2024年江蘇南京某中學(xué)特長生選拔考試數(shù)學(xué)試題（含答案詳解）

2024年金陵中學(xué)特長生選拔考試數(shù)學(xué)試題【綜合部分】

1.若/+x。+x+1=0,則X”=

2.方程中+2y-l=0的整數(shù)解共有對

3.若1、2、3、4、x的方差與3、4、5、6、7的方差相等，則丫=

4.求夕=2x+2關(guān)于y=x對稱的函數(shù)表達(dá)式.

5.如圖，正方形N2CD邊長為6,若BE=DF=2,則四邊形GEC/的面積為

A

B

4

6.如圖，y=x與y=—相交于/.8兩點，若在〉軸有點C,滿足乙4cB=90。，則C點坐

x

標(biāo)為______

7.如圖，三棱錐的每條邊均為整數(shù)，若CD=2,AB=2,AC=6,BD=4,則8C的長為.

8.若函數(shù)y=--2ox+4與x軸相交于(占,0)、(x2,0),且則。的取值范圍

是______

9.如圖

III

01X

4十112

(1)求證：—+—->--;

xx+2x+1

(2)在數(shù)軸上用尺規(guī)畫出表示工的點.

X

試卷第1頁，共2頁

10.已知矩形4BCZ)的對角線長為X,設(shè)矩形面積為S.

A

B

(1)若x=6,求S的最大值;

⑵若矩形的周長為12,求:

①x的取值范圍;

②S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

ABBD

11.(1)若/。為/A4c的角平分線，求證:

ACCD

APIBP

(2)已知，ZABC=ZADC=90°,/胡C=30。，NDAC=45°,求證:

CPDP

(1)⑵

BC=4,CD=7,AD=3.

(1)求證：NC+ZD=90°；

(2)若河是CD上一點，尸為48CO內(nèi)一點，貝|己4+總+尸”的最小值為

試卷第2頁，共2頁

1.1

【分析】本題考查高次方程的求解，因式分解的應(yīng)用，先將/+，+x+l=O分解為

(x+l)(x2+l)=0,求解出x的值，即可解答.

【詳解】解：x3+x2+x+1=0,

(丁+)+(%+])=0,

（X+1乂/+i）=o,

%2+1>1

x+1=0,

X=-1,

14=],

故答案為：1.

2.2

【分析】此題考查了方程的解，解題的關(guān)鍵是將原方程正確變形.

首先將初+2y-l=0變形為了=上，然后根據(jù)x,y都是整數(shù)求解即可.

x+2

[詳解】?.?切+2y_l=0

xy+2y=1

1

,歹二

x+2

Vx,y都是整數(shù)

工當(dāng)工=—3時，>=-TJ.=

x+2—3+2

當(dāng)％=-1時，y=-=1=1；

x+2-1+2

/.方程砂+2y-1=0的整數(shù)解共有2對.

故答案為：2.

3.0或5

【分析】本題考查了方差的計算公式，解一元二次方程，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)方差的計算公式建立方程，解一元二次方程即可.

3+4+5+6+7

【詳解】解：3、4、5、6、7的平均數(shù)為:-------------------=5,

5

答案第1頁，共12頁

則方差為：1[(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2]=2,

l+2+3+4+x10+x

1、2、3、4、x的平均數(shù)為:

55

22

10+xI+(3-10+x10+x1+10+x

，由題意得，］I+(2-lf-X--------二----2--,

55+455

化簡得，/一5x=0,

解得x=0或x=5,

故答案為：0或5.

4.y=-x-l

2

【分析】本題考查了一次函數(shù)的解析式，關(guān)于直線^='對稱的點坐標(biāo)，在＞=2x+2上取兩

點/（0,2）和8（T0）關(guān)于〉=X對稱后點的坐標(biāo)為H（2,0）、9（0,-1）,根據(jù)兩點確定一條直

線，用待定系數(shù)法即可解答.

【詳解】解：在y=2x+2上取兩點“（0,2）和川-1,0）,

???直線N=x是一、三象限的角平分線,

/（0,2）和8（-1,0）關(guān)于直線＞=x對稱的點坐標(biāo)為4（2,0）、夕（0,-1）,

設(shè)了=2x+2關(guān)于y=x對稱的函數(shù)表達(dá)式為了=履+6,

解得:產(chǎn),

0=2左+b

則

-\=b

b=-\

.=y=2x+2關(guān)于》='對稱的函數(shù)表達(dá)式為y=—l,

故答案為：y=gxT.

152,9

5.##13—

1111

【分析】連接跖，過點尸作FHLZB于點7/,交NE于點K,證明四邊形刃為矩形,

HKA.H2

得出尸=2,HF=AD=6,證明△ZZ/FS/X/AE1,得出——二——，求出收二不,

BEAB3

證明ADWBG,得出GFKF_8,求出鼠明=啊="＜2x4=善，

-----=-----=----=-11

BGBE23

%EF=gx4x4=8，即可得出答案?

【詳解】解：連接EF,過點F作于點H,交/E于點K,如圖所示：

答案第2頁，共12頁

AD

則乙4HF=NBHF=9Q。,

???四邊形/5C。為正方形，

AB=BC=CD=AD=6,/ABC=Z.C-ND=NBAD=90°,

■:BE=DF=2,

：.CE=CF=6—2=4,

：.ZAHF=/HAD=ZD=90°,

???四邊形4HFD為矩形，

/.AH=DF=2,HF=AD=6,

ZAHF=/ABC,

???HF//BC,

/\AHF^/\ABE，

.HKAH

??密一布’

即“2

即才一V

2

解得：HK=~,

丁HF//BC,

：.AKFGS^EBG,

16

.??GF=KF二=8,

BG~BE~2-3

?GF8_8

**5F-8+3-11，

._8_864

vX

??TEFG=~S^BEF=]j"2x4=r，

x

*.*SCFF=_4x4=8,

答案第3頁，共12頁

=

,"S四邊形CEGFSAEFG+S.CEF=JY+8=]]?

故答案為：曹152.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì).

6.（2在0）或卜2衣0）

【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，勾股定理，已兩點求距離，熟練掌

握知識點是解題的關(guān)鍵.

先聯(lián)立直線表達(dá)式和反比例函數(shù)解析式求出點/（2,2）,8（-2,-2）,設(shè)C（"?,0）,借助于兩點

間距離公式和勾股定理建立方程求解即可.

y-x

【詳解】解：由題意得4,

了=一

Ix

解得：x=2或x=-2,

2）,5（-2,-2）,

設(shè)C（機(jī),0）,貝ij/C?=（2-加）2+4,802=（加+2/+4,432=42+42,

ZACB=90°,

：.CA2+BC2=AB2,

（2—加丫+4+（加+2）2+4=32,

解得："I=2^/2或"J=—2y[2，

C（2后,0）或C^2立0）,

故答案為：（2血,0）或卜2近,0）.

7.5

【分析】本題考查兩點間的距離及三角形三邊關(guān)系，掌握構(gòu)成三角形的條件是解題的關(guān)鍵.分

別在V/BC和△3C。中根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”

列不等式組并求解即可.

【詳解】解：：在V/8c中，AB=2,AC=6,

：.AC-AB<BC<AC+AB,即6-2<BC<6+2

：.4<BC<S；

答案第4頁，共12頁

:在△BCD中，CD=2,BD=4,

：.BD-CD<BC<BD+CD,即4-2<BC<4+2

：.2<BC<6；

：.4<BC<6

...三棱錐的每條邊均為整數(shù)，

，BC=5.

故答案為：5.

8.—<。<—22<a<一

22

【分析】本題考查二次函數(shù)圖形的性質(zhì)及二次函數(shù)與不等式，根據(jù)>=/-26+4與x軸交

點的分布，利用數(shù)形結(jié)合的思想建立不等式組求解即可.

【詳解】解：y=x2-lax+4=(x-a)-+4-a2,

???函數(shù)y=/_2“x+4與x軸相交于(再,0)、(x2,0),即/-2〃x+4=0有兩個根匹,馬，且

一4<項<x2<4,

4-a2<0

-4<a<4

(-4)--2X(-4)G+4>0

42-2x4a+4>0

解得：一』<a<-2或2<“<*,

22

故答案為：-1?<a<-2或2<a<j.

22

9.(1)見解析

(2)圖見解析

【分析】(1)利用作差法和分式的加減混合運算法則求解即可；

(2)以O(shè)C為直徑畫圓，以。為圓心，1為半徑畫圓，兩圓交于點A,過點A作48,數(shù)軸,

則點8表示的數(shù)即為工

【詳解】(1)證明：由題意得，

112

—+----------

xx+2x+1

答案第5頁，共12頁

(x+l)(x+2)x(x+1)2x6+2)

x(x+l)(x+2)x(x+l)(r+2)、6+1)卜+2)

+2x+x+2++x—2x?—4x

x(x+l)(x+2)

2

x(x+l)(x+2)，

由數(shù)軸可得，x>l>0,

x+1>0,x+2>0,

------------------>0

??x(x+l)(x+2)

.「+」一--L>。，

xx+2x+\

.112

??一+---->----；

xx+2x+1

(2)解：以O(shè)C為直徑畫圓，以。為圓心，1為半徑畫圓，兩圓交于點A,過點A作45_1數(shù)

OC為直徑，

???ZOAC=90°f

???NABO=ZOAC,

ZAOB=ZAOC,

???△AOCS&BOA,

.AO_OCJ__x

??一,即：—一

BOOABO1

即點8表示的數(shù)即為

X

答案第6頁，共12頁

【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，異分母分式的加減運算，圓周角定理，相似三角形的判定和

性質(zhì)，尺規(guī)作圖一作垂線，作圓，熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵.

10.（1）18

⑵①3&Vx<6;②S=

【分析】本題考查了二次函數(shù)與幾何的實際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，勾股定理.

（1）設(shè)BC=m,根據(jù)3c-+CD?=3?！沟弥?=,36—加2,矩形的面積$=機(jī)扃二版，

52=m2（36-m2）=-m4+36m2=-（m2-18）2+324,即可解答；

（2）①設(shè)矩形的一邊長為°,則另一邊長為6-°,列出x與。的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的

性質(zhì)即可解答；②根據(jù)S=a（6-?）結(jié)合①中x與a的關(guān)系式即可解答.

【詳解】（1）解：設(shè)BC=m,

???BC1CD,

NBCD=90°,

BC2+CD2=BD2,

CD=」36-，

S=m\36-m2，

S2=7M2（36-m2）=-m4+36m2=-（/M2-18）2+324,

（m2-18）->0,

S2<324,

當(dāng)（蘇-18『最小時，即為0時，$2有最大值324,

.：S的最大值為18；

（2）解：①設(shè)矩形的一邊長為a,則另一邊長為6-a,

Vx2=a2+（6-a）2=2（a-3）2+18,

0<a<6,

???18<X2<36，

,/x>0,

答案第7頁，共12頁

/.3后<x<6;

(2)S=Q(6—Q)=—/+6a,

由=Q?+(6-a)—2Q2—12(2+36—-2(-/+6a)+36,

,2z-——36口口%2—36

?--a2+6。=-------,BP5=--------.

22

11.(l)見解析；(2)見解析

【分析】（1）作?！?45,作。尸」/C于尸，則△/助與△4CQ的面積比既等于

也等于BZ）：CZ）,從而得出結(jié)論;

（2）作?！闧4C,BF1AC,先證明四邊形4BCZ）內(nèi)接于。石，設(shè)。月的半徑為H,求得

竺￡二百，再作PG_L45,2〃_13。，證明//皿=/。5。=45。，得到尸6=尸〃，設(shè)?！?”,

DP

APL

求得券=6,據(jù)此即可證明結(jié)論成立.

【詳解】證明：（1）如圖，作DEJ.AB于E,作。尸14C于尸，

?1■AD平分/A4c,

：.DE=DF,

A

S跡；B.DEab

AC

S-ACD-AC-DF

2

...S：JlBD-h=BD,

CD

S^CD-CDh

2

ABBD

14C~CD

(2)作。E1/C,BFJ.AC,垂足分別為E,F,

答案第8頁，共12頁

DE〃BF,

：./\BPFS&DPE,

,BPBF

??麗一茄’

ZADC=90°,ZDAC=45°,

an4c是等腰直角三角形，

DE=AE=CE=-AC,

2

,ZZABC=ZADC=90°,

，四邊形ABCD內(nèi)接于G)E,

設(shè)。E的半徑為尺，則DE=A,AC=2R,

?：ABAC=30°,

]_________1pl

BC=-AC=R,AB=NAC2-BC?=也R，BF=-AB=—R,

222

..BPBF

?DP-DE'

叵R廠

ABP__V3,

R~~2

??3=5

DP

作尸PHIBC,垂足分別為G,H,

A

、I/z

c

???△。/c是等腰直角三角形,

???AD=CD,

?*,AD=CD，

/ABD=/CBD=45。,

：.PG=PH,

???ZBAC=30°f

ZPCH=60°,/CPH=30。，

答案第9頁，共12頁

設(shè)CH=a,則CP=2。，PH=4CP1-CH1=?=PG，

/.AP=2PG=2瓶1a，

.AP2也arr

??-------------=75,

CP2a

.AP2BP

"'~CP~~DP'

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角

形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

12.(1)見解析

【分析】(1)過點、BE〃AD交BC于點、E,證明四邊形/BED是平行四邊形，再證明ABCE

是直角三角形，即可證明結(jié)論；

(2)如圖，以ZB、P8為邊構(gòu)造等邊△/3F和等邊△PBG,連接廠G/AMPJM,過點產(chǎn)

作WUCD于點AT,設(shè)W交N8于點。，形成手拉手全等小尸/絲3G/，得

PA=GF,PG=PB,所以PA+PB+PM=FG+GP+PM2FM,又因為M為。。上一動點，

所以當(dāng)PMLCD時，尸/+總+9取得最小值，等于尸"=g+VL

【詳解】(1)解：證明：過點、BE〃AD交CD于點、E,

■：DE//AB,AD//B