人教版九年級數(shù)學上冊第二十四章圓（B卷解析版）

班級姓名學號分數(shù)

第二十四章圓（學霸加練卷）

（時間：60分鐘，滿分：100分）

一.選擇題（本題共14小題，每小題3分，共42分。）

1.（2022?北倍區(qū)自主招生）如圖，是0。的切線，A為切點，03交于點C,若0。的半徑長為1,

AB=y/3,則線段BC的長是（）

A.1B.72C.2D.V3

【分析】連接。1，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到N54O=90。，則利用勾股定理可計算出03=2,然后計

算OB-OC即可.

【解答】解：連接。4,如圖，

?.?AB是OO的切線，A為切點，

:.OA±AB,

，ZE4O=90°，

在RtAOAB中，OB=yJo^+AB2=「+（回=2,

:.BC=OB-OC=2-1=1.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

2.（2022?渝北區(qū)自主招生）如圖，矩形ABCD中，BC=4,CD=2,以AD為直徑的半圓O與3c相切于

點E,連接班＞,則陰影部分的面積為（）

o

\D

A.7UB.九一2C.7i+2D.刀"+4

【分析】連接OE交8。于P點，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOEC=90。，再證明四邊形ABEO和四邊形

OECD為矩形，貝lJOD=a4=BE=2,NDOE=90°,接著證明AODR三A￡B廠得到&。奸=5.尸，所以陰影

部分的面積=S扇加OE，從而根據(jù)扇形的公式計算即可.

【解答】解：連接OE交5。于尸點，如圖，

???以AD為直徑的半圓。與相切于點E,

.\OE±BC,

/.ZOEC=90°,

???四邊形ABCD為矩形，

.?.ZOAB=ZABE=NC=ZODC=90°,

.?.四邊形ABEO和四邊形OECD為矩形，

,\OD=OA=BE=2,ZDOE=90°,

在AO￡>尸和AEB廠中，

ZOFD=ZEFB

</DOF=ZBEF,

OD=EB

/.AODF=AEBF(AAS),

..S^ODF=SgBF，

陰影部分的面積=S^DOE=90x2-=n.

用形〃。七360

故選：A.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了矩形的性質(zhì)和扇形面積的計

算.

3.（2022?南陵縣自主招生）如圖，AB和3c是的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），BC>AB,M是

ABC的中點，則從〃向BC所作垂線的垂足。是折弦ABC的中點，若A8=2近，BD=0,則CD的長

C.273D.3A/2

【分析】在CD上截取CE=AB，連接CM,EM,BM,AM,證明AABMvACEM,得出廓/=

進而得出3D=DE即可解答.

【解答】解：如圖，在8上截取CE=AB,連接CM,EM,BM,AM,

是ABC的中點,

:.AM=CM,

又ZA=NC,

在AABM和NCEM中,

CE=AB

<ZA=ZC,

AM=CM

\ABM=ACEM(SAS),

?;MDLBC,

BD=DE,

?.-AB=2y/2,BD=y[2,

:.CD=CE+DE=AB+BD=2應+應=3應.

故選：D.

【點評】本題考查了圓周角定理以及圓心角，弦，弧之間的關系定理，熟記定理并靈活運用是解題的關鍵,

在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二

項皆相等.這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性.

4.（2022?南岸區(qū)自主招生）如圖，在OO中，ZBOC=80°,則NA等于（）

【分析】根據(jù)圓周角定理即可解決問題；

【解答】解：ZBOC=80°

2

.?.ZA=40°.

故選：D.

【點評】此題目考查了圓周角定理，屬于中考基礎題.

5.（2021?武昌區(qū)校級自主招生）如圖，在RtAABC中，NC=90。，BC=6cm,AC=8cm,。是邊上

一點，且BD:CD=1:2,點。在4）上，QO與AB、3c相切于E、F,則。。的面積為（）cm?.

93

【分析】連接OE,OF,OB,根據(jù)切線的性質(zhì)可得NOEB=NQFB=90。，在RtAABC中，利用勾股定理

求出AB的長，再根據(jù)已知可得求出BD=2s,然后根據(jù)AABD的面積=AAOB的面積+ABOD的面積，可

求出OE=O尸=3,再利用圓的面積公式，進行計算即可解答.

3

【解答】解：連接OE,OF,OB,

???OO與M、3c相切于E、F,

NOEB=NOFB=90。,

ZC=90°,BC-6cm,AC-8cm,

...AB=A/BC2+AC2=yj62+82=10(cm),

??BD:CD=1:2,

.\BD=^BC=2（cm）,

???AABD的面積=AAOB的面積+ABOD的面積

,-BDAC=-ABOE+-BDOF,

222

:.BDAC=ABOE+BDOF,

.?.2x8=10。石+2。尸，

4

E=OF=~,

:O3

.?.0O的面積=?xg）2

_16（2、

-7C\CYYl）,

故選：A.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的

關鍵.

6.（2021?巴南區(qū)自主招生）如圖，與0。相切于點A,尸。交0。于點3,點C在0。上，連接AC,

BC.若NP=45。，則NACB的度數(shù)為（）

A.15°B.22.5°C.30°D.37.5°

【分析】連接Q4,根據(jù)切線的性質(zhì)得NO4P=90。，則Z4OP=45。，然后根據(jù)圓周角定理得到N4CB的度

直線R4與相切于點A，

:.OA±PA,

:.ZOAP=90°，

?.?NP=45。，

45°,

ZACB=-ZAOB=22.5°.

2

故選：B.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了圓周角定理.解決本題的關

鍵是掌握圓周角定理.

7.（2021?西湖區(qū)校級自主招生）如圖，AC、班＞是QO的兩條相交弦，ZACB=ZCDB=60°,AC=2-43,

則O。的直徑是（）

A____D

A.2B.4C.百D.2出

【分析】連接08，作于E,由圓周角定理和已知得出NA=NACB=60。，證出AACB為等邊三角

形，得5C=AC=2&,ZOBE=30°,由垂徑定理得鹿=工3。=8，由直角三角形的性質(zhì)得?！?1,

2

OB=2OE=2,即可得出結論.

【解答】解：連接08,作OEL3c于E,如圖所示：

ZA=ZCDB^60°,ZACB=60。，

ZA=ZACB^60°,

.?.AACB為等邊三角形，

JBC=AC=2A/3,ZOBE=30°,

-.OE±BC,

:.BE=-BC=-j3,

2

:.OE^—BE=1,OB=2OE=2,

3

.?.0O的直徑=203=4：

【點評】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識；熟

練掌握圓周角定理和垂徑定理是解題的關鍵.

8.（2021?郎溪縣校級自主招生）如圖A/U3C為圓。的內(nèi)接三角形，。為BC中點，E為。4中點，ZABC^40°,

ZBCA=80°,則Z.OED的大小為（）

【分析】如圖，連接OC,取OC中點連接￡F、DF,根據(jù)圓周角定理得到Z4OC=2N4BC=80。,

OE=OF,求得/0￡1產(chǎn)=/。叱=3（180。-80。）=50。，連接03,推出AOFD為等邊三角形，得到

OD=OF=OE,于是得到結論.

【解答】解：如圖，連接OC,取OC中點連接砂、DF,

:.ZAOC=2ZABC=80°,OE=OF,

NOEF=ZOFE=1（180°-80°）=50°,

連接OB,

?.?。為3C中點，

:.BD=CD,ODA,BC,

:.ZDOC=-ZBOC,

2

???NBACJNBOC,

2

:.ZDOC=ZBAC,

ZDOC=ABAC=180°-40°-80°=60°,

?.?尸為oc中點,

:.OF=FD,

.?.AOED為等邊三角形，

:.OD=OF=OE,

.?.點。是AE7Z）外接圓的圓心，

ZFED=-ZFOD=3Q°,

2

ZOED=50°-30°=20°.

【點評】本題考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構

造等腰直角三角形是解題的關鍵.

9.（2021?武進區(qū)校級自主招生）如圖，正方形ABCD的邊AB=1,89和AC都是以1為半徑的圓弧，則

無陰影兩部分的面積之差是（）

【分析】圖中1、2、3、4圖形的面積和為正方形的面積，1、2和兩個3的面積和是兩個扇形的面積，因此

兩個扇形的面積的和-正方形的面積=無陰影兩部分的面積之差，即90萬=

3602

【解答】解：如圖：

正方形的面積nH+Sz+S+Sd；①

兩個扇形的面積=2S3+SJ+S2；②

②一①,得：S3=2S扇形一S正方形=901；：乂2一］=3一］.

【點評】本題主要考查了扇形的面積計算公式及不規(guī)則圖形的面積計算方法.找出正方形內(nèi)四個圖形面積

之間的聯(lián)系是解題的關鍵.

10.（2021?武進區(qū)校級自主招生）若一直角三角形的斜邊長為c,內(nèi)切圓半徑是r,則內(nèi)切圓的面積與三角

形面積之比是（）

A.-^―B.-^―C.-^―D.2,

c+2rc+r2c+rc2+r2

【分析】連接內(nèi)心和直角三角形的各個頂點，設直角三角形的兩條直角邊是。，b.則直角三角形的面積是

"+產(chǎn)r；又直角三角形內(nèi)切圓的半徑r="丁°,則a+b=2r+c,所以直角三角形的面積是r（r+c）；

因為內(nèi)切圓的面積是萬/，則它們的比是旦.

c+r

【解答】解：設直角三角形的兩條直角邊是。，b,則有：

ca+b+c

8=------r,

2

又一="+I,

2

Q+〃=2T+C,

將a+b=2r+c代入S='+咕］得:S=少+2c,=r（r+c）.

22

又??,內(nèi)切圓的面積是萬廠之，

它們的比是一二.

c+r

故選：B.

【點評】此題要熟悉直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半，能夠把直角三角形

的面積分割成三部分，用內(nèi)切圓的半徑進行表示，是解題的關犍.

11.（2020?連城縣校級自主招生）如圖，A4BC中，鉆是。。的直徑，AC交于點E,3c交。。于點

。，點。是BC中點，°。的切線DR交AC于點P,則下列結論中①N4=Z4BE；②或）=小；③AB=AC；

④產(chǎn)是EC中點，正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】連接8、AD,首先由"是0O的直徑，得出ADLBC,推出AB=AC,由等腰三角形的性質(zhì)

及等角對等弧可得從而可得BD=DE,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得8//AC,從而得

ZDFE=90°,得DF//BE,根據(jù)。是BC的中點，得出止是ABEC的中位線，得到點尸是EC的中點，

最后由假設推出①不正確.

【解答】解：連接OD,AD.DE.

?.?鉆是OO的直徑，

:.ZADB=90°（直徑所對的圓周角是直角），

:.ADYBC,

?.?點。是3c中點，

:.ZBAD=ZCAD,AB=AC,故③正確;

BD=DE,

:.BD=DE,故②正確；

:DF是OO的切線，

:.OD±DF,

AO^BO,BD=DC,

:.OD//AC,

:.DF.LAF,

:.DF//BE,

，點/是EC的中點，故④正確；

只有當AABE是等腰直角三角形時，ZBAC=ZABE=45°,

故①錯誤，

正確的有②③④共3個，

故選：C.

【點評】此題考查的知識點是切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及圓周角定理，解答此題的關鍵是運

用等腰三角形性質(zhì)及圓周角定理及切線性質(zhì)作答.

12.（2020?青田縣校級自主招生）如圖，正方形ABCD的邊長為2,點尸在41上，以尸為圓心的扇形與邊

3c相切于點T,與兩邊交于點E,F,則弧EF長度的最小值是（）

［分析］利用正方形的性質(zhì)可得弧EF長度最小時的狀態(tài).

【解答】解：當點P與A或。點重合時，圓心角為90。，可知此時弧跖最長，

根據(jù)正方形和扇形的對稱性可得，當點P在題中點時，此時弧的長度最短,

ZDPF=ZAPE=60°,

:.NEPF=60°,

弧EF的長度為60義2=2￡,

故選：C.

【點評】此題考查的是切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及弧長的計算，確定點尸為中點時，弧￡F的長度最

短是解決此題的關鍵.

13.(2020?金東區(qū)校級自主招生)如圖，然是直徑，點C,。在半圓至上，若Nfi4c1=40。，則NAOC=(

)

A.110°B.120°C.130°D.140°

【分析】連接BC,根據(jù)圓周角定理得出N4CB=90。，求出/B=90。-/54c=50。，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的

性質(zhì)得出NADC+N3=180。，再求出答案即可.

【解答】解：連接3C,

AB是直徑,

ZACS=90°,

ABAC=40°,

.?.ZB=90°—Zfi4c=50°,

四邊形A3CD是圓的內(nèi)接四邊形，

:.ZADC+ZB=180°,

ZADC=180°-50°=130°,

故選：C.

【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理等知識點，能熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解此

題的關鍵.

14.（2020?和平區(qū)校級自主招生）如圖，鉆為OO的直徑，C為的中點，。為劣弧CB上一個動點（點

。不與3,C重合），過。作O。的切線交互延長線于點尸，連接8并延長交至延長線于點Q,給出

下列結論：

①若CB//DP,則NZMB=22.5。；

②若PB=BD,則NDR4=30。；

③DP可能成為ZBDQ的平分線；

④若OO的半徑為1,則CD.CQ=A5；

@00<ZPDQ?45°.

其中正確結論的個數(shù)為（）

【分析】C為AB的中點，可得AC=BC,由AB為。。的直徑，可得AABC是等腰直角三角形，所以

ZCBA=ZCAB=45°,①若CB/AD尸，得NDPO=45。,再結合切線性質(zhì)，得尸是等腰直角三角形，所

以ZDOP=45。，即可求出圓周角度數(shù)；②若PB=BD,可證AODB是等邊三角形，即可求出“以=30。；

③由①即可得DP可能成為NBD。的平分線；④證明AACZJSACQA,得C。=AC。=AB；⑤NPD。不

可能等于NQD3,而NQr>8=45。，所以⑤錯誤.

【解答】解：C為48的中點，

/.AC=BC,

?.?AB為0O的直徑，

??.AABC是等腰直角三角形，

..ZCBA=ZCAB=45°,

①?：CB/IDP,

:.ZDPO=ZCBA=45°,

?是切線，

ZODP=90°,

.?.AODP是等腰直角三角形，

.-.ZZ)OP=45O,

/DAB=-ZDOP=22.5°,

2

故①正確；

②若PB=BD,

:.ZPDB=ZDPB,

?.?ZPDB+ZODB=ZDPB+ZDOP=90°，

:.ZODB=ZDOP,

DB=OB,

?;OD=OB,

\ODB是等邊三角形，

ZDOP=60。,

,\ZDPA=30°,

故②正確；

③由①即可得DP可能成為/加。的平分線，故③正確;

④「C為的中點，

:.ZCDA=ZCAB,

ZACD=ZACQ,

「.AACDSACQA,

.AC_CQ

~CD~~CA"

:.CDCQ=AC2=(@2=2,

?.?AB=2,

/.CD-CQ=AB,

故④正確；

⑤ZQDB=ZCAB=45°,

:.00<ZPDQ<45°,

所以⑤錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理及推論，三角形相似的性質(zhì)及判定，等邊三角形的性質(zhì)及判

定，解題關鍵是抓住幾個等腰直角三角形.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

15.（2022?徐匯區(qū)校級自主招生）如圖，一個較大的圓內(nèi)有15個半徑為1的小圓，所有的交點都為切點，

圖中陰影為大圓內(nèi)但在所有小圓外部分，則陰影部分的面積為22+16—%.

一3一

【分析】如圖，O”為邊的高，利用兩圓相切的性質(zhì)得到AB=AC=3C=8,則可判斷AABC為等邊三

角形，則CH=4,利用含30度角的直角三角形三邊的關系得到OC=還，再利用圓與圓相切的性質(zhì)得到

3

OO的半徑OE=OC+CE=3-+1,然后用大圓的面積減去15個小圓的面積得到陰影部分的面積.

【解答】解：如圖，為3c邊的高，

???所有小圓相切，

：.AB=AC=BC=8,

;.AASC為等邊三角形，

:.NOCB=30°

■.OH±BC,

:.CH=4,

:.OH=—CH=—,

33

OC=2,OH=—,

3

0c與0。相切，

.?.00的半徑?！?=。。+?！?空+1,

...陰影部分的面積=萬。（苧+1）2—15義萬xF=22+；6,萬.

故答案為：22+16^兀.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì).

16.（2022?寧波自主招生）如圖，在O。中、三條劣弧他、BC、CD的長都相等，弦AC與5。相交于點E,

弦54與CD的延長線相交于點尸，且ZF=40。，則NAS）的度數(shù)為_70。

C

【分析】連接3C,根據(jù)弧相等，得到Na4C=NBDC=N3C4=ND3C,設出Z4CD=N4BD=x,根據(jù)外

角的性質(zhì)得出ZBAC=x+4Q°,進而利用三角形的內(nèi)角和求出x即可解答.

【解答】解：連接3C,

?.?弧AB、BC、CD的長相等，

ZBAC=ZBDC=ZBCA=ZDBC,

^ZACD=ZABD=x,

?.?"=40°,

:.ZBAC=x+4O°,

ZBDC=ZBCA=ZDBC=x+4O°,

在AABC中，x+40°+x+x+x+40°+40°=180°,

解得x=15。，

:.ZDBC=NBCA=55°,

:.ZAED=ZBEC=70°.

故答案為：70。.

【點評】本題考查了圓周角定理，解題的關鍵是熟記定理并靈活運用，圓周角定理：在同圓或等圓中，同

弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

17.（2022?南陵縣自主招生）如圖，是半圓。的直徑，四邊形CDMN和ZZEFG都是正方形，其中C,D,

E在AB上，F(xiàn)、N在半圓上.若則正方形CDAW的面積與正方形DEFG的面積之和是16,則的長為

【分析】連接OV,OF,設正方形CDMN的邊長為“，正方形D￡FG邊長為b,OD=c,根據(jù)正方形的性

版CN=CD=a,DE=EF=b,設OA=ON=OF=OB=r,根據(jù)勾股定理得出/+(〃+二/①,

〃+3一°)2=/②，①—②得出/+3+0)2—〃—。一了二。，把等式的左邊分解因式后得出

2(a+b)(a-b+c)=0,求出》=Q+C,再代入①，即可求出答案.

【解答】解：連接ON,CR,設正方形CDAW的邊長為。，正方形DEFG邊長為方，OD=c,貝UCN=CD=a,

DE=EF=b,

?/四邊形CDMN和DEFG都是正方形，

ZNCD=90°,/FED=90。,

設OA=ON=OF=OB=Y,

由勾股定理得：NC1+C(f=ON2,OE2+EF2=OF2,

a2+(〃+c)2=/①，廿+3一0)2=/②，

①—②，得Q2+(Q+c)2—b2—(b—C)2=0,

(a2-b2)+[(a+c)2一(Z?—cP)]=0,

(a+b)(a-b)+(a+c+b-c)(a+c-b+c)=O,

(a+b)(a—b)+(a+b)(a—b+2c)=0,

(a-i-b)(a-b+a-b-i-2c)=0,

2(a+b)(a—Z?+c)=0,

a+bwO,

「.a—Z?+c=O,

即〃=Q+C,

把b=a+c代入①，得4十/二,，

???正方形CDMN的面積與正方形D￡FG的面積之和是16,

.\a2+〃=16,

.?.戶=16,

解得r=4（負值舍去），

/.AB=2r=8.

故答案為：8.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，能求出6=a+c是解此題的關鍵.

18.（2022?海曙區(qū)自主招生）如圖，點A、B、C均在坐標軸上，AO=BO=CO=1,過A、。、C作

E是:OO上任意一點，連結CE,BE,則CE2+BE2的最大值是6.

【分析】連接AC,OD,DE,設E（尤,y）,利用90。的圓周角所對的弦是直徑可得，AC是的直徑，

再利用平面直角坐標系中的兩點間距離公式求出CE2+B￡2=2（x2+y2）+2,OE2=x2+y2,可得當OE為

。。的直徑時，OE最大,。5+匹2的值最大，然后進行計算即可解答.

【解答】解：連接AC,OD,DE,

ZAOC=90°,

」.AC是。。的直徑，

AO=BO=CO=1,

A(0,l),C(l,0),B(-l,0),

AC=&,

CE2=(X-1)2+/,

BE2=(X+1Y+y2,

CE2+BE2=(x-1)?+y2+{x+1)2+/=2(x2+y2)+2,

OE2=x2+y2,

.?.當OE為OD的直徑時，OE最大,。序+的2的值最大,

OE2=AC2=（V2）2=2,

CE2+BE2的最大值=2x2+2=6,

故答案為：6.

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，圓周角定理，坐標與圖形的性質(zhì)，點與圓的位置

關系，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵.

19.（2022?九龍坡區(qū)自主招生）如圖，正方形ABCD的邊長為4,。為對角線的交點，點E,尸分別為

AD的中點，以C為圓心，4為半徑作圓弧3D,再分別以E,b為圓心，2為半徑作圓弧30,OD,則圖

中陰影部分的面積為_4萬-8_.（結果保留》）

BEC

【分析】連接BD,根據(jù)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧，所對的弦分別相等，利用面積割補法可

得陰影部分的面積等于弓形面積，即等于扇形CBD減去直角三角形CBZ）的面積之差.

【解答】解：連接BD,EF,如圖，

?.?正方形ABCD的邊長為4,。為對角線的交點，

由題意可得：EF,BD經(jīng)過點O,且EF±CB.

?.?點E,尸分別為BC,AD的中點，

：.FD=FO=EO=EB=2,

OB=OD,OB—OD.

/.弓形。5=弓形。0.

陰影部分的面積等于弓形BD的面積.

90%x421

$陰影=§扇形CBD-'ACBD=一記?！獂4x4=4^--8.

故答案為：4萬-8.

【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，扇形面積的計算.通過添加適當?shù)妮o助線將不規(guī)則的陰影部分的

面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積的差是解題的關鍵.

20.（2021?太倉市自主招生）如圖，有一塊矩形木板ABCD,AB=13dm,BC=8dm,工人師傅在該木板

上鋸下一塊寬為Mm的矩形木板MBQV,并將其拼接在剩下的矩形木板AAWD的正下方，其中8、

C'、M分別與M、B、C、N對應.現(xiàn)在這個新的組合木板上畫圓，要使這個圓最大，則x的取值范圍

是_2用此3_,且最大圓的面積是dm2.

【分析】如圖，設。。與相切于點4,交8與E,連接O",延長"O交CD于尸，設。。的半徑為r.在

RtAOEF中，當點E與“重合時，。。的面積最大，此時郎=4,利用勾股定理求出半徑，再構建不等式

求出x的取值范圍即可;

【解答】解：如圖，設與相相切于點H,交CD與E,連接延長"O交CD于F,設的半

在RtAOEF中，當點E與“重合時，。。的面積最大，此時EF=4,

,則有：r2=(8-r)2+42,

r=5.

0。的最大面積為25n,

3+X..5

由題意:

13-X..10

2張/3，

故答案為琛樂3,25%.

【點評】本題考查垂徑定理、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識

解決問題.

三.解答題（共4小題，滿分40分，每小題10分）

21.（2021?太倉市自主招生）如圖，然為O。直徑，點。為相下方0。上一點，點C為弧中點，連

接CD,CA.

（1）若NABD=a,求NBDC（用a表示）；

（2）過點C作CE_LAB于"，交AD于E,NCAD=0,求NACE（用￡表示）；

（3）在（2）的條件下，若0/7=5,">=24,求線段DE的長.

【分析】（1）連接AD,i^ZBDC=y,ZCAD=/3,則NC4B=ZBDC=/,證明=0=90。一y,

ZABD=2?,得出ZABD=2ZBDC,即可得出結果;

（2）連接3C,由直角三角形內(nèi)角和證明NACE=NABC,由點C為弧ARD中點，得出

ZADC=ZCAD=ZABC=jS,即可得出結果；

（3）連接OC,證明NCOB=NABD,得出AOCf/sAABD,則空=堡=,，求出ND=2OH=10,由勾

BDAB2

股定理得出AB=NAD。+BD2=26,則AO=13,AH=AO+OH=18,證明AAHE^AADB，得出理=空，

ADAB

求出AE=理，即可得出結果.

2

【解答】解：（1）連接AD,如圖1所示：

設/BDC=y,ZCAD=/3,

則NC4B=N5DC=y,

???點C為弧AfiQ中點,

/.AC=CD,

ZADC=ZCAD=J3.

ZDAB=J3-/,

???AB為G）O直徑，

:.ZADB=90°，

/./+^=90°,

.”=90?！?,

.?.NABD=90?！狽DAB=90。—（4一7）=90。—90。+/+/=2/,

:.ZABD=2ZBDC,

ZBDC=-ZABD=-a；

22

（2）連接5C,如圖2所示：

。：AB為OO直徑，

:,ZACB=90°,即ZBAC+ZABC=90。，

\-CEYAB,

:.ZACE+ZBAC=90。,

:.ZACE=ZABC,

???點。為弧ABD中點，

/.AC=CDf

/.ZADC=ZCAD=ZABC=j3f

ZACE=J3；

（3）連接OC,如圖3所示：

:.ZCOB=2ZCAB,

??,ZABD=2ZBDC,ZBDC=ZCAB,

；.NCOB=ZABD,

?.?ZOHC=ZADB=90°f

:.AOCHs/sABD,

.OHOC

茄一法—5’

:.BD=2OH=W,

AB=^AD2+BD2=7242+102=26,

「.A。=13,

AH=AO+O〃=13+5=18,

???ZEAH=ZBAD,ZAHE=ZADB=90°,

/.^AHE^^ADB,

AHAE18AE

----=,即—=

ADAB2426f

:.AE=—39,

2

399

:.DE=AD-AE=24——=-.

22

【點評】本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理等知識；正確

作出輔助線是解題的關鍵.

22.(2021?成都自主招生)如圖，OO是RtAABC的外接圓，AB為直徑，ZABC=3O°,CD_LOC于C,

￡D_LAB于/，

(1)判斷ADCE1的形狀;

(2)設的半徑為1,且。月=求證：ADCE=AOCB.

2

B

【分析】（1）ADCE為等腰三角形，理由為：根據(jù)同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，由圓周角WC

的度數(shù)，求出圓心角NAOC的度數(shù)為60。，再由Q4=OC,得到三角形。1C為等邊三角形，可得出三內(nèi)

角為60。，再由OC與8垂直，根據(jù)垂直的定義得到NOCD為直角，利用平角的定義求出NDCE為30。，

又EF垂直于Afi,得到NAFE為直角，由NA為60。，得出NE為30。，可得出NDCE=NE,根據(jù)等角

對等邊可得出=即三角形DCE為等腰二角形；

（2）由半徑為1及O尸的長，根據(jù)AO+OF求出AF的長，在直角三角形中，根據(jù)30。角所對的直角

邊等于斜邊的一半，由川的長得出AE的長，再由AE-AC求出CE的長，在直角三角形ABC中，由加

為直徑，NS為30。，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出3c的長，發(fā)現(xiàn)3C=CE,再由三角形H9C與三角形

DCE都為底角為30。的等腰三角形，得到兩對底角相等，利用ASA可得出兩三角形全等.

【解答】解：（1）ADCE為等腰三角形，理由為：

?.?NABC=30。，圓周角NABC與圓心角NAOC都對AC,

.?.NAOC=2NABC=60。，

又?.?Q4=OC,

.1△CMC為等邊三角形，

:.ZOAC=ZOCA^60°,

?：OC^CD,

.?.NOCD=90。，

ZDCE=180°-90°-60°=30°,

又YEFLAF,

:.ZAFE^9Q°,

ZE=180°—90°—60°=30°,

;.ZDCE=ZE,

DC=DE,

則ADCE為等腰三角形;

J3-1

(2)■.■OA=OB^\,OF=——，

2

出一］