2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之函數(shù)應(yīng)用

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之函數(shù)應(yīng)用(2024年7月)

選擇題(共10小題)

1.已知函數(shù)/(x)=J?-2x+a(產(chǎn)梟Ki)有唯一零點，貝IJ〃=()

11

A.B.-C.一D.1

32

2.函數(shù)/(%)=仇-2卜/加在定義域內(nèi)零點的個數(shù)為(

A.0B.1C.2D.3

(px.%v0

3.已知函數(shù)/(x)=|一，g(%)=/(%)+%+〃.若g(%)存在2個零點，則a的取值范圍是()

vlnx,x>0

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

若函數(shù)y=亨1與(x)圖象的交點為(xi,yi),

4.已知函數(shù)f(x)(xER)滿足了(-%)=2-/(%),y=/

(X2,y2),…，Cxmf?z),則￡曙1(8+y)=()

A.0B.mC.2mD.4m

2-\x\,x<2

5.已知函數(shù)/(%)函數(shù)g=b-f(2-x\其中Z?ER,若函數(shù)y=/(x)-g(x)

(%—2)2,x>2

恰有4個零點,則b的取值范圍是()

7777

A.(-,+8)B.(-°°,-)C.(0,-)D.(-,2)

4444

6.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為R,滿足/(x+1)=2f(x),且當(dāng)xG(0,1]時，f(x)=x(x-1).若對任

意xe(-8,河，都有了(%)>-1,則根的取值范圍是(

9758

A.(-°0,-]B.(-°°,-]C.(-8,-]D.(-8,-]

4323

酎+1'"<0使/a)

7.已知/(x)=2-1成立的x的取值范圍是()

—(%—I)2/x>0

A.[-4,2)B.[-4,2]C.(0,2]D.(-4,2]

2~xY<A

'~,則滿足/(x+1)<f(2x)的1的取值范圍是()

{1/x>0

A.(-8,-i]B.(0,+8)C.(-1,0)D.(-8,o)

9.已知函數(shù)/(x)(xGR)滿足/(%)=f(2-x),若函數(shù)y=|/-2x-3|與y=/(x)圖象的交點為(xi,

yi),(%2,y2),…，(xm,ym)9則￡整1Xi=()

A.0B.mC.2mD.4m

10.已知函數(shù)/(x)=『1用;”<2,函數(shù)g(尤)=3(2-X),則函數(shù)y=/(x)-g(x)的零點個

1(%—2)，x-^*2

數(shù)為(

填空題(共5小題)

11.己知函數(shù)了(無)=，其中機＞0,若存在實數(shù)6,使得關(guān)于x的方程/(x)=b

X2—2mx+4m,x>m

有三個不同的根，則加的取值范圍是.

12.已知函數(shù)/(x)=|2工-2|-6有兩個零點，則實數(shù)6的取值范圍是

13.函數(shù)/(X)=cos(3x+1)在[0,n]的零點個數(shù)為.

14.設(shè)函數(shù)f(x)=].

.4(%—a)(x—2a),x>1

①若4=1,則/(X)的最小值為；

②若/(%)恰有2個零點，則實數(shù)〃的取值范圍是.

15.已知函數(shù)/(x)=log2(/+〃)，若/(3)=1,則4=.

三.解答題(共5小題)

16.某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進(jìn)機器時，可以

額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)

需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換

的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：

頻數(shù)八

24--------------------------I—|-—[―?

20-------------------------------------------yq

16-----------------I

10----------------------------------------------------T—I

6---------yq

o1Azs-----1—1—1—1――~~~~~~~1—1---------------?

161718192021更換的易損零件劌

記X表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用

(單位：元)，"表示購機的同時購買的易損零件數(shù).

(I)若幾=19,求y與x的函數(shù)解析式；

(II)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于W”的頻率不小于0.5,求W的最小值；

(III)假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別

計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應(yīng)購

買19個還是20個易損零件？

17.已知函數(shù)無)—In(1+x)+axex.

(1)當(dāng)。=1時，求曲線>=/(無)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)若/(無)在區(qū)間(-1,0),(0,+8)各恰有一個零點，求。的取值范圍.

18.己知函數(shù)F(無)=min［2\x-1|,/-2ar+4ci-2),其中min(p,q)=yV—

(q,p>q

(I)求使得等式F(x)=/-2辦+4a-2成立的龍的取值范圍；

(II)(z)求尸(%)的最小值根(a)；

(zz)求尸(%)在［0,6］上的最大值M(a).

19.已知。是實數(shù)，函數(shù)/(x)=2a?+2x-3-a,如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［-1,1］上有零點，求。的取

值范圍.

20.設(shè)函數(shù)/(x)=|2x+l|+|x-1|.

(1)畫出y=f(x)的圖象；

(2)當(dāng)xe［0,+8)時，f(x)Wax+b,求a+b的最小值.

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之函數(shù)應(yīng)用（2024年7月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.已知函數(shù)/（X）=/-2%+〃有唯一零點，貝!J〃=（）

111

A.一方B.-C.-D.1

232

【考點】函數(shù)零點的判定定理.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】c

【分析】方法一：通過轉(zhuǎn)化可知問題等價于函數(shù)y=l-（X-1）2的圖象與y=a（"-1+白）的圖象

只有一個交點求。的值.分。=0、。＜0、。＞0三種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得結(jié)論.

方法二：由已知令f=x-l,則=P+q（￡+/'）-1為偶函數(shù)，圖象關(guān)于f=0對稱，結(jié)合已知函

數(shù)有唯一零點及偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱可求.

【解答】解：因為/（x）=/-2x+a（，〔+/廿1）--1+（尤-1）2+a（＜r￥=0，

所以函數(shù)/（X）有唯一零點等價于方程1-（尤-1）2=。（，-1+為）有唯一解，

等價于函數(shù)y=l-（X-1）2的圖象與（/7+擊）的圖象只有一個交點.

①當(dāng)4=0時，f（x）=/-2x2-1,此時有兩個零點，矛盾；

②當(dāng)QVO時，由于y=l-（%-1）2在（-8,1）上遞增、在（1,+8）上遞減，

且（/-1+Wr）在（-8,1）上遞增、在（1,+8）上遞減，

ex—1

所以函數(shù)y=l-（x-1）2的圖象的最高點為A（1,1）,y=a（/〔+g±的圖象的最高點為B（T,

2a）,

由于2〃VOV1,此時函數(shù)y=l-（X-1）2的圖象與＞=〃（/-1+告）的圖象有0個，2個或4個交

點，矛盾；

③當(dāng)a＞Q時，由于y=l-（%-1）2在（-8,1）上遞增、在（1,+8）上遞減，

且（/i+-^4r）在（-8,1）上遞減、在（1,+8）上遞增，

ex~l

所以函數(shù)y=l-（x-1）2的圖象的最高點為A（1,1）,y=a（炭i+一7）的圖象的最低點為B（1,

ex~l

2a),

由題可知點A與點8重合時滿足條件，即2a=1,即。=受符合條件;

綜上所述，a=

方法二：f(x)—x1-2x+a(^'_1+e-x+1)=(x-1)2+a(e^*+e-￥+1)-1,

令貝!]y=e+a(e'+e")-1為偶函數(shù)，圖象關(guān)于t=0對稱，

若y=0有唯一零點，則根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)/=0時，j=-l+2a=0,

所以。=￡.

故選：C.

【點評】本題考查函數(shù)零點的判定定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合能力，

考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于難題.

2.函數(shù)/(x)=|x-2|-/nx在定義域內(nèi)零點的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】C

【分析】先求出函數(shù)的定義域，再把函數(shù)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的方程，在坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)yi=|x-2|,”

=lnx(x>0)的圖象求出方程的根的個數(shù)，即為函數(shù)零點的個數(shù).

【解答】解：由題意，函數(shù)/(x)的定義域為(0,+8);

由函數(shù)零點的定義，f(x)在(0,+8)內(nèi)的零點即是方程僅-21-加x=0的根.

令yi=|x-2|,yi=lnx(x>0),在一個坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象：

由圖得，兩個函數(shù)圖象有兩個交點，

故方程有兩個根，即對應(yīng)函數(shù)有兩個零點.

故選：c.

【點評】本題考查了函數(shù)零點、對應(yīng)方程的根和函數(shù)圖象之間的關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化和作圖求出函數(shù)零點的

個數(shù).

e%xV0

'一,g(x)=/(x)+x+a.若g(x)存在2個零點，則。的取值范圍是()

{Inx,x＞G

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】C

【分析】由g(尤)=0得/(x)^-x-a,分別作出兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象交點個數(shù)與函數(shù)零點之

間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：由g(x)=0得/(無)=-x-a,

作出函數(shù)/(x)和＞=-X-a的圖象如圖：

當(dāng)直線y=-x-a的截距-aWl,即a2-1時，兩個函數(shù)的圖象都有2個交點，

即函數(shù)g(x)存在2個零點，

故實數(shù)。的取值范圍是[-1,+8),

故選：C.

【點評】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)與零點之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題

是解決本題的關(guān)鍵.

4.已知函數(shù)/(無)(xGR)滿足/(-尤)-1-f(x),若函數(shù)y=與^與＞=/(無)圖象的交點為(xi,yi),

（X2,y2）,…，（xm,ym）,則￡魯1（尤+i?）=

A.0B.mC.2mD.4m

【考點】函數(shù)與方程的綜合運用.

【專題】函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】B

【分析】由條件可得/(X)4/(-X)=2,即有戶無)關(guān)于點(0,1)對稱，又函數(shù)y=室，即y=l+"的圖

象關(guān)于點(0,1)對稱，即有(xi,yi)為交點，即有(-xi,2-yi)也為交點，計算即可得到所求和.

【解答】解：函數(shù)f(x)(xeR)滿足/(-x)=2(x),

即為了(X)4/(-%)=2,

可得了(X)關(guān)于點(0,1)對稱，

函數(shù)y=中，即y=i+g的圖象關(guān)于點(0，1)對稱，

即有(xi,yi)為交點，即有(-xi,2-yi)也為交點，

(X2,*)為交點，即有(-%2,2-*)也為交點，

則有E曙1(.Xi+yi)=(xi+yi)+(尤2+、2)+…+(.Xm+ym)

(xi+yi)+(-Xl+2-yi)+(x2+y2)+(-無2+2->2)+…+(X)7!+Jm)+(-Xm+2-ym)]

故選：B.

【點評】本題考查抽象函數(shù)的運用：求和，考查函數(shù)的對稱性的運用，以及化簡整理的運算能力，屬于

中檔題.

(2_IYIxv2

5.已知函數(shù)/(x)=]'一，函數(shù)g(x)=b-f(2-x),其中Z?eR,若函數(shù)y=/(%)-g(x)

(%—2)2,x>2

恰有4個零點，則b的取值范圍是(

777

A.(-,+8)B.(-8,-)D.(-,2)

4

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】創(chuàng)新題型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】D

【分析】求出函數(shù)y=f(x)-g(x)的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)h(%)=f(x)(2-%),作出函數(shù)h(x)

的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

【解答】解：???g(X)=b-f(2-x),

??y=f(x)-g(x)=f(x)-b+f(2-x),

由，(x)-ZH/(2-x)=0,得/(x)4/(2-％)=b,

設(shè)/z(x)=f(x)4/(2-%)，

若xWO,貝!J-xNO,2-122,

則h(x)=f(x)+/(2-x)=2+%+/,

若0W%W2,則-2W-xW0,0W2-xW2,

則h(x)=f(x)+f(2-x)=2-x+2-|2-x|=2-x+2-2+x=2,

若x>2,-x<-2,2-x<0,

則h(x)=/(x)4/(2-x)=(x-2)2+2-|2-x|=?-5x+8.

x2+x+2/%<0

2,0<x<2,

{/—5%+8,x>2

作出函數(shù)人G)的圖象如圖：

當(dāng)xWO時，h(x)=2+X+X2=(X+1)2+^>p

當(dāng)x>2時，h(x)—-5x+8—(x-&)?+彳之7，

7

故當(dāng)時，h(x)=b,有兩個交點，

當(dāng)人=2時，h(x)=b,有無數(shù)個交點，

由圖象知要使函數(shù)y=/(%)-g(x)恰有4個零點,

即h(%)=b恰有4個根,

7

則滿足一<b<2,

4

故選：D.

v

111_____________11111?

-3-2-1O12345r

-1-

【點評】本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的

關(guān)鍵.

6.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為R,滿足/(x+1)=2/(%),且當(dāng)xe(0,1]時\f(x)=x(X-1).若對任

意成(-8,都有了(X)>-1,則機的取值范圍是()

9758

A.(-8,-]B.(-°0,-]C.(-°0,-]D.(-8,一]

4323

【考點】函數(shù)與方程的綜合運用.

【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】B

【分析】因為/(x+1)=2/(x),(x)=2f(x-1),分段求解析式，結(jié)合圖象可得.

【解答】解：因為/(尤+1)=^(無)，f(x)=2f(x-1),

斗

7S

-1I

..................’

?/xe(0,1]時，f(x)=x(x-1)e[-l0],

.?.xe(1,2]時，X-1￡(0,1],f(x)=2f(X-1)=2(X-1)(x-2)日一余0]；

.?.xe(2,3]時，X-le(1,2],f(x)=2f(X-1)=4(x-2)(x-3)e[-1,0],

當(dāng)(2,3]時，由4(x-2)(x-3)=—￡解得x=〈或x=等

87

--

右對任思xe(-8,列i，都有了(%)>93

故選：B.

【點評】本題考查了函數(shù)與方程的綜合運用，屬中檔題.

工Y-1-1v<0

7.已知/(無)=2+'~使/(x)成立的x的取值范圍是()

—(x—I)2,x>Q

A.[-4,2)B.[-4,2]C.(0,2]D.(-4,2]

【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】計算題.

【答案】B

【分析】此是一分段函數(shù)型不等式，解此類不等式應(yīng)在不同的區(qū)間上分類求解，最后再求它們的并集.

【解答】解：：/(尤)>7,

J尸dx>0

?[尹+12-1取1_(久722一1

-4W尤W0或0VxW2,

即-4WxW2.

應(yīng)選B.

【點評】本題考點是分段函數(shù)，是考查解分段函數(shù)型的不等式，此類題的求解應(yīng)根據(jù)函數(shù)的特點分段求

解，最后再求各段上符合條件的集合的并集.

2%xVQ

'一，則滿足/(尤+1)<f(2x)的尤的取值范圍是()

{1,x>0

A.(-8,-i]B.(0,+8)C.(-1,0)D.(-8,o)

【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】D

【分析】畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式轉(zhuǎn)化求解即可.

2—%丫VQ

{’的圖象如圖:

滿足了(尤+1)</(2x),

可得：2x<0<x+l或2x<x+lW0,

解得xe(-8,o).

【點評】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的解法，考查計算能力.

9.己知函數(shù)/(%)(無6R)滿足/(%)—f(2-x),若函數(shù)y=|7-2x-3|與y=/(%)圖象的交點為(xi,

yi),(X2,*),"?,ym)>則xi=()

A.0B.mC.2mD.4m

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】B

【分析】根據(jù)已知中函數(shù)/(%)(xeR)滿足/(%)=/(2-/，分析函數(shù)的對稱性，可得函數(shù)>=*-

2x-3|與y=f(%)圖象的交點關(guān)于直線1=1對稱，進(jìn)而得到答案.

【解答】解：???函數(shù)/(%)(xER)滿足/(x)=/(2-x),

故函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線I=1對稱，

函數(shù)y=|/-2x-3|的圖象也關(guān)于直線x=l對稱，

故函數(shù)y=|/-2x-3|與y=f(x)圖象的交點也關(guān)于直線x=l對稱，

不妨設(shè)〈X2<…則點(XI,>1)與點(xm,沏)，點(X2,>2)與點必-1),…都關(guān)于直

線x=l對稱，

所以Xl+Xm=X2^~Xm-1=…=Xm^~Xl—2，

1

由倒序相加法可得￡上1xi=1X2m=m,

故選：B.

【點評】本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的對稱性質(zhì)，難度中檔.

f2—IYI,%v2

10.已知函數(shù)/(x)={^一,函數(shù)g(尤)=3-f(2-X),則函數(shù)y=/(x)-g(x)的零點個

1(久—2產(chǎn)，%>2

數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】A

【分析】求出函數(shù)g(x)的表達(dá)式，利用y=/(x)-g(x)=0得到/(x)=g(尤)，作出兩個函數(shù)了

(%)和g(無)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

【解答】解：(x)=3-/(27),

.,.若2-尤W2,則x'O時，g(x)=3-f(2-x)=3-(2-|2-x|)=1+|尤-2|,

若2-尤>2,則x<0時，g(x)=3(2-x)=3-(2-%-2)°=-7+3,

由y=/(x)-g(x)=0得到無)—g(x),

作出兩個函數(shù)/(x)和g(x)的圖象如圖：

由圖象知兩個函數(shù)有兩個不同的交點，

故函數(shù)y=f(x)-g(無)的零點個數(shù)為2個,

【點評】本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的

關(guān)鍵.

填空題(共5小題)

11.已知函數(shù)/(x)=［可'X-m,其中能>0,若存在實數(shù)6,使得關(guān)于x的方程/(無)=b

1%2—2mx+4m/x>m

有三個不同的根，則加的取值范圍是(3,+8).

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】法1：作出函數(shù)/(x)=1團'X~m的圖象，依題意，可得4機-：/<機(機>0),

I%2—2mx+4m/x>m

解之即可.

法2：函數(shù)y=%2-2mx+4帆(x>m)是在(m,+°°)上的單調(diào)遞增函數(shù)，依題意，可得(|x|)\x=m>(x2

-2必+4帆)\x=nu解得小>3,可得答案.

【解答】解法1：當(dāng)機>0時，函數(shù)/(X)=?［四''與爪的圖象如下：

lx2—2mx+4m/x>m

Vx>m時，f(x)=J?-2mx+^m=(x-nr)2+4m-m2>4m-m2,

???y要使得關(guān)于x的方程/G)=b有三個不同的根，

必須4機-徵2VM(m>0),

即m2>3m(m>0),

解得m>3,

???根的取值范圍是(3,+8),

法2：注意到函數(shù)-2mx+4m(x>m)是在(機，+-)上的單調(diào)遞增函數(shù)，如上圖，因此，若存

在實數(shù)。，使得關(guān)于x的方程/(x)=匕有三個不同的根，那么必然有(園)|%=m>(f-2/7XV+4/72)\x=rrtf

解得m>3,

因此機的取值范圍是(3,+8)；

實際上，相>0是多余的條件，因為當(dāng)加W0時，組成/(x)的兩段函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，因此關(guān)于關(guān)于x

的方程/G)=6最多只有2個解，不符合題意.

故答案為：(3,+°°).

【點評】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，數(shù)形結(jié)合思想的運用是關(guān)鍵，分析得到4根-,后〈加是

難點，屬于中檔題.

12.己知函數(shù)/(x)=，-2|-b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是0<b<2.

【考點】函數(shù)的零點.

【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由函數(shù)f(x)=|2*-2|-6有兩個零點，可得|2*-2|=》有兩個零點，從而可得函數(shù)>=|2*-2|

函數(shù)y=6的圖象有兩個交點，結(jié)合函數(shù)的圖象可求b的范圍

【解答】解：由函數(shù)/(x)=|2*-2|-6有兩個零點，可得|2八2|=6有兩個零點，

從而可得函數(shù)>=|2工-2|函數(shù)y=6的圖象有兩個交點，

結(jié)合函數(shù)的圖象可得，0<b<2時符合條件，

【點評】本題主要考查函數(shù)的零點以及數(shù)形結(jié)合方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變

抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).

13.函數(shù)/(x)=cos(3x+1)在[0,nl的零點個數(shù)為3.

【考點】函數(shù)的零點.

【專題】計算題；對應(yīng)思想；定義法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由題意可得了(無)=cos(3x+1)=0,可得3犬+看=今+加:，AeZ,即x=.+蘇t,即可求出.

【解答】解：,.?/(%)=cos(3尤+《)=0,

JO

「?3x+z=號+Znr,ZEZ,

6Z

.7T1

??x=q+4左71,左cz,

當(dāng)k=0時，x=g

4

當(dāng)k=1時，X=gll,

7

當(dāng)k=2時，X=gll,

當(dāng)k=3時，x=岑IT,

VxG[0,n],

47

-7_r或X---

.X9

9J9

故零點的個數(shù)為3,

故答案為：3

【點評】本題考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及函數(shù)零點的問題，屬于基礎(chǔ)題.

14.設(shè)函數(shù)/(x)={.

(4(x—a)(x—2a),x>1

①若〃=1,則/(x)的最小值為-1；

②若/(尤)恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是,，1)52,+8)

【考點】函數(shù)的零點；分段函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】創(chuàng)新題型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】①分別求出分段的函數(shù)的最小值，即可得到函數(shù)的最小值；

②分別設(shè)力(%)=2%-〃，g(x)=4(x-a)(犬-2〃)，分兩種情況討論，即可求出4的范圍.

2%—1yV1

(4(%—1)(%—2)，x>1

當(dāng)xVl時，f(x)=2X-1為增函數(shù)，f(x)>-1,

當(dāng)x>\時，f(%)=4(x-1)(x-2)=4(x2-3x+2)=4(x—|)2-1,

當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x>|時，函數(shù)單調(diào)遞增，

Q3

故當(dāng)％=2時，f(x)min=f(-)=-1,

綜上所述函數(shù)/(%)的最小值為-1.

②設(shè)/z(x)=2X-a,g(x)=4(x-a)(x-2a)

若在％VI時，h(%)與1軸有一個交點，

所以。>0,并且當(dāng)x=l時，h(1)=2-〃>0,所以0V〃V2,

而函數(shù)g(x)=4(x-a)(x-2a)有一個交點，所以2〃21,且“VI,

1

所以一<a<l,

2

若函數(shù)/z(x)=2%在％VI時，與x軸沒有交點，

則函數(shù)g(x)=4(x-a)(x-2a)有兩個交點，

當(dāng)時，h(x)與x軸無交點，g(x)無交點，所以不滿足題意(舍去)，

當(dāng)〃(1)=2-aW0時，即時，g(%)的兩個交點滿足％1=〃，X2=2a,都是滿足題意的，

綜上所述。的取值范圍是g,1)U[2,+8).

【點評】本題考查了分段函數(shù)的問題，以及函數(shù)的零點問題，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力以及分

類能力，屬于中檔題.

15.已知函數(shù)/(x)=log2(/+〃)，若/(3)=1,則a=-7.

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；函數(shù)的值.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】直接利用函數(shù)的解析式，求解函數(shù)值即可.

【解答】解：函數(shù)/(x)=log2(/+〃)，若/(3)=1,

可得：log2(9+〃)=1,可得〃=-7.

故答案為：-7.

【點評】本題考查函數(shù)的解析式的應(yīng)用，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，是基本知識的考查.

三.解答題(共5小題)

16.某公司計劃購買1臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進(jìn)機器時，可以

額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)

需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換

記x表示1臺機器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用

(單位：元)，”表示購機的同時購買的易損零件數(shù).

(I)若"=19,求y與x的函數(shù)解析式；

(II)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于的頻率不小于0.5,求w的最小值；

(III)假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別

計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應(yīng)購

買19個還是20個易損零件？

【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用；頻率分布直方圖.

【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；概率與統(tǒng)計.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(I)若”=19,結(jié)合題意，可得y與x的分段函數(shù)解析式；

(II)由柱狀圖分別求出各組的頻率，結(jié)合“需更換的易損零件數(shù)不大于的頻率不小于0.5,可得〃

的最小值；

(III)分別求出每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件時的平均費用，比較后，可得

答案.

【解答】解：(I)當(dāng)〃=19時，

_09x200,%<19_(3800,%<19

,119x200+(x-19)x500,x>19(500%-5700,x>19

(II)由柱狀圖知，更換的易損零件數(shù)為16個頻率為0.06,

更換的易損零件數(shù)為17個頻率為0.16,

更換的易損零件數(shù)為18個頻率為0.24,

更換的易損零件數(shù)為19個頻率為0.24

又???更換易損零件不大于n的頻率為不小于05

則心19

：.n的最小值為19件;

(III)假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件，

1

所須費用平均數(shù)為：一(70X19X200+4300X20+4800X10)=4000(元)

100

假設(shè)這100臺機器在購機的同時每臺都購買20個易損零件，

1

所須費用平均數(shù)為一(90X4000+10X4500)=4050(元)

100

V4000<4050

購買1臺機器的同時應(yīng)購買19臺易損零件.

【點評】本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，頻率分布條形圖，方案選擇，難度中檔.

17.已知函數(shù)/(x)=ln(1+x)+axe~x.

(1)當(dāng)。=1時，求曲線>=/(無)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)若/(無)在區(qū)間(-1,0),(0,+8)各恰有一個零點，求。的取值范圍.

【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【專題】分類討論；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】(1)y=2x；(2)(-8,-1).

【分析】(1)將。=1代入，對函數(shù)/(x)求導(dǎo)，求出/(0)及/(0),由點斜式得答案；

(2)對函數(shù)/(x)求導(dǎo)，分a20及a<0討論，當(dāng)時容易判斷不合題意，當(dāng)a<0時，設(shè)g(x)

="+a(1-x2),利用導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的性質(zhì)，進(jìn)而判斷得到函數(shù)/(x)的單調(diào)性并結(jié)合零點存在性定

理即可得解.

1

【解答】解：(1)當(dāng)。=1時，f(x)=ln(1+x)+xex,則/''Q)=+e-x—比-*,

：.f'(0)=1+1=2,

又/(0)=0,

所求切線方程為y=2x；

⑺f/一J_+_e'+a(lf2)

W-1+x+ex-ex(i+x)'

若〃20,當(dāng)-l<x<0時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，則/(%)<f(0)=0,不合題意；

設(shè)g(x)=e!Q+a(1-x2),g'(x)="-2〃x,

當(dāng)-IWQVO時，在(0,+8)上，g(x)>e°+〃20,f'(%)>0,f(x)單調(diào)遞增，無零點，不合題

忌；

當(dāng)a<-1時，當(dāng)x>0時，g'(x)>0,則g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，g(0)=1+〃VO,g(1)

=e>0,

所以存在唯一的xo€(0,1),使得g(xo)=0,且/(x)在(0,xo)上單調(diào)遞減，在(xo,+°°)上單

調(diào)遞增，f(xo)<f(0)=0,

x

先證當(dāng)x>0時，一>lnx,

2

設(shè)力(%)=占一仇］,貝/(%)=~x=~2x~f

易知當(dāng)0<%<2時，h'(x)<0,h(%)單減，當(dāng)x>2時，h'(x)>0,h(x)單增，

所以力(%)N力(2)=a—仇2=1—仇2>0,則當(dāng)x>0時，—>lnx,

所以%>2打久,ex>x2,*V',

再證"％>1-p

111Y—1

設(shè)m(%)=Inx—1+-,貝！/(%)=----=—三,

XX%乙X”

易知當(dāng)OVxVl時，m'(x)<0,m(x)單減，當(dāng)x>l時，m'(x)>0,m(x)單增，

一一1

所以m(x)2m(1)=0,即)%>1—

則由a<-1,可得

x

則當(dāng)冗>1+。2時,/(x)=Zn(l+%)+axe~x>Zn(l+久)+三〉0,

此時了(%)在(0,+8)上恰有一個零點，

當(dāng)-1<XV0時，g'(%)在(-1,0)上單調(diào)遞增，g/(-1)=9+2aV0,“(0)=1>0,

故存在唯一的xiG(-1,0),使得g'(xi)=0,且g(x)在(-1,xi)上單調(diào)遞減，在(xi,0)

上單調(diào)遞增，

1

g(%i)Vg(0)=l+aV0,5(-1)=->0,

故存在唯一的尤26(-1,XI),使得g(X2)=0,

所以/(X)在(-1,尤2)上單調(diào)遞增，在(X2,0)上單調(diào)遞減，

X--1時，/(無)--8,/(0)=0,此時/(X)在(-1,0)上恰有一個零點，

綜上，實數(shù)。的取值范圍為(-8,-1).

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點問題，考查分類討論思想及

運算求解能力，屬于難題.

18.己知函數(shù)F(尤)—min［2\x-1|,x2-2ax+4。-2},其中min(p,q)=yP—4.

(q,p>q

(I)求使得等式F(x)—x1-2ax+4a-2成立的x的取值范圍；

(II)(z)求F(x)的最小值(a)；

(zz)求歹(x)在［0,6］上的最大值M(a).

【考點】函數(shù)最值的應(yīng)用；函數(shù)的最值.

【專題】新定義；函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(I)由a23,討論尤W1時，x>l,去掉絕對值，化簡X?-2ax+4a-2-2仇-1］,判斷符號，

即可得到F(x)=/-2ax+4a-2成立的x的取值范圍；

(II)(z)設(shè)/'(x)=2\x-1|,g(x)=/-2ax+4a-2,求得/(x)和g(x)的最小值，再由新定義,

可得F(x)的最小值；

(n)分別對當(dāng)0WxW2時，當(dāng)2<xW6時，討論尸(無)的最大值，即可得到尸(x)在［0,6］上的最大

值M(a).

【解答】解：(I)由/(x)=/-2儀+4。-2可知，/-2ax+4a-2《2|尤-1|,

由“23,故無W1時，?-2ax+^a-2-2k-］\=^+2(a-1)(2-x)>0；

當(dāng)x>l時，x2-2ax+4a-2-2|x-11-(2+2a)x+4a=Cx-2)(x-2a),

則等式尸(x)=7-2ar+4a-2成立的尤的取值范圍是［2,2a］；

(II)(z)設(shè)/(x)=2\x-1|,g(x)-2ax+4a-2,

則/(X)min—f(1)=0,g(尤)min—g(tz)=-CT+^a-2.

由-整+4a-2=0,解得ai=2+夜，“2=2—魚(小于1舍去)，

由尸(x)的定義可得力(a)=min{f(1),g(a)},

,、伐，3<a<2+V2

即Hnm(a)={；

t—a?+4a—2,a>2+v2

(n)當(dāng)0WxW2時，F(xiàn)(x)勺(x)^max[f(0),f(2)}=2=F(2)；

當(dāng)2<xW6時，F(xiàn)(x)Wg(x)^max[g(2),g(6)}

=MQX{2,34-8?}=m^x{F(2),F(6)}.

e/、(34-8a,3<a<4

則M(〃)=^

(2,a>4

【點評】本題考查新定義的理解和運用，考查分類討論的思想方法，以及二次函數(shù)的最值的求法，不等

式的性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題.

19.已知a是實數(shù)，函數(shù)/(x)=2ad+2x-3-a,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［-1,1］上有零點，求。的取

值范圍.

【考點】函數(shù)零點的判定定理.

【專題】計算題；壓軸題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】>=/(尤)在區(qū)間［-1,1］上有零點轉(zhuǎn)化為(2/-1)a=3-2x在［-1,1］上有解，把a用尤表

示出來，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)丫=差會在L1,1］上的值域，再用分離常數(shù)法求函數(shù)丫=委會在L1,1］的

值域即可.

【解答】解：。=0時，不符合題意，所以

1o21

又."(無)=2辦3-a=0在［-1,1］上有解，。(2/-1)a=3-2x在［-1,1］上有解Q:=

CL笑5了

在［-1,1］上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)丫=笠?［-1,1］上的值域；

2

設(shè)t=3-2無，A-e［-1,1］,則2x=3-f,tE［l,5］,y另.(T