新高考物理二輪專題復習精練專題23 數(shù)學方法在物理解題中的應用（原卷版）

2023高考二輪復習二十專題專題二十三、數(shù)學方法在物理解題中的應用第一部分織網(wǎng)點睛，綱舉目張高考物理試題的解答離不開數(shù)學知識和方法的應用，借助物理知識滲透考查數(shù)學能力是高考命題的永恒主題?？梢哉f任何物理試題的求解過程實際上是將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，經(jīng)過求解再還原為物理結(jié)論的過程。第二部分實戰(zhàn)訓練，高考真題演練1．（18分）（2022重慶高考）小明設計了一個青蛙捉飛蟲的游戲，游戲中蛙和蟲都在SKIPIF1<0豎直平面內(nèi)運動。蟲可以從水平x軸上任意位置處由靜止開始做勻加速直線運動，每次運動的加速度大小恒為SKIPIF1<0（g為重力加速度），方向均與x軸負方向成SKIPIF1<0斜向上（x軸向右為正）。蛙位于y軸上M點處，SKIPIF1<0，能以不同速率向右或向左水平跳出，蛙運動過程中僅受重力作用。蛙和蟲均視為質(zhì)點，取SKIPIF1<0。（1）若蟲飛出一段時間后，蛙以其最大跳出速率向右水平跳出，在SKIPIF1<0的高度捉住蟲時，蛙與蟲的水平位移大小之比為SKIPIF1<0，求蛙的最大跳出速率。（2）若蛙跳出的速率不大于（1）問中的最大跳出速率，蛙跳出時刻不早于蟲飛出時刻，蟲能被捉住，求蟲在x軸上飛出的位置范圍。（3）若蟲從某位置飛出后，蛙可選擇在某時刻以某速率跳出，捉住蟲時蛙與蟲的運動時間之比為SKIPIF1<0；蛙也可選擇在另一時刻以同一速率跳出，捉住蟲時蛙與蟲的運動時間之比為SKIPIF1<0。求滿足上述條件的蟲飛出的所有可能位置及蛙對應的跳出速率。第三部分思路歸納，內(nèi)化方法物理解題過程中常用的數(shù)學方法主要有1．正弦定理：在如圖甲所示的三角形中，各邊和所對應角的正弦之比相等。即：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)2．余弦定理：在如圖甲所示的三角形中，有如下三個表達式：a2＝b2＋c2－2bc·cosAb2＝a2＋c2－2ac·cosBc2＝a2＋b2－2ab·cosC3．三角形相似法：相似三角形的對應角相等，對應邊成比例，如圖乙所示，兩三角形相似，有：eq\f(OM,ON)＝eq\f(OP,OQ)＝eq\f(PM,NQ)[例3]表面光滑、半徑為R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O′處有一無摩擦定滑輪，輕質(zhì)細繩兩端各系一個可視為質(zhì)點的小球掛在定滑輪上，如圖所示。兩小球平衡時，若滑輪兩側(cè)細繩的長度分別為L1＝2.4R和L2＝2.5R，這兩個小球的質(zhì)量之比為eq\f(m1,m2)，小球與半球之間的壓力之比為eq\f(FN1,FN2)，則以下說法正確的是()A.eq\f(m1,m2)＝eq\f(24,25) B.eq\f(m1,m2)＝eq\f(25,24)C.eq\f(FN1,FN2)＝eq\f(25,24) D.eq\f(FN1,FN2)＝eq\f(24,25)[解析]先以左側(cè)小球為研究對象，分析受力情況：重力m1g、繩子的拉力FT和半球的支持力FN1，作出受力分析圖。由平衡條件得知，拉力FT和支持力FN1的合力與重力m1g大小相等、方向相反。設OO′＝h，根據(jù)三角形相似得eq\f(FT,L1)＝eq\f(FN1,R)＝eq\f(m1g,h)，解得m1g＝eq\f(FTh,L1)，F(xiàn)N1＝eq\f(FTR,L1)①同理，以右側(cè)小球為研究對象，得：m2g＝eq\f(FTh,L2)，F(xiàn)N2＝eq\f(FTR,L2)，②由①②式得eq\f(m1,m2)＝eq\f(L2,L1)＝eq\f(25,24)，eq\f(FN1,FN2)＝eq\f(L2,L1)＝eq\f(25,24)。[答案]BC4三角函數(shù)法三角函數(shù)：y＝acosθ＋bsinθy＝acosθ＋bsinθ＝eq\r(a2＋b2)sin(θ＋α)，其中α＝arctaneq\f(a,b)。當θ＋α＝90°時，有極大值ymax＝eq\r(a2＋b2)。[例4]如圖所示是一旅行箱，它既可以在地面上推著行走，也可以在地面上拉著行走。已知該旅行箱的總質(zhì)量為15kg，一旅客用斜向上的拉力拉著旅行箱在水平地面上做勻速直線運動，若拉力的最小值為90N，此時拉力與水平方向間的夾角為θ，重力加速度大小為g＝10m/s2，sin37°＝0.6，旅行箱受到地面的阻力與其受到地面的支持力成正比，比值為μ，則()A．μ＝0.5，θ＝37° B．μ＝0.5，θ＝53°C．μ＝0.75，θ＝53° D．μ＝0.75，θ＝37°[解析]對旅行箱受力分析，如圖所示，根據(jù)平衡條件，水平方向，有：Fcosθ－Ff＝0，豎直方向，有：FN＋Fsinθ－G＝0，其中：Ff＝μFN，故F＝eq\f(μG,cosθ＋μsinθ)，令μ＝tanα，則F＝eq\f(Gsinα,cosα－θ)；當α－θ＝0°時，F(xiàn)有最小值，故F＝Gsinα＝90N，故α＝37°，故μ＝tan37°＝0.75，θ＝37°，故選D。[答案]D5.二次函數(shù)法二次函數(shù)：y＝ax2＋bx＋c當x＝－eq\f(b,2a)時，有極值ym＝eq\f(4ac－b2,4a)(若二次項系數(shù)a＞0，y有極小值；若a＜0，y有極大值)。6.數(shù)學歸納法凡涉及數(shù)列求解的物理問題都具有過程多、重復性強的特點，但每一個重復過程均不是原來的完全重復，而是一種變化了的重復。隨著物理過程的重復，某些物理量逐步發(fā)生著前后有聯(lián)系的變化。該類問題求解的基本思路為：(1)逐個分析開始的幾個物理過程；(2)利用歸納法從中找出物理量變化的通項公式(這是解題的關鍵)；(3)最后分析整個物理過程，應用數(shù)列特點和規(guī)律求解。7.數(shù)列法無窮數(shù)列的求和，一般是無窮遞減數(shù)列，有相應的公式可用。等差：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d(d為公差)。等比：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)，q≠1,na1，q＝1))(q為公比)。8.圖像法根據(jù)題述情景畫出相關圖像進行定性分析或定量運算。9.矢量圖解法第四部分最新模擬集萃，提升應試能力1.（2023寧夏銀川一中第一次月考）如圖，懸掛甲物體的細線拴牢在一不可伸長的輕質(zhì)細繩上O點處；繩的一端通過光滑的定滑輪與物體丙相連，另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連。甲、乙兩物體質(zhì)量相等。系統(tǒng)平衡時，O點兩側(cè)繩與豎直方向的夾角分別為α和β。若β=55°，則（）

A.α>β B.α<β C.丙的質(zhì)量小于甲的質(zhì)量 D.丙的質(zhì)量大于甲的質(zhì)量2.（16分）（2023湖南名校聯(lián)盟期中）如圖所示，水平地面上固定兩個相同的斜面SKIPIF1<0，斜面足夠長且傾角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的距離為SKIPIF1<0，在其中點正上方有光滑水平軸SKIPIF1<0。一根長為SKIPIF1<0的輕質(zhì)細繩一端固定在軸SKIPIF1<0上，另一端系一個質(zhì)量為SKIPIF1<0的小球SKIPIF1<0，小球與地面接觸但無相互作用?；瑝KSKIPIF1<0和小球SKIPIF1<0的質(zhì)量相等，且均可視為質(zhì)點，滑塊與小球發(fā)生彈性正碰，若不計空氣阻力和滑塊經(jīng)過SKIPIF1<0點處的機械能損失，重力加速度SKIPIF1<0取SKIPIF1<0。（1）若滑塊SKIPIF1<0從SKIPIF1<0處由靜止下滑，滑塊SKIPIF1<0與水平面間的動摩擦因數(shù)為SKIPIF1<0，斜面SKIPIF1<0均光滑，求：①滑塊SKIPIF1<0與小球SKIPIF1<0第一次碰后瞬間繩子對小球SKIPIF1<0的拉力大?。虎诨瑝KSKIPIF1<0與小球SKIPIF1<0碰撞后，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，求小球做完整圓周運動的次數(shù)。（2）若滑塊SKIPIF1<0從SKIPIF1<0處由靜止滑下，斜面SKIPIF1<0均粗糙，滑塊SKIPIF1<0與斜面和水平面間的動摩擦因數(shù)均為SKIPIF1<0。求小球SKIPIF1<0第SKIPIF1<0次做完整的圓周運動時在最低點的動能SKIPIF1<0的表達式。（要求除SKIPIF1<0外，其他物理量的數(shù)值需代入，寫出關系式即可，不需要寫出取值范圍。）3．（2023四川遂寧零診）如圖所示，水平地面PQ上豎直平面內(nèi)固定光滑軌道ABC，AB是半徑為3R的弧形軌道，BC是半徑為R的弧形軌道，兩軌道在地面上的B點平滑對接。BC的圓心為O，BO豎直，AB的圓心在O點正上方，CO與豎直線夾角為θ。D點是C點關于過BO豎直線始終對稱的點。一個質(zhì)量為m的小球在軌道AB上從距PQ高h處靜止釋放。已知重力加速度為g。（1）小球經(jīng)過B點前、后瞬時對軌道壓力大小的變化量。（2）如果小球能夠到達C點，求小球靜止釋放位置高h的最小值。（3）如果半徑R確定，改變夾角為θ，并相應調(diào)整小球在AB軌道上靜止釋放的位置，以確保能依次通過C、D兩點，求h的最小值。4.（2023湖南三湘創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)合起點考試）如圖所示，有兩足夠長傾角均為SKIPIF1<0的粗糙斜面AB和CD均通過一小段平滑的圓弧與足夠長的光滑水平面BC連接，小滑塊a與斜面AB間的動摩擦因數(shù)SKIPIF1<0，小滑塊b與斜面CD間的動摩擦因數(shù)SKIPIF1<0，小滑塊a從斜面AB上的P點由靜止開始下滑，一段時間后，與靜止在水平面BC上的裝有質(zhì)量不計的彈簧的物塊b發(fā)生第一次碰撞，之后彈簧儲存的彈性勢能的最大值SKIPIF1<0，已知小滑塊a、b均可視為質(zhì)點，質(zhì)量均為SKIPIF1<0，小滑塊a與彈簧碰撞過程中不損失機械能，且彈簧始終在彈性限度內(nèi)，取重力加速度大小SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。求：（1）P點距水平面的高度h；（2）小滑塊a與小滑塊b第一次碰撞后，小滑塊b沿CD斜面上滑的最大距離SKIPIF1<0；（3）小滑塊b在斜面上運動的總路程SKIPIF1<0。

5.（2023重慶八中高三質(zhì)檢）如圖所示，一傾角為SKIPIF1<0的粗糙斜面固定在水平地面上，斜面底端固定一垂直于斜面的擋板，現(xiàn)將一質(zhì)量為SKIPIF1<0的小滑塊A從離擋板距離為18L處由靜止釋放：隨后某一時刻，再將質(zhì)量為SKIPIF1<0的小滑塊B從斜面上的另一位置由靜止釋放；滑塊A與擋板相撞反彈后向上運動到離擋板距離為SKIPIF1<0處與同速率下滑的滑塊B發(fā)生彈性碰撞，碰后立即將滑塊B取走。已知每次滑塊A與擋板碰撞，碰后速率為碰前的SKIPIF1<0倍，兩滑塊和斜面之間的動摩擦因數(shù)SKIPIF1<0，重力加速度為SKIPIF1<0，兩滑塊均視為質(zhì)點，不計各次碰撞時間。求：（1）滑塊A第一次與擋板碰撞前的速度大?。唬?）滑塊A、B釋放的時間差；（3）整個過程中滑塊A與擋板碰撞損失的能量。6(2020·日照模擬)如圖所示，兩個質(zhì)量分別為eq\r(3)m、m的小圓環(huán)A、B用不可伸長的細線連著，套在一個豎直固定的大圓環(huán)上，大圓環(huán)的圓心為O。系統(tǒng)平衡時，細線所對的圓心角為90°，大圓環(huán)和小圓環(huán)之間的摩擦力及細線的質(zhì)量忽略不計，重力加速度大小用g表示，下列判斷正確的是()A．小圓環(huán)A、B受到大圓環(huán)的支持力之比是eq\r(3)∶1B．小圓環(huán)A受到大圓環(huán)的支持力與豎直方向的夾角為15°C．細線與水平方向的夾角為30°D．細線的拉力大小為eq\f(\r(3),2)mg6如圖，固定在豎直平面內(nèi)的傾斜軌道AB，與水平固定光滑軌道BC相連，豎直墻壁CD高H＝0.2m，在地面上緊靠墻壁固定一個和CD等高，底邊長L1＝0.3m的固定斜面。一個質(zhì)量m＝0.1kg的小物塊(視為質(zhì)點)在軌道AB上從距離B點L2＝4m處由靜止釋放，從C點水平拋出，已知小物塊與AB段軌道間的動摩擦因數(shù)為0.5，通過B點時無能量損失；AB段與水平面的夾角為37°。(空氣阻力不計，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(1)求小物塊運動到B點時的速度大??；(2)求小物塊從C點拋出到擊中斜面的時間；(3)改變小物塊從軌道上釋放的初位置，求小物塊擊中斜面時動能的最小值。7如圖所示，在平面直角坐標系xOy的第一、二象限內(nèi)，存在以虛線OM為邊界的勻強電場和勻強磁場。勻強電場方向沿y軸負方向，勻強磁場方向垂直于xOy平面向里，虛線OM與x軸負方向成45°角。一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的帶電粒子從坐標原點O處以初速度v0沿x軸正方向運動，粒子每次到達x軸將反彈，第一次反彈無能量損失，以后每次反彈水平分速度不變、豎直分速度大小均減為反彈前的eq\f(1,2)，方向相反。電場強度大小等于eq\f(mv02,16qd)，磁感應強度大小等于eq\f(mv0,qd)，求：(不計粒子重力，題中各物理量單位均為國際單位，計算結(jié)果可用分式表示)(1)帶電粒子第三次經(jīng)過OM時的坐標；(2)帶電粒子第三次到達OM時經(jīng)過的時間；(3)帶電粒子從第二次進入電場開始，沿電場方向運動的總路程。8．(2020·銀川模擬)如圖所示，a、b兩個小球穿在一根光滑的固定桿上，并且通過一條細繩跨過定滑輪連接。已知b球質(zhì)量為m，桿與水平面的夾角為30°，不計所有摩擦。當兩球靜止時，Oa段繩與桿的夾角也為30°，Ob段繩沿豎直方向，則a球的質(zhì)量為()A.eq\r(3)m B.eq\f(\r(3),3)mC.eq\f(\r(3),2)m D．2m．9.[多選](2020·臨沂期末)如圖所示，矩形線框abcd處于磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向與線框平面垂直，線框ab長為2L，bc長為L，MN為垂直于ab并可在ab和cd上自由滑動的金屬桿，且桿與ab和cd接觸良好，abcd和MN上單位長度的電阻皆為r。讓MN從ad處開始以速度v向右勻速滑動，設MN與ad之間的距離為x(0≤x≤2L)，則在整個過程中()A．當x＝0時，MN中電流最小B．當x＝L時，MN中電流最小C．MN中電流的最小值為eq\f(2Bv,5r)D．MN中電流的最大值為eq\f(6Bv,11r)10．(2020·肇慶一模)如圖(a)所示，一物體以一定的速度v0沿足夠長的固定斜面向上運動，此物體在斜面上的最大位移與斜面傾角的關系如圖(b)所示。設各種條件下，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)不變，取g＝10m/s2。試求：(1)物體與斜面之間的動摩擦因數(shù)及物體的初速度大小；(2)θ為多大時，x值最?。壳蟪鰔的最小值。11.在仰角α＝30°的雪坡上舉行跳臺滑雪比賽，如圖所示。運動員從坡上方A點開始下滑，到起跳點O時借助設備和技巧，保持在該點的速率不變而以與水平面成θ角的方向起跳。最后落在坡上B點，坡上OB兩點距離為L。已知A點高于O點h＝50m，不計摩擦和阻力，則OB兩點距離L最大值為多少米？此時起跳角為多大？12．如圖所示，裝置的左邊是足夠長的光滑水平面，一輕質(zhì)彈簧左端固定，右端連接著質(zhì)量M＝2kg的小物塊A；裝置的中間是水平傳送帶，它與左右兩邊的水平面等高，并能平滑對接，傳送帶始終以v＝2m/s的速率逆時針轉(zhuǎn)動。裝置的右邊是一光滑的曲面，質(zhì)量m＝1kg的小物塊B從其上距水平面h＝1.0m處由靜止釋放。已知物塊B與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，傳送帶的長度l＝1.0m。設物塊A、B之間發(fā)生的是對心彈性碰撞，第一次碰撞前物塊A靜止，g取10m/s2。(1)求物塊B與物塊A第一次碰撞前的速度大??；(2)通過計算說明物塊B與物塊A第一次碰撞后能否運動到右邊曲面上；(3)如果物塊A、B每次