山東省部分學(xué)校2025屆新高三年級(jí)上冊(cè)開學(xué)聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

山東省部分學(xué)校2025屆新高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)

學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.若集合M={T2,3},N={T0,2,5},則（）

A.{-1,2}B.{-1,2,3}C.{-1,0,2,5}D.{-1,0,2,3,5}

2.在等比數(shù)列{0“}中，若。|=1,%=4,則。2a3=（）

A.2B.±2C.4D.±4

3.若非零向量凡不滿足|叫+則G+25在B方向上的投影向量為（）

1r一3--

A.—bB.bC.~bD.2b

4.已知點(diǎn)尸是直線冽=0上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)尸向圓O:，+/=i引切線，切點(diǎn)分別為MN

且N〃PN=90。，若滿足以上條件的點(diǎn)夕有且只有一個(gè)，則根=（）

A.72B.±72C.2D.±2

5.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足4x+y=2盯，且不等式》+?</一加有解，則實(shí)數(shù)用的取值范

圍是（）

A.{ml-1<m<2}B.{加加<一1或加>2}

C.{m|-2<m<l}D.{加I加<一2或冽〉1}

6.（/—%的的展開式中//的系數(shù)為（）

A.30B.-30C.20D.-20

7.設(shè)函數(shù)?。?瓜皿8+夕）-1（。>0）,若對(duì)于任意實(shí)數(shù)0J（x）在區(qū)間py上至少2

個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

A.[河B.[4,5）C.卜,小。.「司

8.已知函數(shù)/（x）=4，+（a-2）x2'-有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則”的取值可以為（）

A.-3B.-2C.-eln2D.0

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)Z”Z2的共軟復(fù)數(shù)分別為北,以，則下列命題為真命題的有（）

A.z1+z2=z1+z2B.卜<2|=卜卜歸2|

C.若Z]-Z2>0,則Z]>ZzD.若Z]Z2=0,則Z]=0或Z2=0

10.如圖，已知二面角a-1-/3的棱/上有4B兩點(diǎn)，Cea,ACVI,Dw(3,

A.直線AB與CD所成角的余弦值為45°

B.二面角a-1-p的大小為60°

C.三棱錐A-BCD的體積為28

D.直線CD與平面B所成角的正弦值為"

4

11.甲箱中有3個(gè)黃球、2個(gè)綠球，乙箱中有2個(gè)黃球、3個(gè)綠球（這10個(gè)球除顏色外，大小

、形狀完全相同），先從甲箱中隨機(jī)取出2個(gè)球放入乙箱，記事件/,B,C分別表示事件“取

出2個(gè)黃球”，“取出2個(gè)綠球”，“取出一黃一綠兩個(gè)球”，再?gòu)囊蚁渲忻鲆磺?，記事件?/p>

表示摸出的球?yàn)辄S球，則下列說法不正確的是（）

A.A,3是對(duì)立事件B.事件3,。相互獨(dú)立

C.P⑵嗦D.尸

三、填空題

12.甲，乙兩人組成的“夢(mèng)隊(duì)”參加籃球機(jī)器人比賽，比賽分為自主傳球，自主投籃2個(gè)環(huán)節(jié)，

其中任何一人在每個(gè)環(huán)節(jié)獲勝得2分，失敗得0分，比賽中甲和乙獲勝與否互不影響，各環(huán)

3

節(jié)之間也互不影響.若甲在每個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為:，乙在每個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為

4

P,且甲，乙兩人在自主傳球環(huán)節(jié)得分之和為2的概率為“夢(mèng)隊(duì)”在比賽中得分不低于6

分的概率為.

試卷第2頁，共4頁

13.如圖，在四面體中，SA=SC=4i,AB=BC=&,AC=2￡,SB=43,則該四

面體的外接球體積為.

22

14.已知點(diǎn)P是雙曲線C：?-%=l(“>0力>0)右支上一點(diǎn)，耳、片分別為雙曲線C的左、

——1―?3——

右焦點(diǎn)，△尸片鳥的內(nèi)切圓與x軸相切于點(diǎn)N,若PN=1PFI「PF2,則雙曲線C的離心率

為.

四、解答題

15.已知數(shù)列｛。〃｝的首項(xiàng)為％=；,且滿足。,+1+4。"+4-%=0.

數(shù)列，為等差數(shù)列;

(1)證明:

⑵設(shè)數(shù)列；的前n項(xiàng)和為S”,求數(shù)列｛(-I)"S,｝的前n項(xiàng)和.

16.已知V48c的內(nèi)角內(nèi)B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,fecosC+ccosB=2?cos^.

(1)求角4

(2)若VABC中BC邊上中線AD的長(zhǎng)度為3,求VABC面積的最大值.

17.如圖，四棱錐S-4BCD中，底面/BCD是矩形，SA=AD=2,AB=2垃,SC=4,

M是S3的中點(diǎn)，MC1BD.

⑴證明：SN_L平面/2C。；

試卷第3頁，共4頁

(2)若點(diǎn)P是棱SC上的動(dòng)點(diǎn)，直線NP與平面/MC所成角的正弦值為叵，求II的值.

10SC

18.已知片、月分別為橢圓C：W+g=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸(壁,1)在橢圓C上,

ab3

且A甲岑的垂心為〃(短尸3).

33

(1)求橢圓。的方程；

⑵設(shè)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)用的直線/叫橢圓C于。、E兩點(diǎn)，記直線/￡的斜

率分別為K，k2,若%+七=一;，求直線/的方程.

⑶設(shè)d是從橢圓中心到橢圓在點(diǎn)0處切線的距離，當(dāng)。在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),判斷屋刷。閭是

否為定值.若是求出定值，若不是說明理由.

19.若函數(shù)/(x)在上存在者,尤2(。<玉<馬<勾，使得/'(%)=\"?一〃"),

b—a

4(工2，則稱/(x)是［?；厣系摹半p中值函數(shù)”，其中西,工2稱為/(X)在［凡句上

b-a

的中值點(diǎn).

⑴判斷函數(shù)/卜)=/-3/+1是否是［-1,3］上的“雙中值函數(shù)”，并說明理由；

⑵己知函數(shù)/(x)=gx2-xlnx-“x,存在機(jī)>〃>0,使得/(刃)=［(〃)，且/'(x)是［〃,回上

的“雙中值函數(shù)”，%,%是/'(x)在［凡詞上的中值點(diǎn).

①求。的取值范圍；

②證明：x,+x2>a+2.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案DCCDBDBAABDABD

題號(hào)11

答案ABD

1.D

【分析】根據(jù)并集運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)镸={T2,3},N={T,0,2,5},所以MuN={-l,0,2,3,5}.

故選：D.

2.C

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】由于{0}是等比數(shù)列，且q=1,%=4,

所以a2a3=%%=4,

故選：C.

3.C

【分析】利用向量的模長(zhǎng)關(guān)系可得濟(jì)在=-3同2,再由投影向量的定義即可求出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意同=B+用可得同2=忖+.，

所以同2=同2+2,石+歸『，

又向量1,3為非零，則展3=-，可,

則。+25在B方向上的投影向量為邑也1口=土竺型石；-2+2加-=3^

WW麻I甲2

故選：C.

4.D

【分析】連接。/,ON,結(jié)合圓的切線性質(zhì)可推得點(diǎn)尸在以點(diǎn)。為圓心，啦為半徑的圓C上,

再由題意可知該圓與直線x-y-機(jī)=0相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得答案.

【詳解】連接。M,CW,則9_LOM,RV_LCW.

答案第1頁，共16頁

又NMPN=90°,OM=ON,所以四邊形MPN。為正方形，尸。卜拒|。叫=五,

于是點(diǎn)尸在以點(diǎn)。為圓心，血為半徑的圓C上.

又由滿足條件的點(diǎn)尸有且只有一個(gè)，則圓C與直線尤-夕-加=0相切,

所以點(diǎn)O到直線x-y-加=0的距離d=V2,.hl=V2,解得m=+2.

故選：D.

5.B

【分析】根據(jù)題意，利用基本不等式求得,+/最小值，把不等式、+%〃"，〃有解’轉(zhuǎn)

化為不等式/一皿＞2,即可求解.

14

【詳解】由兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足4x+y=2盯，得一+—=2,

xy

L+2I4X

則尤+臺(tái)>—=2,

~2〔Yy4xJ

4xv

當(dāng)且僅當(dāng)一=六，即y=4x=4時(shí)取等號(hào)，

y4x

又由不等式x+」＜/-加有解，可得加2-%＞2,解得〃2＜-1或加＞2,

4

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍為{嗣"7＜-1或機(jī)＞2}.

故選：B.

6.D

【分析】根據(jù)展開式的每一項(xiàng)的生成過程，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.

【詳解】從5個(gè)含有丁,一的括號(hào)中，其中1個(gè)括號(hào)中取一個(gè)括號(hào)中取-x,3個(gè)括號(hào)

中取y,乘在一起構(gòu)成dK這一項(xiàng)，

這一項(xiàng)為C〉工2?C；?(-X)?C；?V=-20/。，所以dy3的系數(shù)為-20.

故選：D

7.B

答案第2頁，共16頁

TT-SJT

【分析】原問題轉(zhuǎn)化為>=sin，在區(qū)間;口+夕,丁G+9上至少2個(gè)，至多有3個(gè)K使

_44_

V=sin%=①，求g取值范圍，數(shù)形結(jié)合判斷滿足條件區(qū)間長(zhǎng)度，由此建立關(guān)于。的不等式,

2

解出即可.

【詳解】令/（x）=。，則sin（Gx+°）=,令則sin/=^^,

Jr37r

則原問題轉(zhuǎn)化為》=sin/在區(qū)間-co（p,--cD+（p上至少2個(gè)，至多有3個(gè)K使得

4+4

>=4型=包，求0得取值范圍,

2

故選：B.

8.A

【分析】轉(zhuǎn)化為方程（2'+應(yīng)優(yōu)-2尤）=0有4個(gè)不同的根，且方程2-2x=0的2個(gè)根為

%=1/2=2,從而方程2'+辦=0有2個(gè)不同的根，且。片-2,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)了=2,與

函數(shù)了=一辦的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)與切線斜率的關(guān)系求解.

【詳解】由題意可得方程（23+"）（2,-2x）=0有4個(gè)不同的根.

方程2工-2x=0的2個(gè)根為占=1,X2=2,

所以方程2工+辦=0有2個(gè)不同的根，且。3-2,

即函數(shù)了=2,與函數(shù)了=-依的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)直線了=-依與函數(shù)了=2,的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（％,2工。），

答案第3頁，共16頁

因?yàn)閺V2/2,所以p=:墨解得Xo=_L=I*=_eln2.

要使函數(shù)歹=2、與函數(shù)>=-辦的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，只需直線V=-辦的斜率大于eln2,

即一〃>eIn2=>a<-eIn2.

設(shè)g(x)=^^(x>0),則g'(尤)=e(l：nx),

XX

由l—lnx〉O=>O<x<e,l-lnx<0X>e,

所以g(x)在(O，e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)單調(diào)遞減，

所以g(x)的最大值為g(e)=L

所以C<1neln2<2n-eln2>-2.

2

故。的取值范圍為-2)u(-2,-eIn2),

故選：A.

9.ABD

【分析】設(shè)4=4+6也=。+力，則z=。-例/2=c-di,逐項(xiàng)計(jì)算可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正確

性.

【詳解】設(shè)4=a+bi/2=c+di且,貝!|馬=〃一風(fēng)為=。一片，

zx+z2=a+b\+c+d\=a+c+(b+d)\,z1+z2=a+c-(b+d)i

所以Z]+z2=〃+c—(b+d)i,所以4+z2=Z]+z2,故A正確；

z^z2=(〃+bi)(c+di)=(ac-bd)+(Zc+ad)i

|zj,^2J~y](ac—bd)2+{be+ad)?=Na2c?+b2d?+62c?+a2d?

2222

=y]a+b^c+d=|ZjI-Iz2p故B正確；

當(dāng)4=l+2i/2=2i時(shí)，滿足為-22=1>0,但不能得出2]>22，故C錯(cuò)誤;

答案第4頁，共16頁

因?yàn)閦/2=(ac—bd)+(be+ad)i=0,

ac-bd=Q

所以故D正確.

bc+ad=0

故選：ABD.

10.ABD

【分析】根據(jù)異面直線所成角、二面角、線面角定義，在圖形中作出直線與CO所成角、

二面角的平面角、直線。與平面所成角，結(jié)合已知條件計(jì)算判斷各項(xiàng)正誤.

【詳解】過點(diǎn)A作AE//BD,且AE=BD,連接CE,DE,如圖,

則四邊形ABDE是平行四邊形，即DEHAB且DE=AB,

NCDE是直線AB與CD所成角或其補(bǔ)角，

因?yàn)锳C11,BD1.1,貝IjDELAE,DE1AC,

而AEoAC=A,AE,ACCL平面AEC,

所以DEL平面AEC,CEu平面AEC,所以DEICE,

則cos/CDE=2=里=叵,所以/CDE=45°,故A正確；

CDCD2

因?yàn)锽Dll,即AELI,又AC11,則/CAE是二面角a-l-p的平面角,

又CE=DE=2,結(jié)合AE=AC=2,即AACE是等邊三角形，

所以ZCAE=60°,故B正確；

因?yàn)镈EL平面AEC,DEa/3,則平面平面AEC,

在平面AEC內(nèi)過點(diǎn)C作CO1AE于點(diǎn)O,于是得C。，平面

0,CO=%AC=出,

11n

而=-AB-BD=2,VA^CD=VC3fO，ABD=:故C不正確；

連接DO,因?yàn)镃。，平面P，則NCDO是直線CD與平面。所成角，

sinNCDO=辿=4=任,故D正確.

CD2V24

故選：ABD

答案第5頁，共16頁

11.ABD

【分析】由互斥事件及獨(dú)立事件的概念可判斷A,B項(xiàng)，由條件概率公式及全概率公式可判

斷C,D項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,事件48不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，故8是互斥事件，但不

是對(duì)立事件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,事件3發(fā)生與否，影響事件。，所以事件8,。不是相互獨(dú)立事件，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,尸（0=尸（⑷尸（。⑷+尸（8）尸（D忸）+尸（C）P（0C）

_C；C；砥c；C；C；C；16

__?-I------------------------I----------------------------------------故C正確;

C；C；ClC；CjC；35,

P1Q

對(duì)于D,尸（CO）=尸（C）尸故D錯(cuò)誤.

故選：ABD

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解.

【詳解】若甲，乙兩人在自主傳球環(huán)節(jié)得分之和為2,則甲乙兩人中一個(gè)人成功一個(gè)人失敗,

31S2

故概率為1（1-2）+?=丘，故,=§，

“夢(mèng)隊(duì)”在比賽中得分不低于6分，則至少要贏3次，故概率為

12

X—X—+

33

故答案為:|2

9

13.一%/4.5萬

2

【分析】可根據(jù)四面體的棱長(zhǎng)利用線面垂直的判定定理求得?平面45C,再利用正弦定

3

理求得VZBC的外接圓半徑為氏=不，再利用勾股定理確定該四面體的外接球球心。的位置

計(jì)算出該球半徑，即可求出該四面體的外接球體積.

【詳解】取4。的中點(diǎn)為。，連接SAAD,如下圖所示：

答案第6頁，共16頁

又SA=SC=4i,AB=BC=yj~6,/c=班可知50，/C,3D，NC,

且SD=C,BD=2；

又SDC\BD=D,且SZ),8Ou平面S2Z),

所以/C_L平面S8Z),

取AD的中點(diǎn)為E,連接SE,又SB=6,可得SELAD，且S￡=也；

又SEu平面SB。，所以/C_LSE,

又4CCBD=D,4C,3￡)u平面/BC,

所以S￡,平面45C；

在NABC中AB=BC=a,AC=24i,可知sin/=處=二="；

ABV63

￡=?=3=2R3

設(shè)V/3C的外接圓半徑為A,可得sin/一而一，解得火=:；

3

易知VNBC的外接圓圓心。必在直線上，設(shè)OD=x,

則/+后2=露，解得X=：，即可得。為DE的中點(diǎn)，

又因?yàn)镾E，平面ABC,所以該四面體的外接球球心O'一定在過0且平行于SE的直線上,

設(shè)。。'=/?,外接球半徑為R,

所以(SE+O'O)2+(；J=O'O2+R2,即(后+/;『+；=『+：,解得0。=〃=0；

3

因此該四面體的外接球球心。與V/5C的外接圓圓心。重合，此時(shí)

2

所以該四面體的外接球體積為/=2兀.

3⑴2

9

故答案為：

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用正弦定理求得V/8C的外接圓半徑并確定圓

2

答案第7頁，共16頁

心位置，以此能確定該四面體的外接球球心O'的位置進(jìn)而求得外接球半徑，即可得出該四

面體的外接球體積.

14.2

【分析】結(jié)合圓的切線的性質(zhì)利用雙曲線的定義，可得出N|=c+a,再由麗=:兩+：電

可得忸進(jìn)而由閨M列方程可求離心率.

【詳解】直線尸片,尸區(qū)分別與內(nèi)切圓的切點(diǎn)為M,。，如圖所示：

'PM\=\PQ\

由切線的性質(zhì)可得FXM\=\FXN,

F2Q\=\F2N

由雙曲線的定義可得|尸耳|一|尸段=2%BP\PM\+\FXM\-(\PQ\+17^0|)=2a,

所以閨MT月Q|=2a,即國(guó)rN|=2a,

又閨N|+困N|=2c,因此閨N|=c+a.

設(shè)麗=/曬，則麗=兩+不=兩+/而=可+/巧-所)=(―fF.+tPF^,

^PN=-PFl+-PF2,因此t建.于是6N=彳片￡,即忸叫=丁，

3c

所以由山N|=c+a=1c,可得：=2,即e=2.

故答案為：2.

15.(1)證明見解析

J/+%〃為偶數(shù)

⑷"一為奇數(shù)

【分析】(1)將遞推數(shù)列變形，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明;

答案第8頁，共16頁

(2)由(1)的結(jié)果可知S.，再分別討論“為奇、偶的兩種情況(-1)"S”的前〃項(xiàng)和.

【詳解】⑴因?yàn)?+4。,+］。"-%=0,%=；，

若=°，貝與q=|■矛盾，

所以%。產(chǎn)°，所以?！?%+1=乜%+1，

所以」-=4,因?yàn)椋?［,所以一=2,

%+1an2%

所以數(shù)列是以首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列.

(2)由(1)知,=2+("-1>4=4〃-2,

an

2+4n2n

數(shù)歹1J［工］的前?項(xiàng)和為Sn=(-)=2n2,

［a?\2

所以(-1)"y=2.(-1)“,

設(shè)數(shù)列｛(-1)"1｝的前〃項(xiàng)和為北，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)北=2[-F+2?-32+---(?-1)2+H2],

因?yàn)椤?-(〃_1)2=2〃-1,

所以<=213+7H--1-(2"-1)]=2----------=(〃+)=h+)>

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，〃-1為偶數(shù).

22

Tn=Tn_x+2?(-1)〃〃2=(〃_1)〃_2n=-n-n,

在“J"+〃，〃為偶數(shù)

所以小為奇數(shù)

71

16.(1)/=§

(2)373

【分析】(1)根據(jù)正弦定理邊角互化和三角函數(shù)恒等變換可求解；

(2)通過向量的運(yùn)算和基本不等式性質(zhì)和三角形面積公式可求得面積的最大值.

【詳解】(1)由題意知6cosC+ccosB=2acosN,

答案第9頁，共16頁

由正弦定理=—=.c得,sin5cosC+sinCeos8=2sinZcos4,

sinAsinBsinC

所以5畝（5+。）=25出4恒54，

又因/+5+。=兀，貝1]5+。=兀一4,

所以sin(5+C)=sin(兀一/)=sin/=2sin/cosA,

因/為V/BC的內(nèi)角，所以sin/wO,

由sin/=2sinAcosA得cosA=—,則/、.

（2）因40是V48c中BC邊上中線,

—?1—?1.

則4D=-48+—ZC,

22

^2AD=AB+AC-所以［2而「=|次+%j,

則,麗2=畫+2網(wǎng)同卜os/+阿，

所以36=〃+/+23bc，

所以6c412,當(dāng)且僅當(dāng)6=。時(shí)，等號(hào)成立.

故S^ABC-sin/=^~bc<3y/3,即VABC面積的最大值為3百.

⑵;

【分析】（1）取的中點(diǎn)N,連接MN,CN,推導(dǎo)出8。工平面CW,再利用線面垂直的

性質(zhì)定理結(jié)合勾股定理逆定理可證得結(jié)論成立；

（2）以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)原=2豆，其中0WXW1,求出平面4A/C

的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可得出關(guān)于彳的方程，解出4的值，即可得解.

【詳解】（1）取N2的中點(diǎn)N,連接MN,CN,BD與CN交于Q點(diǎn),

答案第10頁，共16頁

在底面矩形ABCD中，易知tanZDBC=—■=6=tanZBNC=—,

BCBN

所以ZBNC=ZDBCnBDLCN,

因?yàn)镸C_LBD,拉cnNC=C,MC、NCu平面CW,

所以BD上平面CW,

因?yàn)轷臯u平面CW,所以

易知MNIISA,所以8D_L&4,

22

由題意可知/C2+=12=SC-SA,

所以S/_L/C,而NC,2。相交，且NC,ADu平面48CD,

所以S/_L平面48C。；

(2)由上可知&4_L40,SA1AB,ABLAD,

以點(diǎn)/為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4（0,0,0）、5（0,0,2）、〃2,2后,0）、3（0,2拒,0）、

設(shè)平面NMC的法向量為記=（x,y,z）,則就=（2,2板,0）,^57=（0,72,1）,

mAC=1x+1y/2y=0=/l

則_仁，取X=亞，貝!］玩="-1,收，

m?AE=y/2y+z=0

設(shè)爐=2五=4（2,2后,一2）=（2九2四，一22）,其中0W/W1,

則萬=萬+豆=（0,0,2）+（22,2^2,-22）=俾,2伍2-22）,

答案第11頁，共16頁

因?yàn)橹本€/尸與平面/MC所成角的正弦值為畫,

10

?一?\m-AP\|2V2(l-2V30

貝ljcosAP,m\=-——1=^-=——―-----,

11\ffi\\AP\V5-A/1622-82+410

1sp1

解得人"即正=4

22

18.(1)—+21=1

43

⑵7x-y-7=0

(3)是定值12

【分析】(1)根據(jù)題意，得到不〃，尸耳，利用直線斜率求得。的值，再借助于橢圓上的點(diǎn)

和a,6,c的數(shù)量關(guān)系即可求出a,b,即得橢圓方程；

22

(2)先證明過橢圓C:J+4=l,(機(jī)>”>0)上一點(diǎn)。(%,%)的切線方程為岑+岑=1,

mnmn

7121

計(jì)算原點(diǎn)到切線的距離d=石打了，由橢圓的第二定義得=5民+4|和

|空|=-4|,對(duì)相|°百|(zhì)\QF21化簡(jiǎn)計(jì)算即得.

【詳解】(1)設(shè)百(-c,0),乙(c,0),由△甲岑的垂心為〃(手,_令知片”，咚

_5

al945

故凝—原尸2=5^---云石—=也化簡(jiǎn)得，飛"-/=§，解得c=L

---+C------C

33

又因點(diǎn)尸(半,1)在橢圓。上，則《+，=1，

241廠

因/=/_],故得+=1,解得°=2/=石，

9aa-1

22

故橢圓C的方程為土+匕=1.

43

(2)

答案第12頁，共16頁

如圖,由（1）知，如-2,0）,工（1,0）,若直線/的斜率不存在,

由對(duì)稱性可得，左+履=0,不合題意;

若直線/的斜率為左，貝!1/的方程為>

y=k(x-Y)

由，x1v2消去》得，(4/+3)X2-8/X+4F-12=0,①

——+—=1

[43

8/4k2-12

顯然A>0,設(shè)。（無1，必）,￡（均％）,則占+工2=4左2+3，*/一4后z+3

y2_k(xt-1)[k(x2-1)皂+1-二

于是，kx+k2==后（1一

演+2x2+2玉+2x2+2玉+2x2+2,

8k2

3(+4)

=k[2——3(占+0+4)_4左2+3

]=k[2解得,k=7,

4/7216k2

再入2+2(匹+X2)+4

4F+J+4p+3

則直線/的方程為7x7-7=0.

22

（3）先來證明過橢圓C:二+5=1,（加>”>0）上一點(diǎn)。（%,%）的切線方程為耳+理=1.

mnmn

由橢圓c：=+^=i,可得，4=i-^

mnnm

當(dāng)V>0時(shí),

1x0

No

n

???切線方程為y-No

222222

整理為：nx0x+myoy=my1+nx1=mn,

兩邊同時(shí)除以溫得:滬季=1.

答案第13頁，共16頁

同理可證：為<0時(shí)，切線方程也為其+嘩=1.

mn

當(dāng)先=0時(shí)，切線方程為X=土優(yōu)滿足竺+理=1.

mn

綜上,過橢圓上一點(diǎn)0(%,%)的切線方程為考+理=1.

mn

依題意，設(shè)橢圓上的點(diǎn)。(X。,%),則過點(diǎn)0(%/。)的切線方程為苦+竽=1,

即3%尤+4%了-12=0,原點(diǎn)到切線的距離為

7121212

—----------------------—1-—------------------

1J9x；+16y；板+4（12-3年）擲-3"

則凰=同理|°用=；上一

由橢圓的第二定義，卜aJx0+4|,4|,

則|。用|。用=#；-同=；(167；),

故屋|0月||。用=^\x；(16-幻=12為定值.