江蘇省七年級開學分班考專項復習：競賽知識（解析版）

江蘇省七年級開學分班考專項復習06競賽知識（4種題型）

l|Q考點剖/

---------------------IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

題型一：整數(shù)的綜合運用

一、單選題

1.（2021?全國?競賽）從正整數(shù)里取出左個不同的數(shù)，使得這人個數(shù)中任意兩個數(shù)之差的絕對值是質數(shù),

則k的最大值是（）.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【詳解】解法一首先4個數(shù)1,3,6,8滿足題目要求，故所求人的最大值24.

若左25,記第〃個數(shù)為%（〃=1,2,…陽，且為＜的＜??,＜冬,則分下列幾種情形：

（1）/為奇，。2為奇，于是為偶數(shù).

又—。2|為質數(shù)，故&—=2,即%=+2.

若見為奇數(shù)，又名/出，故%-q為不等于2的偶數(shù)，即%-%為不小于4的偶數(shù)，即%-q為合數(shù)，矛

盾.故%為偶數(shù)，%也只能為偶數(shù).

那么，若名為奇，則%-%＞。3-622為偶數(shù)，即%為不小于4的偶數(shù)，從而。5-%為合數(shù)，矛盾.

若生為偶數(shù)，則。5-。3＞4-。322為偶數(shù)，從而。5-。3為合數(shù)，矛盾.

（2）%為奇，的為偶，于是%-%為奇數(shù)，即。2-/23.

若知為奇數(shù)，貝1」。3-%＞。2-%23為偶數(shù)，故。3-。1為合數(shù)，矛盾.

所以為偶數(shù)，且%-。2=2.

若4為奇數(shù)，則的23為不小于4的偶數(shù)，即為合數(shù)，矛盾.

若氏為偶數(shù)，貝1」的-。2-。3＞?=2為不小于4的偶數(shù)，即為-。2為合數(shù)，矛盾.

（3）%為偶，。2為奇或偶，都類似于（I），（2）可導致矛盾.

綜上得所求發(fā)的最大值是4,故選B.

解法二同解法一得上24.若左25,則將全體正整數(shù)分為4個不相交的子集M1,M2,必，M4,其中

由全體被4除余7?的正整數(shù)組成。=0,123）于是任取上25個數(shù)，其中必有2個數(shù)a,6（a>b）屬于同一個

子集河,，于是被4整除，不是質數(shù)，矛盾.故所求人的最大值等于4.

二、填空題

2.（2021?全國?競賽）下列豎式是1995減去一個三位數(shù)其差仍為一個三位數(shù)的算式，每個“?！眱壬w住一個

數(shù)字.設被“?！鄙w住的六個數(shù)字之和為。，六個數(shù)字之積為6,則f的最小值是

b

1995

一OOO

OOO

【詳解】要減數(shù)及差均為三位數(shù)，數(shù)值結構必如圖所示，其中x+>=15,6<x<9,6WyV9,故

a=4x9+x+y=51,b=94-xy,易知孫的最大值是7*”6,故.的最小值為

b94X7X8367416

1995

-99%

99y

3.2021?全國?競賽）一個十位數(shù),其數(shù)碼只能是2或3,且沒有2個3是相鄰的，則這樣的十位數(shù)共有

個.

【答案】144

【詳解】設滿足題目條件的〃位數(shù)有%個，則%=2,&=3（2位數(shù)只有3個數(shù)：22,23,32）.對任意

n>3,當首位數(shù)字是2時，只要余下的n-1位數(shù)滿足題目條件，這樣的n-l位數(shù)有4T個，當首位數(shù)字是3

時，前兩位數(shù)只能是32,只要余下的2位數(shù)滿足題目條件，這樣的〃-2位數(shù)有氏_2個，于是得到

an=an_x+an_2,由此遞推得a3=a2+q=3+2=5,%=%+?=5+3=8,%=%+。3=

8+5=13,4=%+&=13+8=21,%=a6+a5=21+13=34,6=%+4=34+21=55,

旬=。8+%=55+34=89,。10=%+/=89+55=144.即滿足條件的十位數(shù)有144個.

4.（2021?全國?競賽）一本書共有61頁，順次編號為1,2,61,某人將這些數(shù)相加時，有兩個兩位數(shù)

的頁碼都錯把個位數(shù)和十位數(shù)弄反了（形如曲的兩位數(shù)被當成了兩位數(shù)而），結果得到總和是2008,那么

書上這兩個兩位數(shù)頁碼之和的最大值是.

【答案】68

【詳解】解：注意到1+2+3+…+61=9箸=1891,2008-1891=117.因為形如方的頁碼被當成而后，

力口得的和將相差|(106+a)_(10a+6)|=92一刈,并且0,6只能在1,2,9中取值,|6-。區(qū)8,

9|/>-?|<72,設弄錯的兩數(shù)是方和良，則9|Z>-a|+9|d-c|=117,而將117寫成兩個正整數(shù)之和，其中每

個數(shù)既要不大于72,又要是9的倍數(shù)，只有下列兩種可能：117=72+45=63+54.

當9|6-。|=72,9|d-c|=45時，\b-a\=S,|<7-c|=5,則只有7=19，而方可取16,27,38,49,此時

瓦+G的最大值是19+49=68.

當9|j|=63,9|d-c|=54,即|6-。|=7,|d-c|=6,此時方可取18,29,而可取17,28,39,則直+而

的最大值是29+39=68.

綜上所述，+的最大值是68,故應填68.

5.(2021?全國?競賽)把正整數(shù)1,2,3,…，10分成兩組，其中/組：al,a2,---,am；5組:

\,b2,-,bn.現(xiàn)從/、2兩組中各取出一個數(shù)，把取出的數(shù)相乘，則所有不同的兩個數(shù)乘積的和的最大值為

【答案】756

【詳解】解：設所有不同的兩個數(shù)乘積的和為S,并記尤=%+/+…+%，則

4+仇+…+6“=1+2+…+10-x=一x=55-x,依題意得

S=(q+?+…+M)伍+4+…+")=x(55-x)=_1一曰)+［曰］?

因為x為整數(shù)，x-y>|,所以5<-\：+［|：=756.

當％=1,a2=2,%=3,a4=4,a5—7,a6=10,=5,b2=6,4=8,b&=9,即

x=%+&+%+%+/=27時，等號成立，S取到最大值756,故應填756.

注本題中S取到最大值的情況不唯一.例如％=造=1,2,…,7),4=8,4=9,4=10,即x=28時，S也

取最大值.

6.(2021?全國?競賽)將"個棋子放于10個盒子內，可以找到一種放法，使每個盒子內都有棋子，且這10

個盒子內的棋子數(shù)都不同.若將(〃+1)個棋子放入11個盒子內，都找不到一種放法，能使每個盒子內都

有棋子，并且這11個盒子內的棋子數(shù)都不相同，則"的最大值等于,最小值等于.

【答案】6455

【詳解】要使10個盒子內每個都有棋子且各盒子內棋子數(shù)互不相同，則需要最少棋子的放法是這10個盒

子內分別放了1,2,3,…，10個棋子，所放棋子總數(shù)為1+2+…+10=；xl0xll=55.同理，要使11個

盒子內每個都有棋子且各盒子內棋子數(shù)互不相同，則需要最少棋子的放法是這11個盒子內分別放了1,2,

fn>55

3,11個棋子，一共放了1+2+…+10+11=55+11=66,所以只有當即55OW64時，〃才

n+l<65

滿足題目的條件，其中〃的最大值為64,最小值為55.故填最大值等于64,最小值等于55.

三、解答題

7.（2021?全國?競賽）對某個正整數(shù)〃進行一次操作：如果”為偶數(shù)，則將”除以2,得到金；若”為奇數(shù),

則"加上1再除以2,求證：對任意正整數(shù)”，經(jīng)過有限次操作后必變?yōu)?

【答案】見解析

【詳解】證明對任意正整數(shù)〃，令/=〃.

T（"為偶數(shù)）2（〃為偶數(shù)）

如果經(jīng)過一次操作后得到的數(shù)為工=.，則/-工?2，故只要

等（nN3,為奇數(shù)）3（n23,為奇數(shù)）

、2

/W1,每次操作后，f至少減小1,但正整數(shù)不可能無限次減少下去.所以，經(jīng)過有限步操作后，得到的數(shù)

必是1.

8.（2021?全國?競賽）在黑板上寫上三個整數(shù)，然后將其中一個擦去，換上其他兩個數(shù)之和與1的差.將

這個過程重復若干次后得到（17,2011,2027）.問一開始黑板上寫出的三個數(shù)是否可能是（2,2,2）或（3,3,3）?

【答案】有可能，是（3,3,3）

【詳解】解由于三個數(shù)在題述過程中的奇偶性變化關系為：

（偶，偶，偶）一（偶，偶，奇）一（偶，偶，奇）（奇偶性不變量），所以（2,2,2）無法經(jīng)過若干次操作

達到（17,2011,2027）.

由于（奇，奇，奇）一（奇，奇，奇），故（3,3,3）可能是操作過程中的初始狀態(tài).

先考慮（3,3,3）經(jīng)過若干次操作達到（17,。,6）（。<b）,于是b=17+a—1=。+16,顯然2027=2011+16,固定

17,選擇盡可能小的小使（17,。,。+16）經(jīng)過若干次操作能達到（17,2011,2027）.

對于（17,卅+16）,擦去“，經(jīng)過操作后得到（17,a+16,a+2x16）（不分順序），再擦去。+16,操作后得

（17,a+2xl6,a+3xl6）,經(jīng)過，次操作得（17,a+16",a+16（〃+l））.

由于2011=125x16+11,故取a=11,于是（17,11,27）經(jīng)過125次操作可達到（17,2011,2027）.

又因為有如下的逆推：(17,11,27)—(7,11,17)—(5,7,11)-(3,5,7)—(3,3,5)—(3,3,3),故(17,11,27),可由

(3,3,3),經(jīng)過5次操作得到.可見(17,2011,2027)可由的(3,3,3),經(jīng)過125+5=130次操作而得到.

9.(2021?全國?競賽)在8x8格子紙的每一個方格中放上一個正整數(shù)，我們每次可進行如下的操作：在8x8

格子紙上任取一個3x3或4x4的子棋盤，并將這個子棋盤內每個數(shù)都加上1,問是否能經(jīng)過有限次這樣的操

作，使得這個8x8格子紙上的64個方格中的數(shù)均為10的倍數(shù)？

【答案】不是任何數(shù)表都能經(jīng)過有限次操作使表中64個數(shù)都是10的倍數(shù)

【詳解】解(不變量方法)如圖(。)將8x8格子紙上20個小方格染成黑色，則任意一個3x3或4x4的子

棋盤恰會有偶數(shù)個黑格(2、4或6個).因此我們可取一個數(shù)表，使得這20個黑格內的數(shù)字之和為奇數(shù)，

那么，一次操作不會改變黑格內數(shù)字之和的奇偶性.即操作過程中，這20個黑格內的數(shù)字和永遠是奇數(shù)，

從而不能是10的倍數(shù).這表明不是任何數(shù)表都能經(jīng)過有限次操作使表中64個數(shù)都是10的倍數(shù).

注圖(〃)也可用下列圖(6)或(c)代替只要各黑格內的數(shù)之和為奇數(shù)即可.

10.(2021?全國?競賽)黑板上寫著從1到1988的正整數(shù)，對這些數(shù)交替進行操作A和操作B,即先A后

B,再A,再3,并這樣繼續(xù)下去.操作A為將黑板上寫的每一個數(shù)都減去同一個正整數(shù)(在不同次的操作

A中，減去的數(shù)可以不同)；操作B為擦去某兩個數(shù)，然后寫上該兩數(shù)的和，操作過程一直進行到某次3之

后，黑板上僅剩下一個數(shù)時為止.已知該數(shù)非負，求這個數(shù).

【答案】1

【詳解】解因為操作A不減少黑板上數(shù)的個數(shù)，操作3每次使數(shù)的個數(shù)減少1,故當A和3各進行1987次

后，黑板上僅剩下一個數(shù).設第左次操作A時減去的正整數(shù)是乙體=1,2,…,1987).由于第左次操作A時黑板

上僅剩下1989-后個數(shù)，故進行第左次操作A后，黑板上各數(shù)之和應減少(1989-左)(，而操作3不改變各數(shù)

之和的值.所以交替進行1987次操作A和5后，黑板上所寫的數(shù)應為

x=(1+2+…+1988)—(19884+1987(72+…+2t/1987)

=1988（1-4）+1987（1-心）+…+2（1-九87）+1.

而4t為正整數(shù)，1一〃40（左=1,2,…,1987）,又X20,所以4=1%=1,2,…,1987）,從而x=l.即黑板上最

后剩下的一個數(shù)是1.

11.（2021?全國?競賽）有一堆火柴共有1千萬根，甲、乙兩人進行如下游戲甲先取并且兩人輪流取火柴,

在每一步中游戲者可從堆中取走p"根火柴，其中P為質數(shù)，77=0,1,2,3,….誰取到最后根火柴，誰就獲

勝.問甲、乙兩人誰有必勝策略？怎樣獲勝？

【答案】甲，甲取r根火柴，使余下的火柴數(shù)又是6的倍數(shù)，甲每次都按此方法辦事，最后必然獲勝

【詳解】解注意到游戲者每步可取1,2,3,4,5根火柴，但不能取6左（左=1,2,3,…）火柴，所以甲第1次

只要取4根火柴，余下的火柴數(shù)必是6的倍數(shù).無論乙怎么取，他取的余下的火柴數(shù)一定不是6的倍數(shù)，

設它除以6的余數(shù)為｛1,2,3,4,5｝）,則甲取廠根火柴，使余下的火柴數(shù)又是6的倍數(shù)，甲每次都按此方

法辦事，最后必然獲勝.

注本題中敗局由所有6的正整數(shù)倍組成，勝局則由所有不是6的倍數(shù)的正整數(shù)組成.

12.（2021?全國?競賽）桌上有3堆火柴，根數(shù)分別是100,200,300,甲、乙兩人進行游戲.甲先開始并

輪流進行如下操作：每次取走一堆火柴，再把余下的兩堆火柴中的一堆分成非空的兩堆，輪到誰不能進行

操作，就算誰輸.問在兩人都能確操作的前提下，誰有必勝策略？說明理由.

【答案】甲有必勝策略，見解析

【詳解】解注意,3堆火柴的根數(shù)可寫成100=22x25,200=23x25,300=22x75.我們就3堆火柴為

2"a,2"6,2mc（0＜n＜m,m,〃為整數(shù)，a,b,。均為奇數(shù)）＜*＞的一般情形進行討論.

甲可先取走根數(shù)為2%的那堆火柴，并將根數(shù)為2%的那堆火柴分為兩堆，兩堆的根數(shù)分別為2"和

2*（2…c-1）,于是甲操作以后，3堆火柴的根數(shù)可寫成2"%,2%,2"%（%，出，的均為奇數(shù)）＜**＞，

接下來輪到乙操作，不妨設他取走了根數(shù)為2"%的那一堆.而將根數(shù)為2"出的分成兩堆，根數(shù)分別為2"也，

2"他，其中4，%均為奇數(shù)且因為2"出=2"'4+2"屹，所以或者有名=%,或者有巧="，

無論哪種情形3堆的火柴數(shù)又化為（*）式所示的情形.于是，甲又可以按上述方式操作并使過程

進行到某次乙無法操作為止，所以甲有必勝策略.

注本題中的勝局就是3堆中的火柴數(shù)能寫成（*）式所示的情形，敗局則是3堆中的火柴數(shù)能寫成（**）

式所示的情形.

13.（2021?全國?競賽）甲、乙兩人進行數(shù)學游戲，先寫出數(shù)0,1,2,1024.甲先從中勾掉512個數(shù),

然后乙從余下的數(shù)中勾去256個數(shù)，然后甲再勾掉128個.如此繼續(xù)下去，在第10步乙勾掉一個數(shù)后還剩

下兩個數(shù)，此時乙應付給甲分數(shù)，分數(shù)之值等于余下兩個數(shù)之差，試問怎樣勾數(shù)對甲有利，怎樣勾數(shù)對乙

有利？如果兩人都以最佳的方式執(zhí)步，乙將付給甲多少分？

【答案】甲每次勾掉數(shù)時，應使所余的數(shù)中兩數(shù)之差的最小值越大越好；乙勾數(shù)時，應使所余的數(shù)中兩數(shù)

之差的最大值越小越好；乙應付給甲的分數(shù)為32

【詳解】解由于最后兩數(shù)之差越大對甲越有利，因此，甲每次勾掉數(shù)時，應使所余的數(shù)中兩數(shù)之差的最小

值越大越好.乙勾數(shù)時，應使所余的數(shù)中兩數(shù)之差的最大值越小越好.

甲第一次把所有奇數(shù)勾掉，然后不論乙怎樣勾數(shù)，甲第二次將所有4的倍數(shù)勾掉，若不夠，再任意勾掉一

些數(shù)，直到夠數(shù)為止，直到第5次，甲把所有32的倍數(shù)都勾掉，于是所余的數(shù)中任何兩數(shù)之差都不小于

32,所以甲最后至少要得32分.

第一次輪到乙時，甲已勾掉512個數(shù)，乙必須認清0?512及513?1024中哪一組余下的數(shù)多，然后乙只須將

其中數(shù)少的一部分全勾掉，不夠時再接著在另一組勾下去，只到夠數(shù)為止，于是所余的數(shù)中兩數(shù)之差的絕

對值不超過512.以后每次輪到乙時，都按此方法辦事，每次總可以把兩數(shù)差的最大值縮小到未來的一半，

直到第10步勾掉1個數(shù)后，余下的兩數(shù)之差不超過32.

可見，兩人都正確執(zhí)步時，乙應付給甲的分數(shù)為32.

14.（2021?全國?競賽）2006個都不等于119的正整數(shù)％,電，…,排列成一行數(shù)，其中任意連續(xù)若干項的

和都不等于119,求生+&+…+&006的最小值.

【答案】3910

【詳解】解：首先我們證明119個正整數(shù)配…/四中必有連續(xù)若干項（至少一項，至多119項）之和是

119的倍數(shù).事實上考察下列119個和：

S[=6],S2=b1+b2,Si=bl+b2+bi,,S119=bx+b2-\-----.

其中若有一個數(shù)是119的倍數(shù)，則結論成立，否則它們除以119的余數(shù)只能是1,2,3,118,這118

"119-1"

個數(shù)之一.由抽屜原理知國,$2,…,$9中必有+1=2個數(shù)除以119的余數(shù)相同，設這兩個數(shù)是s和S,

（1<Z<J<119）,于是S「S,=6m+/2+…+4是119的倍數(shù).

對于生，出，…,出。。6中任意連續(xù)119個數(shù)，由上述結論可知，其中一定有若干連續(xù)項之和是119的倍數(shù).又由

題設知它不等于119,所以它大于或等于2x119.又2006=119x16+102,所以

at+a2-\----Fa2006>16x2x119+102=3910.①

取向9=。238=*''=01904=120,其他數(shù)都等于1,①中等號成立，所以％+電+…+。2006的最小值為3910.

注①中等號成立的條件不唯一，例如取為=%=%=…=可則=2,6905=。1906=…=。2006=1，也使①中等

號成立.

15.(2021?全國?競賽)某學生在黑板上寫出了17個自然數(shù)，每個自然數(shù)的個位數(shù)碼只能是01,2,3,4這5

個數(shù)字中的一個，求證：從這17個數(shù)中可以選出5個數(shù)，它們的和能被5整除.

【答案】見解析

【詳解】證明：如果17個數(shù)的個位數(shù)字0,1,2,3,4都有，那么可選5個數(shù)，它們的個位數(shù)字恰好是

0,1,2,3,4,則這5個數(shù)之和的個位數(shù)字為零，故這5個數(shù)之和被5整除.

如果17個數(shù)的個位數(shù)字最多只有4種不同數(shù)字，那么由抽屜原理，至少有上三+1=5個數(shù)的個位數(shù)字相

同，這5個數(shù)字之和能被5整除.

16.(2021?全國?競賽)從1,2,205共205個正整數(shù)中，最多能取出多少個數(shù)，使得對于取出來的數(shù)

中的任意三個數(shù)a,b,c(a<b<c)都有abwc.

【答案】193個

【詳解】解：若取出的數(shù)為1,x,x+1,x+2,…，205,則只要x(x+l)>205,即轉14,就可使取出的

數(shù)具有題設的性質.當x=14時，取出的數(shù)為1,14,15,…，205,它們一共有205-13+1=193個，并且

對其中任意3個數(shù)a,b,c(a<6<c).若a=l,貝?。輆b=6<c；若。>1,貝！|214x15=210>c,故取

出的數(shù)滿足題目條件.

另一方面，考慮下列12個三數(shù)組：(13,14,13x14},{12,15,12x15},{11,16,11x16),{3,24,3x24},

{2,25,2x25),它們是互不相等的39個數(shù)，最小的是2,最大的是13x14=182<205,所以每組中至少有一

個數(shù)不能取出，即至少有12個數(shù)不能取出，故至多只能取出205-12=193個數(shù).

綜上所述，在1,2,3,…，205中，最多能取出193個數(shù)，滿足題設條件.

17.(2021?全國?競賽)如果兩個整數(shù)x,y的和、差、積、商的和等于100,那么這樣的整數(shù)有幾對？并

求尤與y的和的最小值，及x與y的積的最大值.

【答案】7對，-202,400

【詳解】解：依題意(x+y)+(x-y)+盯+—=100(尸0)①

y

即^3+1)2=12x22x52.

y

因為X,y是整數(shù)，所以x+y,x-y,切為整數(shù)，由①知；也為整數(shù).

(1)當工=25,3+1)2=22時，y+l=±2,

x=25x=-75

所以或

y=iy=-3

(2)當一=4,3+1)2=52時，y+l=±5,

x=16

所以

y=4

x

(3)當一=1,3+1)2=102時,y+l=+10,

所以

Y

(4)當一=100,3+1)2=12時，y+l=±l,

x=0x=-200

所以(舍去)或

y=0y=~2

由上可知，滿足題意的整數(shù)X,>共7對，其中(、+歹卷0=(—200)+(—2)=—202,

(HU=(_200)x(-2)=400.

18.(2021?全國?競賽)設q,b,c,a+b-c,a+c-b,b+c-a,Q+6+C是七個兩兩不同的質數(shù)，且

a,b,c中兩數(shù)之和是800.設d是這七個實數(shù)中最大數(shù)與最小數(shù)的差，求d的最大可能值.

【答案】1594

【詳解】解：不妨設于是七個數(shù)中a+b-c,最小，Q+6+C最大，從而有

d=(a+b+c)-(a+b-c)=2c.問題轉化為求c的最大值.因a+b—c>0,所以c<Q+6<Q+c<b+c.

又因為a+b,a+c,b+c中有一個數(shù)為800,所以。<800.

由于799=17x47和798都不是質數(shù)，而797為質數(shù),故有c9797,t/=2c<1594.

另一方面，當。=797時，若6+。=800,貝|Z?=3.又a<b,所以〃=2,止匕時a+6+c=802為合數(shù)，不符合

題意.

若a+c=800,則。=3,由于。+6—?！?,b>c-a=794.

又6<。=797,而795,796皆為合數(shù)，故此時也不符合題意.

所以a+b=800,注意至!]6<c=797,a>800-6>3,并且a=5,b=795；〃=7,6=793=13x61,

<7=11,6=789=3x263都不全是質數(shù)，從而不能滿足題目要求.

而。=13,6=787都是質數(shù)，。=797是質數(shù)，。+6-。=3是質數(shù)，。+。-6=23也是質數(shù)，容易驗證

6+。-〃=1571和〃+b+c=1597也都是質數(shù).

綜上所述知，d的最大可能值為1594.

19.（2021?全國?九年級競賽）如圖，在4x4方格內已填有16個數(shù)字，可以對問題格中數(shù)字進行如下的操

作：將一行或一列或一條對角線上的4個數(shù)同時加上或減去同一個正整數(shù).問能否經(jīng)過有限次操作使16個

數(shù)都相等?

1876

2010

3245

5689

【答案】不能

【詳解】解任何一次操作中，4個數(shù)加上或減去同一個正整數(shù)，所以這16個數(shù)之和除以4的余數(shù)不變（同

余不變量）.如果16個數(shù)相等，那么這16個數(shù)之和除以4的余數(shù)等于0,而一開始16個數(shù)之和為67,它

除以4的余數(shù)為3*0.因此，無論經(jīng)過多少次操作，不可能使16個數(shù)都相等.

3

20.（2021?全國?競賽）已知三個正整數(shù)倒數(shù)之和等于二，求這三個數(shù).

4

【答案】符合題意的三個正整數(shù)有6組：2,5,20；2,6,12；2,8,8；3,3,12；3,4,6；4,4,4

【詳解】解：設三個正整數(shù)為x,y,z,x4〉4z,則工+，+_1=：1（，+_1+，］=9，由平均值原理知

xyz43^xyz）4xyz

中必有一個不小于所以其中較大者!之巳且尤是正整數(shù)，故工只可能是J或（或即x=2

4尤4x4x234

或3或4

當x=2時，—+-=故工,‘中必有一個不小于J，所以其中較大的

yz421yzj8yz8y8

l<>48/=2,3,4,5,6,7,8,代入①驗證知y=2,3,4,7時z不為正整數(shù)，舍去.當V=5,6,8時，z分別等于

20,12,8.

當x=3時，—+-=故!一中較大的,不小于三，從而>《多.

yz12^yzy245

又y2x23,所以y只可能為3,4,分別代入②得z=12,6.

當x=4時，'+:=:③，故］，一中較大的,不小于］，從而

yz2yzy4

又>2x24,所以y=4,代入③得z=4.

綜上所述，得滿足題意的三個正整數(shù)有下列6組：2,5,20;2,6,12;2,8,8;3,3,12;3,4,6;4,4,4.

21.（2021?全國?競賽）從1,2,3,50這50個正整數(shù)中任取〃個數(shù)，在這〃個數(shù)中總能找到3個數(shù),

它們兩兩互質.求〃的最小值.

【答案】n的最小值等于34.

【詳解】記5={1,2,3,…,50},4是S中能被，整除的正整數(shù)組成的集合（i=L2,3）,|闋，⑷分別4,4

中數(shù)的個數(shù)，由容斥原理有|4。4|=|闋+閭-區(qū)門闋=4+日-碧=25+16-8=33.

L3ZXJ

從4中任取3個數(shù)，其中至少有2個數(shù)屬于4或4中同一個集合，它們不互質.

故所求"的最小值234.

2222

其次，設用={123,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47},S2={2,3,5,7},4={2x23,3x17,5x9},則

B一星，名中共有16+4+3=23個數(shù)，于是從S內任取34個數(shù)，其中至少有34-（50-23）=7個數(shù)屬于

用u與口用.由抽屜原理知，這7個數(shù)中至少有—+1=3個數(shù)屬于g，B2,鳥中同一個子集，它們兩

兩互質.

綜上所述，所求〃的最小值等于34.

22.（2021?全國?競賽）設正整數(shù)〃有如下性質：1,2,〃中任取99個不同的數(shù)，這99個數(shù)中必有兩

個數(shù)的差等于7,求〃的最大值.

【答案】196

【詳解】我們從1，2,197中取出如下99個數(shù)：1?7,15?21,29?35,43?49,57?63,71-77,85?91,

99?105,113-119,127?133,141-147,155-161,169-175,183-189,197,它們中任何兩數(shù)之差不等于

7,故所求”的最大值V196.另一方面，從1,2,…，196中任取99個數(shù)，由抽屜原理知其中至少有

-99-1-

—+1=15個數(shù)除以7的余數(shù)相同.設這個余數(shù)為r,而在1,2,196中恰有196+7=28個數(shù)除以7

的余數(shù)為廠，故取出的15個被7除余數(shù)為r的數(shù)中一定有2個數(shù)之差等于7.

綜上可知，所求"的最大值為196.

23.（2021?全國?競賽）從1,2,3,…，2010這2010個正整數(shù)中，最多能取出多少個數(shù)，使得對于任意

取出的一個數(shù)x,都有15x不在取出的數(shù)中？

【答案】最多能取出1884個數(shù).

【詳解】因為對任意正整數(shù)x,要使15x不在取出的數(shù)中，只要15x>2010,即x>134,故135,136,

137,2010都可以在取出的數(shù)中，并且要使15x<135,只要x<9,故1,2,8也可在選取的數(shù)中，

于是當我們選取的數(shù)為1,2,8和135,136,…，2010時，對上述任何一個數(shù)x,15x都不在其中，

滿足題目的要求，這時一共取出了2010-134+8=1884個數(shù).

另一方面，對9,10,…，134中任意一個數(shù)x,x與15x中至少有一個數(shù)不能取出，即至少有134-8=126個

數(shù)不能取出，即取出的數(shù)至多為2010-126=1884個.

綜上所述，最多能取出1884個數(shù).

24.（2021?全國?競賽）己知〃個（n>2）正整數(shù)占出,…,尤“，把它們從小到大排列為再4々4…4%.若

這〃個正整數(shù)的和等于這〃個正整數(shù)的積，求毛的最大值.

【答案】所求x“的最大值等于〃.

【詳解】考察下面的一些特殊情形：

2x2=2+2,1X2X3=1+2+3,lxlx2x4=l+l+2+4,lxlxlx2x5=l+l+l+2+5,...

我們猜出％=〃，并且我們可構造一個Z=〃的實例如下：子=%=.??=怎.2；=1，X〃T=2,xn=n,則

x1+x2~1-----1-xn=（〃—2）+2+〃=2n=1-1......1-2-n=2n.

故所求血的最大值不小于〃.

另一*方面，若則芭=%2=…=、〃一1=1，x2-\xn-（^n—1）+xn>Xn=x{x2,?*,矛盾，故

%一122.其次，若％2H+1,則由得

1西+々+…I1I,ll111

再入2X2X3''，XnXlX3'''XnX\X2，，，Xn-l2（幾+1）2（〃+1）2（〃+1）n+\2

n-2112n+l

=-----------1-------1—=---------<I1,

2（n+l）n+l22〃+2

導致矛盾，從而

綜上所述知，所求當?shù)淖畲笾档扔?/p>

25.（2021?全國?競賽）（I）證明：在任意連續(xù)13個正整數(shù)中，必存在一個數(shù)，它的各位數(shù)字之和被7整

除；

（2）在任意連續(xù)12個正整數(shù)中，是否一定存在一個數(shù)，它的各位數(shù)字之和被7整除？如果一定存在，請

給出證明；如果不一定存在，請舉出實例說明.

【答案】（I）見解析；（2）不一定，下列12個連續(xù)正整數(shù)：

994,995,996,997,998,999,1000,1001,1002,1003,1004,1005的各位數(shù)字之和分別是

22,23,24,25,26,27,1,2,3,4,5,6,它們都不被7整除

【詳解】⑴對任意非負整數(shù)a,我們設下列10個數(shù)4={10。,10。+1,10。+2,…,10a+分為從10a開始的基

本段.于是，任意連續(xù)13個正整數(shù)或者包含在2個相鄰的基本段中，或者包含在3個相鄰的基本段中.在

前一情形下，至少有7個數(shù)包含在同一個基本段中，在后一情形，有10個數(shù)包含在同一個基本段中，總之，

至少有7個數(shù)包含在同一個基本段中.

設7個數(shù);10a+6,10a+b+1,1Otz+6+2,10a+b+3,10a+b+4,10a+b+5,l0a+6+6(°為個非負整,

6=0或3),記。的各位數(shù)字之和為M，則上述7個數(shù)的各位數(shù)字之和分別是

Na+b,Na+b+l,Na+b+2,-Na+b+6,它們除以7的余數(shù)兩兩互不相同，故其中必有一個數(shù)被7整除.

(2)下列12個連續(xù)正整數(shù)：994,995,996,997,998,999,1000,1001,1002,1003,1004,1005的各位數(shù)字之和分另IJ

是22,23,24,25,26,27,1,2,3,4,5,6,它們都不被7整除，故任意連續(xù)12個正整數(shù)中不保證存在一個數(shù)，它的

各位數(shù)字之和被7整除.

題型二：十進制整數(shù)及表示法

一、填空題

1.軍訓基地購買蘋果慰問學員.已知蘋果總數(shù)用八進位制表示為返，七進位制表示為麗.那么，蘋果

的總數(shù)用十進位制表示為.

【答案】220

【詳解】填220.理由：因iWa,b,c<6,ax82+Z>x8+c=cx72+Z?x7+a,即63a+6-48c=0,即

6=3(16c-21a),所以，b=0,3,6.

經(jīng)檢驗，6=3符合題意.故b=3,c=4,a=3.則3x8?+3x8+4=220.

解答題

2.把(01101001)2化為十進制小數(shù).

【答案】(0.1101001)2=(0.8203125)1O

1101001

--1---1---1---1----1----1----

【詳解】.(0.1101001)2=

24816326412810

=(0.5+0.25+0.0625+0.0078125)10

=(0.8203125)10,

所以(O.11O1OO1)2=(O.82O3125)IO.

3.將十進制數(shù)2002化成二進制數(shù).

【答案】(11111010010)2

【詳解】將(2002)10化成二進制數(shù)為(In11010010)2.

4.有一個寫成七進制的三位數(shù)，如果把各位數(shù)碼按相反順序寫出，并把它看成是九進制的三位數(shù)，且這兩

數(shù)相等，求這個數(shù).

【答案】248

【詳解】設所求的數(shù)為4在七進制中，N可寫為N=72.a+7)+c,

這里a,6,ce{0,1,2,3,4,5,6},a^O.

數(shù)A在九進制中可表不為A=92-c+9-b+a-

于是由題意得方程72，a+7)+c=92.c+91+a,即6=8(3a-5c).

于是6是8的倍數(shù),又6e{0,l,2,…,6},則只能有6=0.

再由3a—5c=0,a,ce{0,1,2,?1,,6),a字0,可得a=5,c=3.

于是數(shù)/在七進制中為(503)7,在九進制中為(305)9,在十進制中為4=72.5+3=248.

5.在哪種進位制中，16324是125的平方？

【答案】在七進制中，16324是125的平方

【詳解】.設進位制的基數(shù)為6.由題設，顯然6>6.

此時可得方程/+6/+3/+26+4=(〃+2b+5)2,

經(jīng)整理可得2/一1一1防-21=0,即S-7)(2/+36+3)=0,

此方程僅有唯一的實根人=7.

于是在七進制中，16324是125的平方.

6.N是整數(shù)，它的6進制表示是777,求最小的正整數(shù)6,使得N是十進制整數(shù)的4次方.

【答案】18

【詳解】本題等價于求最小的正整數(shù)6,使得方程

7b2+lb+7=x4①

對x有整數(shù)解.

因為7是素數(shù)，所以由方程①，7是x的約數(shù)，為此設》=7左，則方程①化為"+6+i=73/

最小的6出現(xiàn)在人最小的時候.取左=1,止匕時有/+6+1=343,即/+6-342=0,

此時有3-18)3+19)=0,解得正整數(shù)6=18.

4

我們用(⑷1t表示人進制的數(shù)，則有(777九=(7)io.

7.在哪種進位制中，413=100?

【答案】六進制

【詳解】設進位制的基數(shù)為上由題設，顯然6>4.

?…一小、皿［4(1年+3)=1方+0.6+0,

此時可得萬程“

歷>4,

從而有6,-46-12=0,解得b=6,b=-2(舍去).

于是題設中的等式是在六進制中.

8.化(1325%為二進制數(shù).

【答案】(1325)8=(1011010101)2

【詳解】二進制數(shù)與八進制數(shù)有著特殊的關系，這是因為23=8.所以，一位八進制數(shù)相當于三位二進制數(shù),

如：

(1)8=(001)2,(2)8=(010)2,(3)8=(101)2,(4)8=(100)2,(5)8=(101)2,(6)8=(110)2,(7)s=(lll)2.

1325

jJJJ

001011010101

所以，(1325)8=(001011010101)2=(1011010101),.

9.求證：對于任意進位制的數(shù)，10201都是合數(shù).

【答案】見解析

【詳解】假設10201是x進位制數(shù)，因為其中出現(xiàn)了0,1,2,所以它至少是三進制數(shù)，即

42422-

x>3.(1020l)t=lx%+2xx+1=x+2X+1=(X+1),由x23,得/+1210.

因此它一定是合數(shù).

10.將(20107?；癁橄铝羞M位制的數(shù)：

(1)二進位制的數(shù)；

(2)八進位制的數(shù).

【答案】(1)(2010)10=(11111011010)2；(2)(2010)：=(3732)8

【詳解】解(1)用2作除數(shù)，除2010商為1005,余數(shù)為0；再用2除1005商502,余數(shù)為1,繼續(xù)下去

直到商是0時為止.所得的各次余數(shù)排列出的數(shù)，就是所化出的二進位制的數(shù).

各次商數(shù)被除數(shù)除數(shù)

0137153162125251502100520102

11111011010各次余數(shù)

1098765432

顯然，11111011010=1-2+1-2+1-2+1-2+1.2+0-2+1-2+1.2+0.2+1-2+0=(2010)10.

故(2010端=(11111011010)2.

(2)由

033125120108

3332

知(20101。=(3732晨

11.設在三進位制中，數(shù)N的表示是20位數(shù)12112211122211112222,求N在九進位制中表示最左邊的一

位數(shù)字.

【答案】5

【詳解】解把N的三進位制表示的數(shù)字一對一地組合，得到

7V=(l-319+2-318)+(1-317+1-316)+---+(2-3+2)

=(1-3+2).(32)9+(1-3+1).(32)8+---+(2-3+2)

=5-9S+4-98+---+8.

故所求數(shù)字為5.

12.設1987可以在6進位制中寫成三位數(shù)孫z,且x+y+z=l+9+8+7,試確定出所有可能的x,y,z和

b.

【答案】x=5,y=9fz=ll,b=19

xb2+yb+z=1987(x>1),①

【詳解】解由題設

x+y+z-25.②

由①一②得@-l)-[@+l)x+y]=1962.

所以6-1是1962=29109的因數(shù).

又〃>1987,/<1987,所以12<b<45.

從而6-1=2-9=18,即6=19.

又1987=5」92+9」9+11,故％=5,歹=9,z=ll.

13.計算：

(1)(11011010)2+(1011011)2；

(2)(1101101)2-(1010110)2；

(3)(1000000)2-(10011)2-(101101)2.

【答案】(1)(100110101)2；(2)(10111)2；(3)0

【詳解】利用二進制數(shù)間的加減運算.

11011010

(1)+1011011

100110101

所以(11011010)2+(1011011)2=(100110101)2.

1101101

(2)一1010110

10111

所以(1101101)2—(1010110)2=(10111)2.

10000000101101

(3)一10011—101101

1011010

所以(1000000)2-(10011)2-(101101)2=0.

題型三：整除性

一、填空題

1.大約1500年前，我國偉大的數(shù)學家祖沖之，計算出%的值在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上

第一個把%的值精確到7位小數(shù)的人，現(xiàn)代入利用計算機已經(jīng)將乃的值計算到了小數(shù)點后515億位以上.這

些數(shù)排列既無序又無規(guī)律，但是細心的同學發(fā)現(xiàn)：由左起的第一位3是質數(shù)，31也是質數(shù)，但314不是質

數(shù)，那么在3141,31415,314159,3141592,31415926,31415927中，質數(shù)是.

【答案】314159

【詳解】3141,31415,3141592,31415926,31415927依次能被3,5,2,2,31整除.所以314159是質

數(shù).

2.在0,1,2,49,50這51個數(shù)中，能同時被2,3整除的數(shù)共有個.

【答案】9

【詳解】被2,3整除，即被6整除.從1到50共有8個被6整除，加上0共9個.

3.已知p,q均為質數(shù)，其中有一個是一位數(shù)，p+q=1994,如果今天是星期一，且天后的那一天不是

星期一，那么是星期.

【答案】天

【詳解】填天.理由：

當°=3時，q=1991,但1991=11x181,1991不是質數(shù).

當？=5時，q=1989,但1989=9x221,1989也不是質數(shù).

當p=7時，q=1987.反過來，p=1987時，q=1.

當p=7,4=1987時，7^7被7整除，則天后是星期一，不合題意；

當p=1987,q=7時，19877=(7*284-l)7m(-l)7(mod7)m6(mod7).

所以a天后的那一天是星期天.

二、解答題

4.已知1176a=/,a,6為正整數(shù)，求°的最小值.

【答案】2646.

【詳解】因1176=22x3x72,貝U23X3X72A=64,即3了.

又因3是質數(shù)，則30.

同理，20,7