北師大版2024年秋季九年級上冊第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

九年級上學(xué)期第一次月考檢測卷試卷（北師大版）

（范圍：特殊平行四邊形一元二次方程）

（滿分140分，時間120分鐘）

考試須知：

答題前，考生務(wù)必在答題紙指定位置上用鋼筆或圓珠筆清楚填寫相關(guān)信息.答題紙與試卷在

試題編號

上是一一對應(yīng)的，答題時應(yīng)特別注意，請勿錯位.

一、選擇題（本大題有8小題，每小題3分，共24分.每小題只有一個選項符合題意）

1.下列是一元二次方程的是（）

A.2x+l=0B.x1+y-\C.x2+2x+1=0D.x2+—=1

x

2.在四邊形ABC。中，.下列說法能使四邊形A3CD為矩形的是（）

A.AB//CDB.AD=BCC.ZA=ZBD.NA=/D

3.用配方法解方程爐—4x—i=o時，配方后正確的是（）

A.（x+2）2=3B.（x+2）2=17C.（x-2—5D.（x-2）2=17

4.如圖，在平行四邊形A3CD中，AB=4,BC=6,將線段A3水平向右平移。個單位長度得到線段

ER,若四邊形ECDR為菱形時，則。的值為（）

5.下列命題中，真命題是（）

A.順次聯(lián)結(jié)平行四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是矩形

B.順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是菱形

C.順次聯(lián)結(jié)對角線垂直的四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是菱形

D.順次聯(lián)結(jié)對角線相等的四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是矩形

6.若一個菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于x的一元二次方程必一10》+根=。的兩個實數(shù)根，且其面積為

11,則該菱形的邊長為（

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A.V3B.2A/3C.714D.2714

7.小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，因而得到方程的

兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是-2和-5.則原來的方

程是（）

A.x2+6x+5=0B.X2-7X+10=0

C.X2-5X+2=0D.X2-6X-10=0

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（9,0）,點C的坐標(biāo)為（0,3）,以O(shè)A,OC為邊作矩形

OABC.動點E,尸分別從點O,B同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿。4,向終點A,C移

二、填空題（本大題有8小題，每小題3分，共24分）

9.方程/=4尤的解

10.如圖，正方形A5CD的對角線AC,BD交于點、O,P為邊BC上一點、,且5P=。3,則NCOP的度

數(shù)為__________.

11.關(guān)于尤的一元二次方程（瓶-2）必+4%+2=0有兩個實數(shù)根，則相的取值范圍是.

12.一種藥品原價每盒48元，經(jīng)過兩次降價后每盒27元，兩次降價的百分率相同，則每次降價的百分率

為.

13.如圖，矩形A3CD的對角線AC、3。相交于點。，過點。作，AC交AD于點￡,若A5=6,

3C=8,則AE=.

第2頁/共6頁

14.如圖，兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，已知NA5C=60。，則陰影部分的面積是.

,11c

15.若關(guān)于x的一元二次方程/+2》+夕=0兩根為毛、9，且一+—=3,則0的值為.

石X2

16.如圖，在RtaABC中，NA4c=90°,且A3=6,AC=8,點。是斜邊BC上的一個動點，過點。

分別作DMSAB于點M,DN上AC于點、N,連接MN,點。為MN的中點，則線段A。的最小值為

三、解答題(本大題共9小題，共64分，解答時應(yīng)寫出文字說明或演算步驟.)

17.解方程:

(1)x(x+2)=2+x；

⑵3X2-6X-1=0.

18.如圖，在平行四邊形A3CD中，E為線段CD的中點，連接AC,AE,延長AE,BC交于點F,

連接DR,ZACF=90°.

(1)求證：四邊形ACED是矩形；

(2)若CD=13,CF=5,求四邊形ABCE的面積.

第3頁/共6頁

19.已知關(guān)于x的一元二次方程d-(m+2)x+m-l=0.

(1)求證：無論加取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)如果方程的兩個實數(shù)根為和％2，且X：+考=9,求機的值.

20.如圖，矩形A3CD中，點。是對角線AC的中點，過點。的直線分別交A。、BC邊于點

E、F,AF=AE.

(1)求證：四邊形AFCE是菱形；

(2)若3c=8,A3=6,求EF的長.

21.某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，該店采取

了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天

可多售出2件.

(1)若降價6元時，則平均每天銷售數(shù)量為多少件？

(2)當(dāng)每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？

22.如圖，平行四邊形A3CD中，AE.CT分別是ZBA。、N3CD的平分線，且E、R分別在邊

BC、A。上，AE=AF.

(1)求證：四邊形AECE是菱形；

(2)若NA5C=60。，口43后的面積等于46，求平行線A3與OC間的距離.

23.Rt^ABC中，ZACB=9Q°,AC=BC=6,動點尸從點A出發(fā)，在線段AC上以每秒1個單位長度的速

度向點C作勻速運動，到達(dá)點C停止運動.設(shè)運動時間為，秒

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B\Bi

CCQ

圖1

7

(1)如圖1,過點尸作PDLAC,交于。，若△P8C與△及⑦的面積和是△A3C的面積的一，求f的

9

值;

(2)點。在射線PC上，且PQ=2AP,以線段PQ為邊向上作正方形PQNM.在運動過程中，若設(shè)正方

形尸QW與△A3C重疊部分的面積為8,求f的值.

24.如圖，AC是正方形ABCO的對角線，AD=8,E是AC的中點，動點尸從點A出發(fā)，沿AB方向以每

秒1個單位的速度向終點2運動，同時動點。從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度先沿BC方向運動到點

C,再沿CD方向向終點。運動，以EP、EQ為鄰邊作平行四邊形PEQF,設(shè)點尸運動的時間為f秒(0<t

<8)

(1)當(dāng)f=l時，試求PE的長；

(2)當(dāng)點尸恰好落在線段上時，求2月的長；

(3)在整個運動過程中，當(dāng)口PEQ尸為菱形時，求f的值.

25.探究

AOB

圖4

(1)發(fā)現(xiàn)：如圖1,在平面內(nèi)，已知□A的半徑為r,且AB=a,尸為DA上一動點，連接PB,易得PB

的最大值為,最小值為;(用含/?的代數(shù)式表示)

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(2)應(yīng)用：①如圖2,在矩形A5CD中，AB=6,AD=4,E為邊中點，尸為A3邊上一動點，沿

EF將△AER翻折得到△「環(huán)，連接尸3,則PB的最小值為；

②如圖3,點P為線段AB外一動點，分別以P4PB為直角邊,作等腰RtZVLPC和等腰連

接BC、AD.若AB=7,AP=372＞求AO的最大值；

(3)拓展：如圖4,已知以AB為直徑的半圓。，C為弧A3上一點，S.ZABC=60°,P為弧BC上任

意一點，COJLCP交AP于D若A3=6,則5。的最小值為.

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九年級2024-2025上學(xué)期第一次月考檢測卷試卷（北師大版）

（范圍：特殊平行四邊形一元二次方程）

（滿分140分，時間120分鐘）

考試須知：

答題前，考生務(wù)必在答題紙指定位置上用鋼筆或圓珠筆清楚填寫相關(guān)信息.答題紙與試卷在

試題編號

上是一一對應(yīng)的，答題時應(yīng)特別注意，請勿錯位.

一、選擇題（本大題有8小題，每小題3分，共24分.每小題只有一個選項符合題意）

1.下列是一元二次方程的是（）

A.2x+l=0B.x2+y=lC.x2+2x+l=0D.x2+—=1

x

【答案】C

【解析】

【分析】一元二次方程的概念：只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，據(jù)此

逐項判斷即可.

【詳解】解：A中方程的未知數(shù)的最高次數(shù)是1次，故不是一元二次方程，不符合題意；

B中方程含有兩個未知數(shù)，故不是一元二次方程，不符合題意；

C中方程是一元二次方程，符合題意；

D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程滿足的條件是解答的關(guān)鍵.

2.在四邊形A3CD中，AD//BC,AB=CD.下列說法能使四邊形A3CD為矩形的是（）

A.AB//CDB.AD=BCC.ZA=ZBD.ZA=ZD

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定逐一分析即可.

【詳解】A：???AB〃CD,AD//BC,AB=CD

??.A3CD為平行四邊形而非矩形

故A不符合題意

B：?e?AD=BC,AD//BC,AB=CD

...A3CD為平行四邊形而非矩形

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故B不符合題意

C：???AD//BC

:.ZA+ZB=18Q°

ZA=ZB

：.NA=ZB=90°

?/AB=CD

：.AB//CD

，四邊形A3CD為矩形

故C符合題意

D：???AD//BC

:.ZA+ZB=180°

VZA=ZD

ZD+4=180°

，A3CD不是平行四邊形也不是矩形

故D不符合題意

故選：C.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定等知識，熟練掌握以上知識

并靈活運用是解題的關(guān)鍵.

3.用配方法解方程Y—4x-1=0時，配方后正確的是()

A.(x+2)2=3B.(x+2)2=17C.(x-2尸=5D.(x-2)2=17

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)配方法，先將常數(shù)項移到右邊，然后兩邊同時加上4,即可求解.

【詳解】解：X2-4X-1=0

移項得，x2-4x=1

兩邊同時加上4,BPx2-4x+4=5

(x—=5,

故選：C.

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【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在平行四邊形A3CD中，AB=4,BC=6,將線段A3水平向右平移。個單位長度得到線段

EF,若四邊形ECDE為菱形時，則。的值為（）

【答案】B

【解析】

【分析】首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD=A3=4,然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得到EC=CD=4,然后

求解即可.

【詳解】：四邊形A3CD是平行四邊形，

CD=AB=4,

?.?四邊形ECDE為菱形，

EC=CD=4,

5c=6,

BE=BC-CE=2,

a=2.

故選：B.

【點睛】此題考查了平行四邊形和菱形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.

5.下列命題中，真命題是（）

A.順次聯(lián)結(jié)平行四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是矩形

B.順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是菱形

C.順次聯(lián)結(jié)對角線垂直的四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是菱形

D.順次聯(lián)結(jié)對角線相等的四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是矩形

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形、特殊的平行四邊形的判定、中位線定理、中點四邊形的定義進(jìn)行判定即可.

【詳解】解：如圖：

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觀察圖形：E,￡G,H分別為AC,AB,BD,C。的中點，根據(jù)中位線定理：

EF//BC,GH//BC,EF=GH=-BC,EH//AD,GF//AD,EH=FG=-AD,

22

四邊形EFGH是平行四邊形；

A、順次聯(lián)結(jié)平行四邊形各邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形，原命題為假命題，不符合題意；

B、..?等腰梯形的對角線相等，即：當(dāng)AD=3C時，

EF=FG,

.??四邊形ERGH為菱形；

順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是菱形，原命題為真命題，符合題意；

C、當(dāng)AD上3c時，貝U：EFLFG,

NERG=90°,

.??四邊形ERG”為矩形；

.??順次聯(lián)結(jié)對角線垂直的四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是矩形，原命題為假命題，不符合題意；

D、當(dāng)AD=3C時，則：EF=FG,

.??四邊形EEG”為菱形；

...順次聯(lián)結(jié)對角線相等的四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是菱形，原命題為假命題，不符合題意.

故答案選：B.

【點睛】本題考查中位線定理應(yīng)用、平行四邊形、特殊的平行四邊形的判定，掌握四邊形的判定是解題關(guān)

鍵.

6.若一個菱形的兩條對角線長分別是關(guān)于x的一元二次方程必一10》+根=。的兩個實數(shù)根，且其面積為

11,則該菱形的邊長為（

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A.V3B.2A/3C.714D.2V14

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到。+人=10,根據(jù)菱形的面積得到。。=22,利用勾股

定理以及完全平方公式計算可得答案.

【詳解】解：設(shè)方程10x+根=0的兩根分別為a,b,

a+b=lQ,

■：a,b分別是一個菱形的兩條對角線長，已知菱形的面積為11,

—ab=11,即ab=22,

2

:菱形對角線垂直且互相平分，

???該菱形的邊長為+Z?)2-2ab

-V102-2x22=V14,故C正確.

2

故選：C.

【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及菱形的性質(zhì)，完全平方公式，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出

。+6=10是解題的關(guān)鍵.

7.小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，因而得到方程的

兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是-2和-5.則原來的方

程是（）

A.r+6x+5=0B.X2-7X+10=0

C.X2-5X+2=0D.%2—6X-10=0

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意得出原方程中玉+為=7,玉%=10,逐項

分析判斷，即可求解.

【詳解】解：：小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，得到方程的兩個根是6和1；

X]+%2=6+1=7,

又?.?小冬寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是-2和-5.

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/.%1%2=10

A.%2+6%+5=0中，%1+x2=-6,西無2=5，故該選項不符合題意；

B.必一7%+10=0中，玉+%=7,再々=10,故該選項符合題意；

C.12一5》+2=0中，%+%2=5,西馬=2,故該選項不符合題意；

D.――6%-10=0中，玉+九2=6,=-10,故該選項不符合題意；

故選：B.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（9,0）,點C的坐標(biāo)為（0,3）,以O(shè)A,OC為邊作矩形

OABC.動點E,尸分別從點O,B同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿。4,5c向終點A,C移

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，得出E（4,0）,廠（5,3）,勾股定理求得環(huán)=而，AC=3710-即可求解.

本題考查了坐標(biāo)與圖形，勾股定理求兩點坐標(biāo)距離，矩形的性質(zhì)，求得瓦口的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

?.?點A的坐標(biāo)為（9,0）,點C的坐標(biāo)為（0,3）,以。4,OC為邊作矩形。4BC.

OA=BC=9,OC=AB=3,

B（9,3）,AC=V32+92=3A/10,

依題意，OE=4x1=4,BF=4x1=4,

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AE=9-4=5,則E（4,0）,

：.CF=BC-BF=9-4=5,

；?EF=^（5-4）2+（3-0）2=V10，

AACEF=3710x710=30.

故選：A.

二、填空題（本大題有8小題，每小題3分，共24分）

9.方程3=4x的解

【答案】尸0或尸4

【解析】

【分析】先移項，使方程右邊為0,再提公因式x,然后根據(jù)“兩式相乘值為0,這兩式中至少有一式值為

0.”進(jìn)行求解.

【詳解】解：原方程變?yōu)?/p>

x2-4x=0

x（x-4）=0

解得xi=0,X2=4,

故答案為：x=0或x=4.

【點睛】本題考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，正方形A3CD的對角線AC,BD交于點、0,尸為邊5c上一點，且5P=05,則NCOP的度

數(shù)為.

【答案】22.5°##22.5度

【解析】

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，根據(jù)四邊形A3CD是正方形，可得NBOC=90°,ZOBC=45°,再

根據(jù)5尸=05,即可求出NCOP的度數(shù).

【詳解】解：1?四邊形A3CD是正方形，

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ZBOC=90°,Z<9BC=45°,

-.?BP=OB,

ZBOP=ZBPO,

ZBOP=ZBPO=（180°-45°）+2=67.5°,

ZCOP=90°-67.5°=22.5°.

故答案為：22.5°.

11.關(guān)于X的一元二次方程（m-2）必+4》+2=0有兩個實數(shù)根，則根的取值范圍是.

【答案】m〈4且根W2

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程ak+^x+cuO（。*0,a,b,c為常數(shù)）的定義以及根的判別式

A=〃—4ac，理解根的判別式對應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵.當(dāng)A〉0時，方程有兩個不相等的實

數(shù)根；當(dāng)A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)八＜0時，方程沒有實數(shù)根.

根據(jù)一元二次方程根的判別式以及一元二次方程的定義列出不等式，解不等式求解即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程（根—2卜2+4%+2=0有實數(shù)根

A=Z?2-4ac=42-4x（加一2）x220且加一2w0,

解得根44且根w2,

故答案為：加W4且小w2.

12.一種藥品原價每盒48元，經(jīng)過兩次降價后每盒27元，兩次降價的百分率相同，則每次降價的百分率

為.

【答案】25%

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，設(shè)每次降價的百分率為％,根據(jù)原價每盒48元，經(jīng)過兩次降

價后每盒27元，列出方程進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：設(shè)每次降價的百分率為工,

由題意，得：48（1—X）2=27,

17

解得：%[=—=25%,%2=—（舍去）；

44

故答案為：25%.

13.如圖，矩形A3CD的對角線AC、3。相交于點。，過點。作，AC交AD于點E,若A5=6,

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BC=8,則AE二___________________

【解析】

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理等知識點，數(shù)形結(jié)合、熟練掌握相關(guān)

性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.連接CE,由矩形的性質(zhì)可得NCDE=90°,AD^BC=8,

AB=DC=6,AO^OC,由OELAC,AO=OC,可知OE垂直平分AC,則可得AE=CE；設(shè)

DE=x,則AE=CE=8—X,在中，由勾股定理得關(guān)于x的方程，求解即可.

【詳解】解：連接CE,如圖：

在矩形A3CD中，AB=6,8C=8,

.-.ZCDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=6,AO-OC,

OE1AC,

AE=CE,

設(shè)。E=x,則AE=CE=8—x,

在RtACDE中，由勾股定理得：DE-+DC2=CE-，

x=(8

生

4

解得：X=

生

故答案為:4

14.如圖，兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，已知NABC=60。，則陰影部分的面積是.

B,

第9頁/共29頁

【答案】66

【解析】

【分析】首先過點2作3ELA。于點E,BFLCD于點F,由題意可得四邊形A3CD是平行四邊形,

繼而求得=的長，判定四邊形A3CD是菱形，則可求得答案.

【詳解】過點B作BE工AD于點E,BF1CD于點、F,

根據(jù)題意得：AD//BC,AB//CD,BE=BF=3,

.??四邊形A5CD是平行四邊形，

ZABC=ZADC=60°,

ZABE=ZCBF=30°,

/.AB=2AE,BC=2CF,

AB2=AE2+BE2,BE=3,

?*-AB=25

同理：BC=273)

:.AB=BC,

???四邊形ABCD是菱形，

?*-AO=26，

S菱形ABCD=AOxBE=6A/3.

故答案為：6G-

【點睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的

性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵在于掌握菱形判定定理和作輔助線.

若關(guān)于的一元二次方程好+兩根為、且則°的值為.

15.x21+2=0dx2,J+}=3,

【答案】—

3

【解析】

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【分析】本題考查了一元二次方程依2+法+。=0(a。())根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩實數(shù)根為％],々，則

bc

再+%2=-------，=一

aa

根據(jù)一元二次方程"2+bx+c=0(a*0)根與系數(shù)的關(guān)系得到西+4=-2,Xl-x2=p,然后通分,

11%,+x—2

—+—=」~9~,從而得到關(guān)于〃的方程，解方程即可.

%x2再％2P

2

【詳解】解：二,玉+%2=—I=—2,%],%2=P，

1?1_x+x_-2

?=i2—

%X2玉％2P

2

,?P~—，

3

故答案為：—.

3

16.如圖，在Rt^ABC中，NA4c=90。，且A3=6,AC=8,點D是斜邊3C上的一個動點，過點。

分別作DM工A3于點M,DN上AC于點、N,連接MN,點。為VN的中點，則線段A。的最小值為

【答案】2.4

【解析】

【分析】由勾股定理求出3c的長，再證明四邊形OMAN是矩形，可得MN=AD,根據(jù)垂線段最短可得

當(dāng)ADS5C時，AD的值最小，再利用三角形面積求出AD,可得A。，即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接AD,

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A

?：DM1AB,DN1AC,

ZDMA=NDNA=ABAC=90°,

...四邊形0MAN是矩形，

MN=AD,AO=-AD,

2

???當(dāng)AD工3c時，AD的值最小，

此時，S=-ABAC^-BCAD,

U0ABC22

ABAC6x8

AD==4.8,

BClo-

A。的最小值為2.4,

故答案為：2.4.

【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短，關(guān)鍵是掌握矩形的對

角線相等.

三、解答題（本大題共9小題，共64分，解答時應(yīng)寫出文字說明或演算步驟.）

17.解方程：

(1)x(x+2)=2+x；

(2)3X2-6X-1=0.

【答案】（1）再=-2,x2=1

【解析】

【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法,

公式法，因式分解法等.

（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；

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（2）利用公式法解一元二次方程即可.

【小問1詳解】

%(X+2)=2+%

%(x+2)-(%+2)—0

(x+2)(x-1)=0

x+2=0或％-1=0

??%]——2,%2=]；

【小問2詳解】

3%2—6%—1=0

〃=3,b=-6,c=-l

A=b2-4ac=(-6)2-4x3x(-l)=48>0

._6±V48_6±473_3±2V3

??x---------------------------------

2x363

18.如圖，在平行四邊形A3CD中，E為線段CD的中點，連接AC,AE,延長AE,BC交于點F,

連接DR,ZACF=90°.

（1）求證：四邊形ACED是矩形；

（2）若CD=13,CF=5,求四邊形ABCE的面積.

【答案】（1）見解析（2）45

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得AD〃BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)，得NDAF=NAFC,

ZADC=ZDCF；再根據(jù)E為線段CD的中點，全等三角形的判定，則△ADE三△八;￡,根據(jù)矩形的判

定，即可；

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（2）過點E作EGJ_AC于點G,根據(jù)勾股定理，求出的長，再根據(jù)四邊形ABCE的面積等于

+

^LABC^DAEC,即可.

【小問1詳解】

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

AD//BC,

：.NDAF=NAFC,ZADC=ZDCF,

為線段CD的中點，

DE=CE,

：.UADE^FCE（AAS）,

AE=EF,

.??四邊形ACFD是平行四邊形，

：ZACF=90°,

平行四邊形AC”）是矩形.

【小問2詳解】

過點石作￡6,4。于點G,

?..四邊形A3CD是平行四邊形,

AD=BC,

?..四邊形ACED是矩形，

AD=CF,

：.AD=BC=CF=5,

?：CD=13,

；?DF=7132-52=12，

四邊形ABCE的面積等于SaABC+SaAEC,

S=—xACxBC=—x12x5=30,S=—xACxGE,

nLJA/iDRCL22LnJA/iCLCF2

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:點E是對角線的中心，

GE=-AD=-,

22

S=—xACxGE=—x12x—=15,

anACrFE222

.??四邊形ABCE的面積為：30+15=45.

【點睛】本題考查矩形，平行四邊形，全等三角形的知識，解題的關(guān)鍵是矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形

的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).

19.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-l=0.

(1)求證：無論機取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)如果方程的兩個實數(shù)根為王,々，且X：+考-不々=9,求根的值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)嗎=1或%=-2.

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，掌握一元二次方程

根的判別式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)根的判別式證明A〉0恒成立即可；

(2)由題意可得，苞+%=加+2,x1-x2=m-l,進(jìn)行變形后代入即可求解.

【小問1詳解】

證明：A=[一(m+2)]~-4xlx(m-l)=m2+8,

?.?無論相取何值，m2+8>0，恒成立，

...無論加取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根.

【小問2詳解】

解：：看,々是方程必一(根+2)x+加-1=0的兩個實數(shù)根，

，%=加+2,Xj-x2=m-1,

xf+xf-XyX2=(玉+%2)2_3%I%2=(加+2)2=9,

解得：叫=1或加2=-2.

20.如圖，矩形ABC。中，點。是對角線AC的中點，過點。的直線分別交A。、BC邊于點

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(1)求證：四邊形A尸CE是菱形；

(2)若_8。=8,人_8=6,求EF的長.

【答案】(1)見解析(2)—

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用ASA證明AAOE也△COE,得到AE=CT,得到四邊形是平行四

邊形，再根據(jù)AF=AE,即可得證；

(2)勾股定理求出AC的長，設(shè)CT=AB=x,則BR=8—X,在RtOABb中，利用勾股定理求出工的值，

再根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

證明：???四邊形A3CD是矩形，

AD//CF,

ADAC=ZBCA,

是對角線AC的中點，

OA^OC,

又；NAOE=NCOF,

.-.□AOE^OCOF(ASA),

：.AE=CF,

又：AEUCF,

.??四邊形AFCE是平行四邊形，

又AF=AE,

.?口AECE是菱形；

【小問2詳解】

解：?.?四邊形A5CD是矩形，

ZB=90°,

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在RtZXABC中，

AB=6,BC=8,

AC=^AB2+BC2=10，

.-.OA=OC=-AC=5.

2

?..四邊形ARCE是菱形

CF=AF,EF1AC,EF=20F

:.ZCOF=90°,

^CF=AF=x,則3R=8-X,

在RtOABE中，

???AB2+BF2=AF2，

62+（8-x）2=x2,

2525

解得x=」，即CR=上，

44

:.OF=^FC2-OC1=—,

4

:.EF=—.

2

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。熟練掌握相關(guān)

性質(zhì)和判定，是解題的關(guān)鍵.

21.某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，該店采取

了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天

可多售出2件.

（1）若降價6元時，則平均每天銷售數(shù)量為多少件？

（2）當(dāng)每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？

【答案】（1）平均每天銷售數(shù)量為32件

（2）當(dāng)每件商品降價10元時，該商店每天銷售利潤為1200元

【解析】

【分析】（1）根據(jù)“平均每天可售出20件，每件盈利40元，銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2

件”，列出平均每天銷售的數(shù)量即可，

（2）設(shè)每件商品降價》元，根據(jù)“平均每天可售出20件，每件盈利40元，銷售單價每降低1元，平均每

天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出關(guān)于x的一元二次方程，解之，根據(jù)實際情況，找出盈利不

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少于25元的答案即可.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意得：

若降價6元，則多售出12件，

平均每天銷售數(shù)量為：12+20=32（件），

答：平均每天銷售數(shù)量為32件；

【小問2詳解】

解：設(shè)每件商品降價%元，

根據(jù)題意得：

（40-尤）（20+2x）=1200,

解得：石=10,%=20,

40-10=30>25,（符合題意），

40-20=20<25,（舍去），

答：當(dāng)每件商品降價10元時，該商店每天銷售利潤為1200元.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系，列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，平行四邊形A3CD中，AE,CT分別是ZBA。、N5CD的平分線，且E、R分別在邊

BC、4。上，AE=AF.

（1）求證：四邊形AECE是菱形；

（2）若NA3C=60。，口43￡的面積等于4省，求平行線A5與。。間的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵473

【解析】

【分析】（1）先證A￡）〃BC,再證AE口尸C,從而四邊形AECT是平行四邊形，又AE=AP,于是四

邊形AECE是菱形；

（2）連接AC,先求得/BAE=/D4E=/ABC=60°,再證

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ZACB=90°-ZABC=30°=ZEAC,于是有走=絲，^AB=—AC，再證AE=BE

CE,

3AC3

從而根據(jù)面積公式即可求得AC=473.

【小問1詳解】

證明：?..四邊形A3CD是平行四邊形，

AD//BC,/BAD=/BCD,

：.NBEA=/DAE,

AE,CT分別是ZBA。、/BCD的平分線，

NBAE=ZDAE=-ZBAD,ZBCF=-/BCD,

22

ZDAE=NBCF=ZBEA,

AEDFC,

：.四邊形AECF是平行四邊形,

AE=AF,

.??四邊形AECT是菱形；

【小問2詳解】

解：連接AC,

VAD//BC,ZABC=60°,

/BAD=180°-/ABC=120°,

NBAE=NDAE=ZABC=60°,

:四邊形AECT是菱形，

ZEAC=-ZDAE=30°,

2

ZBAC=NBAE+/EAC=90°,

ACLAB,NACB=90°-ZABC=30°=ZEAC,

AE=CE,tan30°=tan/AC3=空即@=四，

AC3AC

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AB=—AC-

3

/BAE=ZABC,

AE=BE=CE,

?./ABE的面積等于4百，

2

SDABC=-ACAB=-AC—AC=—AC=86,

2236

平行線AB與0c間的距離AC=473.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定，角平分線的定義，等腰三角形的判定，三角

函數(shù)的應(yīng)用以及平行線間的距離，熟練掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定，角平分線的定義，等

腰三角形的判定，三角函數(shù)的應(yīng)用以及平行線間的距離等知識是解題的關(guān)鍵.

23.Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC=6,動點P從點A出發(fā)，在線段AC上以每秒1個單位長度的速

度向點C作勻速運動，到達(dá)點C停止運動.設(shè)運動時間為f秒

一7

（1）如圖1,過點尸作尸OLAC,交AB于。，若APBC與△刑。的面積和是AABC的面積的一，求f的

9

值；

（2）點。在射線PC上，且尸。=2AP,以線段尸。為邊向上作正方形PQMW.在運動過程中，若設(shè)正方

形PQVM與△ABC重疊部分的面積為8,求f的值.

【答案】（1）力=2,念=4；（2）/的值為9近或2逐時，重疊面積為8.

【解析】

【分析】（1）先求出AABC的面積，然后根據(jù)題意可得AP=f,CP=6-t,然后再△PBC與△出。的面積

7

和是△ABC的面積的一，列出方程、解方程即可解答；

9

（2）根據(jù)不同時間段分三種情況進(jìn)行解答即可.

【詳解】（1）；RtA4BC中,ZACB=90°,AC=BC=6,

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1

SAABC=—X6x6=18,

2

".'AP=t,CP=6-t,

.?.△尸2。與^必￡＞的面積和=工戶+1.乂6*(67),

22

7

?.?△PBC與△%￡)的面積和是aABC的面積的一，

9

1,17

—IT—x6x(6-f)=18x—,

229

解之，得九=2,女=4；

(2)'：AP=t,PQ=2AP,

.".PQ=2t,

17

①如圖1,當(dāng)0WV2時，S=(2力2-—5=一產(chǎn)=8,

22

解得：九=與近，亥=-(不合題意，舍去)，

77

②如圖2,當(dāng)20也3時，S=—x6x6——iP----(6-2%)2=12/-------

2225

..4

解得：九=4（不合題意，舍去），（不合題意，舍去），

③如圖3,當(dāng)3s"6時，S=-x6x6--好=8,

22

解得：ti=2y[s，t2=-2^/5（不合題意，舍去）,

【點睛】本題考查了三

角形和矩形上的動點問題，根據(jù)題意列出方程和分情況討論是解答本題的關(guān)鍵.

24.如圖，AC是正方形ABC。的對角線，AD=8,E是AC的中點，動點尸從點A出發(fā)，沿AB方向以每

秒1個單位的速度向終點2運動，同時動點。從點2出發(fā)，以每秒2個單位的速度先沿3c方向運動到點

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C,再沿CO方向向終點。運動，以EP、EQ為鄰邊作平行四邊形尸￡。尸，設(shè)點p運動的時間為r秒(0<t

<8)

(1)當(dāng)f=l時，試求尸￡的長；

(2)當(dāng)點尸恰好落在線段4B上時，求的長；

(3)在整個運動過程中，當(dāng)口PEQP為菱形時，求/的值.

【答案】(1)PE=5

(2)BF=2

⑶2

33

【解析】

【分析】(1)作于跖由正方形的性質(zhì)和已知條件得出A5=8C=CD=AD=8,證出EM〃BC,得出

是的中位線，由三角形中位線定理得出EM=」BC=4,當(dāng)仁1時，AP=1,求出尸M=AM-AP=3,

2

再由勾股定理求出PE即可；

(2)由平行四邊形的性質(zhì)得出尸F(xiàn)=EQ,PF//EQ,當(dāng)點P恰好落在線段A3上時，得出EQLBC,。為

BC的中點，得出EQ是AIBC的中位線，由三角形中位線定理得出EQ=LAB=4,求出尸尸=4,AP=2,即

2

可求出8尸的長；

(3)由菱形的性質(zhì)得出尸E=PQ,分四種情況：①當(dāng)0〈區(qū)2時，作于跖ENLBC于N；②當(dāng)2

〈二4時；③當(dāng)4</6時，作EMLAB于M,ENLBC于N；④當(dāng)6<二8時；分別由勾股定理得出方程，

解方程即可.

【小問1詳解】

作EM±AB于交AB于點M,如圖1所示：