~22

第21頁共31頁

②小球的落點(diǎn)是A,求點(diǎn)A的坐標(biāo).

（2）小球飛行高度y（米）與飛行時(shí)間r（秒）滿足關(guān)系y=-5?+w.

①小球飛行的最大高度為米;

②求v的值.

1515

【答案】（1X1）3,6；②

5'A

⑵①8,@V=4A/10

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用以及從圖象和表格中獲取數(shù)據(jù),

（1）①由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,8）可建立過于a,。的二元一次方程組，求出a,6的值即可；②聯(lián)立兩

函數(shù)解析式求解，可求出交點(diǎn)A的坐標(biāo);

（2）①根據(jù)第一問可知最大高度為8米;

②將小球飛行高度與飛行時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式化簡為頂點(diǎn)式即可求得v值.

【詳解】（1）解：①根據(jù)小球飛行的水平距離了（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規(guī)律表可知：拋物

線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,8）,

b

---二4

2a

尸-8

、4。

1

a

解得：,2,

Z?=4

二次函數(shù)解析式為y=~x2+4x,

當(dāng)＞=萬時(shí)，_/尤一+4元=5，

解得：x=3或尤=5（舍去）,

??m=3,

第22頁共31頁

當(dāng)％=6時(shí)，n=y=+4x6=6,

故答案為：3,6.

[12/

y=——x+4x

②聯(lián)立得：2],

y=-x

（2）①由題干可知小球飛行最大高度為8米,

故答案為：8；

2

貝廣=8,

20

解得v=4j元（負(fù)值舍去）.

19.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，ABC中，AC=BC,ZACB=90°,A（-2,0）,C（6,0）,反比例函

⑵點(diǎn)P為反比例函數(shù)y='（%w0,x>0）圖象上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸在。，E之間運(yùn)動(dòng)，不與E重合），過點(diǎn)尸

X

作交y軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)尸作PN〃彳軸，交BC于點(diǎn)N,連接肱V,求PMN面積的最大值，并

求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】⑴m=2,k=8

Q）SBMN最大值是￡，此時(shí)尸（3怖1

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【分析】本題考查了二次函數(shù)，反比例函數(shù)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：

(1)先求出8的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線A8的函數(shù)表達(dá)式，把。的坐標(biāo)代入直線A5的函數(shù)

表達(dá)式求出m,再把D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式求出k即可；

(2)延長NP交y軸于點(diǎn)Q,交A8于點(diǎn)L利用等腰三角形的判定與性質(zhì)可得出=。尸，設(shè)點(diǎn)尸的坐

標(biāo)為，,(2<Z<6),則可求出SPMNM,S-OI,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：A(-2,0),C(6,0),

.\AC=8.

又AC=BC,

：.BC=8.

ZACB=9Q0,

..點(diǎn)以6,8).

設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+b,

/\/\.1一2a+Z?=0

將A(-2,0),8(6,8)代入、=依+入得6.+6=8，

[a=l

解得/0，

[o=2

直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=x+2.

將點(diǎn)。("44)代入y=x+2,得m=2.

.?.0(2,4).

將0(2,4)代入y=:,得人=8.

(2)解：延長NP交y軸于點(diǎn)Q,交于點(diǎn)L.

AC=BC,ZBCA=90°,

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ABAC=45°.

./W〃龍軸，

:.ZBLN=ZBAC=45°,ZNQM=90°.

PM//AB,

,\ZMPL=ZBLP=45°,

ZQMP=ZQPM=45°f

：.QM=QP.

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2<r<6),則PQ=t,PN=6-t.

:.MQ=PQ=t.

iii9g

'SPMN=jPN-MQ=5（6-1）,t=_3（t_3）+-.

...當(dāng)r=3時(shí)，S4PMN有最大值羨，此時(shí)P（3,|1.

20.(2024?青海?中考真題)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，有一斜坡。4,從點(diǎn)。處拋出一個(gè)小球，落

到點(diǎn)處.小球在空中所經(jīng)過的路線是拋物線y=-x2+bx的一部分.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求拋物線最高點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)斜坡上點(diǎn)B處有一棵樹，點(diǎn)B是劣的三等分點(diǎn)，小球恰好越過樹的頂端C,求這棵樹的高度.

7

【答案】⑴尸-/+寸

(2)

(3)這棵樹的高為2

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，其中涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的

求解方法，相似三角形的判定和性質(zhì)，難度適中利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵.

(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)配成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

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(3)過點(diǎn)A、2分別作無軸的垂線，證明△OBDSAQM,利用相似三角形的性質(zhì)求得=