2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：基本不等式及其應(yīng)用（十八大題型）（練習(xí)）（解析版）

第04講基本不等式及其應(yīng)用

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................................3

題型一：基本不等式及其應(yīng)用....................................................................3

題型二：直接法求最值..........................................................................5

題型三：常規(guī)湊配法求最值......................................................................6

題型四：化為單變?法..........................................................................7

題型五：雙換元求最值..........................................................................8

題型六：“1”的代換求最值.......................................................................9

題型七：齊次化求最值.........................................................................10

題型八：利用基本不等式證明不等式.............................................................11

題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題...........................................................13

題型十：與a+b、平方和、成有關(guān)問題的最值...................................................16

題型十一：三角換元法.........................................................................19

題型十二：多次運(yùn)用基本不等式.................................................................22

題型十三：待定系數(shù)法.........................................................................23

題型十四：多元均值不等式.....................................................................24

題型十五：萬能K法...........................................................................24

題型十六：與基本不等式有關(guān)的恒（能）成立問題...................................................26

題型十七：基本不等式與其他知識交匯的最值問題.................................................27

題型十八：整體配湊法.........................................................................28

02重難創(chuàng)新練.................................................................................29

真題實(shí)戰(zhàn)練....................................................................................37

題型一：基本不等式及其應(yīng)用

1.（2024?高三?安徽蕪湖?期末）《幾何原本》第二卷中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成

了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱

之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示的圖形,點(diǎn)/在半圓。上，且。尸，AB,點(diǎn)C在直徑A3上運(yùn)動.作CD，AB

交半圓。于點(diǎn)。.設(shè)AC=a,BC=L）,則由產(chǎn)C2CD可以直接證明的不等式為（）

;

Aocb

A.（a>0,b>0）B.a2+b2>2ab（<a>0,b>0）

c-:羽匕^(。>。力>。)D-而佇

—(?>0,Z?>0)

【答案】D

【解析】連接位),8。，由題知CD_LAB,ADVDB,

所以ZADC+NCDB=NCDB+NCBD,即ZADC=NCBZ),

因?yàn)镹ACD=/DCB=90,

所以八48ADCB,

匚UnACCD<—

所以1片=，即nnCD=yfab，

因?yàn)锳C=a,BC=b,

a+b"a+b_a-b

所以O(shè)F=------,OC=a------二

22一2'

所以。+EB=『十廿

1(a>0,b>0)

所以由FCNCD可以證明疝<

故選:D

2.下列運(yùn)用基本不等式求最值，使用正確的個(gè)數(shù)是（）

①已知所。，求的最小值；解答過程：**\ab

MI—x—=2；

ba

②求函數(shù)y=]^的最小值；解答過程：可化得y=

H—/22,

^/774'

2解答過程：2x

③設(shè)X>1,求k無+口的最小值;y=x+^->2,

x—1x-\

2把％=2代入2、戶得最小值為4.

當(dāng)且僅當(dāng)％=:即尤=2時(shí)等號成立,

x-\Vx-1

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】A

【解析】對①：基本不等式適用于兩個(gè)正數(shù)，當(dāng)必<0,/與2均為負(fù)值,

ba

此u時(shí)n.一a十一b二一

ba

當(dāng)且僅當(dāng)￡=2,即a=b<0時(shí)等號成立，故①的用法有誤，故①錯(cuò)誤；

ba

對②：y=V%2+4+

=

[夭2+4,即J.2+4=1時(shí)取等號,

但正百22,則等號取不到，故②的用法有誤；

22

對③：x>l,x-1>0fy='x~\-------=x—1H--------F1>2A/2+1,

x—1x—1

當(dāng)且僅當(dāng)1-1=0,即x=0+l時(shí)取等號，故③的用法有誤；

故使用正確的個(gè)數(shù)是。個(gè)，

故選：A.

3.下列不等式一定成立的是（）

A.lg|x2+—|>lg^（x>0）B.sinx+^—>2（x手k兀，keZ）

I4Jsinx

C.x2+l>2|x|（xe/?）D.—>1（XGR）

11x+1

【答案】C

【解析】A：當(dāng)x時(shí)，有/+：=%,故不等式不一定成立，故A錯(cuò)誤；

24

B：當(dāng)sinx=—l,即％=2左"+當(dāng)（左EZ）時(shí)，有sinx+一一=一2<2,故不等式不一定成立，故B錯(cuò)誤;

2sinx

C：V+1-2國=（閉-1）匿。恒成立，故C正確；

D：當(dāng)x=l時(shí)，有二二=[<1,故不等式不一定成立，故D錯(cuò)誤；

x2+l2

故選：C

題型二：直接法求最值

4.（2024?上海普陀?二模）若實(shí)數(shù)。，b滿足a-2620,則2。+"的最小值為.

【答案】2

【解析】因?yàn)?">0,—y>0,a—2b>0,

4

所以2T=2"+條2,2"<=2后三2亞=2,

當(dāng)且僅當(dāng)2。=，，即a=6=0時(shí)等號成立，

所以2"+好的最小值為2.

故答案為：2.

h2

5.（2024?高三?上海青浦?期中）若a/￡R且滿足而=8,則/+幺的最小值為_______.

16

【答案】4

【解析】因?yàn)槎?8,所以〃2>042>0,

當(dāng)。2=7，即6=4〃=40或b=4a=-40時(shí)取等號,

16

所以/+幺*的最小值為4.

16

故答案為：4.

6.若x>0,則x+士的最小值為.

X

【答案】4

【解析】因?yàn)閤>0,則X+422、14=4,當(dāng)且僅當(dāng)X=2時(shí)，等號成立,

xY%

故答案為：4.

題型三：常規(guī)湊配法求最值

7.若x>l,則x+一1的最小值是—.

x-l

【答案】3

【解析】*?*%>1,

???x+-^=x-l+-^—+l>2j(x-l)x-^—+1=3,

x-lx-lVx-l

當(dāng)且僅當(dāng)彳-1=<即x=2時(shí)取等號，

X-L

**?X=2時(shí)x-\---^取得最小值3.

x-l

故答案為：3.

8.若x>T,則函數(shù)〃x)=￡的值域是.

【答案】［0,+。)

【解析】???〃X)=￡=(X+1)22(X+1)+1

=(x+l)+———2-

x+1x+1')x+1

當(dāng)x>-l時(shí)，/(x)>+-2=0,

當(dāng)且僅當(dāng)》+1=工，即x=0時(shí)取等號；

故函數(shù)的值域?yàn)椋?,+8).

故答案為：［0,+8).

9.若一!<x<l,則yJ-21+2有()

2x-2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

【答案】A

【解析】因—則0<l—x<2,

于是得y=—%)+1=一\[(1_J)T——]<?2A/(1-X)-=-1,當(dāng)且僅當(dāng)1一兀---，即％=0時(shí)取

21—x21—x2V1—x1—x

，=中手有最大值一

所以當(dāng)％=0時(shí),

故選：A

題型四：化為單變量法

10.若a+人+c=4,3a-\-2b-c=0,貝!Jah的最大值為（）

A.-B.3C.-D.正

6633

【答案】C

【角星析】由a+b+c=4,3Q+2Z?-C=0,

可消去。得到4a+3A=4,

3

貝=令>=血

4

.\y=--b2+b=--（b--）2+-,

4433

2i

???當(dāng)"二W時(shí)，

故乃的最大值為g.

故選：C.

11.（2024?高三?河南漠河?期末）設(shè)正實(shí)數(shù)尤、>、z滿足/-孫+y2-z=0,則￡的最大值為（）

Z

A.4B.2C.3D.1

【答案】D

【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)1、>、Z滿足九2一孫+y2—z=。，貝丘二公+丁一孫，

現(xiàn)=——=-1—<1—=1

22

所以，zx+y-xy2+［一12l￡.y_1，

,%^yx~

YV?

當(dāng)且僅當(dāng)一=上（x>o，>>o）時(shí)，即當(dāng)尤=y時(shí)，等號成立，

yx

故?的最大值為1.

Z

故選：D.

8

12.已知正數(shù)x,y滿足3一=93則x+一的最小值為.

■y

【答案】12

Q

【解析】由3一=9、可得％-4=2y,即x=2y+4,代入x+一中，

y

82I

可得2y+4+—=2y+—+4Z22y—+4=12,

當(dāng)且僅當(dāng)y=2,x=8時(shí)，取等號，

8

所以X+一的最小值為12.

y

故答案為：12.

13.已知尤,yeR\^2x+y+xy=7,則x+2y的最小值為.

【答案】6拒-5

7-2r

【解析】由x,ywR+,且2%+y+盯=7,可得y=

x+1

rri.l__7—2%—3%+14

則x+2y=九+2x-------=----------------,

x+1x+1

設(shè)，=%+1,可得％=，—1且,>1,

—T/曰3X+145/+1818_I18_/后右

可得---------=---------=t+——5>2Jt------5=6^2—5,

x+1ttxt

當(dāng)且僅當(dāng)”;時(shí)，即=3后時(shí)，等號成立，所以》+2y的最小值為6亞-5.

故答案為：6V2-5-

題型五：雙換元求最值

62

14.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知無>丁>。,一r二則2-的最小值為

【答案】12

【解析】令T222

b=----,貝"+y=一x—y=一，且。>0,Z?>0,

九一yab

匚…

所以x=一1+1：,y=1——1-.

abab

又3a+Z?=l,所以2x-y=2

=3+-+—+3>6+2.2.也=12,

abab

當(dāng)且僅當(dāng)。=J,b=\,即x=8,y=4時(shí)，等號成立.

62

故答案為：12

15.（2024?高三?福建龍巖?期中）已知x>0,y>。且爐+3丁+4孫=8,則3x+5y的最小值為

【答案】8

【解析】由f+3y2+4孫=8得爐+4沖+4y2-y2=8,

即(x+2y)2-y2=8,所以(x+3y)(x+y)=8,

3a-b

cX—,

令f=x+y，得2

[b=x+3y,

所以ah=8,3x+5y=2a+/N2J2〃Z?=8,當(dāng)且僅當(dāng)2〃=b,即x=y=l時(shí)，等號成立.

故答案為：8

題型六："1"的代換求最值

16.（2024?高三?江蘇南京?開學(xué)考試）函數(shù)>=1%（彳+2）-3（a>0且awl）的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)

n1

A在直線;依+〃y+l=0上，其中他”>0,則一+一的最小值為.

mn

【答案】5

【解析】對于函數(shù)y=log°（x+2）-3,令x+2=l,可得x=-l,y=-3,可知A（—l,—3）,

若點(diǎn)4（-1,一3）在直線mr+〃y+l=0上，則一根一3〃+1=0,即%+3九=1,

n1nm+3nnm

貝!]一+—=一+-----=—+—+3,

mnmnmn

m

且的>0,貝!J—,—>0,

mn

_J,ZP,n1nminm

RT—i—=—i----F322J--------F3=5,

mnmn\mn

nmI

當(dāng)且僅當(dāng)2=',即加="=;時(shí)，等號成立，

mn4

n]

所以二+2■的最小值為5.

mn

故答案為：5.

17.（2024?四川南充?二模）已知尤，y是實(shí)數(shù)，x>0,y>0,且無+y=4,則L+工的最小值為________

xy

【答案】1

【解析］因?yàn)闊o>0,y>0,且無+y=4,所以工+_1=21+工］(》+>)=!(2+2+2］,

xyy/yJ

因?yàn)椤?二22,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)，取到等號，

%y

所以,即'+'的最小值為1.

%yxy

故答案為：1

18.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)若直線2M+隊(duì)一4=00>0,/>0)過函數(shù)y=loga(%—l)+2(a>0，且)

的定點(diǎn)T,則4n+24的最小值為.

mn

【答案】6

【解析】.x=2時(shí)，y=log0l+2=2,

?.?函數(shù)V=log.(x-l)+2(a>0,且a片1)的圖象恒過定點(diǎn)7(2,2),

定點(diǎn)7(2,2)在直線2〃a+〃>一4=0上，二2根+“=2,

,mn>0,/.m>0,n>0,

n42—2m424.

—+—=--------+—=——+——2,

mnmnmn

,24124-c、1In8m..1,r—：

由——F—=—(——zF—)(2m+n)=z—o(8H-----1------)>4+—X2A/16=8o,

mn2mn2mn2

當(dāng)且僅當(dāng)〃=2機(jī)=1時(shí)取等號.

n4

即當(dāng)且僅當(dāng)〃=2m=1時(shí)，—I—取得最小值為8-2=6.

mn

故答案為：6.

19.(2024?上海徐匯?二模)若正數(shù)a、6滿足，+：=1,則2a+b的最小值為_____.

ab

【答案】3+2&/20+3

【解析】由已知2a+6=(2a+b)(1+；)=3+孕+々23+2立，當(dāng)且僅當(dāng)孕=2,即0=i+正/=i+血時(shí)

abbaba2

等號成立，故所求最小值是3+20.

故答案為：3+20.

題型七：齊次化求最值

20.（2024?高三?浙江?開學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)滿足x+2y=l,則工+上的最小值為________.

xy

【答案】1+20/20+1

【解析】正實(shí)數(shù)男丁滿足x+2y=l,有'12，=—+'-2,

xyxyxy

則工+三=4+4_2=(4+4](無+2封_2=1+'+々21+2<^^=1+2后,

xyxyy)yxyyx

當(dāng)且僅當(dāng)土出，即冗=&—1。=”也時(shí)等號成立，

y%2

1XL

所以一+一的最小值為1+2直.

xy

故答案為：1+2返

1-Y2

33

21.已知x>0,>0,x+y=x-yf貝lj—「的最小值是()

y

A.2B.2+6C.75+2D.272+2

【答案】D

v3+v3

【解析】X>0,y>0,^+y^=x-y>0,即有2L=1且x>y,

%一y

Y+y3.

將24代入?得一二+一

孫一y￡

y

令用>1，〃，)=合，”1)，

r2+l_(r2-l)+222

,?/(，)==t+l+——=(r-l)+——+2

t-1t-1t-1t-1

2

Q/>1,1)H--------F2之2y+2

t—1

當(dāng)且僅當(dāng)―1=六，即￡=&+1時(shí)等號成立，

2.11_2

所以/(。=胃f■”>1)的最小值2亞+2,即寧y的最小值是2近+2.

故選：D.

題型八：利用基本不等式證明不等式

22.已知〃，b,c為正數(shù),函數(shù)/(%)=卜+4+,+4+卜一小

(1)若。=》=。=2,求/(x)的最小值;

⑵若"0)=1且。，b,c不全相等，求證：^c+cia+aib>abc.

【解析】(1)由題意得〃x)=2|x+2|+k—2|,

—3x—2,xW—2

/(x)={x+6,-2<%<2,

3%+2,x>2

?,?當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)〃可取得最小值4.

(2),??〃，b,。為正數(shù)，且〃0)=1,???a+b+c=l,

222

廿bca

二?要證分c+c%+a%>,即證-----1------1---->1.

abc

—+—+—+a+b+c=—+a+—+b+—+c>+2A/?+2y[a^-2(a+b+c]=2,

abcabc

當(dāng)且僅當(dāng)。=Z?=c時(shí)取等號.

h2c2a2

又a,b,。不全相等，，幺+巳+幺>1,即后c+cBa+/bAHc.

abc

23.不等式選講已知a/,c均為正實(shí)數(shù)，函數(shù)/(%)=卜-4“|+,+叫+0的最小值為4.

⑴求證：ab+bc+ca>9abc；

⑵求證：6y[ab+3y[bc+2y[ca<4.

【解析】(1)a,b,c>。,

f^x)=\x—4a+|x+9Z?|+c>|x—4tz—(x+9b)|+c=4a+9Z?+c,

當(dāng)且僅當(dāng)(%—4a)(x+9?W0時(shí)取等號，

「.4a+9b+c=4,ab+bc+ca>9abc,只要證‘+'+'29,

abc

3+4

由柯西不等式得(4a+90+c)--~i=+3y[b--1=+=(2+3+l>=36,

abc)

2ill

當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b=c=—時(shí)取等號，—d---F—>9,/.ab+bc+ca>9abc.

3abc

(2)由基本不等式得4a+9b>12y[ab,9b+c>6yfbc,c+4〃24y[ca,

4

以上三式當(dāng)且僅當(dāng)4〃=9b=c=-時(shí)同時(shí)取等號，將以上三式相加得

\2\fab+6y[bc+4y/caW4a+9b+9b+c+c+4〃=8,即6y[ab+3y[bc+2y[ca<4.

24.(2024?四川資陽?模擬預(yù)測)已知。>0,b>0,且a+Z?=2.

⑴求/+〃的最小值；

(2)證明：671+^/^工1<2&?

【解析】(1)(2)因?yàn)閍+b=2,所以4+/+2ab=4,所以/+u=4—9.

2

因?yàn)椤?gt;0,Z?>0,所以仍工二1,當(dāng)且僅當(dāng)〃=6=1時(shí)，等號成立,

貝IJ/+從之4—2=2,即/+/的最小值是2.

（2）證明：因?yàn)閼?yīng)x而TvW，當(dāng)且僅當(dāng)a=l時(shí)，等號成立，

2

應(yīng)xMRw等，當(dāng)且僅當(dāng)6=1時(shí)，等號成立，

所以xJa+1+V5>Jb+1V―-—I—--=4.當(dāng)且僅當(dāng)<7=6=1時(shí)，等號成立

則閭&+1+八+1六4,即J°+l+Jb+lv20，當(dāng)且僅當(dāng)。=6=1時(shí)，等號成立.

題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題

25.（2024?黑龍江?二模）"不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子?離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相

互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖

中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角。滿足

COS?=1,則這塊四邊形木板周長的最大值為（）

【答案】A

【解析】因?yàn)樗倪呅文景宓囊粋€(gè)內(nèi)角a滿足cos1=；,如圖,

B

設(shè)=由題設(shè)可得圓的直徑為Jl00+25=5如,

故=5j^sincz,因cosa=g,a為三角形內(nèi)角，故sina=2垃,

33

品ncu匕27210加

故BD=5J5x—=——,

33

ftAB-+AD2-2ADxABcosa=BD2

故（AB+WJ如超+您〈生空直+3，

v73939

故AB+ADVJ用5=坦凸，當(dāng)且僅當(dāng)AB=A。=孚時(shí)等號成立,

同理8C+CO4坦叵，當(dāng)且僅當(dāng)BC=CO=%叵等號成立，

33

故四邊形周長的最大值為10（而+啊cm,

3

故選：A.

26.（2024?廣東韶關(guān)?二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)算公式

是w=（長+4）x（寬+4）,在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平

方米收費(fèi)1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

【答案】C

【解析】設(shè)矩形場地的長為無米，則寬為二匕米，

X

E，八/I。。。。八,40000cr—40000

W=（x+4）（--------1-4）=4XH-----------1-10016>2./4X----------1-10016—10816，

xxvx

當(dāng)且僅當(dāng)4x=理則，即x=100時(shí)，等號成立.

X

所以平整這塊場地所需的最少費(fèi)用為1x10816=10816元.

故選：C

27.（2024?高三?山東濟(jì)寧?開學(xué)考試）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里

購買10g黃金，售貨員現(xiàn)將5g的祛碼放在天平的左盤中，取出空黃金放在天平右盤中使天平平衡；將天平

左右盤清空后，再將5g的祛碼放在天平右盤中，再取出無黃金放在天平的左盤中，使天平平衡；最后將兩

次稱得的黃金交給顧客.則（）

A.x+y>10B.x+y=10

C.x+y<10D.以上都有可能

【答案】A

【解析】設(shè)天平左臂長為。，右臂長為6,且出b,則有5a=動，ya=5b,即x=浮,y=—,

ba

5a5bJa力、、「一

所以，1十>=丁"1=5—H—25x2=1°,

ba\baJ

又因?yàn)椤╞,所以％+y>10.

故選：A

28.（2024?高三?北京朝陽?期末）根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)量受勞動投入、資本投入和技術(shù)水

平的影響，用。表示產(chǎn)量，L表示勞動投入，K表示資本投入，A表示技術(shù)水平，則它們的關(guān)系可以表示

為。=4不"，其中A>0,K>0,L>0,0<a<l,0<￡<l.當(dāng)A不變，K與七均變?yōu)樵瓉淼?倍時(shí)，下面結(jié)論中正確

的是（）

A.存在a<J和/<：,使得Q不變

11

B.存在。>了和尸>下，使得。變?yōu)樵瓉淼?倍

C.若郵=g,則。最多可變?yōu)樵瓉淼?倍

D.若。2+6=1,則。最多可變?yōu)樵瓉淼?倍

【答案】D

【解析】設(shè)當(dāng)A不變，K與L均變?yōu)樵瓉淼?倍時(shí)，Q=A（2Kf（2Lf=2a+f!AKalf=2a+/lQ,

對于A,若。則i=,2。+0<_2,故A錯(cuò)誤；

對于B,若a>=和則本+尸>?；*\?）故B錯(cuò)誤；

對于C,若羽=｝，則近涉腐=2，即若必=：，故C錯(cuò)誤；

對于D,若/+夕2=：,由〃+2奶+加交⑷+"），0<?<1,0</?<1,可得2&+吆2即同=2,故D正

確.

故選：D.

29.某合作社需要分裝一批蔬菜.已知這批蔬菜只由一名男社員分裝時(shí)，需要12天完成，只由一名女社員分

裝時(shí)，需要18天完成.為了讓市民盡快吃到這批蔬菜，要求一天內(nèi)分裝完畢.由于現(xiàn)有的男、女社員人數(shù)都不

足以單獨(dú)完成任務(wù)，所以需要若干名男社員和若干名女社員共同分裝.已知分裝這種蔬菜時(shí)會不可避免地造

成一些損耗.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，這批蔬菜分裝完畢后，參與任務(wù)的所有男社員會損耗蔬菜共80千克，參與任務(wù)

的所有女社員會損耗蔬菜共30千克.則參與分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損

耗蔬菜量（千克）之和的最小值為（）

A.10B.15C.30D.45

【答案】B

【解析】設(shè)安排男社員了名，女社員y名,

根據(jù)題意，可得臺+劣=1，平均損耗蔬菜量之和為一+一,

1218xy

則辿+把=但+叫住+2]=處+生+”>2

xy（xj）U218J9x2y3\9x2y3

=4+?=15,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?乎，即犬=8?=6時(shí)等號成立，

339x2y

則分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為15.

故選：B.

題型十：與。+公平方和、ab有關(guān)問題的最值

30.（多選題）（2024?全國?模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)〃，人滿足3a之+3必+4H?=5,則下列結(jié)論正確的是（）

2

A.ab<1B.ab2—

5

C.a2+b2>2D.-41<a+b<41

【答案】AD

【解析】因?yàn)?=3a2+3b2+4ab>6az?+4他=10他,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)=\b\=時(shí)等號成立，所以〃b（；,A正確；

o5

因?yàn)?4+3/?2+4〃/?=5,所以3（々+萬）=5+2ab>Q,所以〃B錯(cuò)誤；

IS5=3a2+3Z?2+4ab<3a2+3b2+2a2+2b2=5a2+5b2,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)=我卜孝時(shí)等號成立，所以片+/21,

C錯(cuò)誤；

由3（a+b?=5+2"W5+2（與j整理，得（a+6『<2,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)=Q卜日時(shí)等號成立，

所以-應(yīng)4a+b4近，D正確.

故選：AD.

31.(多選題)已知位于第一象限的點(diǎn)(〃力)在曲線g+；=l上，則()

A.(?-1)(6-1)=-1ab>4

122

C.a+4h<9

【答案】BD

【解析】由題意可得--H—=1,且a>0,b>0,

對A：由一+石=1,即〃+/?=〃/?,故(a—1)僅-1)=而一(Q+/?)+1=1,故A錯(cuò)誤;

對B：1=1+1^2.--=-^=,當(dāng)且僅當(dāng)。=6=2時(shí)，等號成立，即a6222=4,故B正確;

ab\aby/ab

對C：a+4Z?=(a+4Z7)-+-=1+4+——+->5+2J-------=9,

b)ab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)4空b=:a時(shí)，等號成立，故c錯(cuò)誤；

ab

對D：由工+!=1,故！=1一?>0,故

ab

,故D正確.

故選：BD.

32.(多選題)設(shè)正實(shí)數(shù)x>0,J>0,且滿足x+y+3=孫，貝i]()

A.4x+y>13B.xy<9

C.x2+y2<18

【答案】AD

【解析】對于A項(xiàng)，由為+,+3=孫可得：(x-r)y=x+3,

因X>1,故》==，將其代入4x+y可得：

Y+344/A

4x+——=4%+1+——=4(1)+——+522j4(x—1)?'+5=13,

X—1X—1X—1yX—1

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號成立，故A項(xiàng)正確；

對于B項(xiàng)，由xy=x+y+3>2y[xy+3nJ(yfxy-3)(y[xy+1)>0,

因而'>0，故得：而23,則孫N9,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時(shí)等號成立，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于C項(xiàng)，由S=f+丁=(x+y)2-2xy=(孫-3)?-2孫=(xy)2-8xy+9,

設(shè)上孫，由上分析知，t>9,

則5=?-4)2-7在[9,+s)上單調(diào)遞增，故S218,即C項(xiàng)錯(cuò)誤；

工十h工11x+yxy-33

對于D項(xiàng)，由一+—==i=1,

xyxyxyxy

由上分析知孫29,則0<,4，

xy9

23211

故一一<1,即丁<一+一<1,故D項(xiàng)正確.

3xy3xy

故選：AD.

13

33.(多選題)已知。>0,b>0,-+-=1,則下列說法正確的是()

ab

A.出?的最小值為12

B.a+b的最小值為4行

C."十〃的最小值為24

13

D.-+-一^的最小值為2

a—1b—3

【答案】AD

【解析】A選項(xiàng)：1+，2區(qū),即2、gwl,解得疑212,當(dāng)且僅當(dāng)工=],即。=2,6=6時(shí)等號成立,

ab\ab\abab

A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)：a+6=(a+6)(L+3]=l+應(yīng)+^+324+2型=4+2百，當(dāng)且僅當(dāng)年=2,即a=

6=土衛(wèi)時(shí)等號成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2

C選項(xiàng)：由一1+；3=1,得。==b

abb—3

設(shè)函數(shù)=+X1,X>3,

=0,解得x=3+30

所以函數(shù)/(x)在3,3+33上單調(diào)遞減，在13+3：+8]上單調(diào)遞增,

(1A

所以/3+3§224,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

7

____I____=________I____=_____I____>2A_33

D選項(xiàng)：Q—1b-3~bb-3~3b-3—，當(dāng)且僅當(dāng)一二=1—7,即6=6,。=2時(shí)等號成立,

;~1~3b-3

b-3

D選項(xiàng)正確；

故選：AD.

題型十一：三角換元法

34.（多選題）由知實(shí)數(shù)°,b滿足4+4〃=2,則（）

A."的最大值為T

B.的最大值為2指

「VTO

C.a-b.er-------,------

22

D.當(dāng)a>O,O<b<正時(shí)，3T的最大值為史

4a+2b4

【答案】AC

【解析】對于A中，由不等式/+4/244，可得4MV2,解得油4；,

當(dāng)且僅當(dāng)。=?時(shí)，等號成立，所以A正確；

[a+b=m,

對于B中，設(shè)=聯(lián)"方程組〈2……整理得5^-2"仍+-2=0,

[片+4/=2

由△=（-2m）2-4x5（毋一2）20,解得病《鼠可得-叵4加4巫，

222

所以a+b的最大值為?,所以B不正確；

2

|Q—b=〃

對于C中，沒a-b=n,聯(lián)立方程組2“2C，整理得立2+2泌+〃2-2=0,

[a-+4Z?-=2

由A=（2"）2-4'5（1一2）30,解得/^之，可得一?V"<畫,

222

A/10X/10

所以。-〃的最大值為——丁,所以C正確;

"b2i

+=1

對于D中，由/+4匕2=2,BPTT

2

設(shè)〃=A/2COSe,b=與n。,則absincos

2a+2bV2(cos0+sin6)'

戶一1

設(shè)，=sine+cos6,可得*=(sin6+cos6)2=l+2sin9cos。,可得sin8cos6=------

因?yàn)閍>0,0<6V受，可得0<@sin6〈也，BP0<sin^<-,

4242

不妨設(shè)。可得：<6+：*

貝Ur=sin0+cos0=41sin(O+：)e(1,，

?-l

所以ab_sin<9cos_2_1?1)

a+2bV2(cos0+sin0)也t2A/2t

又因?yàn)?'(()=，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以*"無最大值，所以D不正確.

ta+2b

故選：A